江苏省南通市2023届高三第二次调研测试数学试题附答案与评分建议.pdf

《江苏省南通市2023届高三第二次调研测试数学试题附答案与评分建议.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南通市2023届高三第二次调研测试数学试题附答案与评分建议.pdf（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、南通市2023届高三第二次调研测试数学参考答案与讲评建议一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若 M,N 是 U 的非空子集，M C N =M,则A.M q N B.N q M C.A/=7V D.=M【答案】A2.若 iz=（l-2 i）2,贝！|z=A.4+3i B.4-3 i C.-4 +3i D.-4-3 i【答案】C3.已知（3+3）”的展开式中各项系数和为2 4 3,则展开式中常数项为XA.60 B.80 C.100 D.120【答案】B4.古代数学家刘徽编撰的 重差是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了

2、数学基础.现根据刘徽的 重差测量一个球体建筑物的高度，已知点力是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地 面 上 瓦。两点与点4 在同一条直线上，且在点/的同侧.若在。处分别测得球体建筑物的最大仰角为60。和 20。，且 8 C=1 0 0 m,则该A.B.C.D.12345643【答案】D参考答案与评分建议 第1页（共12页）6.记函数/(x)=s i n(u x+)(c o 0)的最小正周期为 T.若且/(x)W|/(1)则。=A.1 B.1 C.；D.2 Z44 4 4【答案】C7.已知函数 x)的定义域为R,y=/(x)+e x 是偶函数，y=/(x)-3 e*是奇函数，则/(X)的最

3、小值为A.e B.2 7 2 C.2 5/3 D.2 e【答案】B8.已知F”B 分别是双曲线C：-5=1(0,b 0)的左、右焦点，点尸在双曲线a b上，PF xLPF i,圆。：x2+y2=(a2+b2),直线P F i 与圆。相交于Z,8两点，直线P0与圆。相交于历，N两点.若四边形/A/8 N 的面积为泌2,则 C的离心率为A./B.|C.乎 D,义 要【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。9.已知甲种杂交水稻近五年的产量(单位：t/h m2)数据为：9.8,1 0

4、.0,1 0.0,1 0.0,1 0.2,乙种杂交水稻近五年的产量(单位：t/h m?)数据为：9.6,9.7,1 0.0,1 0.2,1 0.5,则A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C.甲种的样本方差大于乙种的样本方差D.甲种的样本6 0 百分位数小于乙种的样本6 0 百分位数【答案】A B D10.已知数列 如 的前项和为S“a“=2-3 W6,若&=一 3 2,则上可能为(-3)-1,w 6.A.4 B.8 C.9 D.1 2【答案】A C参考答案与评分建议 第2页(共12页)11.如图，正 三 棱 锥 和 正 三 棱 锥。-尸8 c的 侧 棱

5、长 均 为B C=2.若将正三棱锥A-PB C绕B C旋 转,使得点4,P分 别 旋 转 至 点P处，且 H,B,C,。四点共面,点 ，。分别位于B C两侧，则 AA.A D 上CPB.P P 平面 8 C Bc.多面体PPW BOC的外接球的表面积为6兀D.点月，尸旋转运动的轨迹长相等D【答案】B C12.已知 a 0,e +l n b=1,则A.a +I n f t 2 C.l n a +e 【答案】AB D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知点P在抛物线C：y 2=20 x(p 0)上，过尸作C的准线的垂线，垂足为，点E为C的焦点.若N/P尸=60。，点尸的横坐标为

6、1,则P=【答案】2314.过点(-1,0)作曲线y =-x的切线，写出一条 切 线 的 方 程.【答案】2x-y +2=0,答案不唯一，x +4 y+l=0也正确15.已知一扇矩形窗户与地面垂直，高 为1.5 m,下边长为1 m,且下边距地面1 m.若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为L 5m 2,则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为 n P.【答案】v16.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数。()：V e N*,。()为的所有正因数之和，如。(6)=1 +2+3+6=1 2,则 cr(20)

7、=；cr(6)=(第一空2分，第二空3分)【答案】42；1(2+-1)(3+|-1)参考答案与评分建议 第3页(共12页)四、解答题：本题共6 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.（本 题 1 0 分）记/8 C 的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知s i n C =JJs i n/s i n 8.（1）若力=5,求 co s B；（2）若 c=瓜,求 Z B C 的面积.解：（方 法 1）因为在。中，力=7 所以。=兀一（力+硝=竽一8.因为 s i n C =JJs i n 力 s i n B,所以 s i n（竽-8）二 方 s i n B,所 以

8、 日 co s 3+f i n B U s i n 8,即 s i n 8=co s 8 （*）.3 分又 s i n2 B+co s2 5=1.所以（乎 co s B）+co s2 B =l,即 co s?8 =?,又因为 8e（0,兀），所以 s i n 3 0,由（*）知，cosB 0,所以co s 5=#Z.6 分（方法2）因为在48。中，4=1，所以 s i n C =JJs i n 4 s i n B=-|s i n B ,所以由正弦定理，得。=汐 2 分由余弦定理,得/=/+/-26cco s 4=/+（部）一 2b|b-co s =%2,因为。0,b0,所以。=乎 6.4 分由

9、余弦定理，得co s 8 =g分6（2）因为s i n C =JJs i n Z s i n B ,由正弦定理,又因为?二卡，所以。s i n 8 =JI.8 分参考答案与评分建议 第4页（共12页）所以/8 C 的面积为S=gca sin B=3*痴*6 =芯.10 分1 8.（本 题 12分）已知正项数列。“的前项和为S”且 m=l,S；M-S；=8，nN*.（I）求（2）在数列 为 的每相邻两项四，四+1之间依次插入外，“2,，以，得到数列 d ：a,a,“2,a,ai,aj,ai,ai,as,0,所以S,0,所以 S“=2N-1.当”=1时，S=%=1适合上式，所以 S.=2-l,eN

10、*.6 分（2）（方法 1）因为S,=2-1,eN*,所以当“2 2 时:a=S-S_1=（2n-1）-（2M-3）=2.所以数列 6 :1,1,2,1,2,2,1,2,2,2,.,设 1 +2+=（,上1 0 0,则2+-200W 0,因为 eN*,所以“W13.10分所以 儿 的 前 100项是由14个 1与 86个 2 组成.参考答案与评分建议 第5页（共12页）所以 7；0 a=1 4x 1 +8 6x 2=1 8 6.1 2 分(方法 2)设 1 +2+=W 1 0 0,贝 I J/+/-20 0 W 0,因为“e N*,所以“1 3.8 分根据数列 6 的定义，知+(%+。2)+(

11、4+&+)+(4+。2+3 )+(%+42+。9)=S 1 +S?+S j +S|3 +S g .0 分=(1 +3 +5+2 5)+1 71 3 x(1 +2 5)-=2+1 7=1 8 6.1 2 分19.（本 题 1 2 分）如图，在圆台O O i中，A iB i,Z B分别为上、下底面直径,且 4 B/A B,A B =2A B,CG为异于8 田 的一条母线.（1）若 以 为/C的中点，证明：C M U平面（2）若。O i=3,A B =4,Z A B C=3 0,求二面角 4-GC的正弦值.证明：（1）如图，连接4 G.,一因为在圆台。Q 中，上、下底面直径分别为/f G 4 及，4

12、 8,且 4B J/A B ,/所以N4，q c为圆台母线且交于一点P./所以Z,4 ,G，C四点共面.2分月卜 厂因为在圆台。a 中，平面N 8 C 平面4 A G，-平面 441 G C n 平面48 C =/C,平面 4 4 1 G C n 平面4 A G=4 G，所以4 G 4c.4 分又因为/4 48,48 =2 4 与，所 以 第=第=4，PA A B 2所 以 差=篝=4,即C 1 为 P C中点.在 ZM C 中，又M 为力C的中点，所以GM/4.参考答案与评分建议 第6页（共12页）因为力4 u平面/8 8/,M(X 平面所以GM平面力8 8/.6 分(2)以。为坐标原点，。

13、8,O分别为y,z 轴，过。且垂直于平面/8 4 4 的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-平.因为 N/8 C =3 0,所以 N/O C =60 .则 N(0,-2,0),C(石,-1,0),0,(0,0,3).因 为 双=(6,-1,0),所 以 配=；3=(乎所以G俘,得,3),所 以 束=俘,_；,一3)设平面O C C)的法向量为n,=a ,M ,z j ,L i o c,可 必=0,所 以，一所 以A.nt C(C ,-5 必一 3 Z|=0,所以平面OCG的一个法向量为4=(1,6，0).又 就=(G i,o),设平面A CC,的法向量为n2=(x2,y2,z2),n

14、,1 A C,一 所 以，%-L C j C，所以y/3 x2+y2=0,V3 1 7 n Yx2 2yi-3?2 =0,所以平面4 eq 的一个法向量为2=1，-6，半.io 分/2|1|2|所以 c o s=lx l+W+0 x 回J i+3 x J+3 +：设二面角-GC-。的大小为d，所以 sin J =J 1 -c o s?=J；。.所以二面角-CC-o的正弦值为要.1 2 分参考答案与评分建议 第 7页(共 1 2 页)2 0.(本题1 2分)我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x (单位：dm)与遥测雨量y (单位：dm)的关系，统

15、计得到该地区1 0组雨量数据如下：样本号j12345678910人工测雨量有5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遥测雨量%5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.4910.050.080.20.570.420.030.090.110.020.2610 10 10并计算得3 53.6,=36 1.7,=3 57.3,x2 3 3.62,y2 3 4.42,x 3 4.0 2.Z=1 1=1 1=1(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数(精确到0.0 1),并判断它们是否具有线性相关关系；(2)规定：

16、数 组(为，%)满足|即一为0.1为“I类误差”；满足0.1 W|x,-M 0.3为“I I类误差”；满足|乐-川2 0.3为“I I I类误差”.为 进一步研究，该地区水文研究人员从“I类误差”、I I类误差”中随机抽取3组数据与“1 H类误差”数据进行对比，记抽到“I类误差”的数据的组数为X,求X的概率分布与数学期望.附：相关系数4=J I (玉歹V /=1 i=l10(xf-x)(Z-y)j二 1.1()1()I 10 10-a-月 之(乂 5(七片-I O F2)X(P,2-I O72)J=!1=1 V i=l J=1代入已知数据，得r=广 3 57.3-1 0 x 3 4.02 =1

17、 7.1 w 0 9 8.7(3 53.6-1 0 x 3 3.62)x(3 61.7-1 0 x 3 4.42)g 04.5所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.4分(2)依题意，“I类误差”有5组，“I I类误差”有3组，“I I I类误差”有2组.73 04.5 1 7.4.10W X%-1 0,物r=l参考答案与评分建议 第 8 页(共 12页)若 从“I 类误差”和 II类误差”数据中抽取3 组，抽 到“I 类误差”的组数X 的所有可能取值为0,1,2,3.6 分则 P（X=0）=3C3=1,P（X -n -C；C；_|5 一1）一 C；一56,3加警啜嗤,尸-3)=

18、音咤售 10分所以X 的概率分布为X0123P15615561528528所以X 的数学期望矶X)=l x*+2x薨+3 x =堂.12分36 Zo zo o另解：因为X”(3,5,8),所 以 颐 丫)=亨=存 12分O O2 1.(本题12分)已知椭圆&+=1(方 0)的离心率为乌，焦距为2,过 E 的左焦点尸的直a h 2线/与 E 相交于/,8 两点，与直线x=-2 相交于点M.(1)若 M(-2,-1 ),求证：|.|8/|=|旧8|.|幺/|：(2)过点F 作直线/的垂线机与E 相交于C,。两点，与直线x=-2 相交于点N.求工江+得 可+万 身+万 新 的最大值.解：(1)设耳(

19、-c,0),F2(C,0),因为焦距为2,所以2c=2,解得c=l.又因为离心率e=C=g,所以。=&,所 以 =/一,2=2 1 =1,a 2参考答案与评分建议 第9页(共12页)所以椭圆氏 +/=1.2分因为直线/经过必(-2,-1),尸(-1,0),所以直线/方程为夕=x +l,y=x+,设 4($,必)，B(X2，乃)，联立 0,所以,%+%4k21 +2 公3=2 公-2+2k2参考答案与评分建议 第1 0页（共12页）因为(一2,-%),所以1+=-J-+=!-.MA MB+k2|x,+2|Vl+A2|x2+2|因为*2,x?2,1斤以_ I _一广 (_ L_+1-1-1-&+&

20、J_4_.|M4|MB JI+上 2 lx1+2 x2+2/J i+公 XXX2+2(X,+X2)+4.8 分-+4,2?1 +2-，4k-+4 22 E&+4-E7.2公+2-S T F+2k2 +2k2.10分,_ 2 21kl心|1 1 n 7-7 1 7 F，所以LIM M B 7T7F所以 1 I 1 I 1 I 1 2(1+1 4 I)=.+1 +2 WMA MB NC ND 巴 石 一 A-+10 2（耳+D=2及（当且仅当|无|=1,即A r=l时，取.V k+1所 以I Jm+I JB|+I Jc|+|J 0|的最大值为20.12分2 2.（本 题 12分）已知函数f（x）=

21、a x-I n x-.（1）若 x l,/（x）0,求实数a 的取值范围；（2）设制，X2是函数“X）的两个极值点，证明：|/（巾）_/（及）|0）.1分X X2 X2（1）当aWO时，X1,/（x）0,所以/（x）在（1,+8）上单调递减，所以/（x）/=0,所以aWO不符合题设.2 分 当 0 a 时，令 f x）=0,得办2_x+a=0,参考答案与评分建议 第1 1页（共12页）解得否 一 力 尸(0,1)，J芸74 1，+8),所以当xe(l,X 2)时，r(x)0,所以/(x)在(1,七)上单调递减，所以/(x)l)=0,所以0 。/(l)=0.综上，实数。的取值范围是桂,+8).6 分(2)由(1)知，当 0。x2 x,=-J 4.所以要证卜夫丝，只要证/(不)_/(“)1,g(Z)=-?-+y/t.10 分x i+i 4t41所以g(f)=,x .1 1 4(一 1)0(f+1)2_2&2t&t(f+i f 2tW所以g(r)在(l,+8)上单调递增,所以g(，)g =0.所以X 2-X 1 -/(再)+/(2)0，即得/(再)-/(三)2 -X1成立.所以原不等式成立.12分参考答案与评分建议 第1 2页(共12页)