北京市西城区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案与解析）.pdf

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1、绝密启用前北京市西城区2022 2023学年度第一学期期末试卷九年级数学（时间：120分钟 满分：100分）注意事项：1 .试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。2 .作答前认真阅读答题卡上的注意事项。3 .考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回。第一部分选择题一、选择题（共 1 6 分，每题2 分）1.二次函数丫口仪口2）2口 3 的最小值是（）A.3B.2C.D2 D.032.中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分，在中国传统社会中，扇面形状的设计与日常生活中的图案息息相关，下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）3.下列事件中是随机事

2、件的是（）A.明天太阳从东方升起B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯C.平面内不共线的三点确定一个圆D.任意画一个三角形，其内角和是5404.如图，在。中，弦 AB,相交于点尸，NA=45,Z4PD=8 O,则 的 大 小 是（）BA.35 B.45 C.60 D.705.抛物线y =-2/+l通过变换可以得到抛物线y =_ 2（x+i y+3,以下变换过程正确的是（）A.先向右平移1个单位,再向上平移2 个单位B.先向左平移1个单位,再向下平移2 个单位C.先向右平移1个单位,再向下平移2 个单位D.先向左平移1个单位,再向上平移2 个单位6.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式（每两队之间

3、都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请x个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（）A.2x=15B.x(x+l)=15C.x(x-l)=15D.=1527.如图，在等腰“WC中，N A =1 2 0。，将AABC绕点。逆时针旋转a（0 a =侬 2+加+2（。/0）中两个变量x与y的5组对应值，其中玉 1-根据表中信息，当-*x0时，直线了 =左与该二次函数图象有两个公共点，则左的取值范围是2X-54x213ym020inA.一 Z 267B.-k 26C.2 k -3D.2 k 上一点，则 用 的 值 是,点M 关于原点对称的点的坐标是1 4 .已知二次函数满足条件：图像象过原点；当

4、xl时，随x的增大而增大，请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：.1 5 .如图，在平面直角坐标系x O y 中，以点A（Jl0）为圆心，1 为半径画圆，将 0A绕点。逆时针旋转a（0 a 1 8 0）得到。A,使得。A 与 y 轴相切，则。的度数是.1 6 .如图，AB是。的直径，。为。上一点，且 A5LOC,P为圆上一动点，M 为/的 中点，连接 CM,若。的半径为2,则CM长的最大值是三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）1 7 .解方程：x2-4 x+2-01 8.已知：点A,B,C在

5、。上，且Z B A C =4 5 .求作：直线/,使其过点C,并 与 相 切.作法：连接0C；分别以点8,点C为圆心，0C长为半径作弧，两弧交于。外一点。;作直线C D.直线CD就是所求作直线/.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明.证明：连接QB,B D，：O B =O C =B D =CD,四边形O 8 D C 菱形，.点A，B,。在上，且N B 4 C =4 5,N B O C=0（）（填推理的依据）.四边形OBD C是正方形，/。8 =9 0,即；。为半径，直线CD为。的 切 线（）（填推理的依据）.1 9,已知二次函数y=-2 r-3.（1）将y=

6、x 2 2 x 3化成丁 =。（%一/?）2+4的形式，并写出它的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；（3）当-l x ，若2%=+5,求加的值.24.如图，在44BC中，A B A C,NB4C=9 0,点。是AC上一点，以。为圆心，Q4长为半径作圆，使。与 相 切 于 点。，与AC相交于点EU过点B作 防 A C,交互)的延长线于点F.(1)若A5=4,求O。的半径；(2)连接8 0,求证：四边形3EEO是平行四边形.25.跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着 陆 坡 上 的 点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物

7、线的一部分，这里Q4表示起跳点A到地面的距离，0C表示着陆坡3 c的高度，08表示着陆坡底端8到点0的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满1 ,足函数关系：=一一x2+bx+c,已知。4=70m,OC=60m,落点P的水平距离是40m,竖直高度16(1)点A的 坐 标 是，点P的坐标是;(2)求满足的函数关系)，=-!-9+区+616(3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离.26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线)=加+瓜+。()的对称轴为直线为=/,且

8、3 a+2 b+c =Q.(1)当c=0时，求r的值；点(2,y),(1,%)，(3,%)在抛物线上，若a c 0,判断3，力与%的大小关系，并说明理由.27.如图，在中，AC=BC,Z ACB=90,ZAPB=45,连接C P,将线段CP绕点。顺时针旋转 9 0。得到线段CQ,连接A Q.（1）依题意，补全图形，并证明：AQ BP.（2）求 NQAP度数；（3）若 N 为线段A3的中点，连接NP,请用等式表示线段NP与 CP之间的数量关系，并证明.2 8.给定图形W 和点p,Q,若图形W 上存在两个不重合的点M,N ,使得点P关于点 的对称点与点。关于点N 的对称点重合，则称点尸与点。关于图

9、形W 双对合.在平面直角坐标系X。），中，已知点A（-l,-2）,8（5,-2）,C（-l,4）.（1）在点。（-4,0）,（2,2）,f（6,0）中，与点。关于 线 段 双 对 合 的 点 是；（2）点 K 是x 轴上一动点，0K 的直径为1.若点A与点T（0,r）关于Q K双对合，求t的取值范围；当点K 运动时，若AABC上存在一点与O K 上任意一点关于O K 双对合，直接写出点K 横坐标4 的取值范围.参考答案一、选择题（共16分，每题2分）1 .二次函数丫口住口2）2 口 3的最小值是（）A.3 B.2 C.0 2 D.0 3【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的性质解答即可.【详

10、解】二次函数尸口乂-2 口 2+3 1当 x=2 时，最小值是3 口故选A D【点睛】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键.2.中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分，在中国传统社会中，扇面形状的设计与日常生活中的图案息息相关，下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()【答案】c【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转18()。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图

11、形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.3.下列事件中是随机事件的是()A.明天太阳从东方升起B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯C.平面内不共线的三点确定一个圆D.任意画一个三角形，其内角和是540。【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的定义，

12、逐项判断即可求解.【详解】解：A.明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意；B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；C.平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意；D.任意画一个三角形，其内角和是5 4 0 ,是不可能事件，故本选项不符合题意；故选：B口【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键.4.如图，在中，弦 AB,C。相交于点P,NA=4 5

13、,4 4P=80。，则2 5 大 小 是（）A.35 B,45 C,60 D,70【答案】A【解析】【分析】根据三角形的外角的性质可得N C+N A =N A P D,求得/C,再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案.【详解】解：.NC+ZA=ZAPr,ZA=45,Z4PD=80。，Z C =Z A P D-Z A =80-45=35,.-.ZB=ZC=35,故选：A.【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.5.抛物线y=-2/+1 通过变换可以得到抛物线y=2（x+i y+3,以下变换过程正确的是（）A.先向右平移1个单位，再向上平移2 个单位B.先向

14、左平移1个单位，再向下平移2 个单位C.先向右平移1个单位，再向下平移2 个单位D 先向左平移1个单位，再向上平移2 个单位【答案】D【解析】【分析】由平移前后的解析式，结合平移法则即可得解；【详解】解：抛物线y=-2/+1通过先向左平移1个单位，再向上平移2 个单位可以得到抛物线y=-2（x+iy+3 ,故选择：D【点睛】本题考查抛物线的平移.熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键.6.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请x 个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（）A.2x=15 B.X（X+1）=15 C.x（x-l）=15 D.=

15、15【答案】D【解析】【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），X个球队比赛总场数=g x（x-1）,由此可得出方程.【详解】解：设邀请x个队，每个队都要赛（X-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得二-=15.2故选：D.【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系.7.如图，在等腰金。中，乙4=12 0,将“W C绕点C逆时针旋转a（0 a 落在BC上时，连接3 E,则N3ED的度数是（）A.30 B.45 C.55 D.75【答案】B【解析】【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得NABC=NACB=30,根据旋

16、转的性质，得BC=CE,NDCE=/D E C =ZABC=ZACB=3。,再 由 等 腰 三 角 形 和 三 角 形 内 角 和 定 理 得NCBE=Z.CEB=1(180-30)=7 5 ,即可求得 ABED=NBEC-ZC ED.【详解】解：.AB=AC,NA=120。，:.ZABCZACB3CP,由旋转得，BC=CE,ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30,NCBE=NCEB=1(180-30)=75,ABED=ZBEC-ZC ED =75-30=45,故选：B.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键.8.下表记录了二次函数

17、=侬 2+加+2(a w 0)中两个变量X 与 y的 5 组对应值，其中玉 1.根据表中信息，当-x0时，直线丁 =左与该二次函数图象有两个公共点，则上的取值范围是2X 5AX213ym020m()7 7 8 8A.&2 B.攵 4 2 C.2%D.2 Z 4 6 6 3 3【答案】C【解析】【分析】根据表中数据得出对称轴x=-l,进而得到抛物线与X 轴的交点，利用交点式得到2 4 5y =a(x+3)(x-l),从而得到二次函数表达式为y =x 2 x+2 ,根据当一不 0时，直线Oy =与该二次函数图像有两个公共点，可得2 Z .一 5+3【详解】解：由(-5,6)、(3,加)可得抛物线对

18、称轴=，一 =一1,又由(4 0)、(1,0)以及对称轴x=-l 可得%=-3 ,.-.(-3,0),(1,0),则设抛物线交点式为y =a(x+3)(x l),y =a(x+3)(x-1)=(产+2 x-3=ax2+2 ax-3a 与 y=ax1+fe x+2(a H 0)对比可得 3 a =2,解得a =g,2 c 4 0*二次函数表达式为y=厂百工+2，当X =一|时,y =一(|+3 代 一 H；当尤=0时，y =2；当x=-l 时，y=-(-i+3)(-1-1)=-,7 Q c.一 2 一，当一一 x r；点P 在圆上o d =r；点P 在圆内=d r,，点。在外，故答案为：外.【点

19、睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：点P 在圆外O d r；点P 在圆上=d =r；点P 在圆内=是解题的关键.11.若关于刀的一元二次方程f+3 x+c =O有两个相等的实数根，则。的值为.9【答案】-4【解析】【分析】根据判别式 =（）求解即可.【详解】解：一元二次方程/+3%+=0 有两个相等的实数根，*-A=32-4 c=0，9解得c=：.49故答案为：一.4【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a#）的根的判别式=b2 4ac：当 （）,方程有两个不相等的实数根；当=（）,方程有两个相等的实数根；当 点M关于原点对称的点的坐标是（-3,-6）,故答案为：6,（-3,-6

20、）.【点睛】本题考查了二次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征，求得点M（3,6）是解题的关键.14.已知二次函数满足条件：图像象过原点；当x i 时，y 随x 的增大而增大，请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：.【答案】y=V-2 x（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质可以得出各系数的取值范围，举一例即可.【详解】解：图像过原点，二可以设解析式为：y=ax（x-xl）,当X 1时，N随x的增大而增大，a0开口向上，且对称轴x =?4 1,即X）0,再 4 2均可.故答案不唯一，如：y=X2-2 x .【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与各系数

21、间的关系是解题的关键.15.如图，在平面直角坐标系x O y中，以点A（0,O）为圆心，1为半径画圆，将A绕点。逆时针旋转。（0 1 8 0。）得到。4 ,使得OA与y轴相切，则a的度数是.【答案】4 5 或1 3 5。【解析】【分析】分析可知：Z在以。为圆心，夜 为半径的圆上运动，分情况讨论，当“转到A时，Q A=夜，作轴与点8,利用勾股定理可知0 3 =1,进一步可求出旋转角度为4 5；当4转到A时，。=&，作A C L x轴与点C,利用勾股定理可知O C =1,进一步可求出旋转角度为1 3 5。.【详解】解：A（夜,0）,将OA绕点。逆时针旋转a（0 a /疔 一 俨=,，必%为等腰直角

22、三角形，N6 0 A =4 5 ,N AQ 4 =4 5,即旋转角度为4 5；当工转到4时，。4 =血，作A C J _ x轴于点C,；0 A”半径为1,与y轴相切，C4 =1,由勾股定理可得：o c =ylA O2-A C2=7 /22-12=1 O C 为等腰直角三角形，A ZC OA =4 5 ,N A Q 4”=1 8 0-4 5 =1 3 5,即旋转角度为 1 3 5；故答案为：4 5 ,1 3 5【点睛】本题考查圆与切线，旋转，等腰直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，旋转，理 解/在 以。为圆心，、历 为半径的圆上运动.1 6.如图，A B是 的 直 径，C为。上一点

23、，且A3 _ L 0 C,P为圆上一动点，为A P的中点，连接C M,若。的半径为2,则。0长的最大值是.yLBC【答案】逐+1#1+逐【解析】【分析】连接QM,P B,取A 0中点。，连接CO、DM、PB,A8是。的直径，可推出乙4尸5=90和44004/1。3,由此可知NB=NAMO=9 0 ,则M在以AO为直径的圆上，当与。点重合时，CM最大，根据AB_LOC求出CO长代入即可.【详解】解：连接,PB，V 是。的直径，NAPB=90。，为AP的中点，。为的中点，*AAMO APB,：.ZAPB-ZAMO=90,取AO中点。，连接CD、DM,.M在以A。为直径的圆上，.三角形两边之和大于第

24、三边，且0。的半径为2,；DM=L.当CM与。点重合时，CM最大，CM=CD+DM,ABLOC,；CD=yj22+12=V5，CM=逐+1，故答案为4+1.【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是9 0 及三角形的中位线的性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键.三、解答题(共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)1 7.解方程：x2-4 x+2 =0【答案】x,=2+7 2 D x2=2-V 2 D【解析】【分析】选用配方法可解此方程.【详解】解：x2-4x+2=0 x2-4x+4-2=0(x-2)2=2X-2=72

25、或 x-2=解得：内=2 +V x =2-2故答案为玉=2+0=2 0.【点睛】本题考查了选用适当的方法解一元二次方程.1 8 .已知：点 A,B,C在上，且4A C =4 5 .求作：直线/,使其过点C,并与。相切.作法：连接OC；分别以点8,点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于。外一点。；作直线CO.(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明.证明：连接。B,BD，OB=OC=BD=CD,，四边形Q B O C 是菱形，.点A,B,C 在。上，且 Nfi4C=45,/.ZBOC=（）（填推理 依据）.四边形O B O C 是正方形，/.Z O C D =9

26、0,即 O C J _ C O,0 C 为。半径，.直线C O 为。0 的 切 线（）（填推理的依据）.【答案】（1）见解析；（2）9 0 ；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空.【小 问 1 详解】解：补全图形，如图所示；【小问2详解】9 0 ；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键.1 9.已知二次函数y=

27、x2-2 r-3.（1）将-2 x 3 化成丫 =。（%一力）2+后的形式，并写出它的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；（3）当-l x 2 时，结合图象，直接写出函数值V的取值范围.【答案】（1）y =（x-4,（1,T）（2）见解析（3）T y 0【解析】【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可;(2)根 据(1)所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图像即可;(3)根据函数图像确定当-l x 2时对应的v的取值范围即可.【小 问1详 解】y-x2-2 x-3 2x+1 -1 3=(1)2 4.【小 问2详 解】列表如下：图象如图所示；：X0123y0-

28、3-4-30【小 问3详 解】由图象可得，当一l x 2时，-4 yx2=（X-1）2+22.解得，x =g.2：.0D=-.2:.S B O D=-OD BC=-.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理判断出0C是 A 8的垂直平分线是解题的关键.2 1.在 学 习 用频率估计概率时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这 4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1 个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，下图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果

29、.红球频数八0.75 80.75 60.75 40.75 20.75 0,0.74 80.74 60.74 42-0 1 0 0 0 2 0 0 0 30 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 70 0 0 8 0 0 0 9 0 0 0 1 0 0 0 0摸球次数/次（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是,其 中 红 球 的 个 数 是；（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率.【答案】（1）0.75,3I【解析】【分析】（1）根据图表中的频率分布可估计概率，

30、再利用总数乘以概率可得红球个数;（2）列出表格，利用概率公式计算.【小 问 1 详解】解：由图表可知：摸出红球的频率分布在0.75 上下，则可估计随机摸出一个球是红球的概率是0.75,红球的个数是：4 x 0.75 =3,故答案为：0.75,3；小问2详解】由（1）可知帆布袋中有3 个红球和1 个白球.列表如下：白红 1红 2红 3白白，红 1白，红 2白，红 3红 1红 1,红 2红 1,红 3红 2红 2,红 3红 3-可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有6 利 h即（白，红 1）,（白，红 2）,（白，红 3）,（红 1,红 2）,（红 1,红 3）,（红 2,红

31、3）,且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件Z）共有3 种结果，即（白，红1）,（白，红 2）,（白，红 3）,3 1所以 P（A）=一.6 2【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件4或 8的结果数目1,然后根据概率公式求出事件4或 8的概率.也考查了利用频率估计概率.22.如图，在四边形4BCD中，AC,8。是对角线，将点8 绕点C逆时针旋转6 0。得到点E，连接AE,BE,CE.B(1)求NCBE的度数；(2)若AACD是等边三角形，且Z4BC=30,AB=3,60=5,求跖的长.【答案

32、】(1)60(2)4【解析】【分析】(1)根据旋转的性质得到CB=C,NBCE=60,进而证明ABCE为等边三角形，即可得到答案；(2)首先证明ACEMAO C B,之后在RtABE中根据勾股定理得到破的长.【小 问1详解】解：将点8绕点C逆时针旋转60得到点E，：.CB=CE,NBCE=,.BCE是等边三角形,:.ZCBE=60.【小问2详解】解：.ACD是等边三角形，ACDC,ZACD=60,ZACE=ZDCB,又;CB=CE,：.AACE=ADCB,:.AE=BD，-BD=5,AE=5.vZCBE=60,ZABC=30,:.ZABE=90,在 RSABE 中，BE=yjAE2-AB2-.

33、AB=3,.BE=4.【点睛】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关定理是解题的关键.23.已知关于x的方程x?-2m x+1/一9 =0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为占，巧，且%2,若2%=+5,求优的值.【答案】(1)见解析；(2)-4.【解析】【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出八。，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；(2)解方程，再 由%，2玉=+5,即可得到关于机的一元一次方程，解之即可得出结论.【小 问1详解】证明：*.1 A =(-2m)-4 x l x m2-9)=4 m

34、2 4 m2+36=36 0.方程有两个不相等的实数根.【小问2详解】解：解方程，得.士图=网 殳,2 2，:X /，.,.玉=？+3,x2=m-3.2 x,=x2+5 ,2(m+3)=m 3+5.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算.24.如图，在“I B C中，A B A C,N 8 4 C =9 0。，点。是AC上一点，以。为圆心，Q 4长为半径作圆，使。与 相 切 于 点 ,与AC相交于点E过点B作 跖 AC,交 的 延 长 线 于 点(1)若A 6 =4，求。的半径;(2)连接8 0,求证：四边形3EEO是平行

35、四边形.【答案】45/2-4；(2)见解析.【解析】【分析】(1)连接。，由。与A3相切于点4与8 c相切于点。，得到NQDC=90。，O D =D C,由切线长定理得：8O=AB=4，由勾股定理求出3c=4也，即可得到。的半径.(2)连接A O,交0 B 于点H,由AE是。的直径，得到NADE=9 0.根据AB BC与。分别相切于点4 D,证得NAH0=9().得到08所.即可证得四边形3FEO是平行四边形.【小 问1详解】解：连接0 D,如图.F.在 AABC 中，A B=A C,ZR4C=90,。与A8相切于点/，NAC8=45.:。是。的半径，。与6 c相切于点，O D V B C.；

36、.N O D C =90。,O D=D C.AB=4，由切线长定理得：8D=AB=4，由勾股定理得：BC=42.；O D=D C =4y/2-4-二。的半径是4及-4.【小问2详解】证明：连接AD，交0 B 于点H,如图.AE是。的直径，F：.Z A D E =90.,：AB,8C与。分别相切于点/,D,BD=AB,ZABO=ZDBO.：.OBLAD.：.NAHO=90./.ZAHOZADE.：.O B/E F.BF/AC,：.四 边 形8 F E O是平行四边形.【点 睛】此题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键.25.跳

37、台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着 陆 坡 上 的 点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这 里。4表 示 起 跳 点A到地面。3的距离，0 c表 示 着 陆 坡3 c的高度，0 B表示着陆坡底端B到 点0的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度）（单位：m）与水平距离x （单位：m）近似满足函数关系：y -x2+b x+c,已 知Q 4 =7 0 m,（9 C =6 0 m,落 点P的水平距离是4 0 m,竖直高度（1）点A的坐标是,点P的坐标是;1 ,（2）求 满 足 的函数关系y =

38、-/+云+c；16（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡8 C竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离.【答 案】A（0,7 0）,P（4 0,3 0）；1 )3(2)y =-x +x +7 0；.16 2(3)18 m【解 析】【分 析】（1）0 4 =7 0 m,落 点 户 的 水 平 距 离 是4 0 m,竖 直 高 度 是3 0 m,即可得到点A、尸的坐标;（2）用待定系数法求解即可;（3）由OC=6 0 m,先求出直线BC的表达式，作MN y轴交抛物线和直线8 c于点M、N,用含未知数加的式子表示M N,再根据二次函数的性质进行判断即可.小 问1详解】解：.Q4=70m

39、,落点P的水平距离是40m,竖直高度是30m,.-.A（0,70）,P（40,30）；【小问2详解】解：把A（0,70）,（40,30）代入y=-?-/+云+01670=c得，I 1 ，30=X402+40/7+CI 16b=-解得，2,c=70y=-1 -x 2 +3 九 +7”0；16 2【小问3详解】解：*/OC-60m,设 直 线 的 表 达 式 为y=+60（左。0）,把 P（40,30）代入，得 30=404+60,3解得，k=1,43 5.y x+60,4设 加（加,-5加2 +|2 +7（）到8。竖直方向上的距离最大，作“N y轴交抛物线和直线8。于点M、N,OB x/.N(/

40、7 7,-1m +6 0 j,/.M N=-m2+m +7 0 i m +6 016 2 I 416 4-L(/2-3 6W+182-182)+10-(/M-18)2+1016v 4(/n-18)2+16V)41-(?-18)c 0,判断%,%与巴的大小关系，并说明理由.【答案】（1）4（2）3 V M【解析】【分析】（1）由3 a+a+c=0，c =0,可得3。+抄=0,根据对称轴为直线x =2即可求解；2 a（2）根据3。+2Z?+c =0,求得对称轴x =f=-二 的 范围,再将点（-2,y）根据对称性转化到对称轴右侧,再根据a c 0得抛物线开口向上，N随*的增大而增大，即可得出答案.

41、【小 问1详解】当c=0时，得3。+必=0,:.b=3 a23.L b _ 2a 3；2 a 2 a 4【小问2详解】/3a+2b+c=0,3a+c：.b=-,2b2 a3a+c22 a3Q+C C 3,-=-1 4 a 4 a 4/a c 0，4 a 43,.点(-2,y)关于直线x=t的对称点的坐标是(2r+2,y),7 c c，2z+2 4.2，l30,，当”/时，y随x的增大而增大.%x【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键.27.如图，在AABC中，AC=B C,Z A C B =90 ,ZA PB

42、=4 5 ,连接C P,将线段CP绕点。顺时针旋转90。得到线段C Q,连接AQ.(1)依题意，补全图形，并证明：AQ =B P.(2)求NQAP的度数；(3)若N为线段AB的中点，连接N P,请用等式表示线段N尸与CP之间的数量关系，并证明.【答案】(1)画图和证明见解析；(2)135(3)C P =0 N P ,证明见解析.【解析】【分析】(1)先根据题意画出对应的图形，只需要利用SAS证明ABCP/AACQ即可证明AQ=8P；(2)连接Q P,如图所示.先由等腰直角三角形的性质得到NCQP=NCPQ=450.再证明NAPQ=NCPB.由全等三角形的性质得到NCQA=N C P 8.则可以

43、推出NAPQ+ZPQA=45。，利用三角形内角和定理即可得到NQAP=180-/APQ-NPQA=135；(3)如图所示，延长P N 至 K,使得N K =P N ,连接A K.证明AANK乡ABNP.得到N K A N =4 P B N,A K =B P，则 AK 呼.进一步证明 NK4P=135.得到 NX4P=N Q A P.由此证明AKAP丝AQ A P,得到KP=Q P.在等腰直角PCQ中，C P =C Q,则 K P =Q P =：P,即可证明CP=&NP.【小 问1详解】补全图形，如图所示.证明：线段CP绕点C顺时针旋转90。得到线段C Q ,A C P =CQ,N P C Q

44、=90。,Z Z A C B =90,：.Z B C P =Z A C Q,A C =BC,：.BCPACQ(SAS)A Q =BP.【小问2详解】解：连接。P,如图所示.c由(1)可得PC。是等腰直角三角形，NCQP=NCPQ=45。.NCQA+NPQA=45。.,/NAPB=45,ZAPQ=NCPB.由 AB C P AACQ 可得 NC0A=NCPB.NAPQ+NPQA=45。.zLQAP=180-ZAPQ-ZPQA=135；【小问3详解】解；CP=N P，理由如下：如图所示，延长PN至K,使得NK=PN,连接AK.为线段A8的中点，二 AN=BN.ZANK=ZBNP,：.AAN K%B

45、NP(SAS).：.4KAN=4PBN,AK=BP.A AK/BP，AK=AQ.Z/C4P+ZAPB=180.,/ZAPS=45,ZKAP=135.ZQAP=35,：.ZKAP=ZQAP.由 ABCWAA C Q 可得 AQ=BP,：.AK=AQ,*/AP=AP,：.A/C 4 P AG 4 P（S A S）.KP=QP.在等腰直角PC。中，CP=CQ,：.KP=QP=&CP.：KP=2NP,CP=y2NP-【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.28.给定图形W和点P,Q,若

46、图形W上存在两个不重合的点M,N,使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-l,-2）,5（5,-2）,C（-l,4）.（1）在点。（Y,0）,（2,2）,尸（6,0）中，与点。关于线段4 5双 对 合 的 点 是；（2）点K是x轴上一动点，0 K的直径为1.若点A与点T（0,r）关于OK双对合，求t的取值范围；当点K运动时，若AA B C上存在一点与OK上任意一点关于。K双对合，直接写出点K的横坐标左的取值范围.【答案】（1）D,F；（2）（1）-2 6 -t 2+V3；或3 3+.2 2 2 2【解析】【分析】

47、（1）根据双对合的定义逐一判断即可得到答案；（2）由双对合定义可知随着直径G”的端点G,，在OK上运动，点4在以点/为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点N）,由此求出取值范围；口找出临界图形，计算可以求出取值范围.【小问1详解】由双对合定义可知：MN|PQ,MN=；PQ,A（-l,-2）,B（5,-2）,A B=6,AB|x轴，D（-4,0）,尸（6,0）,.00=4,O F =6,ODAB,OFAB,，。关于线段A 3的双对合点是。，尸;故答案为。，F；【小问2详解】设G H是0 K上任意一条直径，则G H =1.设点A1是与点“关于OK双对合的点，将点力和点4分别关于点G,H对称后重合的

48、点记为4,所以点G,，分别是AA2和A 4的中点.由三角形中位线的知识，可知A4=2G=2.随着点G,在0 K上运动，点4在以点4为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点Z）,将它记为S.因为点1与点7（0,。关于OK双对合，所以当S与了轴相交时，可求得f的值为_2-百 和-2+6.所以,的取值范围是-2-石 t -2 +y/3.当上的一点在AC上时，如图，则。K上离AC最近的点到AC的距离为：1+时I 2J存在，解得 k ；2 2当“R C上的一点在BC口 口 口 OK上的点离BC最近的点到BC的距离不大于1,3即K到BC的距离不大于一，2AC=AB=6,4=4=4 5 ,即BC与x轴的的夹角为45,.交点 M（3,0）,这时MK 4之 夜，2即 3 3夜 人 W3+3&；2 2综上所述：或3 V2 A:3H 22 2 2 2【点睛】本题考查新定义，能正确理解新定义并转化为所学知识解决问题是解题的关键.