湖南省娄底市新化县五校2023届高三上学期期末联考数学试卷含答案解析.pdf

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1、新化县五校2022-2023学年高三上学期期末联考数学一、选择题（共8题，共40分）1,已 知 全 集。=口，集 合*卫X 一2，集 合N=x|x l ,则集合（）A.x|0 x l B.x|0 xlC.x|0 x2 D,x|xl【答案】B【详解】由/一2X 0解得0 x 2,所以M=x|0 x l,所以 N=x|x l,所以 M n（a N）=x0 OM(?N=lx 2 x co sl2 0 =-1结合数量积的运算法则可得：B C O M =3(O N-O M)OM=3 O N O M-3 O M2=-3-3 =-6.【答案】ABXd【详解】解：因为丁=丁丁=QX,X 0当时，y =优 在(

2、0,+8)上单调递增，且当X趋于+8时，趋于+8；丁 =-优 在(-8,0)上单调递减，当X趋于T O时，y趋于0,故排除D;当0 d=1,所以为=4 +2d =3 n q =1,所以等差数列 的通项公式为：=(G N*),%=1 W 1 =1所以2+5 6 n2+5 6 n,5 6 -I5 g 4 7 1 4 .十 一 2.n-丫当 且 仅 当 =至=2巧 时 取 等 号，又“e N*,n7 8 1所以当=7或”=8时 取 最 大 值 为=嬴1 7 =7 7，6.4 x 1 0 0米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲、

3、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4 x 1 0 0米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合，已知该组合三次交接棒失误的概率分别是P l，2，3,假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是()A.P l p 2 P 3B.l _ p p 2P 3C(J 1)(1-“2 )(1-“3 )D.-2 )(1-“3)【答案】c【详解】.三次 交 接 棒 失 误 的 概 率 分 别 是p2,P3,，三次交接棒不失误的概率分别是1-B，1-。2，1一。3，三次交接棒相互独立，此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是(1 一四)(1 一 2 )(1 3 )，7.九章算

4、术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多 年.在 九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳 马.如 图P A B C D是阳马，平面A B C。，P 4 =5,A B =3,B C =4.则该阳马的外接球的表面积为()B.5071C.100兀500兀D.-3【答案】B【详解】因平面A8CD,A B u平面ABC。，A O u平面A8CD,则24 _L AB,P A A D,又因四边形A8CC为矩形，则A8LAIL则阳马的外接球与以P4,AB,AZ)为长宽高的长方体的外接球相同又PA=5,AB=3,A D =B C =4.则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球

5、半径为:VPA2+A B2+A D2 732+42+52 5收则外接球的表面积为：S WR一斫卷=5 6.8.已知函数/*)是定义在R上的奇函数，当xNO时，/(x)=|(|x-i72|+|x-26!2|-3iz:),若VxwR,则实数。的取值范围为()A.B.V6-766 6C._ 1一3316,6框【答案】B【详解】由题意，当xNO时，f(x)=x-a2 +x-2a2-3a2,所以当O V x W a?时，f（x）=La2_x+2a2-x_ 3ci j =-x；当/2&2 时，f（x）x-a2+2a2-x-3 a2-a2-当 x 2 2a 2 时,/（尤）=1（x q-+x 2（r 3 0

6、-）=x-3ci.综上，函数/(*)=；(卜 一/卜,一2/3此,-x,Qxa2在xNO时的解析式等价于/(无)=a2x 2a2根据奇函数的图像关于原点对称作出函数A x)在R上的大致图像如图所示，观察图像可知，要使V x w R,/(x-l)/(x),则需满足2/_(-4/),解 得一旦a 4旦.6 6二、多选题(共4题，共2 0分)(71-9.下列选项中，是函数y =t a n x+g的单调递增区间的有()、D./（-6,2K7【答案】B C【详解】令2乃 x-女 乃+,女EZ,2 3 2I t可得 E-X%7t +,AGZ,6 6，兀、(5 7r it、函数y =t a n|x +的单调

7、递增区间为kit-,kit+次e Z,I 3 j I 6 6 j，7t、(5兀 7t、令k=U,函数y =t a n1x+g j的单调递增区间为 一 不，幻I，B正确；令=1,函数y =t a n x +J的 单 调 递 增 区 间 为C正确，10.已知函数丁=加/的图象与直线y =x +2胆有两个交点，则？的取值可以是()A.-1 B.1 C.2 D.3【答案】B C D【详解】因为函数=机q 的图象与直线y =x +2机有两个交点，所以函数/(x)=-x 21 n有两个零点，求导得：/(X)=/T，当加替0时,()0时，令/(*)=0,可得x =-l n?篦，当x e(f o,-l n/n

8、)时，/,(x)0),则 g(rn=-2,m当 时，g(加)0 当x e 1 ,+8时，gf(m)Ed_EC,DE AtC,可得。平面4C E,即得与/D E 4 为45矛盾，.不存在某个位置，使 O E L4C,C 不正确.三、填空题（共 4 题，共 20分）(l+3i(3-i)(l-2i)21 3.已知复数2=z【答案】2丽【详解】解：Z =(l+3 i)2(3-i)_ (l+3 i)(l+3 i)(3-i)J _ (1 +3 i)(6 +8 i)(J 2i)-3-4 i-3-4 i=-2(1+W(-3-旬-6 i-3-4 i所以忖=-2)2+(6)2=2V 1 01 4.已知 x 0,y

9、 0,x+y =4,则 l o g z +l o g 2 y 的最大值是.【答案】2【详解】因为x 0,y 0 ,x+y =4,/2所以=4,当且仅当=旷=2 时-，取等号，2 JJ l U l o g2x +l o g2 =l o g2x y l o g24 =2,所以l o g,x +l o g2 y的最大值是21 5 .已知 x)是定义域为R的奇函数，且对任意的x 满足/(x +Zb/a),若0 x l时，有 x)=4,+3,贝厅(3.5)=.【答案】-5【详解】因为 x +2)=x),x)是定义域为A 的奇函数，所以/(3.5)=/(-0.5)=二/(OS)因为当0 x l时,有 x)

10、=4，+3,所以 0.5)=4-5+3 =5所以“3.5)=51 6 .抛物线：/=4x的焦点为产，准线为/,经过/且斜率为7 5 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ,A K l,垂足为K,则A A 的面积是.【答案】4 百【详解】试题分析：因为抛物线V=4x的焦点为尸为(1,0),所以经过户且斜率为6 的直线方程为y=K(x l),解得龙A=3,由抛物线定义知AK=A/=3+1 =4,又因为AK x轴，所以/E4K=6(T，AA/K为正三角形，面积是x4x4x =4 6 .2 2四、解答题(共6题，共 70分)17.已知 ABC的三个角A,8,C所对的边为m8,c,若a=3 -c

11、=2,且 3 (A+C)=1.(1)求Ac的值：(2)求sin(B+2C)的值.【答案】(1)7,5：一巫49【解析】【小 问1详解】j 2cos(A+C)=耳，.c o s B=-8E(0,乃)，B=,根据余弦定理得：/?2=672+C2-26ZCCOSB,即(2+4=32+02+3,解得。=5,故力=7,。=5.【小问2详解】b=7,c=5,8=半，.由正弦定理得，-7=-,即.csinB”才 5 6，sinC sinB sinC=-=-=-b 7 14,.Ce 0,j,A cosC=71-sin2C=,2I 2 j 14/.s i n(8 +2 C)=s i nB co s 2 c+co

12、 s B s i n2 c=s i n8(2 co s 2 c-lj+cosB-2 s i nCco s CV3x 2 x x 2 x -5 x;1 1 8 7 31 9 61 4 1 4 4 9121 8.己知数列 的前项和S,=2 a“（1）求证：数列，24是等差数列.2（2）若不等式2 2-3（5-4）q,对任意e N*恒成立，求X的取值范围.【答案】（1）证明见解析3 7（2）A 8【小 问1详解】解：当=1 时，5 =2at 22,解得4 =4,当 2 2 时，a-1=2an-2a_,-2,所以a“=2 4 i+2 ,即/=猾+1,即 区 宅=1,2 2T又 卷 =2,故数列是以2为

13、首项，1为公差的等差数列.【小问2详解】由(1)知,=n+1,即 4.=2 (+1),所以2 2 _3 =(+1)(2-3),对任意 w N,恒成立,记2=告3,故4=：0,所以2 2时,_ 2/7-1hn 4 n-64 3，所以j=5,即b时，尚 1，即随着”的增大，2 递减,3所以 的最大值为仇=三，83 3 7所以5 2一，即九 k)0.1 50.1 00.0 50.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 1k2.0 7 22.7 0 63.8 4 15.0 2 46.6 3 57.8 7 91 0.8 2 8(参考公式：K2n(ad-bc)2(+b)(c+d)(a+c)(b+

14、d)，n=a+b+c+d)(1)能否在犯错误的概率不超过0.0 2 5 的前提下认为成绩与学校有关系;(2)采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的3 2 0 名学生中抽取16名同学.现从这1 6 名同学中随机抽取3 名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验，记 这 3 名同学来自甲学校的人数为X,求 X 的分布列与数学期望.【答案】(1)能在犯错误的概率不超过0.0 2 5 的前提下认为成绩与所在学校有关系3(2)分布列见解析，-4【小 问 1 详解】由题意得 K2=560X(80X200-40X2 4 1 2 0 x 4 4 0 x 3 2 0 x 2 4 0 5.6 5 7 5.0 2 4

15、,所以能在犯错误的概率不超过0.0 2 5 的前提下认为成绩与所在学校有关系.【小问2详解】1 6名同学中有甲学校有4人，乙学校有1 2人,X的可能取值为0,1，2,3.P(X=O)=牛c3=11 1,P(X=l)=c122 Ck1 =3 3C：6 28 C：6 7 0=2)=警*,X=3)春磊X的分布列为如下X0123P1 1283 37 097 011 401 1 3 3 0 1 3所以 E(X)=0 x U+l x+2x =+3 x-!-=m.)28 7 0 7 0 1 40 420.如 图1,在A B C中，Z A C 8 =9 0。，D E是A B C的中位线，沿D E将4 进行翻折

16、,使得斗（：后是等边三角形（如图2）,记A B的中点为凡冗（2）若A E =2,二面角Q-A C E为 二，求直线48与平面A C Q所成角的正弦值.6【答案】（1）证明见解析手【小 问1详解】如图，B取AC中点G,连接PG和E G,由已知得O七 B C，且。E=，BC.2因为尸，G分别为AB,AC的中点，所以尸G8 C,且FG=，BC2所以D E F G,且。=刀6.所以四边形OEG尸是平行四边形.所以EG D F.因 为 翻 折 的1 A C,易知。E 1 A C.所以翻折后O E L E 4,D E L E C .又因为4门 比=,EA,EC u平面AEC,所以O E1平面AEC.因为。

17、石 BC,所以平面AEC.因为 G u平面AEC,所以石G_L8C.因 为A C E等边三角形，点G是AC中点，所以EGLAC又因为 AC1 6。=。，AC,B C u 平面 A8C.所以EG J平面ABC.因为E G D F,所以。尸工平面ABC.【小问2详解】（方法一）如图，EDyB过点E作石E C,以E为原点，EH、EC,EO所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 E-孙z,设DE=a,则 A(6,0),3(0,2 2),C(0,2,0),D(O,O,tz),则A月=(V,L2Q),AC=(-73,1,0),Cn=(O,-2,tz),因为OE工平面AEC.所以7)=(0,0,a)

18、是平面AEC的法向量,设面ACD的法向量为?=(x,y,z),则m-AC=0，即m-CD=0-y/3x+V =0”二y，解得-2y+az=06x=Ty2z=-ya取y=G a,得 病=(。,疯?,2百).1T因为二面角。-AC-E为丁，所以6c o s-=|cos|=_ MJ 一 百|/n|-|E75|yJ4a2+l2-a 2mED解得a=l,所以设=(1,6,2百),而=(_ 6,2).记直线48与平面ACC所成角 0,则 sin 6=|c o s|-9 丽-卜 +4石L#卜 仲 网 _ 4x272 F所以直线AB与平面ACQ所成角的正弦值为如4(方法二)如图,BA连接。G,因为O E J：

19、平面4EC,A C u平面4E C,所以ACLOE.又因为AC_LEG,D E c E G =E,DE,E G u平面 O EG.所以 AC_L平面。EC.因为 EG,O G u平面O EG,所以 AC_LEG,A C 1 D G,所以/O G E是二面角 C-AC-E 7t的平面角，故NOGE=二6由 ACE是边长为2的等边三角形，得EG=百,在 Rf DGE 中，tan Z D G E=tan-=所以。E=l,B C =2.6 3 E G过 点/作/7 _ L D G,垂足为/,因为AC_L平面。EGF,A C u平面AC,所以平面OEG/7，平面ACD.又因为平面OEGFC平面ACD=Z

20、)G,F/u平面。EG F,且/7_LOG,所以77 J.平面ACD.连接A/,则/以/即为直线AB与平面ACD所成的角.在用/XOFG中，D F =6 FG=1 ,得Z)G=2,由等面积法得ZX【/7=O EP G,解得 77=.2在 Rr AFG 中，A G =,FG=1 ,所以 AF=0.V3在 用 卯 中，讹幺/=且=今=A F 6 4所以直线A B与平面A C D所成角的正弦值为旦.42 1.已知椭圆C：=1(/?0)的上下左右四个顶点分别为A,B,C,D,X轴正半轴上的点P满足|E 41=1 P O 1=2,1 P C 1=4.（1）求 椭 圆C的标准方程以及点P的坐标.（2）过

21、点P作 直 线1交椭圆于M,N,是否存在这样的直线1使 得/MNA和MND的面积相等？若不存在，请说明理由.（3）在（2）的条件下，求当直线1的倾斜角为钝角时，MND的面积.2 2【答案】（1）二+工=1,p点坐标为（1,0）9 3（2）存在，y =6（x 1）或 y =叵3【小 问1详解】设 点P的坐标为（玉），。），（x（）0）,易 知2。=2+4,。=3,/=4-。=1,b=百 一 片=百，2 2因此椭圆的标准方程为 +-=1,P点坐标为（1-0）.9 3【小问2详解】设直线/：y =A（x-l）,由/X MNA与 MND的面积相等知点4。到 直 线/的距离相等,所以解 得z=G或k=一

22、 旦,3所以直线/的方程为y =V 3（x-l）或y =-#（x-i）.【小问3详解】若 直 线/的倾斜角为钝角，则k=一 昱,3此时直线/的方程为丫=一1），由“y =5 n一 U-i X消去 x 得 6 y 22 Gy 8 =0,设M,N坐标分别(石，%),(%力)，贝情y+%=，%=一：，所以MND的面积S=；I 叼乂 -1=；x 2 x J(X+%-4y l y 2=故 所 求MND的面积为疸.322.已知函数f(x)u l n x -g o x?+x,a e R(1)若/=0,求函数/(x)的单调递减区间;(2)若关于x的不等式/(x)W a x-1 恒成立，求 整 数 a的最小值：

23、(3)若”=一2,正实 数%满 足/()+/(x,)+x/2 =0,证明叵。2【答案】(1)(1,+s)：(2)2；(3)证明见解析.【解析】【详解】试题分析：(1)利用导数求函数单调区间，注意首先明确定义域，正确求导：因为/(1)=1 一?=0,所以。=2,/(X)=:-2 x +=-2.+尤 +1(x 0)由:(功 ,(2)不等式恒成立问题一般利用变量分离法：问题等价于。2 n 在(,+8)-X+X2ln x+x+1上恒成立.再利用导数求函数g(=n 最大值，令 g(x)=o根为%,且。)在-X +X2x e(O,X o)上是增函数；在 尤 内)上 是 减 函 数 n x+x+1 *o i

24、g(X)m a x 二8二 丁2 =-彳=一 (L 2),所以整数的最小值为2.(3 )2 xo+入0%0(1 +/犬0)转化为关于玉+的不等式即可：由/(无)+/(工2)+$%2 =。，即I n X j +x(2+玉+ln x2+x22+x2+x,x2=0从而(X+W)2+(X+%2)=%i,M-ln a vx 2)，利用导数求左边函数最小值1，所以(X)+%2)2+(X +x2)1 ,解得二 十%2 2 卡2 1试题解析：因 为/=1 =(),所以。=2,1 分此时/(x)=nx-x1+x,x 0,f(x)=-2 x +l 2x+A+1-(x 0)2 分X X由尸(x)0,又x 0,所以x

25、 1.所以f(x)的单调减区间为(1,+8).4分(2)方法一：令 g(x)=/(x)-(ox-l)=ln x-6 f x2+(l-6()x +l,所以 g，(x)=1一依+(1 a)=四.X X当。0,所以g(x)0.所以g(x)在(0,+8)上是递增函数，1 9 3又因为 g(l)=I n 1 t z x 1 +(1 a)+l =5。+2 0,所以关于X的不等式/(x)W a x T 不 能 恒 成 立.6分当a0 时,g(x)cix+(1 ci)x+1xt z(x-)(X 4-1)QX令 g(x)=0,得 1=.a所以当x e (0,1)时，g(x)0；当x e(L+oo)时，g(x)0

26、,/z(2)=-ln 2 0,又因为/(a)在a e(o,+8)是减函数.2 4所以当a 2 2时，h(a)0.所以整数。的最小值为2.1 0分方法二：(2)由/。)4以-1恒成立，得ln x-；ar2在(0,+oo)上恒成立,ln x +x +1问题等价于在(0,+8)上恒成立.-X+X2ln x+x+1令 g)=,只要a 2 g(x)m a x.6 分X-V X2(x+l)(-x-ln x).因为g(x)=-;-,令 g(x)=0,得一彳x -ln x =0.(#+x)2 2设/z(x)=I n x,因为(无)=一:0,所以(无)在(0,+)上单调递减，2 2 x不妨设一二X I n x =0的根为%.2当x e(O,X o)时，g(x)0；当x w(X o，+oo)时，g(x)0,/?(1)=-1 ()所以此时1,0由 f(x)+f(x2)+xix2=0,即ln X|+%+ln x 2 +/2 +W+%/=0从而(X +x2)2+(X j +x2)=x,-ln(x(1 3 分令则由夕(f)=，-ln r得，p(t)=-可知，夕（。在区间（0,1）上单调递减，在区间（1,+8）上单调递增.所以夕之夕=1,1 5分所以（芭+电）2+（%+/）2 1,因 此 王+2 与成立.1 6 分