北京市海淀区2023届高三一模数学试卷（含答案）.pdf

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1、2023北京海淀高三一模数 学2 0 2 3.4本试卷共4页，1 5 0分。考试时长1 2 0分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共1 0小题，每小题4分，共4 0分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合4 =3|1%3 ,8 =0,1,2 ,则 A B=(A)2 (B)0,1 (C)1,2 (D)0,1,2(2)若。+2 i =i(+i)/?),其中，是虚数单位，则 +/?=(A)-1 (B)1 (C)-3 (D)3(3)在等差数列”“中，g=1，/=5,则4 =(A)9(B)1 1 (C)1 3 (

2、D)1 5(4)已知抛物线V=4x的焦点为F,点尸在该抛物线上，且 尸的横坐标为4,则归盟=(A)2 (B)3 (C)4 (D)5(5)若(工-1)4 =a4x4+a3x3+a2x2+q x +g，则 aA-a3+4-1 =(A)-1 (B)1(C)1 5 (D)1 6(6)已知直线y=x+m与圆O:1 +y 2=4交于4B两 点,且A OB为等边三角形，则加的值为(A)V 2 (B)V 3 (C)2 (D)7 6(7)在.A3 C中，Z C =90 ,Z B =30,N E 4 c的平分线交8 c于点D若ADAAB+JJAC(A,/?)则一=1-3A1-2x)zB(8)己知二次函数x),对任

3、意的x eR,有/(2 x)0且q l”是“(7；)为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)即不充分也不必要条件(1 0)刘老师沿着某公园的环形跑道(周长大于1 k m)按逆时针方向跑步，他从起点出发，并用软件记录了运动轨迹，他每跑1 k m,软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数。己知刘老师共跑了 1 1 k m,恰好回到起点，前5 k m的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为(A)7 (B)8 (C)9(D)1 0二、填空题共5小题，每小题5分，共2 5分。X 1(1 1)不等式3 0的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _.元+2(1 2)已

4、知双曲线C:-4=1的渐近线方程为y=土 底,则C的离心率为_ _ _ _ _ _ _ _ _.a b-(13)已知函数/(x)=s i n(x+夕)(0(p 2乃).若“X)在区间7 T-,7 T上单调递减，则8的一个取值可以为./(x-a +l)(x+D,x 1.当。=0 时，/(/(1)=；若/(x)恰有2个零点，则a的取值范围是.(1 5)在,中，N A C 3 =9 0,4。=6。=2,。是边4。的中点，E是边4?上的动点(不与A,B重合)，过点后作4。的 平 行 线 交 于 点 尸，将.3 E F沿E F折起，点8折起后的位置记为点P ,得到四棱链P-ACFE,如图所示，给出下列四

5、个结论：AC平面P E F；,P E C不可能为等腰三角形；存在点E,P,使得P D L A E；当四棱锥P-A C FE的体积最大时，A E =C.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.第2页/共4页三、解答题共6小题，共 8 5分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(1 6)(本小题1 3 分)如图，直三棱柱 A B C 4与G 中，AC=3 C =1,A 4,=2,A C _ L B C,。是A 4,的中点.(I)证明：C|O _ L 平面8CO；(I I)求直线8与平面8G。所成角的正弦值.(1 7)(本小题1 4 分)在 Z V 1 B C 中，O s i n 2 A

6、 =V a s i n B.(I)求 NA；(I D 若 A/U 3 C 的面积为3g,再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为己知，使A 4 8 c存在且唯一确定，求。的值.条件：s i n C =；条件：-=；条件：c o s C =7c 4 7注：如果选择的条件不符合要求，第(I I)问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.(1 8)(本小题1 4 分)网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1 0户，分别记为4 组和8 组，这2 0户家庭三

7、月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：B组51 114 7 83 5 9假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.(I)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1 户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于2 0的概率；(I I)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1 户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于2 0的户数为无估计X的数学期望E (X)；(I I I)从/组 和 8组中分别随机抽取2 户家庭，记刍为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于 2 0的户数，幺 为 B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于2 0的户数，比较方差。(。)与。(自 2)的大小,(

8、结论不要求证明)第3 页/共4 页(1 9)(本小题14分)2 2已知椭圆后：鼻+斗=i(a0)的左、右顶点分别为4,4,上、下顶点分别为4,四,|4,因=2,四边形4 月&小 的周长为4指.(I)求椭圆 的方程；(II)设斜率为左的直线/与x 轴交于点P,与椭圆E 交于不同的两点M,N,点关于y 轴的对称点为M ,直线 W 与 轴交于点,若AOPQ的面积为2,求人的值.(2 0)(本小题15分)已知函数f(x)=em-X,(I)当a=l 时，求曲线y=/(x)在点(0,7(x)处的切线方程；(I I)求/(x)的单调区间；(I I I)若存在使得/(石)/(%)2 9,求 a 的取值范围.(

9、2 1)(本小题15分)已知数列 4 .给出两个性质：对于”“中任意两项afli j),在 4 中都存在一项ak,使得ak=aiaj；对于 4 中任意连续三项,，4+2,均有(4 一为+1 一勺+2)(见一；用一%+2)=(I)分别判断一下两个数列是否满足性质，并说明理由：(i)有穷数列 4 ：an=2 -(=1,2,3)；(i i)无穷数列 bn-.bn=2n-l(n=1,2,3-).(I I)若有穷数列 4 满足性质和性质，且各项互不相等，求项数用的最大值；(I I I)若数列 4,满足性质和性质，且q 0,%.又因为8 c C D =C ,所以平面B C D.（I I ）由题意可知，C

10、4,C 8,C C|两两垂直，如图建立空间直角坐标系C-“z,高三数学参考答案第1页（共7页）则 C(0,0,0),(1,0,1),8(0,1,0),G(0,0,2),8 0 =(1 1),BC=(0,-1,2),C D =(1,0,1).设平面BCQ的一个法向量为”=(x,y,z),则n-BD=0,f x-y +z =0,即 n-B Q =0,+2 z =0.令 z =l,则 y =2,x =l,得 =(1,2,1).设直线C D与平面BCQ所成角为。，C D n l g贝ij si n 0=|c os|=-：-=，C D|n|3所以直线8 与平面BQ。所成角的正弦值为日.(1 7)(本小题

11、1 4分)解：(I)由。si n2 A /5 si n3 及正弦定理，得 si nB si n2 A V 3 si n A si n B.由倍角公式得 2 si n3 si n A c osA 7 3 si n A si n B .在 A A B C 中，si n A 0,si n B z 0 ,得 c os A.2T T因为A.(0,-),T T所以A 7.6(I I )记/ABC的面积为S 例选条件：由(I )知A又由题知S*=3百，可得%s c；c si n4得 be 1 2 5/3 .又由条件，即2 巫,解 得b 3瓜c.4.c 4由余弦定理，得高三数学参考答案第2页（共7页）a2 h

12、2.c2 2hccosA:27.16 2.3 .4.-27所以a五选条件：又由条件，即cosC=叵 以 及 CWQT T),可得sinC=也.7 71 V21 V3 277 35/21所以 sin 3=sin(A+C)=sin AcosC+cosAsinC=x+-x兀由(I)知 4-Z,6又由题知 S&BC-3 6,可得 csin A.得be 12技由正弦定理得a：6：c=sin A:sinB:sinC=7:3/21:4y/7.可设 a=1k,b=3 Z,c=4 8 .由儿=12石，得k=土得 4=五(1 8)(本小题14分)解：(I)设该户网购生鲜蔬菜次数超过20次为事件C,在Z 组 10户

13、中超过20次的有3 户，由样本频率估计总体概率，则 P(C)=.(II)由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1 户的网购生鲜蔬菜次数超过2047次概率为上，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为1010X 的取值范围为0,1,2.3 7 21P(X=0)=(1)x(1)=,10 10 100._ 3 八 7、八 3,7 29P(X=1)=x(1-)+(1-)x =10 10 10 10 50日、3 7 21P(X 2)=x =-.10 10 100(X)=0 x+lx10029 c 21 1+2 x =150100高三数学参考答案 第3页(共7页)（I

14、ll）。&）=。（刍）.1 9.（本小题1 4 分）解：（1 ）依题意可得：2b=2,4yla2+4=4 而解 得 上=技椭圆E的方程为+尸=15（I I ）依题意，可设直线/方程为丁=+加（初7 工0）,M（X ，X）,阳 和%）V 2 _联 立 方 程 彳+y =Ly=lex+m.W(5k2+i)x2+0kmx+5m2-5 =0.A =(10km)2-4 (5k2+l)(5 w2-5)=1 0 0 A:2-20m2+20 0 ,B P 5k2nr-l.0km 5m2-5诉T=赤F在直线/方程y =f cv +m 中，令 y =0,得 =-生，得 P(-%,0).k k依题意得M (F，乂)

15、，得直线MN方程为丫 =江&(x +x j +y.马+西令 x =0,得 y .x+x2所以 0 尸的面积为人“2=F七八xiy2+x2y1=X j (kx2+t r i)+x2(kxA+/n)=2kxx2+m(玉 +x2)-2c,k _ _5_m_2_-_5_ _0_k_m_2_ _-_1_0_4_-5 公+1 5k2+5k2+l即 打 0=!：|粤|=2,解得=：,经检验符合题意.2 k|10AT?|4所以k 的值为L.4高三数学参考答案第4页（共7页）(20)(本小题1 5 分)解：(I )当 4 =1 时，/(x)=ev-x,则 f(O)=L求导得r(x)=ev-l,得尸(0)=0.所

16、以曲线y =f (x)在(0,/(0)处的切线方程为y=l.(I I)求导得 fx)=-1.当a 0 时，/(x)0 时.，令/(x)=o,解得x=-回.a“X)与 f (x)的变化情况如下：X,ln、(-0 0,-)aI n aa/I na 、(-收)ar(x)0+x)极小值/由上表可知，f(x)的减区间为(-0 0,-史4),增区间为(-史0,+0 0).a a综上，当“40时，/(x)的减区间为(f o,go),无增区间；当a 0 时，f(x)的减区间为(-8,-.)，增区间为(一皿,+8).a a(I I I)将/(x)在区间-1,1 上的最大值记为/(x)ma x,最小值记为/(x)

17、mj n.由题意，若玄使得|/(x)但3 成立，即/(冷皿2 3 或/。濡 4-3.当x时，/(x)=e01-x -x -1.所以若3XG-1,1 ,使得|/(x)|23 成立，只需/(x)ma*23.由(n)可知，(%)在区间-1 上单调或先减后增，故/(冷鹏为/(T)与/中的较大者，所以只需当/(-1)2 3 或八1)2 3 即可满足题意.即 f(-l)=e-+1 2 3 或/=e -1 2 3.解得 a l n2 或 a Nl n4.综上所述，。的取值范围是(f o,-l n2 l n4,y).高三数学参考答案第5页(共7页)(2 1)(本小题1 5分)解：(I )(i )不满足.令，=

18、j=3,4%=1 6不是数列 an中的项.(i i )满足.对于任意如:(闫),响=(2 i-1)(2 j-l)=2(2 y-i-j+l)-l.由于 2 4-i-/+l 之 I，故令 k=2ij-i-j+l 即可.(ID (1)对于有穷数列他“记其非零项中，绝对值最大的一项为册，绝对值最小的一项为4.故令 i =/=p 时，存在一项 1 4|=|aiaj|=a；.又 是数列 4 非零项中绝对值最大的，所 以|生 0,4 0,%4用时，%+2 -an%0，即 I 4+2 1 1 1-当 为 4+1 时，%+2 4 4 一 万 见+1 ”“0-14，故 性 质(*)得证.(2)考虑，4，三项，有

19、3 =4 _。2 或。3 =。1-g 0 2.若3=4 -%，则4=%+%0，且 .V4.高三数学参考答案第6页(共 7页)1 3故只有%=q -，此时q =%+5%5.卬 小、1 、1/1 、5 5因为6 之 之 生 （/一%），Q所以令i =/=1 时，v 彳%.由性质（*）知，只有4；=%或 J=%.当 4=%时,q =0,%=2(%-%)=2&-4,此时令 j =2,J=l,a2a=4-472 ,但 4 -；%=2&一 5,B J|a41|a2a ,由性质(*)知不存在%使得4 =%q.所以a；=4,即4=1 ,从而4 =2.（3）经验证，数列也“：=M-!满足条件，下面证这是唯一满足

20、条件的数列.-2 是偶数假设里是第一个不满足上述通项公式的项，s 2 4.当 s =2 f +l 2 2 时，只能为%川=a2l_t-a2l=2-(-2f)=3-2.令，=2 f 1,J=3,则 aflj=2.但%,由性质(*),不存在k 使得=a*.当 s =2 r,f 2 2 时，只 能 为%=a2,_2-1 a2l_t=-2-12 =-3 -22 -2.则“2,+2 -,%,一 不1 “2,+1 -,a2 l 1 z-T1 a2、5 1 1 9()=7a2 t =T7-2 -2 2 2 2 4 2 16令i =2t-2,j=3,则臼=-2-2 a%*，由性质(*),不存在我使得 q=%.故不存在不满足上述通项公式的项.nT综上，数列 4 的通项公式为a,=2:，是奇数-2?,是偶数.高三数学参考答案第7页（共7页）