北京市东城区2023届高三一模数学试题（含答案解析）.pdf

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1、北京市东城区2023届高三一模数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.已知集合4=1，-2 0,4则无一4+一的最小值为（）XA.-2B.0C.1D.2亚5.在.ABC 中,a=2/6,b=2c,cos A=-,则 S,sc=（）4A.-V152B.4C.岳D.2x/156.设是两条不同的直线，a,万是两个不同的平面，旦a/p,则是“，力”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.过坐标原点作曲线y=eT+l 的切线，则切线方程为（）A.y=x B.y=2x C.y=x D.Ve8.已知正方形Z 8 8 的边长为2,P 为正方形4 8 8

2、 内 部（不含边界）的动点，且满足=则C P。尸的取值范围是（）A.（0,8 B.0,8）C.（0,4 D.0,4）9.已知4,%，%，4 成等比数列，且 1 和 4 为其中的两项，则6 的最小值为（）A.-6 4 B.-8 C.D.-64 81 0.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N 的 70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.0 0 1）,可得N的 值 为（）M2371 11 3lg M0.3 0 10.4 770.8

3、 4 51.0 4 11.1 1 4A.1 3 B.1 4 C.1 5 D.1 6二、填空题1 1 .函数/（x）=Jl-x+l n x 的定义域是.1 2 .在1+/J的展开式中，Y的系数为6 0,则实数。=.2 21 3 .已 知 双 曲 线 -=1（0 8 0）的一个焦点是（石,0）,且与直线 =2 X 没有公共点，则 双 曲 线 的 方 程 可 以 为.三、双空题1 4 .己知数列%各项均为正数，%=3 q,S.为其前项和.若 疯 是公差为g的等差数列，则”|=,a=.四、填空题1 5 .己知函数/（）=3 由6 工+9）（/1 0,0 0 0)的一个零点，求夕的最小值.1 7 .甲、

4、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了 6 次测试，乙进行了 7次测试.每次测试满分均为1 00分，达到8 5 分及以上为优秀.两位同学的测试成绩如下表：i数同学第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲8 07 88 28 69 59 3乙7 68 18 08 58 99 69 4(1)从甲、乙两名同学共进行的1 3次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过9 0 分的概率；(2)从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求 X的分布列及数学期望EX;(3)从乙同学进行的7次测试中随机选取3 次,设丫 表示这3 次测试成绩达到优秀的

5、次数,试判断数学期望E Y 与(2)中E Y的大小.(结论不要求证明)1 8 .如图，在长方体A 8 C Q A 4GA 中，44=4。=2,8。和耳。交于点E,F 为AB的中点.求证：EF 口平面AORA；(2)再从条件口、条件口这两个条件中选择一个作为已知，求(i)平 面CM与平面8CE的夹角的余弦值；(ii)点/到 平 面CE厂的距离.条件:C E LBXD.I T条件:直线用力与平面8CC14所成的角为注：如果选择条件和条件 分别解答，按第一个解答计分.19.已知函数/(x)=ox2-xlnx.(1)当“=0时，求 的 单 调 递 增 区 间；(2)设直线/为曲线y=/(x)的切线，当

6、a z 时，记直线/的斜率的最小值为g(a),求g(a)的最小值;当 a0 时,设 M=y|y=r(x)，xe 信惠),=,求证：M N.20.已知椭圆氏 捺+/1(“60)的一个顶点为4(0,1),离心率e邛.求椭圆E的方程；(2)过点P(-石,1)作斜率为左的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,直线/C分别与x轴交于点M,N.设椭圆的左顶点为O,求卜/的值./X21.已知数表&4“中的项=1,2;/=1,2,)互不相同，且满足、“21 a22 a2n 下列条件：试卷第4页，共5页口4 产 1,2,.,2 ；口 严(4,“一为“)0(机=1,2,).则称这样的数表4“具有性质P.(1)若 数

7、表%具 有 性 质 P,且%=4,写出所有满足条件的数表42,并求出知+的值；(2)对于具有性质户的数表A?,当为+%+即,取最大值时，求证：存在正整数k k n),使 得 怎=2；(3)对于具有性质尸的数表&,当为偶数时，求 知+%+4,的最大值.参考答案：1.B【分析】求出集合A,结合元素与集合关系判断即可.【详解】口/-2 0，-亚，A=|X|-A/2 X 0,+-4 2 k x -4 =0,当且仅当x =3即x =2 时等号成立.X V X X故选：B.5.C【分析】利用余弦定理得到c =2,b=4,利用同角三角函数基本公式得到s i n A =15,然后4利用面积公式求面积即可.l力

8、 2 +_7 1 4 r2+M 2 4 1【详解】a=2底,b=2 c,c os A=C a=-,所 以 十；么解得c =2,2 hc 4 4 c 2 4b=4,因为4 0,乃)，所 以 国=卓，S.c=c s i n A =；x 2 x 4 x 率=厉故选：C.6.B答案第1 页，共 1 5 页【分析】根据线面垂直的判定及性质，结合充分条件、必要条件判断即可.【详解】当 u a时，可推出/月，但是推不出,尸，当时，由a 尸 可 知 又?ua,所以相_ 1 _”，综上可知，“机 是“，Z?”的必要不充分条件.故选：B7.A【分析】设切点坐标为亿产2 +1),求得切线方程为y-(e T+i)=e

9、-2(x T),把原点(0,0)代入方程，得到“-1)广2 =1,解得t =2,即可求得切线方程.【详解】由函数y =e”2 +l,可得y =e i,设切点坐标为,广2 +1),可得切线方程为y-(e T+l)=e”2(x _ f),把原点(0,0)代入方程，可得0-(+1)=尸(0-6,即”1)产=1,解得/=2,所以切线方程为y-(e 0 +l)=e(x-2),即 产 工故选：A.8.D【分析】通过建立合适的直角坐标系，设 P(x,y),得到P的轨迹方程，最后得到C P.O P 的表达式，根据函数单调性即可得到其范围.【详解】以A8 中点为原点建立如下直角坐标系；则 A(T,0),8(l,

10、0),C(l,2),D(-l,2),设 P(x,y),则 P A =(-1-x,-y),P B =(1 x,y),则 P 4 P 8 =-(l-x 2)+y 2=o,B P x2+y2=1 ,则/-匚-丁，其中一0 y P=(x+l,y_2),0 y l贝 lJCPOP=x 2 _ +(y_2)2=-y2+(y_2)2=T y +4e0,4),故选：D.9.B【分析】结合题意，内取最小值时为负数，且4=4,利用等比数列的基本量运算即可求解.【详解】由题意,要使应最小，则%，%，生都是负数，则的和1 选 择 1和 4,设等比数列 4 的公比为虱4 0),当4=4 时，“2=1，所 以 包=疗=4

11、,所以夕=-2,所以4 =q x q =4x(-2)=-8；a2当%=1 时，4=4,所 以&=1,所以 4=-，所以 =%xq=lx(_：)=-4；。2 4 2 2 2综上，出的最小值为-8.故选：B10.C【分析】利用对数的运算公式计算即可.【详解】由题意知，N的70次方为83位数，所以w(1 0 8 2,1()8 3),则igioS2 lgN1 0 lgl083,即82 701gN 8 3,整理得 1.171 clg N v 1.185,根据表格可得Igl4=lg2+lg7=l.146 1.185,所以lgN=lgl5,即 N=15.故选：C.1 1.(0,1【分析】由被开方数大于等于0

12、 与对数真数大于0 即可得到结果.【详解】要使函数有意义，则满足：?一 丫，解得：00所以函数 x)=J=+lnx的定义域为(0 5故答案为：(0,112.2【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于2,求得,，再根据展开式中/的系数为答案第3 页，共 15页6 0,即可得出答案.【详解】（x+三的展开式的通项为a=q 产，=小黑 卢巴令 6-2 =2,则厂=2,则在卜+/J展开式中，d的 系 数 为 八 或=6 0,所以a =2.故答案为：2.1 3.x2-=i4【分析】取直线y=1 2 x为双曲线的渐近线，则勺=2,根据焦点得到c =有，a=L b=2,a得到双曲线方程.【详解】取直线y=

13、2 x为双曲线的渐近线，则2 =2,a双曲线=的一个焦点是（右,0）,故c =6,故a =l,b =2,故 双 曲 线 方 程 为 t=.4故答案为：x2-=141 4.-#0.2 5 吐 44【分析】根 据 题 意 和 等 差 数 列 的 性 质 可 得 病-病=阿-用=；，解得4=；,结合等差数列的通项公式可得S.=,利用4与5”的关系即可求出数列 勺 的通项公式.【详解】由题意知，0,由“2=3，得S 1=q,S2=at+a2=4 a,又等差数列 底 的公差为3，所 以 展 -同=-百=；,即 几=；,解得4=（,所 以 四=+g（T）=，解得S“=1,t1 .1.1 1当22 时，S=

14、-（-1）,+答案第4页，共 1 5 页z1 2 f 1 ,1 1 2n-l得4=，,1 丁-七-L卜丁，当 =1时，4=g-；=；,与题意中的4=；相符,I ,田田、，1 2 1故答案为：;-.4 415.6【分析】在图2 中，以点。为坐标原点，O C、A N 的方向分别为y、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-x y z,根据已知条件求出4 的值，结合。的取值范围求出。的值，可判断口；利用空间向量数量积的坐标运算可判断口；求出线段A B的中点M 的坐标，计算C M A B，可判断U；求出cosN B A C,结合扇形的面积公式可判断口.T _ 2兀_彳【详解】函数/(x)的最小正周期为一四

15、一，2在图2 中，以点。为坐标原点，O C、AN的方向分别为y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系o-xyz,设点 A(O/,O),则点 A(0,)、8(/M +2,0),|AS|=/(O-/i)2+(r+2-r)24-(2-O)2=V222+4=7i0,因为几 0,解得入=百,所以，x)=6 s in(+。)，则/(O)=6 s in g =孚，可得sin。4,又因为函数/(x)在x=0 附近单调递减，且0 9 兀，所以，夕=当，口错；因为/(。=6 8 M(?+葛)=百，可得s in(+)=l,又因为点A 是函数/(力的图象在y 轴左侧距离V轴最近的最高点，则+=,可得2 6 22

16、r=3,所以，/(x)=5/3sinfy+y答案第5 页，共 15页因为点c 是函数/(x)在 y 轴右侧的第一个对称中心，所以，牛+乎=兀2 o可得为=；,翻折后，则有A40,别、A(0,_；,0所以，48=（6,2,-G）,AC=（0,l,-x/3）,所以，在图2 中，AB-AC=0+2xl+卜百=5,口对;在图2 中，线段A 8的中点为M(更,二 因为CM=当。用,贝 llA B-C M=x g +0+立 x（-退）=0,即46,口对;在图 2 中，设点。(x,y,O),|AQ|=+(0一 可 2,可 得/+（丫+|）1,AC=（0,1,0）,A8=（G,2,0）,COS ZBAC=AC

17、AB 2 2y/l y/2AC|-|AB|-IXA/7-72，7 T易知的 C 为锐角，则。4 A C “所以，区域7 是坐标平面x。)内以点4 为圆心，半径为|4。=1,且圆心角为NBAC的扇形及其内部，故区域T 的面积。)的一个零点，6可得71(聿+弓)-6$皿(弓+3+弓)=0,即 sin三 +0)=0,即 s i n+0可得三+=三+2 kn 或三+=$+2E,Z Z,7 T即*=2E 或 =+2E,左 Z,又因为。0,所以夕的最小值为半,417.(1)13(2)X的分布列为X123P_535_5所以E(X)=lxg+2x+3 x d =2.(X)E(y)【分析】(D根据表格中的数据，

18、代入古典概型的概率计算公式即可求解；(2)根据题意先求出所有X的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列答案第7页，共15页并计算出期望即可求解；(3)根据题意先求出所有y的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，计算出期望与(2)中期望即可求解；【详解】(1)由题意可知：甲、乙两名同学共进行的1 3 次测试中，测试成绩超过90 分的共44 次，由古典概型的概率计算公式可得P=万，所以从甲、乙两名同学共进行的1 3 次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90 分的概4率？=.1 3(2)由题意可知：从甲同学进行的6 次测试中随机选取4 次，这 4 次测试成绩达到优秀的次数X的可

19、能取值为1,2,3,则 P(X =1)CC；1 x 3 1-7r-5:尸(X=2)=誓=含=|；S=C；C；=l x 3C：1 55所以X的分布列为X123P5355所以 E(X)=l x g +2x|+3 x g =2.(3)由题意可知：从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，这 3次测试成绩达到优秀的次数丫的可能取值为0,1,2,3,则,0)=等守总;尸=警=等卷；P S)二警一啜吟43 5所以y的分布列为Y0123P13 51 23 51 83 543 5答案第8页，共 1 5 页所以 E(y)=0 xLlxU+2 x+3xJU3 5 3 5 3 5 3 5 7E（x）E（y）.1 8.(

20、1)证明见解析(2)()国()13【分析】（1）利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；（2）若选条件口，利用CE LBQ,通过推理论证得到C Z）=4C=20,建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解；若选条件匚，利用耳。与平面8CG4所 成 角 为 通 过 推 理 论 证 得 到 C D =3。=20,建4立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解.【详解】（1）如图，连接A D-B、D,BD.因 为 长 方 体 中,8 4口。且 8 片,所以四边形B B Q。为平行四边形.所以E 为

21、 的 中 点，在，A B D1 中，因为E,F分别为8R和 AB的中点，所以：尸 口 A R.因为所 0平面4。匚平面4 力。4,所以EF 口平面A O R A.(2)选条件:CEVB.D.（口）连接与C答案第9页，共 1 5 页因为长方体中A A =A =2,所以g C=2 五.在 C B R 中，因为E 为四。的中点，CE1 B.D,所以 C D =3C=2 0.如图建立空间直角坐标系。因为长方体中A A =AD=2,CD=2夜,则 0(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2 5/2,0),8(2,2 JI,0),尸(2,0,0),片(2,2 0,2),(1,5/2,1).所以C E=

22、(1,-&,1),CF=Q,-&.,0),C B =(2,0,0).设平面C F 的法向量为加=（再,另*1）,m C E =即m C F =0,则x-+Z|=0,2 xl O y、=0.令 =1,则 y=&,4=1,可得m=(1,0,1).设平面8 C E 的法向量为”=（,%*2）-则n-CE=0,即7 7-C B =O,x2-4 1 y2z2=0,2X2=0.令必=1，贝 1 工 2=0，z?=M,所以 二 （O 1,0）.设平面C E F 与平面B C E 的夹角为6 ,E,1cl 1|6.|7 6W y c os 8=c os =-=m)n 3所以平面C E F与平面B C E的夹角

23、的余弦值为逅3(口)因为 4 F =(0,加,0),答案第1 0 页，共 1 5 页所以点A到平面C E F的距离为d=向=1.m选条件口:8Q与平面B C C 百所成角为二.4连接A C.因为长方体4B8-ABC。中，CD，平面B C G g,B,C u平面B c q g,所以 C O J.B C.I T所以ZDB.C 为直线B.D与平面BCCg 所成角，即3.所 以 O BC为等腰直角三角形.因为长方体中M=AO =2,所以3 0 =2 0.所以 CO=g C=2 V L以下同选条件口.1 9.(0 当e(2)1(3)证明见解析【分析】(1)求出函数的导数，令导数大于0,即可求得答案；(2

24、)求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得函数最值；(3)根 据(2)的结论，判断函数在给定区间上的单调性，即可求得M,N,比较端点处的值的大小关系，即可证明结论.【详解】(1)当。=0 时，/(x)=xl nx,(x 0),故/(x)=-l nx-l,令/(X)=-l n A-l 0,则0 V x e，e即/(x)的单调递增区间为(0,-).e(2)由/(x)=ox2 _ x nx,(x 0),可 得/(x)=2 or-l nx-1,即直线/的斜率为/(x)=2 or-l nx-l,/i(x)=2 a r-l nx-l,则“=2 a =网 匚 1,X X答案第1 1 页，共 1

25、 5 页e 1 1因为。之7，故。:一，2 2a e当Ovx 时，/?z(x)0,X)在(1,+8)上递增，2a 2a故=%(；)=In 2 a,即=(4)=历 2a,即 g()=ln为，,故g(。)的最小值为ln 2 x=l.(3)由已知。0,由(2)可知x(，总 时，/(X)为单调增函数，1 1 3 1 3 1由 八 一)=一 In =In 2a,f(-)=一 一 In =+In 4”In 3,2a 2a 4a 2 4a 2则 M=y|y=r(x),x e g，m =(ln2a,g+ln 4 ln 3),又时，/(x)为单调减函数，V 4a 2a)f (1、)=1 I n-1-1 ,=-1

26、-F In一 4 l,即g-ln 3 -；,j-+ln 4 a-ln 3 -+ln4a,故M N.【点睛】关键点睛：证明M N 时，要根据导数判断函数的单调性，求出M,N 表示的集合，关键要进行端点处值的大小比较，从而证明结论.20.+9=1 幽(Z)MN 2【分析】依题意可得匕=1,=i-4=4=|,进而求出椭圆方程；a-a 3(2)首先表示出直线方程，设B Q,%)、C(巧,力),联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线A3,AC的方程，表示出4+工时=-2月，得到点。为线段M N的中点，进而求解.答案第12页，共 15页【详解】(1)由题意可知=1,/=1-5|，所以/=3 ,2则所

27、求椭圆E的方程为三+/=L(2)依题意过点网-6)的直线为-1 =攵1+6),设3(不,)、C(x2ty2)f不妨令-*/3 ,由，y_ l =k(x+G)2X 2 1+歹=13 -,消去 y 整理得(1 +3/卜2 +k+6 4)x+9/+6/i l =0 ,所以A=仅 限 2 +6-4(1 +3/)(2 +6 限)0 ,解得k%,交 换/和2 的位置,所得到的新数表也具有性质P,调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在1口4，使得即=2”.若对任意的?(女为偶数，14(为都有 4,交换生和知的位置，所得到的新数表也具有性质尸，此时转化为的情况.综上可知，存在正整数依14左

28、)，使 得 砥=2”.(3)当为偶数时，令=2%,(1%4)，对任意具有性质P数表4=1 /传,(生1。2 2 ,a2 nJ一方面，(2 一。2 2)十(4 4 一 2 4)+(6 2 Z -2.2&)W(4 A-1)+(4攵-3)+(2%+1),答案第1 4页，共1 5页因此（出+卬#+4,2A）W（%2+?4+%2&）+3&2.另一方面，力1（，=1 3 5,-1）,因 止 匕（。|+。1 3+4,2 1）W （%+叼3+。2,2-1）一t己 S=%+2+%,2”，S?=4 +。22+%2”.由口+口得SI WS&+3也-k.又E+S2=82+2 A:,可得L构,造一数一表 4,=（1k+2 4k,k八+34 4k2-kA+5 6 4k-3 2 kA+7 4k-3 3k+2 3 k 3 k +8 4 I 3k k J可知数表4“具有性质P,且 =竺*=吗 上.2 o综上可知，当为偶数时，即+&+4“的 最 大 值 为 吗 包.O【点睛】方法点睛：在证明抽象问题时，常常使用反证法：先设题设不成立，结合条件推出矛盾，即可说明题目成立.答案第1 5页，共1 5页