北师大版初中数学九年级下册知识讲解巩固练习（教学资料补习资料）第8讲二次函数y=ax^2＋bx＋c(a≠0)的图像与性质(基础)含答案.pdf

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1、二次函数y=a x2+b x+c(a 0)的图象与性质一知识讲解(基础)【学习目标】1 .会用描点法画二次函数y=a x 2+b x +c(“w O)的图象；会用配方法将二次函数y=a x 2+b x +c的解析式写成y=a(x /z)2 +k的形式；2 .通过图象能熟练地掌握二次函数 的性质；3 .经历探索y=ox 2+b x +c与丁 =。一 力)2 +左 的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.【要点梳理】要点一、二次函数j =ox?+以+c(a X 0)与 y=a(x /)2+k(a*0)之间的相互关系1 .顶点

2、式化成一般式从函数解析式_ y=a(x-/+左 我们可以直接得到抛物线的顶点(h,k),所以我们称y=a(x )2 +%为顶点式，将顶点式y=a(x /)2+左去括号，合并同类项就可化成一般式y=ax2+bx+c.2 .一般式化成顶点式2a)4ab对照二。(、。)2+左，可知=-2a.4ac-b2k=-4az 2 抛物线夕=a x 2+b x +c的对称轴是直线x =一 二,顶点坐标是一，,+“”2a 12a 4a J要点诠释：z 4 b2 1 .抛物线歹=4/+笈+。的对称轴是直线=一 二，顶点坐标是一 丁，加：,可以当作公2a 12a 4a J式加以记忆和运用.2 .求抛物线丁=2+笈+，

3、的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.要点二、二次函数.1，=ax1+b x +c(a H 0)的图象的画法1 .一般方法：列表、描点、连线；2 .简易画法：五点定形法.其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴.(2)求抛物线夕=以2 +6 x +c与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C关于对称轴的对称点D,将 A、B、C、D及 M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.要点诠释：当抛物线与x

4、轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C及对称点D,由C、M、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B,然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数了 =,2+必+c(4 H 0)的图象与性质1.二次函数y=ax2+h x +c(a H 0)图象与性质函数二次函数y+6 x +c (a、b、c 为常数，a N O)图象t z 0a I 2 a 4a)b 4ac-b2I 2 4a,增减性在对称轴的左侧，即当x2a时，y随 x的增大而增大.简记：左减右增b在对称轴的左侧，即当X时，y 随 x的增大而减2a小.简 记

5、：左增右减最大（小）值抛物线有最低点，当x =-=时，y 有最小值，2a4ac-b2 最小值_ 4a抛物线有最高点，当X =-丁 时，y 有2a日一/士 4ac-b2取大值，y 最大值_ 4 a2.二次函数夕=依2+加+C（4 H O）图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系目字 葭、字母的符号图象的特征aa 0开口向上a 0（a,b 同号）对称轴在y轴左侧a b 0与 y 轴正半轴相交c 0与 X 轴有两个交点b2-4 ac b；抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)；a b c 0.其中正确的结论是(填写序号).解：；抛物线的对称轴为直线*=-上=1,2a.,.2 a+b=0,

6、所以正确;x=-1 时，y 0,；.a -b+c 0,即 a+c 0,b=-2 a 0,:抛 物 线 与y轴的交点在x轴下方，；.c 0,所以正确.故答案为.【总结升华】本题考查了二次函数图象与系数之间的对应关系，难度适中.类型二 二次函数.了 =a r：+加c +c(a H 0)的最值戈 痂 1 2 .1 3.求一次函数歹=5+3x +的最小值.【答案与解析】解法 1(配方法)：y=-(x+6x)+-=-(x2+6x+3-9)+-=-(X+3)2-4,当x=-3时，丁 最 小=-4.解法2(公式法)：；=-3 时,4ac-b24a4x-2解法 3(判别式法)：y=x2+3x+,/.x2+6

7、x +(l-2 y)=0.,Z x 是实数，A=62-4(l-2 y)0,A y 2-4.y有最小值-4,此时x?+6 x +9 =0,即x=-3.【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择.举一反三:【变式】用总长6 0m的篱笆围成矩形场地.矩形面积S随矩形一边长/的变化而变化.当 人是多少时,矩形场地的面积S最大？S=L(3Q L)=-(2-30A)=-(L-1 5 y +225(0Z30).=15(m)时，场地的面积S 最大，为 225nA类型三、二次函数)，=亿/+hx+c(a*0)性质的综合应用4.已知二次函数歹=/+b x

8、 +c+l 的图象过点P(2,1).(1)求证：c=-2/)-4 ；(2)求 b e 的最大值.【答案与解析】(1),/y u V+b x +c+l 的图象过点 P(2,1),I.l=4+2b+c+l,.c=-2b-4.(2)be=b(c-2b-4)=-2(b2+2b)=-2(b+1)2+2.当6=-1时，b e有最大值.最大值为2.【总结升华】(1)将点P(2,1)代入函数关系式，建立b、c 的关系即可.(2)利 用(1)中 b 与 c 的关系，用 b 表示b e,利用函数性质求解.举一反三：【变式】(2019咸宁)如图是二次函数y=ax?+bx+c的图象，下列结论：二次三项式ax2+bx+

9、c的最大值为4；4a+2b+c0；一元二次方程ax2+bx+c=l的两根之和为-1；使 y 3 成立的x 的取值范围是x20.其中正确的个数有()AC.3 个 D.4 个B.提示：抛物线的顶点坐标为(-1,4),.二次三项式ax?+bx+c的最大值为4,正确;：x=2 时，y0,.,.4a+2b+cQ3.若二次函数y =/+辰+5 配方后为歹=（x 2+左，则 b、k的值分别为（）.A.0,5 B.0,1 C.-4,5 D.-4,14.抛 物 线 歹=/+瓜+。的图象向右平移2 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，所得图象的解析式为 歹=炉 2 x 3,则 b、c的 值 为（）.A.b=2,

10、c=2 B,b=2,c=0 C.b=-2,c=-1 D.b=-3,c=25 .已知抛物线产a x?+b x+c 的对称轴为x=2,且经过点（3,0）,则 a+b+c 的值（）A.等于0 B.等 于 1 C.等于-1 D.不能确定6 .（安徽）如图，一次函数y i=x 与二次函数y 2=a x 2+b x+c 图象相交于P、Q两点，则函数y=a x2+（b -1）x+c 的图象可能是（）A.B.C.D.二、填空题7 .（怀化）二次函数y=x?+2x 的 顶 点 坐 标 为,对 称 轴 是 直 线.8 .已知二次函数y =ax2 2a x +c ,当x=-l 时，函数y 的值为4,那么当x =3

11、时，函数y 的值为一9.二次函数 =/+云+。的图象经过A（T,0）、B（3,0）两点，其顶点坐标是一10.二次函数yu f w x +B 的图象与x 轴的交点如图所示.根据图中信息可得到m的值是11.如图二次函数y=a x?+b x+c 的图象开口向上，图象经过点（T,2）和（1,0）且与y 轴交于负半轴第问：给出四个结论：a 0；b 0；c 0；a+b+c=0其 中 正 确 的 结 论 的 序 号 是；第问：给出四个结论：a b c 0；a+c=l；a l,其 中 正 确 的 结 论 的 序 号 是.12.已知二次函数y=x,-2x-3 的图象与x 轴交于点A、B 两点，在 x 轴上方的抛

12、物线上有一点C,且a ABC的面积等于10,则 C 点的坐标为.三、解答题13 .（齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OA B C 的边长为4,顶点A、C 分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=-&2+b x+c 经 过 B、C 两点，点 D为抛物线的顶点，连接A C、B D、CD.2（1）求此抛物线的解析式.（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形A B C D的面积.14 .如图所示，抛物线y =数 2 -5 t z x +4 a 与 x 轴相交于点A、B,且过点C（5,4）.（1）求 a的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平

13、移后抛物线的解析式.1 ,515.已知抛物线歹=一万8 2-3x-：(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出x 取何值时，y随 x的增大而增大？x 取何值时，y随 x的增大而减小？函数y 有最大值还是最小值？最值为多少？【答案与解析】一、选择题1.D I.D；根据配方法的方法及步骤，将化成含x的完全平方式为(x-l)2-1 ,所以y =x 22x +3 =(x 1了 +2.2.D；由图象的开口方向向下知。0.3.D；因为V =(x-2 y+攵=1 2 一4%+4 +左，所以6 =-4,4 +左=5,k=1.4.B；y 二 /一 2%一 3 二 (%一 1)2

14、 4 ,把抛物线y =(x-一4向左平移2 个单位长度，再向上平移3 个单位长度后得抛物线y =(x +l)2-1,y=x+bx+c =(x +1)-1=x+2x ,b=2,c =0.5.A；因为抛物线y=ax?+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(3,0),所以过点(1,0)代入解析式得 a+b+c=0.6.A；:一次函数yi=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q 两点，工方程ax?+(b-1)x+c=0有两个不相等的根,，函数y=ax?+(b-1)x+c与 x 轴有两个交点，方程ax?+(b-1)x+c=0的两个不相等的根xi0,X2O,.*.X l+X 2=-0,a2a二函

15、数 y=ax2+(b-1)x+c 的对称轴 x=-B 二 0,2aV a 0,开口向上，.A符合条件，故选A.二、填空题7.(-1,-1 )；x=-1.,.*y=x2+2x=(x+1)2-1,.二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：(-1,-1),对称轴是直线x=-l.8.4；_2Q由对称轴彳=-=1,/.x=3 与 x=T 关于x=l 对称，x=3 时，y=4.-2 a9.(1,-4)；求出解析式_y=x 2-2 x-3 =(x l)24.10.4；由图象发现抛物线经过点(1,0),把 x=l,y=0 代入歹=f?x+3,得 1 一加+3=0,解得加=4.1 1.，；12.(-2,5)或(4,

16、5)；先通过且aABC的面积等于1 0,求出C点的纵坐标为5,点 C在抛物线y=x?-2x-3上，所以x-2x-3=5,解得 x=-2 或 x=5,则 C 点的坐标为(-2,5)或(4,5).三、解答题13.【答案与解析】解：(1)由已知得：C(0,4),B(4,4),把 B 与 C 坐标代入 y=-Ax2+bx+c 得：4b+c=12,2 tc=4解 得:b=2,c=4,则解析式为y=-ix2+2x+4；2(2)Vy=-1X2+2X+4=-工(x-2)2+6,2 2，抛物线顶点坐标为(2,6),贝S 四边彩 ABDCnSAABC+SABCDn/dxd+axdxZng+dnlZ-14.【答案与

17、解析】(1)把点 C(5,4)代入抛物线 y =a x 25 a x +4 a 得，25。-25。+4。=4 ,解得 a =l.该二次函数的解析式为歹=F 5 x +4 .2 ,人(5 丫 9.，y=x-5x+4=x-,顶点坐标为尸(g,-、).(2)(答案不唯一，合理即正确)如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数解析式为y-+4 =(x +g)+:，即歹=/+x+2.15.【答案与解析】把 x=-3 代入解析式得，V =-；x(3 3 x (-3)-|=2.；抛物线的开口向下，对称轴是直线x=-3,顶点坐标是(-3,2).(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3,2),对称轴为x=-3.抛物线与x 轴两交点为B(-5,0)和C(-l,0),与 y 轴的交点为。，一 ),取 D关于对称轴的对称点E(-6,g),用平滑曲线顺次连结，便得到二次函数歹=3 x-g 的图象，如图所示.从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x V-3 时，y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧,即当x-3时，y随x的增大而减小.因为抛物线的开口向下，顶点A是抛物线的最高点,所以函数有最大值，当x=-3时，歹 最 大=2.