初中数学三角形模块5-3直角三角形讲义（含答案解析）.pdf

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1、第三部分直角三角形一、知识梳理：1 .直角三角形的性质：(1)直角三角形两个锐角互余；(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(3)直角三角形中，3 0 角所对的直角边等于斜边的一半；(4)勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果设直角三角形的两条直角边长度分别是。和 b,斜边长度是c,那么可以用数学语言表达：a2+b2=c2(5)勾股数：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.2 .直角三角形的判定：(1)有一个角是9 0 的三角形是直角三角形；(2)有两个角的三角形是直角三角形：(3)如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；(4

2、)勾股定理逆定理：如果三角形的三条边长a,b,c 满足关系式：a2+b2 c2,那么这个三角形是直角三角形.二、题型练题型一直角三角形的两锐角互余例 1.若直角三角形的一个锐角为1 5。，则 另 一 个 锐 角 等 于.7 5【分析】根据三角形内角和定理计算即可.【详解】解：另一个锐角为1 5 ,另一个锐角为 1 8 0 -9 0 -1 5 =7 5 ,故答案为：7 5 .【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余.变式11.如图，直线a b,直线/与a、6 分别相交于/、8 两点，过点4 作直线/的垂线交直线6 于点C,若N l=60。，则N 2 的度数为（）A

3、.30 8.35 C.40 P.60【答案】A【解析】【分析】由及Nl=60。，可求得N4C8的度数，再由a b 即可求出N2的度数.【详解】V A C V I,Z1=60Z.NNC6=90 Nl=30,/allb.Z2=N A C B=30故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质及直角三角形的性质.题型二 直角三角形斜边上的中线例2.如图在A 48c中，C FL4 B于F ,B E上A C于E，用 为 的 中 点，E F=5 ,EF M的周长为1 3,则3 c 的长是（）B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出8 c=2M F=2EM,所以然后 列 式 整 理 得

4、到 的 周 长=8 C+E F代入数据进行计算即可.【详解】解：在48C中，CF_LN8于F,8EJL/C于E,M为8 c的中点,:.BC=2MF,BC=2EM.:.MF=EM.，4 E FM 的周长=E M+E F=B C+E F.；EF=5,的周长为 13,.8C=13 5=8故选：B.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握性质是解题的关键.变式22.如图，在AABC中，点 D,E 分别是边AB,A C 的中点，点 F 是线段DE上的一点连接 AF,BF,ZAFB=9 0,且 AB=8,BC=1 4,则 EF 的长是)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B

5、【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到D F=4,根据B C=1 4,由三角形中位线定理得到 D E=7,解答即可.【详解】解：N AFB=90。，点 D 是 A B 的中点，ADF=-AB=4,2VBC=14,D、E 分别是AB,A C 的中点,.,.DE=-BC=7,2.*.EF=DE-DF=3,故选：B【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键.题型三直接考查勾股定理例 3.已知直角三角形的两边长分别为3 和 4,则斜边长为()4 4 B.5 C.4 或 5 D 5 或 夕C【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4 是直角三角形的斜边长和直角边长两

6、种情况讨论.【详解】解：直角三角形的两边长分别为3 和 4,4 是此直角三角形的斜边长；当4 是此直角三角形的直角边长时，斜 边 长 为 炉 不=5.综上所述，斜边长为4 或 5故选：C.【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.变式33.如图，在三角形力8 c 中，ZACB=90,AC=3,B C=4,以 点/为 圆 心，Z C 长为半径画弧，交 A B 于点、D,则 8。=()【答 案】C【解 析】【分 析】首 先 利 用 勾 股 定 理 可 以 算 出 的 长，再 根 据 题 意 可 得 到 根 据B D=A B

7、-A D即可算出答案.【详 解】解：AC=3,BC=4,：.AB=yAC2+B C2=5-.以点Z 为圆心，/C 长为半径画弧，交 A B 于点、D,：.AD=AC,：.AD=3,：.BD=AB-AD=5-3=2.故 选 C.【点睛】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.题型四勾股数例 4,下列数组是勾股数的是（）4 2、3、4 8 0.3、0.4、0.5 C.6、8、10 D 7、12、15C【分析】根据勾股数的定义：满足/+2=/的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可.【详解】A.22+32=1 3 42.此数组不

8、是勾股数；B.0.3、0.4、0.5不是整数，此数组不是勾股数；C.62+82=102.此数组是勾股数：D.72+12?=1 9 3*1 5 2,此数组不是勾股数；故选：C.【点睛】本题考查了勾股数的知识,解答此题要用到勾股数的定义,及勾股定理的逆定理：已知 NBC的三边满足/+尸=2,则N8C是直角三角形.变式44.如图，这是一株美丽的勾股 树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形/、B、C、。的边 长 是 3、5、2、3,则最大正方形E 的边长是)(A.13 B.V47 C.47 D.V13【答 案】8【解 析】【分 析】设中间两个正方形的边长分别为x、y,最 大

9、正 方 形E的边长为z,根据勾股定理进行求解.【详 解】设中间两个正方形的边长分别为x、外最大正方形E的边长为z,由勾股定理得：/=32+52=34,y2=22+32=13,z2=x2+y2=47,即最大正方形E的面积为：Z2=4 7,边 长 为z=标，故 选B.【点睛】本题考查勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解题的关键.题型五勾股定理的证明例5.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在 周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今.迄今为止己有400多种证明勾股定理的方法.下

10、面是数学课上创新小组验证过程的一部分.请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整:将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中6。，点E在线段Z C上，点5、。在边Z C两侧，试证明：a2+b2=c2A见解析.【分析】首先连结8。，作。尸_LHC延长线于尸，则-a,根 据RtDABCRtDDAE,易证/D A B =90，再 根 据S四 边 形 的8 =SDADE+DABC+S四边形,CE，S四 边 形 片。匹台=SADB+SDF B 两者相等，整理即可得证.【详解】证明：连结作。尸J_5C延 长 线 于/，则ZE=6。S四边形4 DF B=SQADE+$D,4 8 c +S四边形 “感=

11、ab+b2 ab=b2R tA B C =RtADAE AB=AD-c.ZAD E=ABACQ?ADE?DAE 90?BAC?DAE 90即 N D A B=90，A D 1 ABS四边形/*=S1ylz5 8 +S g F B=；/+；(a+6(b-a)即有：b2=-c2+-b2-2 2-1 a22a2+b2=c2【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ZOF8的面积是解本题的关键.变 式 55.勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一.中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中

12、，以弦。为边长所得到的正方形N8C。是由4 个全等的直角三角形再加上中间的小正方形E FGH组成的，其中8/=a,AF =b.(2)在 图 1 中，若 大 正 方 形 的 面 积 是 13,B F =2,求小正方形EEG”的面积；(3)图2 是 由“勾股圆方图”变化得到的，正方形MNK7由八个全等的直角三角形和正方形E F G 拼接而成，记图中正方形M N K T,正方形力B C D,正方形E F G H的面积分别为5，5，S 3.若E+S 2+S 3=4 8,求 边 的 长 度.【答案】(1)证明见解析；(2)1；(3)4【解析】【分析】(1)根据大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小

13、正方形的面积证明可得结论；(2)由勾股定理可得A F的长，从而可得小正方形的边长，进一步可求出小正方形的面积；(3)分别求出正方形A/N K T,正方形4 B C D,正方形E E G”的边长，求出其面积,代入5,+S2+53=4 8,进一步整理可得解.【详解】解：(1),?R t M B F 三 RtDAE 占 RtCDH 3 RtBCG:.B F =A F =D H =C G =a,A F =D E =C H =B G =b:.小正方形E F G H的边长=b-a又大正方形的边长为c二正方形438的面积为c 2,4个全等直角三角形的面积和为2,正方形MG 的面积为,由“大正方形的面积=4个

14、全等直角三角形的面积+小正方形的面积”得；c2-4xab+(b-a)2c2=2ab+(b -经过整理可得,2 =/+/(2).大正方形N 8 C。的面积是1 3,c?=1 3,:BF=2,K B F2+A F2 A B2：.A F2=A B2-B E2=3-4=9.A F =3(负值舍去)EF=3-2=.小正方形E F G H的面积为1；(3).正方形M N KT由八个全等的直角三角形和正方形E FGH拼接而成，/.A M =A F=b,M B =B F =a,.正方形肠VK T的边长为a+b,正方形M N KT的面积为(a+bp.而正方形4 8 C D 的边长为c,正方形E FGH的边长为仅

15、-,正 方 形A B C D的面积为c2,正方形E FGH的面积为(b-a)2,(a+by+c+(b-a)?=48,整理得，3c2 =48,A c =4(负值舍去)【点睛】此题考查的是勾股定理的证明和应用，能够准确识图是解答本题的关键.题 型 六 勾 股 定 理 的 实 际 应 用例 6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为 1.5m,顶端距离地面2 m,如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7 m,那么小巷的宽度为()A.3.2m B.3.5m C.3.9m D.4mC【分析】如图，在放ZC8中，先根据勾股定理求出4 3,然后在

16、用/8。中根据勾股定理求出B D,进而可得答案.【详解】解：如图，在放 NC8 中，V Z A C B=9 0Q,8 c=1.5 米，4 c=2 米，.,./=1.52+22=6.25,.8=2.5 米,在用4 8。中，,/Z A 08=90,A。=0.7 米，BD2+A D2=A B2,.5Z52+0.72=6.25,.802=5.76,:BD0,，8。=2.4 米，.Q=8 C+80=1.5+2.4=3.9 米.故选：C.本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键.变 式 66.小明想知道学校旗杆多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2 m,当他把绳子的下端拉开10

17、m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A.16m B.20m C.24m D.28m【答案】C【解析】【分析】根据题意设旗杆的高A B为x米，则绳子A C的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得A B的长，即旗杆的高.【详解】解：如图：设旗杆的高A B为x米，则绳子A C的 长 为（x+2）米，在 R t4 A B C 中，BC=10 米，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2,x2+102=(x+2)2,解得：x=24,/.AB=24.旗杆的高2 4米，故选：C.【点睛】本题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题关键是构造直角三角形利用勾股定理列出方程.题型七勾股定理的逆定理例7

18、.下列四组数中不能构成直角三角形的一 组 是（）4 4,5,6 B.7,2 4,2 5 C.5,1 2,1 3 D.1,2,旧A【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形.【详解】解：/、.42+52/6 2，.,三条线段不能组成直角三角形，故/选项符合题意；8、；7?+2 4?=2 52，三条线段能组成直角三角形，故8选项不符合题意：C、:52 +1 2 2 =1 3 2，.三条线段能组成直角三角形，故C选项不符合题意；。、：肝+2 2=（6了，.三条线段能组成直角三角形，故。选项不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟悉定理是关键.变式

19、77.在如图的网格中，每个小正方形的边长为1,/、8、C三点均在正方形格点上，若是A/B C的高，则的长为（）CA.273 B.V5 C.V3 D.2【答案】P【解析】【分析】结合格点的特点利用勾股定理求得Z 5,AC2,B G,然后利用勾股定理逆定理 判 定 的 形 状，从而利用三角形面积求解.【详解】解：由题意可得：43=22+42=20AC2=22+12=55C2=32+42=25AB-+AC2=B C2.N 8C是直角三角形又.4。是A/B C 的高：.-A C-A B -B C A D,2 2-xyj5x2y/5=-x5AD,解得：AD=22 2故选：D.【点睛】本题考查勾股定理及其

20、逆定理，掌握勾股定理，利用网格特点，准确计算是解题关键.题型八勾股定理的逆定理的应用例8.如图所示的网格是正方形网格，A A B C是()三角形.A.锐角 B.直角 C.钝角 D.等腰A【分析】根据勾股定理求出三边的长，再利用勾股定理逆定理可作判断.【详解】解：根据网格图可得：AC2=42+12=17.AB2=32+12=10 C52=42+32=25./AC2+AB2=17+1025=CB2,.A A 8C是锐角三角形，故选：A.【点睛】本题考查了三边的关系，会利用三边关系确定三角形的形状：若三角形的三边分别为。、6、c,当届+6 2 0 2时，ZX/B C为锐角三角形；当标+62/42+3

21、2=5由旋转的性质得，ZU=AC=4CB=AB-AC=5-4=故选：A.【点睛】此题主要考查了旋转的性质和勾股定理的运用，运用勾股定理求出18=5是解答此题的关键.1 3.下列各组数中不是勾股数的是（）A.3,4.5B.6.8.1 0C.5,1 2.1 3 D,4,5,6【答案】P【解析】【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方.【详解】解：/、32+42=25=52,是勾股数，此选项不符合题意；B、62+82=100=102,是勾股数，此选项不符合题意；C、52+122=169=132,是勾股数,此选项不符合题意；D、42+52=41/6

22、2,不是勾股数，此选项符合题意.故选：D.【点睛】此题主要考查了勾股数：满足足+加二序的三个正整数，称为勾股数.注意:三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足次+加=/,但是它们不是正整数,所以它们不是勾股数.一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.记住常用的勾股数再做题可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；1 4.满足下列条件的三角形：三边长之比为3：4：5；三内角之比为3：4：5；-1,2n,n2+l；V 2+b V 2-1-6.其中能组成直角三角形的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】欲求证是否为直角三角形，若已知三边长，只要验证两小

23、边的平方和是否等于最长边的平方；若已知三个角的度数，只要验证是否存在直角即可.【详解】三边长之比为3:4:5；则有(3x)2+(4x)2=(5 x)2,为直角三角形；三个内角度数之比为3:4:5,3 4 5则各角度数分别为180 x=45。，1800 x=60。，1800 x6=75。，不是直角三12 12 12角形；(/-)2 +(2”=(/+)2,是直角三角形；.上+1 +收-1 =2 行 6，二构不成三角形.故选：A.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.15.九章算术是我国古代的数学名著，书中有“折

24、竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=1 0尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3 尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为()A.%2-32=(1-X)2 B.X2-32=(10-X)2C.X2+32=(1-X)2 D.X2+32=(10-X)2【答案】P【解析】【分析】根据勾股定理列方程解答.【详解】解：设折断处离地面的高度为x 尺，则斜边为(1 0-x)尺，根据勾股定理得:X2+32=(10-X)故选：D.【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意得到直角三角形确定三边的关系式是解题的关键.1 6.如图所示，将一根长为2 4 c m 的筷子，置于底面直径为5。?，高 为 1 2 c m 的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为入。“，则的取值范围是()A.0/z l lB.1 1 /?2D.0/?/EC2-CD2=70（km）/.E F=140km台风的速度为20km/h,A 1404-20=7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7 小时.故答案为：7.【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解答此类题目的关键掌握勾股定理及其逆定理并构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.