九年级中考数学讲义15等腰三角形与直角三角形.pdf

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1、专题1 5 等腰三角形与直角三角形知识点解析一、等腰三角形1.等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）.推 论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于6 0。.2.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.推 论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2：有一个角是6 0。的等腰三角形是等边三角形.推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3 0。，那

2、么它所对的直角边等于斜边的一半.二、等边三角形1 .定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.2 .性 质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于6 0。.3 .判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于6 0。的等腰三角形是等边三角形.三、直角三角形与勾股定理1.直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于3 0。，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形：（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形

3、是直角三角形.2.勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边。、b 的平方和等于斜边C 的平方，即：。2+按4 2.（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c 有关系：。2+炉=2,那么这个三角形是直角三角形.重点考向考向一 等腰三角形的性质;典例引领1 .如图，4。是等腰三角形A B C的顶角平分线，B D=5,则C 等 于()2 .已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周长为()A.1 3 B.1 7 C.1 3 或 1 7 D.1 3 或 1 03 .如图，在等腰 A BC中，B O为/A B C的平分线，/A=3 6 ,AB=AC=a,B C=b,则

4、A.B.C.a-b D.b-a2 24 .己知：如图，在A BC 中，点。在边 BC 上，ABAD=DC,Z C=3 5 ,则/5 4 0=度.5 .如图，已知等腰三角形A B C中，A B=A C,点 、E分别在边A B、A C上，且A D=A E,连接BE、C D,交于点F.(1)判断/A B E与/A C。的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点4、F的直线垂直平分线段BC.D,考向二等腰三角形的判定典例引领6.下列长度的线段中，能组成等腰三角形的一组是（）A.1,1,2 B.3,3,5 C.2,2,5 D.3,4,57.如图，在 RtZ43C中，ZACB=90,ACW BC.点 P 是

5、直角边所在直线上一点，若 为等腰三角形，则符合条件的点尸的个数最多为（）8.小 明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为15cm和 20c?,则这根铁丝的长为 cm.9.已知：如图，在ABC中，AB=AC,BP,CQ 是ABC两腰上的高.求证：BCO是等腰三角形.1 0.如图，A Q 平分/8 A C,A D B D,垂足为点。，DE/AC.求证：8 0E是等腰三角形.典例引领考向三 等边三角形的性质广工1 1 .如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，点8、C的坐标分别为（3,0）、（-1,2 21 2 .如图，等边 A BC中，A 3=1 0,E为AC中点，F,G为A

6、 B边上动点，且F G=5,则E F+C G的最小值是（）A.5A/7 B.5捉 C.5 +5 D.1 51 3 .等边三角形的边长是8,这个三角形的面积为.1 4 .Z V I BC中，B C=5,以A C为边向外作等边4 C Z）.DD(1)如图，AAB E是等边三角形，若 4 c=4,N A C B=3 0 ,求 CE的长；(2)如图，若N A BC=6 0 ,A B=3,求 8。的长.1 5.如图，在等边aAB C中，A B=2 c m,现 有 M,N两点分别从点A,B 同时出发，沿 A B C的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为lcm/s,点、N的速度为2cmis,当点N第一次到达

7、8点时，M,N同时停止运动，设运动时间为f(s).(1)当，为何值时，M,N两点重合？两点重合在什么位置？(2)当点M,N在 B C边上运动时，是否存在使AM=AN的位置？若存在，请求出此时1 8.如 图，R tZ A BC 中，N C=9 0,A8的垂直平分线OE交 4c 于点E,连接8 E.若N A点 M,N运动的时间；若不存在，请说明理由.CA N/13 C.-713 口.-/1323.如图，将两个完全相同的RtZACB和RtZVTC夕拼在一起，其中点A 与点B重合，点。在边 A8 上，连接 R C,若/A8C=/ABC=30,AC=AC=2,则 8C 的长为()A.2A/7 B.4夜

8、C.2V3 D.4V324.在 RtzXABC 中，ZC=90,若 AB-AC=2,B C=8,则 AB 的长是.25.如图，在ABC中，ABAC,NBAC的平分线AO交BC于点O,E为AB的中点，若BC=2,A D=8,则 E 的长为.26.如图，在ABC 中，A D BC,垂足为。，ZB=60,ZC=45.(1)求/B A C的度数.(2)若A C=2,求AO的长.，直通中考一.选 择 题（共 6 小题）1 .下列四组数中，能构成直角三角形的是（）A.8,1 0,7 B.2,3,4 C.2,1,5 D.近,我2 .在下列条件：/A+/B=/C；ZA：Z B：NC=1：2：3；NA=NB=2

9、NC；ZA=1 ZRJLZ C；/A=N B=1NC 中，能确定 A B C 为直角三角形的条件有2 3 2（）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个3 .有一个边长为1 的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了 2 0 2 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A.2 0 2 2 B.2 0 2 1 C.2 0 2 0D.14 .如 图，在 A 8 C 中，乙4=4 5 ,Z B=6 0 ，点。在边4B上，且 B D=8 C,

10、连接C D,则N A C。的大小为（）AA.3 0 B.2 5 C.1 5 D.1 0 5 .如图，A,B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为I 的正方形，点 C也在格点上，且 A B C 为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应 该 有（）个.6.如图，己知：6 MO N=3 0 ,点4、6 2、加在射线。N上，点B i、6 2、8 3 在射线O M ,A 1 B 1 A 2、A A 2 B 2 A 3,A 3 8 3 A 4均为等边三角形，若0 4 =1,则&B 7的边长C.3 2 D.6473二.填 空 题（共 6 小题）7 .已知 R tZ A B C,N C=9 0 ,AC=

11、,B C=3,则 A 8=8 .如图，在等边 A B C中，8 _ LA C于点。，若A 8=8,则A O=.1 0 .已知a、b、c是A B C的三边的长，且满足J+2/+c 2 -2人（a+c）=0,则此三角形的形状为.1 1 .如图，在 A 8 C中，Z C=9 0 ,D E垂直平分斜边A B,分别交A 3、B C于D、E,若Z C A B=Z B+2 8a,则N C A E=12.如图，已知ABC的角平分线CD交AB于。，DEUBC交A C于E,若。E=4,AC=13.如图，在ABC 中，AB=AC,ZA=36,B。平分NABC 交 4c 于点 D求证：AD=BC.14.如图，在RtZABC中，ZC=90,AC=8,AB=10,A 8的垂直平分线分别交AB、4 c于点。、E.求A E的长.15.如图，在四边形 A2CD 中，ZB=ZD=90,ZC=60，AB=5,AD=2.(1)求CO的长；(2)求四边形A5CZ)的面积.1 6.已知：如图，在四边形ABCQ中，NA8C=NAQC=90,点E是A C的中点.(1)求证：BE。是等腰三角形:(2)当NBCD=时，BE。是等边三角形.