江苏省扬州市2023届高三上学期期末考试数学试卷（含解析）.pdf

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1、江苏省扬州市2022-2023学年度上学期期末考试题-a=-w/,、一高二数学 2023.01试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）I.已知复数Z=i，（i 为虚数单位），则-z 2 的共轨复数的模是（）ZA.1 B.G C.亚 D.V72.已知集合 A=x|ln(x+l)2,8=y wZ|y=3sinx,则 A B=()A.0,1,2,3 B.0,3 C.3 D.03.设q,02M 3W R,则“4,42，生成等比数列”是“储+明（*+。

2、；）=（的 2+%。3）2”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了 400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分 至 100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组中 值（组中值=（区间上限+区间下限）/2）计算）,下列说法正确的是（）A.直方图中x 的值为0.035B.在被抽取的学生中，成绩在区间 70,80）的学生数为30人C.估计全校学生的平均成绩为83分D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分.已知K t anJ=3cos

3、2a,则sin 2 a=(B.C.D6 3A.36.在平面直角坐标系xOv中，M 为双曲线尤 2-y2=4 右支上的一个动点，若点M 到直线x y+2=0 的距离大于m 恒成立，则实数m 的最大值为（）A.I B.y/2 c.2 D.2V2 _7.如图是一个由三根细棒E 4、PB、PC组成的支架，三根细棒 小、PB、PC两两所成的角都为60。，一个半径为1的小球放在支架上，则球心。到点尸的距离是（）A.|B.2 C.G D.728.已 知 函 数 及 其 导 函 数 7（x）的定义域均为R,且 5x+2）是偶函数，记 g（x）=/（x）,g（x+l）也是偶函数，则广（2022）的值为（）A.-

4、2 B.-1 C.0 D.2二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.(请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.)9.如图，在正方体A B C Q-A B C q中，E 为 4 A 的中点，则(A.平面 BECB.平面 BECC.平面4 4 用8,平面3ECD.直线。与平面BEC所成角的余弦值为41 0.已知函数/(x)=sin2(x+夕)(0 夕。),若“X)与g(x)图象的公共点个数为“，且这些公共点的横坐标从小到大依次为不，演.4,则下列说法正确的有()21A.若九=

5、1,则左1 B.若=3,则=天+一sm 2X3 X32C.若=4,则%+/+D.若 k=-,则=202420234三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.(请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.)13.己知(2/+展开式中的各项系数和为2 4 3,则其展开式中含/项 的 系 数 为.14.已知同=0,6=(-1,0),(。-匕)_La,则“与人的夹角为 15.已知耳(-c,0),胤(c,0)为椭圆C:+马=1的两个焦点，P 为椭圆C 上 一 点(P 不在ya b轴上)，鸟的重心为G,内心为且则椭圆C 的离心率为.16.对于函数/(x)和 g(x),设a e 于x)=0,尸e

6、 x|g(x)=0,若存在a、夕，使得a-p 0)上一点.(1)求抛物线C的方程；(2)设点尸是该抛物线上一动点，点 M,N 是该抛物线准线上两个不同的点，且的内切圆方程为Y+y 2 =1,求P M V面积的最小值.2 2.已知函数f(x)=l nx-or+a,其中a w R.(1)讨论函数/(x)的单调性；若“X)在(0,1 上的最大值为0,求a的取值范围；若f(x)4 z_j _ _ 4为a为,ABC几何中心，所 以 2 3 3 3,易知对PAQ和POA,x P OP A _=P O 互=丁NP=NP,NPO,A=NPAO=9 0 ,所以PAQ 名P Q A,所以 的 A。，即 可“，解得

7、P O =j3故选：C8.C【详解】因 为 +2)是偶函数，所以/(5x+2)=/(5 x+2),两边求导得-57(-5x+2)=5 f(5 x+2),即一尸(一5+2)=/(5;(:+2),所以 g(5x+2)=-g(-5 x+2),即 g(x)=-g(-x+4),令 x=2 可得 g(2)=-g(2),即 g=0,因为g(x+l)为偶函数，所以 g(x+l)=g(-x+l),即 g(x)=g(-x+2),所以g(-x+4)=g(x+2),即 g(x)=-g(x+2),，g(x+4)=_g(x+2)=g(x),所以 4 是函数g(x)的一个周期,所以广(2022)=g(2022)=g(505

8、 x 4+2)=g(2)=0,9.ACD10.A B D【详解】因为函数/(x)=sin2(x+g)=+=-gcos(2x+2+g,因为函数/(x)=sin2(x+s)(0 *j的一条对称轴为x=q,jrb-r r jr所以 2x+2=E,(k Z),解得：=2 F,(k w&,又因为 0夕9，所以=1,9=5，则/(x)=-gcos(2x+m)+1,2 o 2 3 2对于A,函数/(x)的最小正周期丁 =兀，故选项A正确；对于B,/(。)=-+g=；，故选项B正确；对于C,因为所以兀+方曰，因为函数y=-co sf在(兀，日)上单调递减，故选项c错误；对于D,因为/(x-m)=-!c o s

9、 2 x+，令g(x)=|x|-/(x-F)=|x|+c o s 2 x-g，6 2 2 6 2 2当0时，g(x)=x+gcos2x-g,则 g(x)=l-sin2xN0,所以 g(x)在0,+)上单调递增，7T则 g(x)*g(0)=0,也即 艺)，6当 xvO 时，g(x)=-x+g co s2 x-g ,贝 ij g(x)=-l-s in 2 x 0 ,所以 g(x)在(一,0)上单调递7T减，则 gG)Ng(O)=O,也即 台)，O综上可知：国”口-高 恒成立，故选项D正确，11.B C D【详解】由+2+1)-2,得 +1 +2=(“,+2+1)2,即 J“+2=J%+2+1,又q

10、=2,再 +2=2所以 而 巧 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以+2=2+(-1)x1=+1,即 =2+2一 1,所以“2=7,故 A错误，C正确;=(“+1)2-2,所以%为递增数列，故 B正确；1 _ ,1 _ 1 1 a“+l n2+2n(+2)2(n+2 J)所以数列的前项和为1 1-：+卜；+卜:+-+1-7 +!一一二1%+l J 2(3 2 4 3 5 -1 +1 n n+2JI f 1 1 1 1 3 1(1 1)3=1 +-=-+-,故 D 正确.2(2 n+1 n+2)4 2(+1 n+2J 412.B C D【详解】对于A：当左=1时，令丫=而左一巴则 产 co s

11、 x-14 0,即 函 数 尸 s i n x-x有且仅有一个零点为0,同理易知函数y =finx r有且仅有一个零点为0,即 x）与 g（x）也恰有一个公共点，故 A错误；易知在x=*3，且即（万,2 I）,/（X）与 g（x）图象相切,由当X（7 152 Tt）时,f（x）=-sinx,则 r(x)=-co s x,g (x)=&,故k=-cosx,-爪=也从而a 所以1+x3=t a n x3+1 l +ta c o s F O +t a/w)2co s x3 t a n x37故 B正确;s i n 2X3t a n x3 t a n x3则占=0,乃 七 2 万，所以西+王 7r-x

12、2,即有X 3+X 2 2+X 4 ,故 c 正确；对于D：当A =时，由等9=g（Ul包 =1，f（x）与g（x）的图象在了轴右侧的2023%2 2 7前 1 01 2个周期中，每个周期均有2 个公共点，共有2024 个公共点，故 D正确.兀1 3.8 01 4.41 5.1【详解】设 P（M，%）&xO）,由于G 是尸耳鸟的重心，由重心坐标公式可得6仁,康 由 于 GM/F；鸟，所以”的纵坐标为加=年,由于“是 耳 鸟 的 内 心，所以Pf；丹内切圆的半径为厂=由椭圆定义得伊可|+忸周=2以后用=2c,S P F2t =S“弓 可+5,呻,+5用 防=；|工|小。|=；（|耳用+|尸闾+内

13、尸|）苧，2c l y()|=(2a+2c)=a=2c =e=；1 6.2 3【详解】因为1)=0,且函数=为单调递增函数，所以1为函数%)=6 1 +-2的唯一零点，设函数8(幻=2-依-+3的零点为方，又因为函数/(x)=ex-+x-2与g(x)=d-a r-a +3互为“零点相邻函数”，所以解得0%2,所以函数8(%)=/-以-+3在(0,2)上有零点，0 -2-a2所以 g(0)-g 0或 5 0,A =a2-4(-a+3)=0 g 0g(2)07即 a 3或a=2或2 a 3,所以2 4a 3.1 7.【详解】(1)由题意得。e-%=2-(一1)”,所以生”=(生”一 生,1 )+(

14、出,1 一 生”-2)+(%-4 )+4=2-(-1)2-1+2-(-1)2，-2+2x(-1)+!=-2+1 =-1.(2)设数列 ,的公比为。，因为a“+i =a+2-(1)，所以 a?=4 -2,a3=a2+2,两式相加得见 =q =q，所以 q =1 ,当4 =1时，%=4=4-2不成立，所以“=-1 ,。2=-4=4-2,解得=1.i1c8 .、【*详 解】八(、1n)-1因 为t an B =s i n A +-s-i n-C即-n n-s=i n B -s-i n-A-+-s-i-n C-c o s A +c o s C c o s B c o s A+c o s C所以 s i

15、 n B o o s A+s i n B c o s C=c o s B s i n A+c o s B s i n C,即 s i n Bcos A 一 c o s B s i n A =c o s B s i n C-s i n B c o sC,所以 s i n(8 -A)=s i n(C-B),因为OVAV T C,0 8兀，所以一兀vB-Av兀，同理得 一 兀VC BV TC,所以 B A =CB或(8 A)+(C 3)=兀(不成立)，所以2 B=A +C,结合A+B+C =TT得8 =g.1 x y 2 ,2 _ r 2(2)由余弦定理C O SB =L =区二 匕 得，ac=a2

16、+c2-b2,2 2ac a c-a2=c2-b2,则与以三三T，b h2 b2 b)由正弦定理得，-=s i n C,b s i n B 3因为 8 =工，A +C =,0 A -,0 C ,所以二 vC 工，s i n C 所以A尸=b=J 5,又AC1=瓜,则=A尸+CF：所以 又 A F cB E =F,所以G F J平面ABED,设点D到平面BC、E的距离为h,因为 S c、BE =X2X/3 =石,S m F=-X 1 X 6=,且 V.DBE =D-Q BE，所以 gx/lX S JBE=；X C/*S “BE，解得/?=弓；(2)由(1)建立如图所示空间直角坐标系：则。T,-r

17、 6(0，。，石)，8(0，1，0)以 0,-1,0),4(鱼 0,0),/所以BuuA=(z G,、uiu iiL ni 1 iiuurT,0),BE=(0,-2,0),因为,uur uun uun uim i uuur(J3所以 3尸=3+DP=5O+OG 二 号,一2,设平面BEP的一个法向量为m=(x,y,2),f-2y=0tn-BE=0)则 八，即 白 c G Zm BP=0 x-2 y +z=0I 3 3令x=l,得 7 =(1,0,-1),易知平面BE4的一个法向量为”=(0,0,1),U 1/-所以COS(/1r?,r 六m 翱n=一3/2，则(/I八T rx)=3彳冗，易知二

18、面角P-3 E-A 的平面角是锐角，TT所以二面角尸-比-A 的大小为72 1 .【详解】(1)因为点。(1,2)是抛物线C：V=2 p x(p 0)上一点,所以4 =2p,解得：p=2,所以丁=4 x.(2)设点一伍，儿)，点M(L a),点N(T)，直线PM方程为：一?=%詈(+1),化简得(为一加)光一5+l)y+(%-m)+加(为+1)=0._ P M N 的内切圆方程为r+丁=1,.圆心(0,0)到直线PM的距离为1,即|%一?+?(为+1)二，(%-?)2+伍 +1)2故(y0-i p +(%+1=(%-?+2m(y0-m)(x0+l)+m2(x0+1)2.易 知 上 式 化 简

19、得，(%1)加2+2%6 (与+1)=。.同理有(为-1)2+2%-(毛+1)=0,.?，”是关于f 的方程(改)-1)/+2 卬-(毛+1)=0的两根.一 2%(x0 4-1)/.m+n=4-,m n=-L J l_L.*o -1 Xo-1|M N=(/n-r t)2=(m+/?)2 4),+4(.%+1).尤=4 方,.-.MN=2、卜。+4 x=l ,丫(%0-1)1 v(%-1)点尸(飞，九)到直线户 1 的距离为d =X。+1，所 以 PMN面积为S =；|M N|-d =；x 2(片+4%-1)(%+1(片+4/T)N 5-1)2令 号=，(，。)，则$=户 粤 三i=交手却，因

20、为 产+将 2，1=8,1 0 r +y 2 1 0 r-y =4 0,当且仅当f =2 取等，所 以 旌 1 8 +4 0 +3 2=4故-P M N面积的最小值为4 百.2 2 .【详解】fx)=-a,若,则有f (x)0 ,/(x)当 O V x V：时，/(x)X),当x 一时，f(x)0,/(x)单调递减；(2)由(1)的讨论可知，当aWO时，x)单调递增，在x 0,l 满足题意；单调递增；/(x)单调递增，/四 =。，当时，在x 0,l ,6 3=1)=0,满足题意；当 0 ，,在 x e(O,l,/(x)ma x=/(：)=l n 5-l +a =a-l n a-l ,1 r _ 1令 g(x)=x-l n x 1 ,则g(x)=l _=,当x l 时，g (x)0 ,g(x)单调递增,，g（x）g =。，即a T n a-l 0 ,不满足题意；综上，的取值范围是。工1 ;由题意，kN l,n x ax+a l-2x-21nx，显然0=1 -2x-21nx 是存在唯一的不减函数，k使得（玉）=。，当xZ）时，h（x）0,l-2 x0-21nx0=0即2 (x)a 3A：2-3x+1,A=32-3x4 3 x2-3x+l 0，满足题意;综上，的取值范围是。VI,k的最小值是3.