广东省江门市2023届高三一模数学试题解析.pdf

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1、江门市2023年高考模拟考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，=-1 1,=1走A ,则集合B中所有元素之和为()A.0 B.1 C.-1答案：C根据题意列式求得加的值，即可得出答案.解：根据条件分别令加一1 =1,0/，解得像=0,件,土近,又加一1 走 A,所以/?=1，土B =-1,所以集合B中所有元素之和是-1,故选：C.2.已知i为虚数单位，复数z满足z(l+i)=|l +i|,则2=()AV 2 V 2.也也.夜 友.A.-1-i B.-1 C.-1-i2 2 2 2 2 2答案：B将z写 为 回

2、化 简 即 可.1 +iD.V 2D.也一旦2 2解：因为z(l +i)=|l +i|,所以2=回=正=也(l-i)=立 一 受i.1 1+i 1+i 2 v 7 2 2故选：B3.命 题“V xeQ,12一5。0”的否定为()A.Bx g Q,炉 _5=0 B.Vx e Q,炉一5=0c.V x/Q,5=0 D.3 x e Q,炉一5=0答案：D利用全称量词命题的否定可得出结论.解：原命题为全称量词命题，该命题的否定为“MXGQ,5=o”.故选：D.4.已知多项式(工一1)=4+4(x+l)+%(尤 +1)-+4 o(x+l)，则。7 =()A.-9 6 0 B.9 6 0 C.-4 8 0

3、 D.4 8 0答案：A将写为(2+x+,%是第8项的系数，计算即可.解:解：因为(x1 1=(2+X+1),所以第 8 项为n=C：o(2)3(x+l)7,所 以 生=C：o(2)3=9 6 0.故选：A5.设非零向量比，满 足 时=2,忖=3,|?+川=3拒，则/在“方向上的投影向量为()5 _ 5 _ 5 _ 5 _A.-n B.ii C.HI D.rh18 18 8 8答案：B根据向量模的性质由己知可求得相，则按照m在n方向上的投影向量的定义求解即可.解：因为|司=2,忖=3,所以区+=J/”？+2 g +，=J 4+2Z-+9=3近，则13+2布 力=1 8,解得比2所以加在方向上的

4、投影向量为同n I,|m-n n3九 凡 同=网 同 同.同m-n同25-18-5-2-9-故选：B.6.衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为()4-52-5A.8一15c8-9D答案：D记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A,记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B,求出p(A DP(A),P(AB),根据条件概率公式P(同A)=黄：求解即可.解：从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A,记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件8，事 件4包含两种情况：“取出的袜

5、子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则（）一 C；一 35又P（g;L全则小 然4，C8 JJ r（今?Q即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为故选：D.7.已知等差数列。”（ne N+）的前”项和为S“，公差d0,羿 0的最大整数为（）A.9 B.1 0 C.1 7 D.1 8答案：C根 据.一1，可 得%0，为 异号，根据d 0，）0，且4（）+。9 0,q+8，利用等差数列的前项和公式即可得出结果.解：解：因为一坨1 0,所以q0，。9异号，%因为d O,4 o 0,又有一9一1，所以。1 0一。9，即0+9 0,。9因为、=17（广）=1

6、 7,%A。广）=外。）0的最大整数为1 7.故选：C8.我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列，那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列 力（x）（e N+）的通项公式为f（x）=J域，E =“为所有E”的并集，则 后 为（）（5 1 0A f,1 0、.5 5、1 6 9）I 9）1 6 4）x e（0,l）,记 纥为 力（x）的值答案：c利用导数可得函数力（X）在（0）上单调递增,2+1 I 1进而“(/+1)+7(/1 +1U)然后构造函数，利用导数求函数的最值，进而即得.z n+2M X+1 1 (1，,1.解：因 为 (x)=-r7=-n+x+-,%e(0,l),

7、ne N+,+1 1 n+x J所以1战卜故 人（x）在（0,1）上单调递增,又 舄工 信F所以3加 上 +1 _ 1)2，设%ll+1 、T /尤 2 +1 7 N+，令 g(X)=_/_H(H+1)x(x+l)1X则 g(x)=2(x+l)-(f+i)(2 x +l)_ x 2 2 x 1x2(x+l)2x2(x+l)2由 g (x)0,可得 1 尤 0,可得工1 +夜,所以函数g（x）在 1,1 +虚）上单调递减，在（1 +又 g =，g =,O O所以，（x），O OJ 5,+8）上单调递增,设2=1 +1 ,IE则“+）2 在 1,+）上单调递减,所以，力（x）j综 上,|X(x)-

8、Eii-故选：C.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：仔细阅读，理解新定义的内涵；根据新定义，对对应知识进行再迁移.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知函数/(x)=si n(2 x-g，则下列说法正确的是()A./(x)的值域为 0,1 B./(x)的 图 像 关 于 点 中 心 对 称%兀 7 t I c i L 5 7 CC./(X)的最小正周期为兀 D./(X)的增区间为-y+-,y +(壮Z)答案：A D根据正弦函数的性质结合绝对值的定义判断各选项.7 T解：因为lKs

9、i n(2 x )1,所以 0W/(x)W l,A 正确；吗=卜n(2 x泊)=0,但/(x)2 0,因此 x)的图象不可能关于点(已,0)成中心对称，B错;y =s i n(2 x 巴)的最小正周期是=无，所以/(x)=s i n(2 x 彳)的最小正周期是上，C错;3 2 3 2由/(x)=s i n(2 x-色)=0得2X-=E,X=+,keZ,3 3 2 6j r 2 7 r T T JT 5 TI 2X 时，s i n(2 x-)0,易得 x 6 ,一 时，/(x)递增，x e 一,时，f(x)递减，又/(x)6 3 3 6 12 12 3的最小正周期是三，2女 兀 兀Z兀 5兀所以

10、/(幻的增区间是 +,+(ZeZ),D正确；2 6 2 12故选：AD.10.已知曲线C f s i n a +y 2 co s a =l(OVe7 i),则下列说法正确的是()A.若曲线。表示两条平行线，则a =07 TB.若曲线C表示双曲线，则一a 兀27 TC,若0。巳，则曲线C表示椭圆27 1D.若0一,则曲线C表示焦点在x轴的椭圆4答案：BD根据曲线的形状求出参数a的取值范围，逐项判断可得出合适的选项.解：对于A选项，若曲线C表示两条平行线，则有s i n a =O或co s a =0,且0 1 兀.若s i n a =O,则c=0,此时曲线C的方程为V =1,可得y =-i或 丁

11、=1,合乎题意，7T若co s cr =0,则。=一，此时曲线C的方程为/=1，可得=-1或 =1,合乎题意，2故A错；对于B选项，若曲线C表示双曲线，则s i n a co s a 0,JI由于0。，可得co s a 0co s a 0 TT n对于c选项，若曲线。表示椭圆，则八，解得0。乙且。一，c错;0 a n 2 4s i n a w co s a7 T 1 1对于 D选项，若0 a一,则0-0,4s i n a co s a2 2曲线C的方程可化为 J J-，s i n a co s a此时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，D对.故选：BD.11.已知函数x)=f(x+2)(x-l),

12、则下列说法正确的是()A.7(x)的图象是轴对称图形B.“X)的极大值为0C.“X)的所有极值点之和为9D./(X)的极小值之积为一8答案：BCD将/(X)代入/(x)=/(a-x)中化简，若m awR,使得V xe R,等式均成立，则是轴对称图形，化简等式，建立方程解出根，即可判断A；对/(x)求导，令导函数为0,求出极值点之间关系，进而判断/(力 单调性即可判断B、C,计算/(x)的极小值之积，即可判断D.解：对A,若加e R,使得V x e R,有 x)=/(a-x)成立，即 J?(x+2)(x 1)=(a x)-(a x+2)(a x 1),即 x2fx2+x _ 2)=(/-2 o

13、x+x2)(+2-x)(t z-l-x),即 x，+-2 x?=2cix+x)(t z+a -2-(2 a +1 )x+厂)，化简可得：x4+x3-2 x2=x4-(4 +1)1+(6/+3.-2 b 2 +(-6/-3a2+4 a x+a2(a?+a-2),-(4 a +l)=l6。一 +3a 2 =2因为V xe R等式成立，所以有j _6 a 3 _3 q 2+4 a =0成立，解得ae 0，a2(a)+a-2)=0故不存在这样的。使得X/x e R,有 x)=a x)成立，即x)不是轴对称图形,故选项A错误；对 B,因为/(X)=%2(%+2)(X-1)=X4+X3-2 x2,所 以/

14、(x)=0，可得x =0或4 f+3 x-4 =0，因为A=9+6 4 =7 3 0,所以4 f +3 x 4 =0有两个不等实根记为xx 2(x&),3由韦达定理得玉+X2 ,X 1-X2=1 0,所 以 不。工2，当X G(Y O,x J时,x 0.所以/(x)0,/(x)单调递减，当x e(x，O)时，x 0,4X2+3X-4 所以f(x)0,x)单调递增，当x e(O,X 2)时，x 0,4x2+3 x-4 0 .所以/(x)0,4 x2+3 x-4 0 所 以 附x)0,/(%)单调递增，所以/(x)的极大值点为x =0,即选项B正确；3对C,的所有极值点之和为：玉+0+/=一 屋

15、即选项C正确；对D,由单调性可知/(x)的极小值点为4毛，所以7a)吃)=(%+2)&-(9+2)(/t=(尤*2)2，(玉2 +王 一2)(占2 +工2 2)=(玉 (x；/2 +无+xxx+xyx2-2x-2X22-lx2+4)3将玉+/=X2=-1 2,故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2,D正确.故选：A B D【点睛】勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质:勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为也 一 叵2a a,7表面6个弧长之和不是6个圆心角为6 0的扇形弧长之和，其圆心角为a r c c o s,，半 径 为 也.3 2三、填空题：

16、本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.已知 一,0),c o s 2 6 =(,则 s i n 6 的值为.答案：一 根据二倍角的余弦公式，结合角的范围，即可求得结果.7 7 1解：因为c o s 2 6 =一,所以 1 2 s i n-e =,即 s i n ，=,9 9 9又所以s i n 6 =故答案为：-1 4.椭 圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，长轴长，短轴长，焦

17、距依次组成等比数列.根据以上信息，黄 金 椭 圆 的 离 心 率 为.答 案.T +下2ab,由得原点到直线A 8的 距 离 丁 言=c,求得=a c，由得(2份2=2 a x(2 c)=4 a c,求得Ja+b-=a c，从而。2一,2=改，两边同除以标 得i e 2=e，又0 e 即 合 一/=”。，两边同除以/得=e ,又0 e l,解得e =士 二62故答案为：二1拽.21 5.已知直线/过点A(l,2,0),且直线/的一个方向向量为m=(0,-1,1),则坐标原点。到直线/的距离d为.答案：V 3根据空间中点到直线距离公式计算即可.解：由题知，直线/过点A。,2,0),且直线/的方向

18、向量为m=(0,1,1),点0(0,0,0),所以 A O =(T,-2,0),所以点0(0,0,0)到/的距离为故答案为：6 1 6 .已知/(x)=|l n H，孙W是方程,f(x)=a (t z e R )的两根，且玉 0),结合函数的单调性及最值求解即可.e解：由题意药,刍是方程|l n x|=a的两根，且玉 0,I n x,=-a,nxz=a ,即西=e ,/=e,a所 以 装 屋-aa _ ae e -e，(0),x1 x令g(x)=(x 0),g(x)=当0 x 0,g(x)单调递增；当x l时，g (x)32+”.3T,3S=l-3+2-32+3-33+4-34+(n-l)-3

19、,_|+n-3,两式相减可得：2S“=3+31+32+33+34+3T-3,所以一2s“=!一-3,故s,二(2 T)3 +L 2 4 418.在锐角一ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 一，一 一，一依次组成等差数歹(tanB sinA tanC(1)求 土 的 值；be(2)若b c,求匕 口 的取值范围.答案：(1)2(2)(1,72)(1)根据一,.成等差数列结合三角恒等变换可得sin2A=2sinBsinC，由正弦定理即可求tanB sinA tanC2得 幺 的 值；heb h2 4-r2(2)由(1)得 筋=2，根据锐角三角形结合余弦定理可得一的取值范围，将 匕 冬

20、 转 化 为a a勺三=(1+，令g=xe(l,l+&),设/(x)=g 1+j根据函数单调性确定函数取值范围，即得b幺2+:jc2的取值范围a【小 问1详解】1足2 1 1 cosB cosC sinCcosB+cosCsinB sin(C+B)由条件得：=-+-=-+-=-=-LsinA tanB tanC sinB sinC sinBsinC sinBsinCsinAsinBsinC所以 sin?A=2sinBsinC2由正弦定理得：a2=2bc-所 以 幺=2.he【小问2详解】、cos A0b c及 =2 b c，则5 C,角C一定为锐角，又 一ABC为锐角三角形，所以 八八cos

21、B 0由余弦定理得：r2 2 2b+c-a n-02bccr+c-b-八-02acb1+C1-2bc2hc2bc+c2-b22ac 0=0b2+c2-2bcQ,2,，z 所以2 8。+。2一 0,2bc+c2-h20gpf-(ci1+2日，解得：1-62 0,所以 x)在(l,l +a)上递增，又/(1)=1,/(1 +V 2)=V 2,所 以 勺 且 的 取 值 范 围 是（1,血）.1 9.某高科技公司对其产品研发年投资额x （单位：百万元）与其年销售量y （单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如卜统计表和散点图.X123456y0.511.5361 2z=Iny-0.700.41.11

22、.82.5一一一一-O086420(之卜)俞也融册-L2-L5467研发年投资额x（百万元）（1）该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用y =法+。和y =e x+c 两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案和的经验回归方程；（注：系数b,a,d,c按四舍五入保留一位小数）（2）根据下表中数据，用相关指数A?（不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？经吸可归方程_残差平方和y=hx+ay,.=edx+c斗）1 8.2 90.6 5(%-可(-9

23、)两参考公式及数据：8=上 一-=耳-，c i =y-bx,t(七 一 于 丫 位2i=i=Z(x-x)2 E(x-x)2R =_弋-=1-,X(x-7)2 Ex2-r/=1i=l6=-1 x 0.7 +2 x 0+3 x 0.4 +4 x 1.1 +5 x 1.8 +6 x 2.5 =2 8.9,e34=3（）.i=l答案：（1）y=2.1 x-3.4,y=e 0-6 E 4（2）3 0 （千件）（1）求出无，歹，根据公式计算出刀 得线性回归方程；求出三，再求得系数。，b,代入得非线性回归方程；（2）根 据（1）回归方程分别求得相关指数R：,周，比较可得，然后估算销售量即可.【小 问1详解】

24、由题可得元=,（1 +2 +3 +4 +5 +6）=3.5,j=-（0.5 +1 4-1.5 +3 +6 +1 2）=4,6 666=1 x 0.5 +2 x 1 +3 x 1.5 +4 x 3 +5 x 6 +6 x 1 2 =1 2 1,=1+4 +9 +1 6 +2 5 +3 6 =9 1 ,i=l/=1所以b=61 3 一6 回-5 x 4 x 3 5/=1_ _ _V 2 r-2 9 1-6 X3.52-6xi=l 2.1 1,a 二9一属=4-2.1 1 x 3.5 出 一 3.4,方案回归方程y=2.1 龙3.4,对y=6次+。两边取对数得：lny=i&+c,令z=lny,z=d

25、 t+c是一元线性回归方程.z =1(-0.7 +0 +0.4 +1.1 +1.8 +2.5)=0.8 5 ,d=6-6 取/=16Xx；-6 x2/=12 8.9-6 x 3.5 x 0.8 5 -；-X 0.6 3 ,9 1 6X 3Sc =za S =0.8 5 0.6 3 x 3.5 1.4,方案回归方程旷=6 0 1 4【小问2详解】方案相关指/=停i=ln 21 0.6 5!?;=1 -方案相关指数2 y2-n y2i=l7?r 0）,由OE_LPC可得出OE.pc=o,求出m的值，利用空间向量法可求得直线0E与平面PBC所成角的正弦值.【小 问1详解】解：连接AC与8 0交于点尸

26、，因为底面ABCD是菱形，。是AD的中点，所以AO B C,且A0=6 C,所以AF=，FC.2 2因为AP平面30E,A P u平面A P C,平面AP。平面=P F A F I所以AP EF,所 以 一=一E C F C 2【小问2详解】解：因为底面ABCZ）是菱形，。是AD的中点，Z.BAD=6 0，因为AB=2，则A 0=LAQ=LAB=1,2 2由余弦定理可得B O2=A B2+A O2-2 A B AOcos60=22+l2-2 x 2 x lx l=3,2所以，A O2+B O2=A B2，所以 30 _L AO.因为OP_平面ABC。，A D u平面ABC。，B O u平面AB

27、CD,所以OPLAD,OPBO,以点。为坐标原点，0 4、OB、OP所在直线分别为X、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系O-xyz.则 0（0,0,0）,A（l,0,0）,B（0,6,0）,C（-2,V3,0）.设尸（0,0,间,m 0,则PC=（2,8,一 同，所以0E=0P+PE=0P+PC=j_ 2,走，网.3 1 3 3 3 J4 2m2,/7Z因为QE_LPC,所以OE-PC=W +1且=0,解 得 加=止.3 3 2_ 2 6所以。E,fiC=（-2,0,0）,PB=0,6,一设 =(x,y,z)为平面P B C法向量，则n-BC=0，得n-PB=02x=06 y-呼 z=0取

28、z=2 6，所以=(0,/,2 为平面PBC的一个法向量.因 为 同 ,困=畸3V1313所以直线OE与平面P8C所成角的正弦值是 M 3.1321.已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直 线 与 直 线 丁 =%垂直，A为垂足且位于第一象限，直线M5与直线y=一垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形。4MB(。为原点)的面积为8,动 点、M的轨迹为c.（1）求轨迹c的方程;（2）已知7（5,3）是轨迹C上一点，直线/交轨迹C于P,。两点，直线T P，7 Q的斜率之和为1,tan Z P T Q =1,求工7 P Q的面积.答案：(1)X2-/=16 (x 4)55(2)3(1)设动点（4,九）

29、，由 题 意 知 何 根=匕 回，忸7 2中,由题意露1唠,化简可得轨迹C的方程;（2）设直线T P的倾斜角为a，斜率为k,直线T Q倾斜角为p，则T Q斜率为-k,tana=k,t an夕=1-3由过点T直线与曲线C有两个交点确定左的范围，由t anN P T Q =t an（乃-a）=l,解得k=3,从而可得直线7P、7。的方程，与曲线C的方程联立解得RQ的坐标，求出|P T|及点。到直线7尸的距离d ,即可求出二万Q的面积.【小 问1详解】设动点M（X。，儿）,由题意知M只能在直线y=X与直线y=一%所夹的范围内活动.1 1 V2 1 1 V2动点几）在y=x右侧，有/一 方 0，同理有

30、玉）+%。，四边形OAM B的面积为8,区口,=8，即片一 y；=16 ,V 2 5/2所以所求轨迹C方程为/-2 =16 （x 4）.【小问2详解】如图，设直线7P的倾斜角为a,斜率为4,直线T Q倾 斜 角 为 则7。斜率为1-3t ana=Z,t an/?=l-3 T(5,3)在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，则%1或左一1,同时1一攵1或1 一左一1,解得攵2或左V一1./c t c (c t an 6-tana-k-k 1t anZ P T 2 =t an(/?-)=-=-.-=1,解得上=3或左=0(舍去)1 +t an p t an a 1 +(1-2)%Z=3时，直线7

31、 P的方程为y=3x-12,y=3x-12 /、联立1:2 消)得：x2-9x +2 0=0,则 x=4 或 x =5,得 P(4,0).x -y=16直线丁。的方程为y=-2 x+13,y lx+13 37 八(37 3f联立2 2 消y得：52 x +18 5=0,则 无=或x =5,得Q 二,一三x-y=16 3 3 3|PT=7(5-4)2+(3-0)2=M，3537+卫12点。到直线7 P的距离d _ 3 _ 110,衣+口 一丽S/X7PQ=-xTPxd2 1 1VlonoX丽55T1 X2方法二：|P T|=J(5 4)2+(3 0)2 二 回 ,t an/P T Q =l,贝i

32、 Js i nN P T 0=2S眸=；研邳n/P T Q =3限莘x 等哼2 2.已 知 函 数=,其中QWR.(1)若/(x)图象在x =l处的切线过点(2,1),求Q的值；(2)证明：/a,/(e-w)2时，求证：/(X)有3个零点，且3个零点之积为定值.答案：(1)a=(2)证明见解析(3)证明见解析(1)求导，根据导数的几何意义求/(X)在X =1处的切线方程，然后由切线过点(2,1)求得。的值；(2)/(e)=e -ea+a2,构造函 数g(a)=e-e+/,a,利用函数的单调性求证即可；令/(x)=0求得知天，可得/(x)在(0,%)，(9,+8)上单调递增，/(x)在(49)递

33、 减，则至 多 有 三 个 零 点.又/=0,玉)1)=0,/卜一)0,所以e-&0,/(尤)+/(=0,则/=所以/(X)恰有三个零点：%,1,从而得出结论.【小 问1详解】由条件得：f(x)=+-=2-a,X X又/=1 ；a l n l =0 ./(X)在x =l处的切线为：y =(2 a)(x-l),/(X)的图象在x =l处的切线过点(2,1),1 =(2 -a)(2-1)a =1.小问2详解】/(e-)=e-e +a 2令g(a)=e-e +a 2,a,则g(a)=-修 一e +2 a,令(a)=e-e +2 a,(a)=e、-e +2 -e+2 0,(a)在(1,+c o)递 减

34、，/.A(iz)/(l)=-e-1-e+2 0,即g(a)0g(。)在(l,zo)递减，g(a)g(l)=e T-e+ll,/e)2时，由八 力=0得：二4x e（O,xJ时，盟x）0；x e（F，/）时，f（x）0,/（X）在（0,石）,（孙+8）上单调递增,/（%）在&,工2）递 减，./（X）至多有三个零点.（a-2）2 （a2 4）=4a+8 0,；a 2 J/-4,-*xx=.3 又/=o，“X）在a#递减，/（玉）/（1）=0,又 由（2）知/卜一）0,所以e-XI0,f （x）+|=x-alarH-x aln =0,一/(%)=0,又毛(0,1),G(l,+a),；/（x）恰有三个零点：%，1，.a2时，/（x）的所有零点之积为/X lx =1 （定值）.【点睛】方法点睛：函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令/。）=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2）零点存在定理：利 用 定 理 不 仅 要 求 函 数 在 区 间 切 上 是 连 续 不 断 的 曲 线，且/（）./（/?）0,还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.