吉林省长春市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案与解析）.pdf

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1、绝密启用前长春市十一高中北湖学校20222023学年度上学期期末考试九年级数学（时间：120分 钟 满 分：120分）注意事项：1 .试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。2 .作答前认真阅读答题卡上的注意事项。3.考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回。一、选择题（共8小题，每小题3分，满分2 4分）1.2cos 30的值等于（）A.1 B.72 C.y/3 D.22.关 于 x 的一元二次方程g2+5*+加 2-2 m=o 的常数项为0,则 加 的 值 为（）A.1 B.2 C.0 或 2 D.03.将抛物线y=-2（x+l+3 向左平移3 个单位，再向上平移2 个单位，所得

2、抛物线解析式为（）A.y=-2（x+4+l B.），=-2（-2+1C.y=-2（x+4）2+5 D.y=-2（x-2 f +54.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C 都在横线上，若线段AB=6,则线段BC的 长 是（）5.如图，已 知 是 0。的直径，ZA）C=50,A O 平分/8 4 C,则/A C D 的度数是（）ABDA.110B.100C.120D.1306.大约在两千四五百年前，如 图 1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.并在 墨经中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如 图 2 所示的小孔成像实验中

3、，若蜡烛火焰的高度为6 c m,像距为15cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是9 c m,则物距是()A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm7.如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A,变幅索的底端记为点8,垂直地面，垂足为点。，B CL AD,垂足为点C.设 NA6C=a,下列关系式正确的是()k8.如图，点 A 在反比例函数y=：(x 0)的图像上，点 8 在x 轴负半轴上，直线A B 交 轴 于 点 C,若AC 1的面积为3,则Z 的 值 为()BC 2yA.6 B.5 C.3 D.2二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9

4、.已知二次函数y =（x 3y+3,当=时，y取得最小值.1 0 .已知关于x的一元二次方程2 f +,%-6=0的一个根是2,则 该 方 程 的 另 一 个 根 是.1 1 .在 R t A s A B C 中，NC=9 0,A C:B C =1:2,则c o s B 的值为.1 2 .如图，AABC,F G”中，D、E两点分别在A B、AC上，F点在DE上,G、两 点 在 上，且。石B C,FG/AB,F H/A C,若BG:GH:HC=4:6:5,的面积是3,则VAD E 的面积是.1 3 .如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长为2.以点。为圆心，8 为半径画弧，交图中网格线

5、于点A、B,则 AB的长为1 4 .如图，二次函数、=-/+处的图象与x 轴交于坐标原点和（6,0）,若关于x的方程为 2-吠+”0（，为实数）在 1 4 尤5 的范围内有解，则 的 取 值 范 围 是.三、解答题(共10小题，满分78分)1 5 .计算：+1 1 -s in6 0|+(-2 0 1 6)-2 cos 6 0 0 .1 6 .解下列方程：%2+6 x =-3 ；1 7.“一方有难，八方支援”2 0 2 2年初长春受到新型冠状肺炎影响，梅河口某医院准备从甲、乙两位医生和A、8、C三名护士中选取一位医生和一名护士支援长春.若随机选一位医生和一名护士，用树状图(或列表法)表示所有可能

6、出现的结果，并求选中医生乙和护士 A为一组的概率.1 8.(1)如 图1,在AB上作点E，使Z 4 C E=4 5。；图1(2)如 图1,点F为AC与网格的交点，在 上 作 点。，使N/S=N A C B；y 2(3)如图2,在A5上作点N,使 冶 峥=可.SBNC)1 9.青少年沉迷于手机游戏，严重危害他们的身心健康，此问题已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对1 2-3 5 岁的“王者荣耀”玩家进行了简单的随机抽样调查，绘制出以下两幅统计图.请根据图中的信息，回答下列问题：全国1 2-3 5 岁的网瘾人群分布条形统计图全国1 2-3 5 岁的网瘾人群分布扇形统计图A 人数,3 0

7、-3 5 岁0 1 2-1 7岁 1 8-2 3 岁 2 4-2 9岁 3 0-3 5 岁 年龄(1)这次抽样调查中共调查了 人；请补全上面的条形统计图；(2)扇形统计图中1 8-2 3 岁部分圆心角的度数是 度；(3)据报道，目前我国1 2-3 5 岁 王者荣耀 玩家的人数约为1000万人，请估计其中12-2 3 岁的青少年人数为 万人.2 0.如图，E是矩形ABCD 的边C8上的一点，班 于 点 F.-I C(1)求证：A E D C s A D A F ；(2)若 AB=4,A D =3,C E =2,求线段OE的长度.2 1.如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处跳起投篮，

8、球沿一条抛物线运动，当球运动水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮箧内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m,试解答下列问题：（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式.（2）这次跳投时，球出手处离地面多高？2 2 .【教材呈现】如图是华东师大版九年级上册数学教材第103 页部分内容.己知：如图，在R t Z X A B C 中，Z A C B =9 0,CO是斜边AB上 中线.求证：2【定理证明】结合图，写出证明过程.（1）如图，在RIAPQN中，N P N Q =9 0。，PQ=1 4,点”是边PN 中点，点G在边PQ上，且PG=；QG,连接

9、H G ,求线段用的长.（2）如图，已知0 尸平分/AO8,Z AO3=6 0,C P =6,C P/O A,PD LQ4 于点O.如果点M 是 OP的中点，则DM的长是.2 3 .已知直角三角形A8C中，ZC=9 0,AC=6,A B =1（）,动点尸从点A出发，以每秒3个单位的速度 沿 折 线 向 终 点 C运动，且 不 与 的 顶 点 重 合，点。为边AB的中点，当点P不与点。重合时，过点P作线段尸。的垂线与“3C的一边交于点。，构造 QD P,设点。的运动时间为/（）.（1）线段的长为.（2）点尸在线段A3上运动时，用 表示线段PO的 长.（线 段 不 0）（3）点P在线段A8上运动，

10、当 A O Q 是以。为腰的等腰三角形时，求 r 的值.（4）当点P经过点。后，作点。关于PO的对称点为Q,当N Q。=2/8时，直接写出f 的值.2 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+/?x +c的 图 像 经 过 点，点-1,一；）yt（1）求此二次函数的解析式；（2）点 P为此函数图像上任意一点，其横坐标为2 次，过点尸作。轴，点。的横坐标为-m-1.已知点尸与点Q不重合，且线段尸。的长度随机的增大而增大.求出机的取值范围；当0 P Q V10时，直接写出线段P Q 与二次函数y =-+法+c -x W 6）的图像交点个数及对应的相的取值范围.参考答案一、选择题（共

11、8 小题，每小题3 分，满分24分）1.2。5 30 的值等于（）A.1 B.7 2 C.百 D.2【答案】C【解析】【详解】分析：根据30角的三角函数值代入计算即可.详解：2c o s 30 =2 X=6.2故选C.点睛：此题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记30、45、6 0。角的三角函数值是解题关键.2.关 于*的一元二次方程小2+5%+加 22m=。的常数项为0,则 加 的 值 为（）A.1 B.2 C.0 或 2 D.0【答案】B【解析】【分析】根据题意，得m 2 一2根=0 且机工0,计算判断即可.【详解】因为关于X的一元二次方程如2+5 1+m 2 一2 2=0 的常数项为

12、（），所以根？2 m=0 且/”H 0，解得m -2.故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式即形如2+区+。=0（。0）,其中c叫做常数项，正确理解定义是解题的关键.3.将抛物线y =-2（x+l+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线解析式为（）A.y =-2（x +4）2+l B.y =-2（x-2 +lC.y =-2（x +4）2+5 D.y=-2（x-2f+5【答案】C【解析】【分析】根据左加上加的原则计算即可.【详解】因为抛物线y =-2（x+lp +3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所以所得抛物线解析式为y =2（x+1 +3）2 +3+2即y =-2（

13、%+4）2+5,故选C.【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握左加上加的原则是解题的关键.4.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上，若线段A B =6,则线段B C的 长 是（）【解析】【分析】如图，过点4作A F _ L C F 1于点F,交过点B的平行线于点E,交A的邻近平行线于点。，根据题意，A D=D E =E F =h,利用平行线分线段成比例定理计算即可.【详解】如图，过点A作A/_ L C 于点凡 交过点B的平行线于点E,交A的邻近平行线于点。，根据题意，A D=D E =E F =h,解得BC=3.故选D.【点睛】本题考查

14、了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键.5.如图，已知A 3是 的 直 径，NADC=50。，AO平分/B 4 C,则NACD的度数是（）DA.110 B.100 C.120 D.130【答案】A【解析】【分析】连接O C,根据NADC=50 则NAOC=100。，结合OC=QA得到NQ4C=NOC4=40,结合AO平分N B 4C，确定ND4C=20。，利用三角形内角和定理计算即可.【详解】如图，连接。C,因为NAZ）C=50。，D因为OC=Q4,所以 NQ4C=NOC4=40。,因为AO平分N B 4C，所以 NZMC=20,所以 NACD=180 50-20=110.故选A.

15、【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，角的平分线，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角的定理是解题的关键.6.大约在两千四五百年前，如 图 1墨子和他 学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.并在 墨经中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如 图 2 所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为6 c m,像距为15cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是9 c m,则物距是（）D.6cm【解析】【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比，列式计算即可.【详解】设物距为xcm,根据相似三角形对应高的比等于相似比，得x 615-9解得 x=10（cm）,故选B.【点睛】本题考查了相似的

16、应用小孔成像，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.7.如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A,变幅索的底端记为点8,垂直地面，垂 足 为 点B C1 AD,垂足为点C.设 NA5C=a,下列关系式正确的是（）.ABA.s i n a=BCAACBCA BD.c o s a =AB【答案】c【解析】【分析】确定直角三角形，后三角函数的定义计算判断即可.【详解】根据题意，得s i n 0)的图像上，点8在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C,若AT 1=一，&4 Q B的面积为3,则%的 值 为()BC 2A.6 B.5 C.3 D.2【答案】C

17、【解析】【分析】过点A作轴于Q,则ADCS AB O C,由线段的比例关系求得AAOC和AACD的面积，再根据反比例函数的Z的几何意义得结果.【详解】解：过点A作A r _ Ly轴于。，则 A D C S&B O C,O C BC 2A r 1 =-,AAOB 的面积为 3,B C 2-S joe=3 S gO B=1，-JZ.ACD _ 2 0 o c -2，3.AAOD 的面积=一,21 3根据反比例函数攵的几何意义得，用=:，2 2止3,0,k-3.故选C.【点睛】本题主要考查了反比例函数的上的几何意义的应用，考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造相似三角形.二、填空题（共 6 小题，

18、每小题3分，满分18分）9.已知二次函数y=（x 3 1+3,当=时，y取得最小值.【答案】3【解析】【分析】根据抛物线的顶点式性质判定即可.【详解】因为二次函数y=(x 3 7+3,所以当x=3时，y有最小值，故答案为：3.【点睛】本题考查了抛物线的最值，正确理解抛物线的最值是解题的关键.1 0 .已知关于龙的一元二次方程2/+如 6=0的一个根是2,则该方程的另一个根是3【答案】-2【解析】【分析】设另一个根为巧，根据2x/=a计算即可.a 2【详解】设另一个根为/，因为关于x的一元二次方程2 x2+/nr-6=0的一个根是2,LL I I C C 6所以 2 X%=-=，a 23解得犬2

19、 =.3故答案为：.2【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键.1 1.在Rt Z X A B C中，ZC=9 0 ,A C:B C =1:2,则c o s B的值为.【答案】撞5【解析】【分析】设A C=A,8 C =2攵，根据勾股定理，A B 7 A C 2 +B G =限，根据c o s 5 =-=计算即可.A B 4 5 k 5【详解】因为R t A B C中，Z C =9 0 ,A C:3 c =1:2,设A C=K 3 C =2左，根据勾股定理，=AC?+B C?=旧k,所以c o s 8：B C _ 2k _ 2 7 5 A B 4 5 k 5故答

20、案为：2石【点睛】本题考查了勾股定理，余弦函数的计算，熟练掌握勾股定理和余弦函数是解题的关键.1 2 .如图，AABC,AFGH中,D、两点分别在A 3、A C上，/点在上，G、”两点在8c上,且 OEBC，FG/AB,F H/A C,若 BG.GH:HC=4:6:5,bG”的面积是 3,则 VA 的面积是_ _ _ _ _ _【解析】【分析】过 点/作F 7 1 B C,交BC于I,如图所示，根据平行四边形的判定与性质，结合BG:GH:HC=4:6:5,设8G=4x,G=6x,C=5 x,即可利用面积公式得到面积比值Si：S2BG:；H G:H C 3.5,从 而 由 的 面 积 是3,得到

21、S梯 形D E C S =SD BG F+S&H G F+aECHF=12,再根据面积比等于相似比的平方得到5/空丫/DF+EF 丫/4X+5X 丫/耳,从 而SAABC BCJ BG+GH+HC J(4x+6x+5xJ S/ADE _ SAOE _ 9“”+Enn g f c 27e,e-e,一 有，解方程即可得到5。山=下 【详解】解：过 点/作/7_LB C,交BC于I,如图所示：,DE/BC,FG/AB,FH/AC,四边形。BGb是平行四边形，四边形EC r是平行四边形,BG:GH:HC=4:6:5,设 BG 4x,GH=6x,HC-5x,.DF=BG,FE=HC,DE/BC,-SDB

22、GF=B G F I,SA H G F=H G-FI,S aECHF=HC-F I,即SODBGF S&HGF SOECHF=8G:HG:HC=4:3:5 AFGH的面积是3,:凡 DBGF=4,S.E C H F =5，即 S 梯 形 DECB=S DDBGF+aE C H F =4+3+5=12,丁 DE/BC,.SQADE”斗（DF+EF 丫（小5）丫?即SAABC l5 c j BG+GH+HC）（4X+6X+5 Tr=冷3=3解得打小弓，ADE 十。梯 形DECS%ADE 十 427故答案为：-.4【点睛】本题考查利用相似性质求面积，涉及平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角

23、形的判定与性质等知识，根据题意，灵活运用几何性质得到面积关系是解决问题的关键.13.如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长为2.以点。为圆心，8为半径画弧，交图中网格线于点A、B,则A B的长为【解析】OC 4 1【分析】根据题意，得0。=4,在及VO6c中，结合cosZBOC=-=计算得到08 8 2NBOC=6 0 ,利用弧长公式计算即可.【详解】如图，根据题意，得OC=4,在RtVQ BC中,因为COSN B 0C =9 =L，O B 8 2所以 N B O C =6 0。，所以AB的长为6 0 x -x 8 _ 8 万1 8 0 3-故答案为：.3【点睛】本题考查了特殊角 三

24、角函数值，弧长公式，熟练掌握三角函数值，弧长公式是解题的关键.1 4.如图，二次函数y =/+的 的 图象与x轴交于坐标原点和（6,0）,若关于x的方程/如+/=（）（/为实数）在l 4 x 5的范围内有解，则r的取值范围是【答案】5 r?5【解析】【分析】先利用抛物线的对称轴求出力得到抛物线解析式为y =-f+6x,再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线丁 =，与抛物线y =d+6 x在l x =-/+孙 的 图 象 与x轴交于坐标原点和（6,0）,对 称 轴 直 线x =3,m2 x(-1)=3,解得m=6,抛物线解析式为y=-x2+6 x=-(x-+9 ,.抛物线的

25、顶点坐标为(3,9),当x =l 时，y=-x2+6 x =-l +6 =5；当 x =5 时，y =-x2+6 x =-2 5 +3 0 =5 ,当直线y =，与抛物线y =-x 2+6 x在l x 5时有公共点时，5?9,关于x的一元二次方程f a+/=()在ix 5的范围内有解，的取值范围为5 Wt W9,故答案为5 Wr/3+1 +1 12=1 +亘2【点睛】本题考查了特殊角的函数值，零指数幕，绝对值的化简，二次根式的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数 累的运算是解题的关键.1 6.解下列方程：X2+6X=-3;【答案】片=-3+瓜&=-3-底【解析】【分析】根据解一元二次方程的

26、方法步骤，采用公式法直接求解即可得到答案.【详解】解：X2+6X=-3.整理得：X2+6 x+3 =0 ,二=从一4。=62-4x1x3=36 12=240,“色 叵=_ 3 ，2x1.一元二次方程的解为玉=-3 +#,%2=3-6.【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、公式法、配方法和因式分解法，结合题目方程结构灵活选择恰当解法是解决问题的关键.1 7 .“一方有难，八方支援”2 0 2 2 年初长春受到新型冠状肺炎影响，梅河口某医院准备从甲、乙两位医生和 A、3、C三名护士中选取一位医生和一名护士支援长春.若随机选一位医生和一名护士，用树状图(或列表法)

27、表示所有可能出现 结果，并求选中医生乙和护士A为一组的概率.【答案】!，见解析6【解析】【分析】先画树状图，后计算即可.【详解】画树状图如下：开始一共有6 种等可能性，选中医生乙和护士 A为一组的有1 种可能性，选中医生乙和护士A为一组的概率6【点睛】本题考查了画树状图计算概率，熟练掌握画树状图是解题的关键.1 8 .(1)如 图 1,在 AB上作点E，使 44 C E =4 5。；(2)如 图1,点F为AC与网格的交点，在A8上作点。，使NAD/nNACB；(3)如图2,在 上 作 点N,使 力 =弓.S&BNC 3【答案】作图见解析【解析】【分析】(1)根据等腰直角三角形的判定与性质，构造

28、以AC为直角边、A为直角顶点的等腰直角三角形即可得到答案；(2)根据题意，在A8上作点。，使NADE=NAC3,由于在A 0F和中ND4E=NBAC是同一个公共角，则两个三角形相似，从而NAFD=NABC=4 5,取4G中点为H,连接 E，根据等腰直角三角形性质即可得到NAFH=45。，从而得到答案；(3)根据题意，在A8上作点N,AANC和ABNC高相同，由以得到四=2,利用平行线分S&BNC 3 BN 3线段成比例，过AC的2:3处作8c1平行线即可得到结论.【详解】解：(1)构造以A为直角顶点、AC为直角边的等腰直角三角形，如图所示:图1AB 与 CG 的交点 E，使 ZAC=45；(2

29、)由(1)中图，取AG中点为“，连接“尸，如图所示:图1/A B C =ZAFD=45,ZDAF=ABAC,在4)尸和AABC中，由三角形内角和定理可知H R与A 3的交点。，使NADE=NACB；AF)2(3)在A C上取点O,使=一，过。作8 c平 行 线 交 于N,如图所示：DC 3【点睛】本题考查网格中作图，涉及等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、同高三角形面积比等于底的比等知识，熟练运用相关性质辅助作图是解决问题的关键.1 9.青少年沉迷于手机游戏，严重危害他们的身心健康，此问题已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对1 2-3 5 岁的“王者荣耀”玩家进行了

30、简单的随机抽样调查，绘制出以下两幅统计图.请根据图中的信息，回答下列问题：全国1 2-3 5 岁的网瘾人群分布条形统计图全国1 2-3 5 岁的网瘾人群分布扇形统计图（1）这次抽样调查中共调查了 人；请补全上面的条形统计图；（2）扇形统计图中1 8-2 3 岁部分的圆心角的度数是 度；（3）据报道，目前我国1 2-3 5 罗，王者荣耀 玩家的人数约为1 0 0 0 万人，请估计其中1 2-2 3 岁的青少年人数为 万人.【答案】（1）1 5 0 0,见解析(2)1 0 8（3）5 0 0 万人【解析】【分析】（1）利用样本容量=频数+所占百分比计算即可，求得对应的频数，完善统计图即可.（2）利

31、用扇形统计图的意义计算圆心角度数即可.（3）根据样本估计总体的思想计算即可.【小问1 详解】根据题意，得 =3 3 0 +22%=1 5 0 0 （名），所以 1 2-1 7 岁人数为 1 5 0 0-45 0 42 0 3 3 0 =3 0 0 （名）,故答案为：1 5 0 0.补图如下：A人数【小问2详解】45 0扇形统计图中1 8-2 3岁部分的圆心角的度数是 x3 6 0 =1 0 8 .1 5 0 0故答案为：1 0 8 .【小问3详解】解：看，1。=5。（万人）.故答案为：5 0 0万人.【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，圆心角的度数，统计图的画法，样本估计总体，熟练掌握两

32、种统计图是解题的关键.2 0.如图，E是矩形A 8 C D的边CB上的一点，A F 1 D E于 点?(1)求证：A E D C s D A F ,(2)若A B =4,A =3,C E =2,求线段。厂的长度.2匕【答案】(1)见解析(2)早5【解析】【分析】(1)根据矩形A B C。，得到NC=N A C =90,Z C D E+Z A D F =90,结合A F 1 D E，得到Z D A F +Z A D F =90,得到 N Z)A P =NE 0C,得证 E O C s a m/z .(2)根据矩形A B C。，A B =4,A D =3,C E =2,得到D E =1 1 6?+

33、2?=2石,根 据EDCSD A F列比例式计算即可.【小 问1详解】因为矩形A B C。，所以 NC=ZADC=90,NCDE+ZADF=90,因为AF1DE，所以 ZDAF+ZADF=90,所以 NDAF=NEDC,所以ED C s/D A F.【小问2详解】因为矩形ABC。，AB=4，AD=3,CE=2,所以DE=底方=2非，因为 ZEDCS ADAF,c r i,ED EC所以=,DA DF所 以 也=?_,3 DF解得。/7=迷.5【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键.2 1.如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平

34、距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为3.0 5m,试解答下列问题：(1)建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式.(2)这次跳投时，球出手处离地面多高？【答案】(1)y=：/+3.5；(2)这次跳投时，球出手处离地面2.25m.【解析】【分析】(1)设抛物线的表达式为y=ax2+3.5,依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；(2)设这次跳投时，球出手处离地面h m,因 为(1)中求得y=0.2x2+3.5,当x=-2,5时，即可求得结论.【详解】解：(1).抛物线的顶点

35、坐标为(0,3.5),可设抛物线的函数关系式为y=o r?+3.5.篮圈中心(1.5,3.0 5)在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.0 5=a x L 52+3.5，1.C L -,5y +3.5-5(2)设这次跳投时，球出手处离地面/z m,因 为(1)中求得了=-0.2/+3.5,.当 x =2.5H寸，h=-0.2 x (-2.5尸 +3.5=2.2 5m.这次跳投时，球出手处离地面2.2 5m.【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键.2 2.【

36、教材呈现】如图是华东师大版九年级上册数学教材第1 0 3页的部分内容.已知：如图，在中，Z A C B =9 0 ,C。是斜边A5上的中线.求证：8 =工48.2【定理证明】结合图，写出证明过程.(1)如图，在RJPQN中，N P N Q =9 0 ,P Q =1 4,点H是边PN中点，点G在边P Q上，且PG=Q G,连接HG,求线段阳的长.(2)如图，已知OP平分N A O 8,N A Q B =6 0,C P =E，C P/O A,PDL04于点 .如果点M是OP的中点，则DM的长是.7 3【答案】定理证明见解析；(1)-；(2)-2 2【解析】【分析】定理证明：延长CD至点,使 瓦)=

37、O C,连接AE,B E,通过说明四边形ACBE为矩形可得结论；定理应用：(1)过点、H 作 H K L N P 与点、K，利用平行线分线段成比例得到点K是边P。的中点，由题中条件证明点G是KP的中点，利用前面得到的定理：直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可得出结论；(2)过点P作于E，如图所示，由平行线性质、角平分线性质、含30直角三角形边的关系，3再结合直角三角形斜边上的中线等于斜边一半即可得到D M =P D=P E =j 从而得到答案.2【详解】解：定理证明：延长 8至点E，使&)=O C,连接AE，B E,如图所示：.CD是斜边AB上的中线，B D =A D ：C D =D E,四

38、边形ACBE为平行四边形，-Z A C B 90,平行四边形ACBE为矩形，A B =C E,.C D =-C E,22定理应用：(1)过点H 作 H K 1 N P 与点K，如图所示:QZ P N Q =90,H K 1 N P,:.QN/HK,.点是边PN的中点，由平行线分线段成比例可知点K是边PQ的中点,:.PK=gpQ,PG=；QG,点G为PK的中点，-H K 1N P,.G为斜边K P上的中线，;.HG=gpK =；PQ,-.PQ=14,117.-.HG=-PQ =-x l4 =-；（2）过点尸作PEJ.QB于E，如图所示：A。区o c E B 0 P平分/A 0 8,PDOA,:.

39、PD=PE，,ZAO8=60,CP/OA,:P C E =ZAOB=S。,在RtZPCE中，CP=E，NCPE=3 0,则。石=组，2 利用勾股定理可知PE=ylPC2-CE2=-,即PO=PE=,22ZA（9B=60,OP 平分 NAOB,NPOD=工 NAOB=30,2在RtAPOO中，PD=-O P,2 ,点”是OP的中点，PDYOA,1 由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可知DM=-OP,23:.D M =P D=P E =J23故答案为：2【点睛】本题是一道三角形的综合题，涉及直角三角形斜边上的中线的性质，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例，角平分线性质，平行线性质，含30 直角

40、三角形边的关系，勾股定理等知识，充分利用直角三角形斜边上中线的性质构造图形是解题的关键.2 3.已知直角三角形A8C中，N C =9 0 ,A C =6,A B =1 0,动点尸从点A出发，以每秒3个单位的速度沿折线AB-BC向终点C运动，且 不 与 的 顶 点 重 合，点。为 边 的 中 点，当点P不与点。重合时，过点P作线段PO的 垂 线 与 的 一 边 交 于 点。，构造 Q D P,设点P的运动时间为，().5-3/(0 /|)3t 5(z )3 3P D =3或96 55 f 3 5 -2 1一 或 一 或 丁2 8 4(2)点尸在线段A3上运动时，用/表示线段P O的长.(线段P

41、D不为0)(3)点尸在线段A8上运动，当aADQ是以。为腰的等腰三角形时，求 的值.(4)当点P经过点。后，作点。关于P O的对称点为Q ,当NQ D Q =2 N 8时，直接写出f的值.【答案】(1)8(2)(3)(4)【解析】【分析】(1)根据勾股定理求得AB；(2)当P在 线 段 匕 时，P D =A D-A P，当点尸在AO的延长线上时，P D=A P-A D-.(3)当是以。为腰的等腰三角形时，分情况讨论，解直角三角形即可得到答案；(4)根据题意，分三种情况：当点P在A3上时，尸是3。的中点，当点尸在8c上时，解直角V 3P Q即可得到答案.【小 问1详解】解：vZC=90,B C

42、=yAB2-A C2=V102-62=8，故答案为8；【小问2详解】解：当0 AP=5 3八3当3，此 时，P D A P-A D 3 t-5-33P D =5-3 r(0 z|)c-5 10J3/-5(-r。时,P Q 1 A B,/.A P =P D =-A D2523t=-,解得，=9,2 6当=时,.NACB=9(),点。是AB的中点,.-.CD=AD=-A B,2 点。和点C重合，此时C P是A 3上的高,A B A CAC2 62 18AP=-=AB 10 5/.=y ,解得 r=1,综上所述：r=*或9；6 5【小问4详解】解：如图2所示：图2当尸点在A3上时，NQ OQ，=2Z

43、QDP,ZQDQ=2NB,/.NQDP=N B,P Q 1A B,:.DP=BP=BD=,2 2=BP=10-*=,2 2.*.t=-i-3=-如图3所示:图3当 点 尸 在 上 时，同上理可得NQ OP=N8,在RtPBQ中，BQ=cosB=2 AB 5co s 8 2 5 8屋+3 =史,88在 R tZ i PD Q 中，N P D Q =N B,作。E J.B C 于,如图 4 所示:.DE/AC,由平行线分线段成比例可知E为BC中点,:.DE=-A C =3,2 Z C=Z D E P =N Q P D =90 ,Z Q P C +N D P E =90 ,N P D E +N D

44、P E=90 ,即 N Q P C =N P D E,:.A C P Q s/E D P,CP P Q 3DEPD43 9：.CP=-D E =-4 49 9A 6+P6=10 +8 =18 ，4 49 2 1.=（18 3）+3 =，4 4综上所述：r =3或 至 或2 8 4【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，轴对称性质，相似三角形判定与性质等知识，读懂题意，正确分类，作出相应图形，数形结合，灵活运用相关知识求解是解决问题的关键.2 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数了=一/+笈+。的图像经过点4（0,（）,点3（-1,一；）.(1)求此二次函数的解析式；(2)点P为此函数图像上任

45、意一点，其横坐标为2 m，过点尸作。轴，点。的横坐标为-m-1.已知点尸与点Q不重合，且线段尸。的长度随机的增大而增大.求出机的取值范围；当0 PQ V 10时，直接写出线段PQ与二次函数y =-+法+c-x W 6)的图像交点个数及对应的，的取值范围.7【答案】(1)y =-x2+x+-4(2)加一；一!相W，或*有 一 个 交 点；当，加 *时，有两个交点3 3 2 3 2 3【解析】,7C-4【分析】(1)根据题意得彳 ，解方程组即可.=1 /?+(?I 4(2)根据尸。x轴，确定P、Q的纵坐标相同，分点P在。的左侧和右侧，两种情形计算，求解即可.根据0 P Q 1 0时，得到,八，解得

46、一一VmW3,结合函数图像分类计算即可.3 m +l 03m+l10解得V?W3.3因 为,=_ 卜 _；1+2，所以抛物线对称轴为直线%=-;2当一,Vw W1 时，线段PQ与抛物线y=-x2+bx+c x 6 有一个交点;3 2 I 3 J_2因为一 +1，2-2解 得/=|，当1 加 时，线段PQ与抛物线，=一/+以+/-：尤4 6有两个交点；2 3 1 3 )5/2、当己时，线段PQ与抛物线y=-f+fer+c-彳x4 6有一个交点；3O)当J_机3时,有两个交点.2 3【点睛】本题考查了待定系数法求解析式,求线段的长度，线段与抛物线的交点问题，熟练掌握待定系数法,灵活进行分类求解是解题的关键.