河南省2022-2023学年高三上学期第一次月考试卷数学试题（解析版）.pdf

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1、河南省顶 级名校2023届高三上学期第一次月考试卷数 学（答 案 在 最 后）、选 择 题（本题共 12小题,每小题5 分,共 60分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.）1.已知复数Z满足l+zi=z-i,则2=（）A.i B.-i C.1 D.-1【答案】A【解析】【分析】由题 设l+i=（l i）z,利用复数的除法求z.【详解】由题 设,l+i=（l-i）z,则2=竺=i.1-i 2故选:A2.已知集合用=川关于的方程+2加=0无实数根,N=|方程丄+=1表示椭 圆,则M p|N=（）2 10-nA.（2,8）B.点（w）|0 v机8,2vl0C.（2,6）u（6,10

2、）D.（2,6）u（6,8）【答案】D【解析】【分析】利 用/0求集合A,根据曲线表示椭 圆求集合8,再应用集合的交运算求M c N.【详解】由X?g+2机=0无实根,则 =8，0,即（）m 0由-L +_ Z _ =i表示椭 圆,则0 0,可得26或610,n-2 0-n 0 2 w10 所以优|0 z8,N=|2 v6或610.故 MC|N=（2,6）D（6,8）.故选:D3.已知边 长 为2的等边48 c o为其中心,对|A5+8C+CA=6；A月=2；|砺+砺+西=0；3前j-。=2这四个等式,正确的个数是A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】对于:根据向量线性运算整

3、理可得通+册+刀=0,理解判断:对于、:根据向量数量积的定义。=|W W c o s 6,代入运算判断,注意对向量夹角的理解;对于:根据G为三角形的重心0 +G豆+6=6,理解判断.【详解】对于：A B+B C+C A =A C +C A =Q则|而+及+=0,.错误;u u n u m n u i n u u u i i对于：AB-A C =A B A C c o s A =2 x 2 x =2f.,正确;2对于:根据题意可知。为等边 A 5C 的 重 心,，。4+0 月+=0则|函+砺+1=0,.正确；对于：3 A O-O B =3AOOBCOS(TI-Z A O B)=3 x -x -x

4、 =2，.正确;故 选;C.4.如图是某市连续1 6日的空气质量指数趋势统计图,空气质量指数(A Q I)小 于 1 0 0 表示空气质量优良,空气质量指数大于2 0 0 表示空气重度污染,则下列说法不正确的是()空气质加指数(AQI)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 日期A.这16日空气重度污染的频率为0.5B该市出现 过 连 续4天空气重度污染C.这16日的空气质量指数的中位数为203D.这16日的空气质量指数的平均值大于200【答案】D【解析】【分析】通过 计算可以判断选 项ABC正 确,选 项D不正确.【详解】解:这16日空气重度污染的频

5、率为=0.5,故A中说法正确;1612日，13日,14日,15日连 续4天空气重度污染,故B中说法正确:中位数为丄x(192+214)=2 0 3,故C中说法正确;2x=200+x14+75+43+M 3)+(-120)+(-48)+60+(-117)+M 0)+(-21)16+(-62)+14+21+63+23+(-8)=200-v 200.故 D 中说法不正确.16故选:D5.执行如图所示的程序框图,如果输出s=3,那么判断框内应填入的条件是()/输出 贏)A.k6?B.k7?C.k8?D.k 0时，y 是减函数，排除Ae 1故选8【点睛】本题主要考查的是指数式与对数式的互化，指数函数的图

6、象和性质的综合运用，以及函数的定 义 域,值域，单调性，函数恒过定点问题，属于基础题.7.已知矩形ABC。中,A6=4,A。=3.如果向该矩形内随机投一点P,那么使得AABP与AADP的面积都不小于2的概率为1 1 4 4A.-B.-C.-D.一4 3 7 9【答案】D【解析】由题意知本题是一个几何概型的概率,以AB为底边,要使面积不小于2,由于 S.ABP=AB xh=2h,则三角形的高要/?1,同样，点 到 的 距 离 要 不 小 于,满足条件的P的区域如图,其表示的区域为 图中阴影部分,它的面积是(4-g (3-1)=?,16.使 得 48尸与d O P的面积都不小于2的概率为:4.4

7、x 3-5故选D.8.已知正方体ABC BiGOi中,点E是线段 靠近点。i的三等分点,点,6分别 为G A,SC的中点.下列说法中正确的是()A.A,C,E,四点共面B.AA与B 所成夹角为60 C.BG平面 ACGD.三棱锥D ACDX与三棱锥B ACDi体积相等【答案】D【解析】【分析】根据两平行线确定一个平面,以及两平面相交时交线唯一即可判断A,根据向量垂直可得直线垂 直,进而判断B,根据线面平行得矛盾可判断C,根据等体积法即可判断D.建立如图所示的空间直角坐标系;设正方体的棱长 为3,则E(l,0,3),A(3,0,0),F：|,|,3 ,C(0,3,0)，(,0,3)由(3,3,3

8、),D(0,0,0)必=(-3,0,3),亜=(-3,-3,-3),取 的中点为M,则M F/A G,又AG/AC,因此仆/AC,故A，C,尸,四点共面,又平面假如直线A E u平面A C E 0,则 这与平面A A与平面ACFM的交线是4 0矛盾，故C,旦 四点不共面，A错 误;_ _ _ ,U U L I U U U故 的-4。=9+0 -9=0,所以A R丄/,进而A 与 耳。垂直，故B错 误;因为BC7/A。,AOu平面AC。,8C 平面A C?,所以8C7/平面A C ,若6G/平面 A C R,则平面8 G C /平面A C?,显然矛盾,故C 错误:勿 4CD）=%-ACD，ACR

9、=匕AC8,由于AC。三 ABC,故底面和高均相等,因此体积相等，D 正确.故 选:D9.有一个圆台型的密闭盒子（表面不计厚薄），其母线与下底面成60。角,且母线长恰好等于上下底半径之和,在圆台内放置个球,当球体积最大时,设球的表面积为$,圆台的侧面积为$2,则（）A.S,S2 B.0,0w（O,兀）在区间 一，上恰有一个最大值和个最小值,则0的取值范围是（）9A.2,6）B.2,1 3 3 .C.一,D.一,62 2丿1 2【答案】B【解析】TT/、兀兀【分析】根据函数奇偶性求出=一,从而/（x）=s i n ,根据xe 得到2一 3 4 一S X G.-,列出不等式组,求 出 的取值范围.

10、【详解】因为 x）=c o s（x+30,。（0,兀）为奇函数,所以=,即/（x）=-s i n,当时,贝 S X ,3兀2 兀 兀 3 2所以7 1 (071,3 兀 09解 得:G 2,-故选:B1 1.已知8是抛物线C:=4上两动点,为抛物线C的焦点，则下列说法错误的是（）A.直线A B过焦点时,IA却 最小值 为4B.直线A 3过焦点且倾斜角为60。时(点A 在第一象限)，|A尸|=2忸冃C.若 A 3 中点M 的横坐标 为3,则|A网 最大值 为8D.点A 坐标(4,4),且直线AF,4 5 斜率之和为,A 与抛物线的另交点为,则直线3。方程为:4x +8y +7=0【答案】B【解析

11、】【分析】对于 A,易知当A 3 垂直于x轴 时，目 取最小值4,故 A 正确;对于 B,联立方程求得与,从而得到|=可 冃,故 B错 误;对于 C,由冃+怛冃可推得当直线A B过焦点时，|A却 最大值 为8,故 C 正确:对于 D,利用条件分别求出A 的坐标，从而求得直线5。的 方 程,故 D 正确.【详解】解:直线过焦点,则由 焦 半 径 公 式 得|用=+=+/+2,当垂直于轴 时，|AB|取最小值,此时|相|=1+1 +2=4,故A 正确;对于 B选 项，由题可知，直线A 8为y =g(x 1),代 入 =4 x,整理得3m+3 =0,解得x =;或 x =3,所以|A|=3+q=4,

12、|叫=；+夕;即AF=3 BF,故 B错 误;对于 C,由于A 3为两动点，所以|8闫4 冃+忸 冃=+/+2=8,当且仅当直线A B过焦点时等号成立,故C 正确;对于 D选 项,依题意 知 亂=心,(1,0),所以k/_ 如.4”一 3 应 量 ”+%,解 得 如=-1,即。4 4 4 厂%.4因为直线AF,A B 斜率之和为0,所 以 3 +%,解4-449 k/-Qi)1得 =一 7,即8,一7,所以。49 1-2-0）.己知=2,弓3=。6 1+1，记这 2个数的和为S.下列结论正确的是（）a a 2 a 3 a na2 a22 a23 a2na3 4 3 2 a33 a3nB-Z占

13、限=-1-0-3-x-3-*-5-k=-D.5=丄（3+（3_a2%3 0 A.m=4C.%=（3，-1）x3，【答案】D 解析:【分析】由题知2=2+（6-1）+1,解方程得加=3,再根据等差数列与等比数列通项公式得%=（3i-l3/T,a=（3 Z-l 3 i,进而根据分组求和和错位相减法求解依次讨论B,D选项即可得答案.【详解】解:4 =2,4 3 =4|+1，.-.2m2=2+（6-l）m+l,解得加=3或 ;（舍负）,故 选 项A错误;,%=%-3=2+（z-1）-3-37-1=（3Z-1）-37-）即选项C错误;.=（3-1）-3,令 T=Z ukk,则 T=4 +之+a淑=2 3

14、+5 31+8 3+（3-1）3火 3T=2 3+532+81+（3 V-4 31+（3无-4）小 一得,-2T=2+3+332+333+.-+33 1（3%13&3（1-3*2+3x-1-3_（3 1）2丿 24二 丿.丸当=18时,、。=吗当,即选项8错误;4 1 4 2丿 4S=（4i+0|2+-+,）+（021+/2 +.+”2，）+.+（4，1 +an 2+,）为 0 3）21（1-3）册（1一3）=-1-F H-1-3 1-3 1-3=万（3-1）.（即+%+,+%）=;(3 +(3-1),即选项D正确故 选:D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.x0,13.已知实数

15、X，y满足,X V y,贝 z=x+2y的 最 小 值 是.x+y 2,【答案】3【解析】【详解】分析:先作可行域,再平移目标函数所代表的直线,结合图形确定最小值取法.详解:作可行域,所以直线z=x+2y过点A(1,1)时z取最小值3.点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是:一，准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对 应的直线 时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错:三,一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14.若直线=x+。和直线y=将圆(xl)?+(y 1)2=1的周长四等分，则a-t=.【答案】2【解析】【分析】

16、由条件可得直线=+。和直线了 =+间的距离为、反,由此可求可的值.【详解】设直线=+口和圆(x l+(y l)2=l相交与点8,直线y=x+6与圆(1)2+(1)2=1相交于点”,双，圆心为C,因为直线 =+。和直线=尤+将圆(x1)2+(-1)2=1的周长四等分,所以圆心位于两直线之间，且/ACB=NMCN=,2万所以ACS为等腰直角三角形，所以圆心为C到直线=+。的距离为,2同理可得圆心为。到直线y=x+的距离为,2故直线=+。和直线 =+间的距离为、回,所以 厂4=J 5,所以4=2,V2故答案为:2.15.在 钻。中,tanB=4tanA,则当-A取最大值 时,sinC=【答案】1【解

17、析】【分析】利用基本不等式和三角函数两角和与差的公式,直接计算即可求解.【详解】在 钻。中,tanB=4tan4知tan A 0,且 8-A tanA=时取等号,2 =tanx在1,单调递增,则此时8 A取最大值,且tanB=2,、sin A-sin B tan A x tan 8=-cos A-cos B1 ,sin Asin B=cos Acos B,得 cos(A+B)=0,+8sin(A+B)=l,sinC=1.故答案为:116.过双曲线 =l(a0,0)的右焦点尸作其中一条渐近线的垂线,垂 足 为Q,直a b2线 Q与双曲线的左、右两支分别交于点”,N,若|MQ|=3|Q N|,则双

18、曲线的离心率是在 M F 中,由余弦定理得|M=|+|附 2忻用cos。,M F F M -2 a代入整理后得忻=-一=,ccos0-a b-ah2 h2同理|*v|=-=,ccosO+。b+ab2.MQ=FM-QF_-b_ b +a _西一|加一|砲|一 口 九b+a所以。=丄 ,故离心率为、6.三、解答题（共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试 题考生都必须作答.第22、23题 为 选考题,考生根据要求作答.）17.已知数列 中q=1.M。,1）,（2,a）,B（3,2a,m 一3）为直角坐标平面上的点.对任意“e N*,仞、纥三点共线.（1）求数

19、列 q 的通项公式:1 1 1 1 3（2）求证:-H-1-1-.円 2a4。3 a5 anan+2 4【答案】（1）an=n（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标表 示:a/b o xxy2=x2y,整理得”,用一=1,即可判断数列 是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解;（2）根据裂项相消求和,丄邛1 +2,代入运算理解.【小 问1详解】由题意得:価=（1,q一1）,碗;=（2,2 a,出4）,、纥三点共线,则 M 4 M纥,可得 22 =2%+|-4,G P +1-=1.数列 为 是首项为1公差为1的等差数列,所以=.【小问2详解】1 1 1 (1 1 ,_ _ _

20、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _c inan+2 (+2)2 y n +2丿，一 !1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1听 以-1-1-F H-=一 !-1-1-F -I-%a2a4 a3a5 a。+Z 2(3 2 4 3 5 +21 1 1 V3 1 _ 2 +3 ,32(2 +1 +2丿 4 2 (+1)(+2)41 8.如图,棱柱A B C O-A B G。中,底 面A B C。是平行四边形,侧棱4 I丄底面A B C D,过AB的截面与侧面。G。交于且点P在 棱 上,点。在棱CG上,且 A 8 =1,A C =8 c =2.（

21、1）求 证:PQ/R G；（2）若P为。口 的 中 点,A P与平面。2GC所成的角为2,求侧棱。I的长.6【答案】（1）证明见解析4 7 2【解析】【分析】（1）根据A B/平面。&。结合线面平行的性质定理得A B/P Q,再结合平行公理即可证明;(2)首先证明AC丄平面8 A G,进而得/C R 4为”与平面CORG所成的角,即TTNCPA=,设 尸=x,再根据儿何关系求解即可.6【小问1详解】证明:因 为棱柱A B 8-A 8 C 中,底 面 BCD是平行四边形,所 以AB/CD,因为A8U平面。CG,C D u平面DCCR,所以B/平面。CG A，A B!平面ABQ P,平面。CG A

22、平面A3QP=PQ,所 以,由 线面平行的性质定理有AB/PQ,又因为棱柱ABCD ABC口 中，AB/DC/D ,所以PQG.解:在 底 面ABC。中,.5=1,AC=G,BC=2./.AB2+AC2=BC2,:.AB 丄 AC,:.AC LCD.又侧棱AA,丄底面ABCD,二CC,底面ABCD,；ACu面 ABCD,:.CC,丄 AC.又 用口。,CC1,C7)u 平面 CTAGAC丄平面CG,连接P C,则/CQ 4为 与 平 面。G所成的角,即/CPA=,6设 DP=x DC=AB=1,*PC=V PD2+DC?=yjx2+1，在RtACP中,tan -1 在(0,+8)上恒成立,求4

23、的范围.【答案】(1)a=-,x o=4；(2)6 r 0.1 6【解析】【分析】(1)利用函数的导数,函 数 与 尸-3 切于A(x o,兀),列出方程组,求 解 即可.(2)求出Z7(X)=(以2 +.的导函数 ,利用(0)=-1.通过当4=0 时,当。0时,当=时，当。0 时,判断函数的单调性,转222化求解。的范围即可.【详解】解:(1)fx)=ax2+x-1 由於)与 y=-3 切于点 A(x o,fixo),则1 3 1 2/()=1%+/3 =_ 3 33 2 ,斛 寸 c i -,=4./()=国+1 =0 ”(2)F(x)=(a r2+%-l)-ev,/.Fr(x)=eax1

24、+(2a+1 )x),且 F(0)=-1.当=0 时,F(x)=,可知在(0,+8)递增,止匕时 (x)-1 成立;当丄a0时,尸()=(x+里),可知(x)在(,即上3递增,在（,+oo）递减,此时（丄）=6，一1,不符合条件;a a当。=时,F（x）=e （一 ）0 恒成立,可知F（x）在（0,+）递减，22此时F（x）-!成立,不符合条件;当。时,F（x）=ex,axxH-）,可知 F（x）在（0,+）递减,2a此时Fx）-!成立,不符合条件;当”0时，（x）=e*以（x+），可知尸（X）在（0,+00）递增,此时F（x）-1成立.a综上所述,a 0.【点睛】关键点点睛:本题考查了导数的

25、几何意义,利 用导数研究不等式恒成立问 题,解题的关键是求出（”（2+（24+1）X）,讨 论的取值范围,确定函数（X）的单 调性,考查了分类 讨 论的思想、数学运算.21.设片,分别是椭 圆C:=十 之=1 Q 0）的左、右 焦 点,M 是 C 上 一 点,M F2a b与X轴垂直.直线M F1与c的另个交点为N,且直线M N的斜率为2.4（1）求椭 圆C 的离心率;（2）设。（,1）是椭 圆C 的上顶点，过。任作两条互相垂直的直线分别交椭 圆C 于 A,B两点，证明直线过定 点,并求出定点坐标.【答案】（1）Y 22（2）证明见解 析,定 点 G（0,-1）【解析】（【分析】（1）结合题意

26、得M c,一,进而根据直线的斜率为 得 a）4c?+也 。u。,即 e2+，Z e-1 =0,再解方程即可得答案；2 2（2）结合（1）得圆C 的方程为+=1,进而设直线A 8 的方程为2y=k x+m,内,凹）,8（），2），再与椭 圆方程联立结合韦达定理和D A D B =O整理化简得2=一;或 机=i,再检验7=1不满足题意,进而得直线AB经过y轴上定点【小 问1详解】由题意知,点M在第一象 限,.M是。上一点且M 与轴垂直,:.M的横坐标为c.当x=c时,（b2y=,即 M C,。l).联 立*2 一 4=1,2mx+y 2 =0,得(1 1 6 M卜2 +3 2/n r 1 7 =0

27、,(*)由 双 曲 线 的 右 支 与 直线有两个交点,则保证方程（*）有两个正根即可,1 一 1 6加2 W ,=(3 2 .)2+4 x1 7 0 1 6 m 2)0,由题意可知32m1-1 6才1 71 -1 6 鏡 2 0,0,解 之 得 丄 加姮，4 4故实数加的取值范围为2 3.已知正数a,b,c满足丄+，+1 =1,证明:a b c(1)cibc 2 7 ；b+c Q+C a+b-源十 丁至 2麻.【答 案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解 析】【分 析】（1）根 据3个数的不等式关系即可求解,（2）根据基本不等式即可求解.【小 问!详解】因 为 c均为正数，所 以 丄+丄+丄 3丄,a b c V abc则丄丄,所以cN27.abc 27当且仅当。=c=3时,取得等号.【小问2详解】由基本不等式可知,b+c 2Jbc,a+c 2yac,a+b 2yfab,ms.b+c Q+C a+b、2bc 2ac 2/ab 2Jabc 2yJabc 2abc所 以一;=+-FT-+=-+-+-当且仅当a=c=3时,取得等号.厶 +c Q+C a+b故FF 27abe.