北京市七年级数学下学期期末三年（2020-2022）试题-04平行线的性质（解答题中档题&提升题）.pdf

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1、北京市七年级数学下学期期末三年（2020-2022）试题知识点分类汇编-04平行线的性质（解答题中档题&提升题）1.（2 0 2 0春海淀区校级期末）问题情境：如 图1,AB/CD,Z P 4 B=1 3 0 ,N P C D=1 2 0 ,求/A P C的度数.小明的思路是：过P作 通 过 平 行 线 性 质 来 求N A P C.（1）按小明的思路，易求得N A P C的度数为 度；（2）问题迁移：如图2,A 8C Z）,点P在射线OM上运动，记/%8=a,ZPCD=,当点P在8、。两点之间运动时，问/A P C与a、。之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在B、。

2、两点外侧运动时（点P与点0、B、。三点不重合），请直接写出N A P C与a、0之间的数量关系.2.（2 0 2 0春海淀区校级期末）如图，在三角形4 8 c中，点。是为B C上一点，连接A D.（1）三角形4 B C中，N B A C=90 ,点E是A B上一点，过点E作E尸 交B C于点F,作O G L A C于G.依题意补全图形，并判断N B E F与N A O G的数量关系，并加以证明.（2）任意三角形A 8 C中，点E是A B延长线上一点，过点E作E产 A。交B C所在直线于 点 凡G是直线A C上一点，连接。G.若 要 使（1）结论仍成立，CG与 位 置 关 系应满足的条件？请画图

3、并直接写出D G与A B位置关系.3.（2 0 2 0春海淀区校级期末）如 图1,AB/CD,在A B、CD内有一条折线E P F.(1)求证：N A E P+N C F P=N E P F；(2)在图2 中，画N8EP的平分线与/O F7 的平分线，两条角平分线交于点。，请你补全图形，试探索/E P F 与NEQF之间的关系，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，已知/B E P 和 均 为 钝 角，点 G 在直线AB、CO之间，且满足NBEG=/BEP,N D F G=L/D F P,(其中 为常数且1),直接写出NEGFn n与NEP尸的数量关系.4.(2020春西城区期末)已知A B

4、 C,过点B 作。E L8C 于点8,过点C 作户HOE.(I)B C 与 F H的 位 置 关 系 是；(2)如 图 1,点 M 在直线QE和尸之间，连接BM,CM.Z A B M=Z A B D,Z A C M4-AZACF,/B A C=72,求/BM C 的度数；4(3)若NABE和NAC”的平分线交于点M 在图2 中补全图形，用等式表示NBNC与/B A C 的数量关系，并证明.5.(2020春海淀区校级期末)完成下面的证明.己知：如图，。是NABC平分线上一点，DE BC交 A B 于点、E.求证：Z1=2Z2.证明：-JDE/BC,=N(),Z 2=Z ().；B O 平分/A

5、B C,NABC=2N.1=2/2.6.(2 0 2 1春西城区期末)如图，点E,尸分别在直线A B,C D上，AB/CD,N C F E=60 .射线EM从E A开始，绕点E以每秒3度的速度顺时针旋转至E B后立即返回，同时，射线P N从F C开始，绕点F以每秒2度的速度顺时针旋转至E D停止.射线F N停止运动的同时，射 线 也 停 止 运 动，设旋转时间为f(s).(1)当射线在N经过点E时，直接写出此时f的值；(2)当3 0 V Y 4 5时，射线EM与F N交于点P,过点P作K P L F N交A B于点K,求/KP E；(用含r的式子表示)(3)当 尸N时，求，的值.7.(2 0

6、2 1春北京期末)如图，A B C ,直线MN交A 8于点E,交 8于点尸，点P是直线M N上一个动点，过点P作P G L M N交C D于点MMEBBC _式_D c_ y_ DX XG.图1图2(1)当点P运动到图1位置时，依题意补全图1;判断/P G。与/A E M的数量关系，并说明理由；(2)当点P运动到图2位置时，直接用等式表示出N P G O与N A E M的数量关系.(不需要证明)8.(2 0 2 1春门头沟区期末)已知，直线4 B C ,直线E F交A B,C 于点E,F,动点为平面上一点(点P不在A B,CD,E F上)，连接P E,PF.(1)如 图1,当动点尸在直线A B

7、,C O之间，且位于直线E F右侧时，依题意补全图1；猜想/E P F,NPEB,/P F Z)的数量关系，并证明.(2)如图2,当动点P在直线A 8上方时，直接写出/E P F,NPEB,/尸口的数量关系.图1图29.(2 0 2 1春海淀区校级期末)如图，AC/FE,Z l+Z 3=1 80 .(1)判定N f M B与N4的大小关系，并说明理由；(2)若A C平 分/以2,于点E,Z 4=7 8 ,求 的 度 数.E10.（2021春顺义区校级期末）补全解答过程：已知：如图，直线ABC,直线E F 与直线AB,CQ分别交于点G,H；GM平分NFGB,/3=6 0 .求N 1 的度数.解：

8、与 C。交于点H,（已知）.*.Z3=Z4.（）V Z3=60,（已知）A Z4=60.（）JAB/CD,EF 与 AB,CD 交于点 G,H,（已知）.,.Z4+ZFGB=180.（）Z F GB=.6”平 分/6 8,（已知）二/1=。.（角平分线的定义）11.（2021春丰台区校级期末）已知如图，AB/CD,直线/分别截AB、CD于 E、C 两点,M 是线段EC上一动点（不与E、C 重合），过 M 点作于点M 连接EN.图1图2(1)如 图1,当N E C O=3 0 时，直接写出N M E N+N M N E的度数；(2)如图2,当N E C D=a。时，猜想N M E N+N M N

9、 E的度数与a的关系，并证明你的结论.1 2.(2 0 2 2春西城区期末)已知N XO Y=2 a(0 a,/AM C=60,则/A+/C=（2）如图 2,连 接 形5 4例。中8,。两点，若/A B D+N B O C=1 6 0 ,ZAMC=a,试猜想NBA与NMCD的数量关系，并说明理由；（3）如图3,在（2）的条件下，当点M在线段3。的延长线上从上向下移动的过程中,请直接写出N B 4 M与N M C。所有可能的数量关系.1 8.（2 0 2 0春西城区校级期末）【问题情境】：如图 1,AB/CD,Z B 4 B=1 3 0 ,Z P C D=1 2 0 ,求N 4 P C 的度数.

10、小明的思路是：过P作P E A B,通过平行线性质来求/A P C.（1）按小明的思路，求N A P C的度数；【问题迁移工如图2,A 8 8,点P在 射 线 上 运 动，记/B 4 B=a,Z P C D=p,当点尸在8、D两点之间运动时，问N A P C与a、0之间有何数量关系？请说明理由；【问题应用】：（3）在（2）的条件下，如果点P在8、。两点外侧运动时（点P与点0、B、。三点不重合），请直接写出/A P C与a、0之间的数量关系.1 9.（2 0 2 0春海淀区期末）已知：如 图1,A B C 3,点E,尸分别为4 8,C 上一点.（1）在A B,C O之间有一点M（点M不在线段E

11、F上），连接何E,M F,试探究N A E M,NEMF,N M F C之间有怎样的数量关系.请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明.（2）如图2,在4 8,C O之间有两点M,N,连接M E,MN,N F,请选择一个图形写出ZAEM,NEMN,NMNF,N N r C存在的数量关系（不需证明）.2 0.（2 0 2 1 春东城区校级期末）P是三角形A8C内一点，射线尸O A C,射线P E A 8.（1）当点Q,E分别在A 8,BC上时，补全图1;猜想NOPE与NA的数量关系，并证明；（2）当点。，E都在线段BC上时，你 在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明

12、；若不成立，请说明理由.2 1.（2 0 2 1 春海淀区校级期末）对 于 平 面 内 的 和/N,若存在一个常数0,使得NM+kNN=3 6 Q ,则称/N为的k 系补周角.如若/M=9 0 ,NN=45 ,则NN为NM的 6系补周角.（1）若N =1 2 0 ,则N”的 4系 补 周 角 的 度 数 为（2）在平面内A B C ,点 E是平面内一点，连接B E,DE.如图1,Z D=6 0 ,若是/E的 3系补周角，求 的 度 数.如图2,NA8E和NCOE均为钝角，点尸在点E的右侧，且满足NA8尸=”NA8E,ZCQF=NCE（其中为常数且1）,点P是/ABE角平分线BG上的一个动点，在

13、P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得尸。是/F的4系补周角，并直接写出此时的左值（用含的式子表示）.参考答案与试题解析1 .【解析】(1)解：过点尸作尸后A 8,:ABCD,：.PE/AB/CD,：.ZA+ZA PE=1 8 0 ,Z C+Z C P E=1 8 0 ,V ZJR4 B=1 3 0 ,Z P C D=1 2 0 ,A ZAPE=5 Q,ZC PE=6 0 ,J Z A P C=N A P E+N C P E=1 1 0 .(2)ZA PC=a+p,理由：如图2,过 P 作 PE A 8 交 AC于 E,9：AB/CD,J.AB/PE/CD,：.a=ZAPE,0 =N C

14、 PE,Z A P C=ZAPE+Z C P E=a+p ；(3)如图所示，当 P 在 BQ 延长线上时,如图所示，当 P 在 延 长 线 上 时,ZC/4 =P-a.2.【解析】解：（1）图形如图所示，结论：NBEF=NADG.理由：-：EF/AD9：.NBEF=/BAD,V D G 1 A C,:/DGC=/BAC=90,:ABDG,：.ZBAD=ZADGf:,NBEF=ZADG.（2）若 要 使（1）结论仍成立，O G 与 4 3位置关系应满足4 3 D G,图形如图所示.理由：EF/AD,：.NBEF=NBAD,:ABDG,：.ZBAD=ZADGf：.ZBEF=ZADG.3.【解析】证

15、明：（1）如 图 1,过点P 作 PGA Z?,B3C图1D:AB/CD,C.PG/CD,：.Z A E P=Z lf ZC FP=Z2,又 ：N1+N2=NEPF,：./AEP+/C FP=NEPF；(2)如图2,立c F图2,由(1)可得：NEPF=NAEP+CFP,ZEQF=ZBEQ+ZDFQ,；NBEP的平分线与/O E P 的平分线相交于点Q,：.NEQF=NBEQ+NDFQ=L(ZfiEP+ZDFP)=A3600-(ZAEP+ZCFP)=A(3602 2 2-NEPF),：.ZEPF+2ZEQF=360；(3)由(1)可得：/EG F=NAEG+/CFG,NEPF=NBEP+NDF

16、P,士c：-DL F图3ZBEG=XZBEP,N D FG=L/D FP,n n二 ZEGF=NBEG+NDFG(NBEP+NDFP)=A360-(NAEP+/CFP)=A xn n n(360-NEPF),Z.nZEGF+Z EPF=360.4.【解析】解：(1)9：DE1.BC9:/DBC=90,*：FHDE,：.ZBCF=180-90=90,：.BCA.FH；故答案为：BCLFH.(2)V ZBAC=72,.NA8C+/AC3=108,JFH/DE,：.ZABD+ZACF=12,:ZACM=ZACF,4 4.NABM+NACM=18,.NBMC=180-108-18=54；(3)2/BN

17、C+NBAC=360.如图，ZABE=ZABC+90,ZACH=ZACH+90,NABE和NAC”的平分线交于点N,：.ZABN+ZACN=XZABE+ZACH=1.(ZABC+ZACB+S00)=A (180-Z2 2 2 2BAC+180)=180-ZBAC,2：NABN+/ACN=4ABC+NNBC+NACB+NNCB=180-ZBAC+1800-ZBNC,.180-A z B A C=1800-ZBAC+180-ZBNC,2/.2ZBNC+ZBAC=360.5.【解析】证明：.OBC,.N1=NA8C（两直线平行，内错角相等）,N2=NDBC（两直线平行，同位角相等）.B。平分/ABC

18、,/.ZABC=2ZDBC.A Z 1=2 Z 2.故答案为：AB C,两直线平行，内错角相等，D BC,两直线平行，同位角相等，DBC.6.【解析】解：(1)FN的速度为每秒2。，ZCFE=60,当射线FN经过点E时，所用的时间，为：1=60+2=30；(2)过点P作直线HQ A 8,如图所示：:AB/CD,J.HQ/AB/CD,:FPQ=/CFP=2t,ZEPQ=ZKEP=3t,：.NEPF=NEPQ-NFPQ=3t-2t=3*：KPLFN,：.ZKPF=90,NKPE=900-NEPF=90-t；(3);而与QV的速度不相等，.当0V K 60时，EM与尸N不平行；当60V/W90时，与

19、尸N可能平行，当近V f 尸N时，设月V与4 3交于点G,如图所J NAGF=NMEB,由题意可得：ZMEB=3t-180,7.：.ZAGF=3t-180,YABCD,：.ZAGF+ZCFN=S00,/CFN=2t,：.3t-180+2/=180,解得：，=72.【解析】解：(1)如图1.图1NPGO+N4EM=90,理由如下：*：ABCD,：.NCFM=/AEM.PGLMN,：.ZGPF=90.Z.NPGF+NGFP=180-NGPF=90：.ZPGD+ZAEM=90.(2)如图 2,ZPGD-ZAEM=90,理由如下:NAEM=NEFC.又,:NEFC=NGFP,J NAEM=/GFP.：

20、PG MN,:./GPF=90.:.NPGD=4GPF+NGFP=90+ZAEM.:.NPGD-ZAEM=90.图1 NEPF=NPEB+/PFD.如图，过P作PGA B,则PGC,NPEB=NEPG,ZPFD=ZFPG,：.NPEB+NPFD=ZEPG+ZFPG,B|I NEPF=NPEB+NPFD.(2)如图2-1,当点P在直线AB上方，E尸的左侧时，NEPF=NPEB-NPFD.图2-1证明：过 P 作 P G/A B,则 PG/CD,：.ZPEB=ZEPG,NPFD=ZFPG,：.NEPF=ZEP G-NFPG=NPEB-ZPFD.如图2-2,当点P在直线A 8上方，EF的右侧时，/E

21、 P F=N P FD-/PEB.GBc-D图2-2证明：过 P 作 PG A 3,贝lJPGCD,:NPEB=/EPG,NPFD=NFPG,：.ZEPF=ZFPG-ZEPG=ZPFD-NPEB.9.【解析】ft?：(1)ZM B=Z4,理由如下：VAC/EF,.Z l+Z2=180o,又N1+N3=18O,A Z2=Z3,：.FA/CD,：.ZFAB=Z4；(2)YAC平分NE45,：.Z2=ZCAD,V Z2=Z3,：.ZCAD=Z39.,Z4=Z3+ZCAD,AZ3-1Z4=yX78 =39，*：EFL BE,AC/EF,：.AC.LBE,：.ZACB=90,A ZBCD=900-Z3=

22、51.1 0.【解析】解：所 与CQ交于点H,(已知)N 3=N 4.（对顶角相等）V Z 3=60,（已知）.,.Z4=60.（等量代换）：AB/CD,EF 与 AB,CD 交于点 G,H,（已知）.,./4+/F G B=180.（两直线平行，同旁内角互补）：.ZFGB=20.平分/F G B,（已知）A Z 1=60.（角平分线的定义）故答案为：对顶角相等，等量代换，两直线平行，同旁内角互补，120。，60.1 1.【解析】解：（1）,:MNLCD,二直角中，NCMN=90-ZECD=90-30=60,:.NCMN=NMEN+/MNE=60；（2）同（1）可得：NCMN=NMEN+NMN

23、E=96-a.:MNLCD,.直角中，NCMN=90-ZE C D=90-a,:./CMN=NMEN+NMNE=90-a.1 2.【解析】（1）解：补全图形如图1所示，止 匕 时ON 尸M,理由如下:图1；ON 平分 NXO Y,且 NXOY=2a,NNOA=NNOY=a,PA/OY,：.4AN0=NNOY=a,：N P=a,二 N P=/A N O=a,：.ON/PM.(2)证明：B40K：.ZOAP=ZXOY,ZOBP=ZAPM,ZOBC=ZPAC.V ZX0r=2a,ZAPM=af：.Z0AP=2af ZOBP=a.YAP 平分NOAC,ZPAC=ZOAP=2a.：.NOBC=2a.：.

24、/PBC=/OBC-ZOBP=2a-a=a,：.ZPBC=ZOBP.BP平分NOBC.图2TAP。匕J ZPAM=ZXOY=2a9 M_LOX,A ZPMA=90,*/NP=a,a+2a=90,解得a=30.1 3.【解析】解：过尸作MNC,如图:MNCD,/I =30,A Z 2=Z l=30o,9：AB/CDfAZ3=Z4,EF.L AB 9：.Z4=90,N3=90,NFG=N3+N2=90+30=120.1 4.【解析】(1)NB+NBED+ND=360.证明：过点E作EG A3.A ZB+ZBEG=180.AB/CD,EGAB,：.EG/CDf：.ZDEG+ZD=S0,工 NB+NB

25、EG+NDEG+ND=180+180.即N3+NBE+NZ)=360；(2)解：如图所示：由 w ZABC+ZBED+Z CDE=360,V ZABE,N8E的角平分线8F,DF交于点、F,:NABC=2NFBE,ZCDE=2ZFDE,：2NFBE+NBED+2NCDE=36U,HPZFBE+AzBED+ZCDE=180,2V ZBFD+ZFBE+ZBED+ZCDE=360,AZBFD=1 8 0 0-yZBED-1 5.【解析】解：（1）如图：AZ1=Z2,VZ2=63,AZ 1=63.OCABf.,.Zl+Z3=90,A ZEOF=27；(2)如图，过点G作GNA 8,交OC于点N,Z4=

26、Z5,:OF/PD,N3=N4,N3=N5,VGMAB,GN/AB,:GM1GN,:/MGN=90,NPGM=N5+90,A ZPGM=Z3+90,：.ZPGM-Z3=90,即 NPGM-NEO/=900.16.【解析】解：（1）ZY=a+Zp,理由：过点P 作 P/1（如 图 1）,/1/2，J.PF/12,：.Za=ZD PFf/B=/C P F,：.ZY=ZDPF+ZCPF=a+z p；（2）当点尸在MB上运动时（如图2）,V/iZ/fe,；NB=NCFD,NC尸。是 仪的外角，A ZC FD=Za+ZYA Z P=Z Y+Z a；同理可得，当点P 在 AN上运动时，Z a=ZY+Z p

27、；17.【解析】解：（1）过 M 作 MNA3,ABMD图 19AB/CDfC.AB/MN/CD,：.ZAMN=ZA,/M C D=/C,ZA+ZC=ZAMN+ZMCD=NAMC=60,故答案为：60；(2)ZBAM+ZMCD=a+2Q.理由：过 A 点作APCZ)交 5。于点P,图2/.ZA P B=ZDfV 180,ZB+ZD=160,A ZBAP=180-160=20,由(1)可得NAMC=NM+NMCO,ZAM C=a,：.ZPAM+ZMCD=a,：.ZBAM+ZMCD=a+20；(3)如图，当。，C 位于4M 两侧时，V ZABD+ZBDC=60,ZCDM+ZDC=180,：.ZCD

28、M-ZABD=20,V ZAMQ=ZB+ZBAM,/CMQ=/MCD+/CDM,ZAMC=a,a=NAMQ-NCMQ=N8+NBAM-QMCD+/CDM)=ZBAM-ZMCD-2O0,即 N8AM-/MC)=a+20；当O,C位于AM同侧时，nV ZABD-ZBDC=60,ZCDM+ZBDC=S0,：.ZCDM-ZABD=20,V ZAMO=ZB+ZBAM,/CMO=/MCD+/CDM,ZAMC=a,：.a=ZCMO-ZAMO=ZMCD+ZCDM-(NB+NBAM)=NMCO-NBAM+20。,即 NMCD-NBAM=a-20.综上，ZBAM-ZMCD=a+20 或NMCD-N84M=a-20

29、.1 8.【解析】(1)解：过点P作PE A3,AB/CD,：.PE/AB/CD,：.ZA+ZAP=180,ZC+ZCPE=180,N%B=130,ZPCD=120,A ZAPE=50,/CPE=60,；NAPC=NAPE+NCPE=110.(2)ZAPC=Za+Zp,理由：如图2,过 尸作PE A8交AC于E,*：ABCD,J.AB/PE/CD,：.Za=ZAPE,NR=NCPE,：.ZAPC=ZAPE+Z CPE=Za+Zp；(3)如图所示，当P在 延 长 线 上 时,ZCB4=Z a-Zp；如图所示，当 尸 在 延 长 线 上 时,ZC4=Zp-Za.证明：过点M作MP AB.ZAEM+

30、ZEMF+ZMFC=360.9：AB/CD,：.MP/CD.N4=N3.,:MP AB,AZ1=Z2.:NEM尸=N2+N3,.ZEMF=Z1+Z4.，NEM F=NAEM+NMFC；证明：过点M作MQ4艮:AB CD,：.MQ/CD.：.ZC F M+Z=SO；,:MQH AB、N4EM+N2=180.A Z CFM+Z 1+ZAEM+Z 2=360.V Z E M F=Z1+Z2,/.ZAEM+ZEM F+ZM FC=36Q；(2)如图 2 第一个图：NEMN+NMNF-NAEM-N N F C=180；如图 2 第二个图：NEM N-NMNF+NAEM+NNFC=180.2 0.【解析】

31、解：（1）补全图形，如图1所示.B图NOPE+NA=180.证明：*：PD/AC,：.N A=/B D P.：PE/AB,：.ZDPE+ZBDP=SO,A ZDPE+ZA=180.(2)不成立，此时乙D PE=/A.理由如下：如图2,反向延长射线尸。交AB于点。可知NPE+NOiPE=180.由(1)结论可知/。：+乙4=180.:.NDPE=NA.2 1.【解析】解：(1)设N”的 4 系补周角的度数为x,根据新定义得，120+4x=360,解得，x=60,的 4 系补周角的度数为60,故答案为60；(2)过E 作 EF4 3,如 图 1,图1:.NB=NBEF,JAB/CD,C.EF/CD,ZD=60,A Z D=Z D F=60,V ZB+60=NBEF+NDEF,即 NB+60=NBED,.NB是NBE 的 3 系补周角,A ZBED=360-3 AB,N8+60=360-3N B,A ZB=75；当B G上的动点P 为N C D E的角平分线与B G的交点时，满足N 5PO是N F的k系补周角，此时k=2n.