北京市昌平区2022高三数学上学期期末质量抽测试题.pdf

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1、北京市昌平区2022高三第一学期期末质量抽测数学试卷2023.1本试卷共6 页，共 150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合“二=x|l W x 0 ,则集合4 0 6=()A.(-00,2)B.-L+OO)C.（0,2）D.T 2)2.在复平面内,复数z 对应的点的坐标是（a,1）,且满足（1 i）z=2,则。=()A.1B.-1 C.2D.-23.下列函数中,是奇函数且在定义域内是减函数的是（)

2、A.1y=-XB.y=-x3C.丁=中|D.y =log1x24.若 a b 0,c d 0,则一定有（）a ha ba ha bA.B.一 D.0,则 tana 二()3344A.B.-C.D.-44337.在平面直角坐标系xQ y中，角a 与角夕均以Q x为始边，贝心角a与角0 的终边关于V轴对称 是sin a=5皿1”的（）A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件第 1页/共19页8.图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉

3、后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入。区的路线数有（）9 .设抛物线C:/=2 p x（p 0）的焦点为厂，准线为/.斜率为6的直线经过焦点少，交抛物线C于点A,交准线/于点8（48在x轴的两侧）.若|/3|=6,则抛物线的方程为（）A.y1-lx B.y2=3xC.y2=4x D.y2=6xio .己知向量,就满足问=JI,同=i，G&=7,仅斗 伍 B）=0,则口的最大值是（）A.V 2-1 B.2c.刨 D.6+12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.1 1 .已知数列%中，q =2,%+|

4、-2%=0（e N ）,则数列/的通项公式为1 2 .已 知 双 曲 线 工-二=1的焦点为大，居，点P在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程4 5为；若|?制=4,则|尸周=.1 3 .在A/IBC中，a=8,c=7,cosA=,则6=,NC=.7第2页/共共页1 4 .若 直 线 歹=履+2与圆(x l)2+/=a有公共点，则。的最小值为.1 5 .已知正三棱锥P-N5C的六条棱长均为凡。是底面“8C的中心，用一个平行于底面的平面截三棱锥，分别交尸4 P 8,P C于4,4,G点(不与顶点尸，4民C重合).给出下列四个结论：三棱锥。-4 8 c l为正三棱锥；三棱锥P -A B C的 高 为

5、逅”；3三棱锥。-4 8 c l的体积既有最大值，又有最小值；必=2 VO-A=j_P A 3 VP_A BC 2 7其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.三、解答题共6 小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 6 .已知函数/.(x)=J i si n 2 s-c o s2 o x(0 o 0)过点(2,0),且离心率是乎.(1)求椭圆。的方程和短轴长;(2)已知点尸(1,0),直线/过点(0,3)且与椭圆C有两个不同的交点48,问：是否存在直线/,使 得 是 以 点 尸 为 顶 点 的 等腰三角形，若存在，求出直线/的方程；若不存在,说明理由.2 0 .已知

6、函数/(x)=e*+mex+(m-l)x,m 0.(1)当俄=0时，求曲线y =/(x)在点(0,/(0)处的切线方程；(2)讨论函数/(x)的单调性;(3)当e Wm l时，证明：对任意的6(0,+8),/。)2 2恒成立.fx*2。(1 2,、2 1.已知数列 4满足：qe N,q 2 4,且见+|=1 4(=1,2,).记集合 V=a“l n e N,J.(1)若q =2,写出集合 的所有元素；(2)若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数;(3)求集合”的元素个数的最大值.第5页/共1 9页数学试卷参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，1 .【答案】C【分析】

7、根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意4cs=x 0 x 2.故选：C2 .【答案】A【分析】根据复数的除法运算求得z =l +i,结合复数的几何意义可得z =a +i ,由此求得答案.【详解】由(l-i)-z =2得2 =占=/=1 +又复数z对 应 的 点 的 坐 标 是 即z =a +i =1+i,.a =l,故选：A3.【答案】B【分析】根据反例或基本初等函数的性质可得正确的选项.【详解】对于 A,设/(x)=g,贝 =,故/(x)=:在定义域内不是减函数，故A错误.对于 B,设g(x)=x 3,其定义域为R 且g(_ x)=_(x)3=x 3=_ g(x),故8(力=一X 3为奇

8、函数，而y =x，为R上的增函数，故g(x)=-/为R上的减函数，故B正确.对于C,设(x)=x|x|,因为(1)=1 4 =(2),故(x)=x|x|在定义域内不是减函数,故c错误.对于D,N =l g广的定义域为(0,+8),故该函数不是奇函数，故D错误.故选：B4 .【答案】C【分析】利用特例法，判断选项即可.【详解】解：不妨令。=3,6 =L c =l,a=,，3第6页/共共页则=3,2 =3,.A、B 不正确；c d巴=9,2 =1,r.D不正确，C正确.d c故选：C.【点睛】本题考查不等式比较大小，特值法有效，是基础题.5.【答案】B【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案

9、.【详解】二项 式 卜+）的展开式为=屋仁/2令5 2r =1,解得r=3,所 以/,优=1 0/=O,q =i故选：B6.【答案】D【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案.4【详解】s i n（7i-0,所以 co s a=-s i n2 a=，co s a 3故选：D7.【答案】A【分析】判断命题“角a与角 的终边关于夕轴对称”和“s i na =s i n/?”之间的逻辑推理关系,可得答案.【详解】由题意知，角a与角厂的终边关于J轴对称时，则&+夕=兀+2E,左e Z ,故a =兀一/+2版,后 Z,则 s i na =s i n（兀一/7+2E）=s i n/e Z

10、,即 s i na =s i n：当a =P +2 E#e Z时，此时s i na =s i n/7,角a与角，的终边不关于V轴对称，即“s i na =s i n/?”成立不能得出“角a与角 的终边关于夕轴对称”成立，故”角a与角 的终边关于V轴对称”是“s i na =s i n尸”的充分而不必要条件，故选：A8.【答案】C【分析】由上而下依次归纳小球到每一层相邻两球空隙处的线路数后可正确的选项.【详解】第一层只有一个小球，其左右各有一个空隙，小球到这两个空隙处的线路数均为1;第7页/共19页第二层有两个小球，共有三个空隙，小球到这三个空隙处的线路数从左到右依次为：1,2,1,第三层有三个

11、小球，共有4个空隙，小球到这四个空隙处的线路数从左到右依次为：1,1+2,2+1,1 即为 1,3,3,1,第四层有四个小球，共有5个空隙，小球到这五个空隙处的线路数从左到右依次为：1,1+3,3 +3,3 +1,1 即为 1,4,6,4,1,第五层有五个小球，共有6个空隙，小球到这六个空隙处的线路数从左到右依次为：1,1+4,4+6,6+4,4+1,1 即为 1,5,10,10,5,1,第六层有六个小球，共有7个空隙，小球到这七个空隙处的线路数从左到右依次为：1,1+5,5+10,10+10,10+5,5+1,1 即为 1,6,15,20,15,6,1,故小球落入D区的路线数有2 0条.故选

12、：C.9.【答案】B【分析】根据直线Z 8的斜率以及|4 a=6求得P,从而求得抛物线的方程.7T【详解】直线幺8的斜率为，倾斜角为!，过A作4/7 _ L/,垂足为，连接由于=所以三角形/是等边三角形,所以/川=；|/用=3,冗 1 3由于/人“8 =，所以F=一|”周=一，6 2 2所以抛物线方程为必=3 x.1 0.【答案】C【分析】把 平 移 到 共 起 点 以B的起点为原点，B所在的直线为x轴，B的方向为x轴的第8页/共19页正方向，求 出 痴 的 坐 标，则根据伍-个 伍-B)=o得 的终点得轨迹，根 据.的 意 义 求解最大值.【详解】把 平 移 到 共 起 点，以B的起点为原点

13、，B所在的直线为x轴，B的方向为x轴的正方向，见下图，设/=&3 =2,双=入则 一2=%,工 否=就又.4C _L 8C则点c的轨迹为以Z 8为直径的圆，又因为同=后,阿=1,(词=?,所以8(1,0)4(1 1)故以A B为直径的圆为(x-l)2+-1j=,所以忖的最大值就是以4 3为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共2 5分.1 1 .【答案】%=2【分析】判断数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可求得答案.【详解】数列 4中，%=2,%+2 a,=0(e N*)则。,H0,否则与=2矛盾，故誓=2,即数列%为

14、首项为2,公比为2的等比数列，所 以%=2 ,故答案为：an=T1 2.【答案】.v =与.82【分析】求得a,6,由此求得双曲线的渐近线方程，根据双曲线的定义求得忸6|第9页/共1 9页【详解】依题意a =2,b =右，所以双曲线的渐近线方程为y =土 正x，由于|尸凰=4 =2%所以P在双曲线的左支,所以|P闾=2 +|尸凰=8.故答案为：V=+-X !821 3.【答案】.5 .(#6 0【分析】根据余弦定理可求b,再根据余弦定理看可求/C.【详解】由余弦定理可得6 4 =b 2+4 9-2 x b x 7 x =/2 b +4 9 ,7故 2 b 1 5 =0,故b =3 (舍)或6

15、=5,故c o s/C;6 4 +2 5-4 9 1 7 t一=上,而/C为三角形内角，故N C =.2 x 5 x 8 2 3故答案为：5 ,.31 4.【答案】5【分析】求出直线丁 =任+2所过的定点，当点(0,2)在圆上或圆内时，直线丁=丘+2与圆(x l)2 +/总有公共点,列出不等式，即可求得答案.【详解】由题意知左e R,直 线 歹=代+2过定点(0,2),当点(0,2)在圆上或圆内时，直线y =去+2与圆(x -I p +/=凡。o总有公共点，即(0-1尸+2?5 ,即a的最小值为5,故答案为：51 5 .【答案】【分析】建立正四面体模型，数形结合分析.【详解】如图所示.用一个平

16、行于底面的平面截三棱锥,第1 0页/共1 9页且P-48C为正三棱锥，O是底面-8C的中心.三棱锥。为正三棱锥，故正确：正三棱锥P -A B C的六条棱长均为。，。是底面“B C的中心，三棱锥P 一 A B C的高为尸。，的高为C。，且C D =B a,O C =Z c D =a ,2 3 3 PO=a1-=-a,故正确 I3 J 3，4,4，G点不与顶点尸，/,6,c重合，V 6 ,a 一 h/r4 A =X (0,4),设。一 4耳。的高为，则一二3 ,得，7 =(a X),。6 3a3/(x)=8 =“环/=x2-s i n1-y (x-a)=寻 _ x),f(x)=-a x-x2=-x

17、(2a-3x)在(0,?)上/(x)0，(=,“)上/、(x)6 0）过点（2,0）,且离心率是则。=2,且 3 =立,：.c=6，S =a-c2=2,a 2故椭圆。的 方 程 为:+券=1,短轴长为2b =2后.【小问2详解】假设存在直线/,使得AP4B是以点P为顶点的等腰三角形，由于直线/过点（0,3）,当直线斜率不存在时，直线/为x=0,此时48为椭圆的短轴上的两顶点，此时J A B是以点P为顶点的等腰三角形;当直线/斜率存在时，设直线方程为丁=任+3,y =A x+3联立 x2 v2，得（2左2+1）x2+1 2履+1 4 =0,+=11 4 2当直线歹=丘+3与椭圆C有两个不同的交点

18、46时,7该方程八=（1 2左）2 4 x1 4（2左2 +1）0,整理得上2,4设ZU，凹）,8（,%）,rl,12k 1 4则 X.1+x2=-;,X,X,=;，-2k2+-2 炉+1所以凹+外=（履 1+3）+（f cc2+3）-k（xx+x2）+6=-设Z5的中点为点。，则。（当生，无 及），即D（-6k 32公+1 2公+1）则 P D L A B,当3=1时，尸。斜率不存在，2k2+7 6k此时48的斜率4为0,不满足2 ,，故-.-#1,4 2k2+第1 6页/共1 9页3由题意可知=1,即左X 2.+1 =-1,-0-12公+11 ,7 1解得左=1或4=一一，由于左2一，故左

19、=1或左=一一不适合题意，2 4 2综合以上，存在直线/:x=0,使得APZB是以点P为顶点的等腰三角形.【点睛】关键点点睛：解决直线和椭圆的位置关系中是否存在的问题时.，一般是先假设存在,然后设直线方程，联立椭圆方程，结合根与系数的关系化简求值，解答的关键点是要能根据题设即AP/3是以点尸为顶点的等腰三角形，设 的 中 点 为 点。，得到e 8x%/1 o=-l，然后结合根与系数关系化简求值，即可解决问题.20.【答案】(1)y =(e-l)x+l(2)答案详见解析(3)证明详见解析【分析】(1)利用切点和斜率求得切线方程.(2)求 得/(x),对掰分类讨论，由此来求得/(x)的单调区间.(

20、3)结 合(2)求得/(x)在区间(0,+8)上的最小值，由此证得结论成立.【小问1详解】当加=0时，/(x)=e*-x J (x)=ex-1,/(O)=l Jl)=e-l,所以切线方程为y-1【小问2详解】=(e l)x,j/=(e-l)x+l.依题意，f(x)=ex+me-Xx+/r(x)=eA-me-x+(7w-l)=eAm /？+(加(er-l)(ev+/)ev(/n-l)x,m 0,当加=0时，/(x)=e -1 =。，解得x=0,则/(X)在区间(一8,0)J (x)0J(x)递减;在区间(0,+8)J(x)0 J(x)递增.当?0时，/(x)=0解得x =l n(-?)或x =0

21、,当一1 加 0,/(%)递增；在区间(l n(-?),0),/(x)0 J(x)递减.当加=-1时，/(x)N0 J(x)在R上递增.第17页/共19页当?O J(x)递增；在区间(0,l n(T )J(x)O J(x)递减.【小问3详解】当一时，l-m W e,O -m-1+(？-1)x 1 =-2,所以对任意的x e (O,+e),/(x)-2恒成立.【点睛】利用导数研究含参数的复杂函数的单调性，要注意两点，一个是尽量进行因式分解,将复杂的问题转化为较为简单的问题来进行求解；第二个是对参数进行分类讨论，要做到不重不漏，分类标准要根据导函数的结构来制定.21.【答案】(1)2,4,8,16

22、 (2)见解析(3)5【分析】(1)根据递推关系可求的所有元素；(2)根据递推关系结合数学归纳法可得相应的证明；(3)利用列举法可求的元素个数的最大值【小 问1详解】若4=2,则4=2%=4,%=2%=8,a4=2%=16 ,%=2%-2 4 =8,故 4 中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2.故”=2,4,8,16 .【小问2详解】设 ak=3m,加 e N*,若4 T 12,则=2%_ 24 即 24_ =3?+24=3(?+8),因 2,3 互质，故4_ i为3的倍数,依次类推，有4_ 2,，6均为3的倍数.当左+1时，我们用数学归纳法证明：%也是3的倍数.当”=左+1时，若4

23、4 12,则aM=6m,故ak+为3的倍数；第18页/共19页若%12,则am=6加一24,故4+1为3的倍数，设当=加时，a“是3的倍数即4“为3的倍数，若%1 2,则_=2(,故%为3的倍数;若%12,则/用=2仆一24,因24为3的倍数，故a”川为3的倍数，故当=m+1时，a,是3的倍数也成立，由数学归纳法可得%是3的倍数成立，综上，M的所有元素都是3的倍数.【小问3详解】当 q=l,则。2=2,%=4，%=8,a5=16,4=8,故 M的元素个数为 5；当q=3,则%=6,%=12,4=24,%=24,故M的元素个数为4；当q=5,则 =10吗=20,。4 =16,%=8,。6 =16

24、,故M 的元素个数为 5；当q=7,则4=14,%=4,%=8,%=16,4=8,故 的 元 素 个 数 为5；当q=9,则出=18,%=12,%=24,%=24,故 的 元 素 个 数 为4；当 =11,则 =22,%=18,4=12,%=24,%=24,故的元素个数为 5：当q=13,则%=2,%=4,&=8,%=16,%=8，故M的元素个数为5；当 q=1 5,则 4 =6,%=12,%=24,%=24,故 A/的元素个数为 4；当 q=1 7,则 4 =1。,%=20,%=16,%=8,4 =16，故 A/的元素个数为 5；当q=1 9,则 出=14,q=4,%=8,4=16,4=8,故”的元素个数为5；当q=2 1,则 2 =18,43=12.&=24,%=24,故M 的元素个数为 4；当 q=2 3,则%=22,%=20,%=16,%=8,4=16,故 M 的元素个数为 5；当q=2 4,则4 =24,故M的元素个数为1；当q=2左，左=1,2,11时，的元素个数不超过为5,综上，的元素个数的最大值为5.【点睛】思路点睛：根据递推关系研究数列的性质时，可根据局部性质结合数学归纳法去研究整体性质，另外对于数学有限情况的研究，可结合列举法讨论解决.第19页/共19页