北京市丰台区2023届高三上学期数学期末试题.pdf

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1、丰台区2022-2023学年度第一学期期末练习高三数学考生须知1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.2.本次练习所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2 B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效.4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟.第一部分(选择题40分

2、)一、选择题共10小题，每 小 题 4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1,已知全集。=R,集合A=止 1,则4 A=1)A.(-oo,-l)u(0,+oo)B.(-oo,-l u(0,+oo)C.0,+oo)D.(-oo,-lu0,+co)【答案】B【解析】【分析】根据补集概念求解即可.【详解】因为U=R,A=x|-l x 0 ,所以A=x|x 0.故选：B2.已知复数 2=1(1+。，则在复平面内，复数2 对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先化简复数，求出共规复数，即可得结论.【详解】因为z =

3、1(1 +1)=-1 +1,所以 5 =-l i，所以N对 应 点 为（-1,-1）在第三象限,的展开式中，常数项为（B.24）C.-4 8 D.4 8【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令X的指数为0求出，将 的值代入通项求出展开式的常数项.【详解】二项式（X 2）展开式的通项为7=（-2）（：42,令4 2 r =0,解得r=2,所以展开式的常数项为4=4C；=2 4故选：B4 .已知向量a =（2,4）,。=（4,1）,贝 4 =0 是0/6 的（）A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】

4、由4/，可求出4 =及，再由充分性和必要性的定义即可得出答案.详解】若。/匕，则2 x 1%=0,解得：2 =+V 2.所以X =a=a/b，而a/b推不出X =故；1 =及 是 a/b”的充分而不必要条件故选：A.5 .下列函数是偶函数，且在区间（0）上单调递增的是（）A.yl-x2 B.y=tan xC.y=xc os x D,y=e +e T【答案】D【解析】【分析】利用函数奇偶性和在区间上单调递增逐项分析.【详解】选项A由令y=l V的定义域为R,且/(-%)=l-(-X)2-l-x2,由函数为二次函数开口向下，对称轴为y轴，所以在(o,+。)单调递减，故函数在区间(0,1)上单调递减

5、，故A错误，由),=1 2 1 1%的定义域为W彳7 3 +%兀,&6 2,关于原点对称且 f(x)=tan (X)=-tan x=-f(x),所以y=tan x为奇函数，故选项B错误，由丁=工以为工的定义域为R ,且/(X)=(X)c os (X)=X CO S X=f(x),所以y=xc os x为奇函数，故C错误，由=6、+6一”的定义域为口，且/(-X)=e-v+ex=f(x),所以y=e*+e T为偶函数，VX pX,e(O,l),且 e x?，所以/(玉)_/(x2)=e +e-西一(e%+)=e，i -e 2+-eX|十因为 ApX 2 G()/)，且 MV/，因为y=e 在R上

6、单调递增，所以e*1-e，0，l eV|e,l eA2 e,所以1 一白0,故/(王)一/(/)0)过点4 1,、历)，焦点为F.若点8。,0)满足I A F|=|B F|,则加的值为()A.2 B.V 2+1 C.2 或-1 D.V2 +1或 1-&【答案】C【解析】【分析】由抛物线 2=2。彳 50)过点4 1,后)，可求出P,即可表示出再由IA F RB F I，即可求出机的值.【详解】因为抛物线C:/=2Px(p 0)过点A(l,V 2),所以 2=2p=P=1,故选：C.解得：m=2fiw=-l.7.已知函数/(x)=3 1 og 2 x-2(x l),则不等式/(x)0 的解集是(

7、)A.(1,4)B.(f,l)U(4,+8)C.(0,1)54,+0 D.(0,4)【答案】A【解析】【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案.,、2【详解】依题意/(x)=3 1 og 2 X-2(x-l)0,l og 2 X (xT),由，y=l og2%2,，、解得 0的解集是(1,4).故选：AF,过点尸的直线/平行于双曲线C 的一条渐近线，与另一条渐近线交于点尸，与双曲线C交于点。，若。为线段尸尸的中点，则双曲线C 的离心率为（)A.yRV2D.-2c.72D.警【答案】c【解析】b【分析】首先根据题意得到直线/：y=（x c）,a（c he与另一条渐近线联立得到

8、p二 一 丁12 la（3c be、根据Q为 线 段 的 中 点 得 到Q I 4 4a J，再代入双曲线方程求解即可.【详解】由题知：F（c,O）,平行的一条渐近线为yb则直线/：）=ax-c),故选：C=19.如图，在四棱锥P ABC。中，底面ABCD是边长为3 的正方形，尸。_平面4 8。，点 M 为底面上的动点，M 到 P D 的距离记为“，若|M C j=2 d,则点在底面正方形内的轨迹的长度为（）【答案】B【解析】【分析】在平面中求得M点的轨迹方程，从而求得轨迹的长度.【详解】由 于 尸 平 面A BC R O M u平面ABC。，所以所以|)M=d,|MCj=2d.在正方形ABC

9、。中，建立平面直角坐标系如下图所示，C(3,0),设,y),则黑黑“I叫2,明2 MC 4(x-3)2+y2=4x2+4y2,x2+y2+2x-3=0,(x+1)2+y2=4,所以M点的轨迹是以E(-1,0)为圆心，半径为2的圆.由(x+lf+V =4令x=0,解得y=百，则 网0,由于|国=1,所以NZ郎所以M点的轨迹在底面正方形内的长度是：x2=生.3 31 0.市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重.一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现

10、稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率 .有A,B,C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%,30%,30%.经调查，2022年第二季度A,B,C三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为（）A.45%B.48%C.50%D.52%【答案】C【解析】【分析】根据市场占有率转移情况求得正确答案.【详解】最终达至U“稳定市场占有率 时，设A企业该产品的“稳定

11、市场占有率”为x,则0.3-0.3）x+0.6（l-x）=x,解得 x =0.5.故选：c第 二 部 分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.H.函数/“）=一+J7 T T的定义域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2*-1【答 案】x|x N-l且x w O【解 析】【分 析】根据题意得到2 1。0求解即可.x+Q2x-l#0 ,【详 解】由题知：二%2-1且x w o.x+l 0故答案为：x|x N-1且X H 0 .1 2 .在等 差 数 列 4 中，公 差d不 为0,4 =9,且4,%,生 成等比数列，则d=；当=时，数 列%的前项和S“有最大值.【

12、答 案】.-2 .5【解 析】【分 析】根据等比数列得到a：=4%，解 得4 =一2,再 计 算 出=1 0,4=-1 0,%=1 0，a6=-1 0 ,故=5时，S“有最大值.故答案为：2；51 3 .已 知 集 合 A =(x,y)|x y 6=O,x,y e R ,8 =(x,y)k 2 +y 2 _ 2 x +2 y =0,x,y e R ,若为2个元素组成的集合，则实数相的取值范围是.【答 案】(0,4)【解 析】【分 析】集 合A表示直线上的点，集 合B表示圆上的点，根据直线和圆相交计算得到范围.【详 解】集 合A表 示 直 线-了一7 =0上的点，集 合B表 示 圆(x i y+

13、(y +l)2=2上 点，圆心为半径R =0,AcB为2个元素组成的集合，故直线和圆相交，即4 =匕叫虚，解得 0 2 0),若尼卜闾且小）在 区 间（疆）上有最小值无最大值，则 =.【答 案】4【解 析】【分 析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案.【详 解】由 于 若/（聿）=且，（x）在区间9上有最小值无最大值,Ji JI J I所 以 一（w +=2kli,a）-6 k-2,k e Z ,3 6 2T 7 1 7 1 7 1 T l=-=,co0,所 以。的 值 为4.故答案为：41 5.已 知 函 数/）=。1门 一*一1）2 36人）存在两个极值点片,天（王 1 ；/（x2）0

14、.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答 案】【解 析】【分 析】求出函数定义域以及导函数尸（x）=2 1 -2“一.由/=。可说明正确;X由已知，r（x）=o有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出。的范围，判断；根据求根公式，解 出 ，结合中解出的。的范围，可 得 到9/（l）=0,即正确.【详解】由已知可得，“X)定义域为(O,+8),f(x)=-2(x -1)=-2a2x.X X对于，因为/(l)=a l n l (l 1)2=0,所 以1是函数/(x)的一个零点，故正确；对于，因为函数存在两个极值点.当，所 以/(x)=0有两个不同的正数解玉,，即方程2%2 -

15、2%-4 =0有两个不同的正数解不,则应满足X,+X2=1 0MX,=_a ()-2 =(-2)2-4 x 2 x(-a)=8 a +4 0,解得故错误;2对于，解方程2丁 _2 1 _。=0可得，x=2.J 8“+4=1 2+1,因为百 ，所4 2以 =上 虫 叵，由知一!。0,所以0 2。+1 1,所以4 0可得，即2/-2犬一40，所以X1 X X2，所以/(x)在(%,工2)上单调递增；解/(x)0可得，0%x”所以/(x)在(O,x J上单调递减，在(&,+。)上单调递减.由知;工2 /(1)=0，故正确.故答案为：.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过

16、程.1 6.如图，已知正方体ABCD-ABC。中，点E是棱8C的中点.(1)求证：B Q 平面。GE；(2)若点尸是线段5R的中点，求 直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.【答案】(1)证明见解析3【解析】【分析】（1）连接C 0交G。于 ，连接E H，证明即可.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面。的法向量为”=（2,7,1）,根据向量的夹角公式计算得到答案.【小 问1详解】如图所示：连接C 交G。于“，连接E”，是CR中点，E是3 c的中点，WBD H E,H E u平面O G E且BD,Z平面D CXE,故BD,/平面D CtE .【小问2详解】以D A,D C,D

17、R分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示:设正方形边长为 2,则。（0,0,0）,（1,2,0）,（0,2,2）,*1,1,1）,/、n-D E=x+2 y=0设平面。C|E的法向量为=(x,y,z),贝I J =2y+2z=0取 丁 =-1 得到=(2,-1,1),DF=(1,1,1)./n-DF 2 V 2直线O R与平面O CE所成角的正弦值为c o s（,OF）南=1 7.在.A B C 中，2asin B =.（1）求 4；（2）若。=20，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得_ A 8 C存在且唯一确定，求.A 5 C的面积.条件：cos c=-ie；1 0条件：a=

18、2；条件：si n B =.5注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）4 =：或4 =；4 4（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角可得si n A =q 2,即可求出结果；2（2）若选：根据已知可得C为钝角，则A为锐角，si nC =2叵si nA，三角形唯1 0一，根据两角和的正弦公式可求出si n 3 =无，根据正弦定理求出。的值，根据5S .叱匕si nC即可求出面积；若选：根据正弦定理可求出si n8=l,8为直角，三角形唯一确定，可求出C =A,即可求出SVABC 2 ；若选：由si n4 si nB,可知A =或A =一，有两解.4 4【小

19、 问1详解】由 2“si n 8=可得，2 si n A si nB =V 5 si nB-因为s i n B w O,所以si nA =4,又0 A sin A=sin（兀-A），7T又一 兀一4兀，所以。兀一A,即A+Cv兀，所以一ABC存在且唯一确定.2则4=:,由 A+8+C=TC可得3=7 T （A+C）.sin B=sin（A+C）=sin Acos C+cos Asin C=2 1 10 J 2 10 5,.,2夜x也a根 据 正 弦 定 理 三=告b=c；可得，8sinA-=七2工=c2 747,sin A sin 8 sinC sin B，5y所以 S ABC ab sin

20、C=x 2A/5 X 2A/2 X 3=6;2 2 10若选：a=2.因为b=2 a a，所以村=:，由正弦定理一 二 一可得，4 sin A sin B.八 bsinAsin B=-2口也22a7C因为08兀，所以8=展 所以一ABC存在且唯一确定.7 1 1则 C=TT-A-B =W=A,所以c=a=2,SVABC=-ac=2-若选：sin B=-5因为sin A=sin B，所以4 8,此时4 或4=把，2 4 4所以，此 时ABC存在但不唯一.18.非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志.随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗

21、传播获得广阔的平台,非遗文化迎来了发展的春天.为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了 1000名 非 遗 短 视 频 粉 丝，记 录 他 们 的 年 龄，将 数 据 分 成6组：10,20),20,30),30,40),40,50),50,60),60,70J,并整理得到如下频率分布直方图：(2)从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X,用频率估计概率，求X的分布列及数学期望E(X)：(3)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为相，若中位数的估计值为小写出小与”的大小关

22、系.(结论不要求证明)【答案】(1)a=0.018(2)分布列详见解析，E(X)=0.6(3)nm【解析】【分析】(1)根据频率之和为1求得。.(2)根据二项分布的知识求得分布列以及数学期望.(3)根据平均数、中位数的求法求得Z,并比较出两者的大小关系.【小 问1详解】(0.004+0.012+0.014+0.024+0.028+6/)x10=1,解得 a=0.018.【小问2详解】不超过40岁的人的频率为(0.004+0.012+0.014)x10=0.3,所以X 3(2,0.3),X的可能取值为0,L2,尸(X=0)=&x0.3 x 0.72=0.49,P(X=1)=C；x 03 x 0

23、7 =0.42,P(X=2)=C；x O.32 x 0.7=0.09,所以X的分布列为:所以（X）=2 x 0.3 =0.6.X012p0.4 90.4 20.0 9【小问3详解】加=1 5 x 0.0 4 +2 5 x 0.1 2 +3 5 x 0.1 4 +4 5 x 0.2 4 +5 5 x 0.2 8+65 x 0.1 8 =4 6.4 岁.0.0 4 +0.1 2 +0.1 4 =0.3,0.0 4 +0.1 2 +0.1 4 +0.2 4 =0.5 4 ,0 2 2 5 1 4 5所以 =4 0 +-x l 0 =4 0 +=，m.0.2 4 3 31 9.已知椭圆E:三+=1（。

24、人0）过点4一2,0）,离心率为4.（1）求椭圆E的方程；（2）设点P（2,机）（根0）,直 线 与 椭 圆E的另一个交点为C,O为坐标原点，8为椭圆E的右顶点.记直线O P的斜率为尤，直线6 c的斜率为2,求证：K&为定值.2 2【答案】(1)+-=14 2(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据过点和离心率计算得到椭圆方程.H1 2(2)计算直线方程，联立方程得到C点坐标，再 计 算 匕=一,匕=一一，相乘得到答2 m案.【小 问1详解】椭圆E:二+齐=1(。0)过点4 2,0),离心率为今,故。=2,e=c=ypl,b=Ja2-c2=V2 椭圆方程为三+上=1 .a 2 2 4 2【小

25、问2详解】m /y=(x+2)kA P=-,直线A P：y=-(x +2),联立方程(2 2，4 4 7%-y2,+=1,4 2得到（8 +nr）f+4加2 -3 2 =0,方程的一个解为-2,故另外一个解为仄？，,8 +苏当x=16二2 1时,8 +m2my=41 6-2 m2 _-J-+28 +48m-8W R l16 一 2ITT 8 m8 +tn2 8 +7 7 z28(2,0),h=鼻,k28 mA =_ 2,1 6-2m 2 m 28+m2=-1,得证2 0.已知函数/(x)=l n x +si n x.(1)求曲线y =/(x)在点(1,/)处的切线方程;(2)求函数F(x)在区

26、间 l,e 上的最小值;(3)证明函数，(x)只有一个零点.【答案】(1)(l +c o sl)x-y-l +si n l-c o sl =0(2)/(l)=si n l(3)见解析【解析】【分析】(1)对f(x)求导，求 出 l)=si n l,f =l+c o sl,由点斜式方程即可求出答案;(2)令g(x)=r(x)=:+c o sx,g (x)=-y-si n x ,得出 g(x)在口,e 的单调性，结合零点存在性定理可得/(力 在x e(l,c)上单调递增，在x e(a,e)上单调递减，再比较/(1)，/(e)的大小,即可得出答案.(3)利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，

27、讨论0 x Wl,1乃时，/(x)的正负，即可得出证明.【小 问1详解】/(x)=l n x+si n x 的定义域为(0,+纥)，故=，+c o sx,/=si n l，r =l +c o sl,所以曲线y =.f(x)在点(1,/)处的切线方程为：y-si n l =(l+c o sl)(x-l),化简得：(l +c o sl)x-y-l +si n l-c o sl =0【小问2详解】令 g(x)=/(x)=+COSX,g (x)=-y-si n x ,当x e l,e 时，g(x)=-si n x 0,/1 1 2万1 1八g(e)=+c o se +c o s=-0；当x w(a,e

28、)时，g(x)=/(x)/(1),所以函数f(x)在区间口,e 上的最小值为/(l)=si n l.【小问3详解】/(x)=l n x+si n x ,X G(0,+OO),若 0 0 ,x所以/(x)在区间(0,1 上单调递增，又/(l)=si n l 0,/W =-l +si n 1 0,结合零点存在定理可知，f(x)在区间(0,1 有且仅有一个零点，若 l 0,si n x 0 ,则/(x)0,若x乃，因为l n x l n乃 1 之一si n x,所以综上，函数/(X)在(0,+8)有且仅有一个零点.【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断

29、；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.2 1.设X为正实数，若各项均为正数的数列 4满足：V e N*，都有则称数列 4为P Q)数列.(1)判断以下两个数列是否为尸(2)数列：数列 A：3,5,8,13,21；数列 8：l o g2 5,兀，5,10.(2)若数列也“满足4 0且不病R,是否存在正实数;I,使得数列 4是P U)数列？若存在，求；I的取值范围；若不存在，说明理由.(3)若各项均为整数的数列 4是P 数 列，且 ,的前z(m N 2)项和4 +生+%+“为150,求+加的最小值及取得最小值时区“的所有可能取值.【答案】(1)数列A是，数列8不是

30、；(2)不存在，理由见解析；(3)答案见解析.【解析】【分析】(1)根据定义验证。向一。“2 2是否恒成立，即可判断；(2)假设存在，则由已知bn+l=2 +4 +3 -而1可推得2+1 a/时，b,l+l-bn =A,这与假设矛盾，所以不存在;(3)根据已知推出。+之。+1,进而推出金之机，。，时|册 一1,L ,150 m 14 2,21 13 =8 2 2均满足,所以数列A是P(2)数列；对于数列B,因为5兀 bn+A,即bn+i-b A恒成立.因为 2+1-2 +J +3 -J +l ,所以 d+i _ bn=时，b+i-bn-=+1.所以a”,+12。-2+22 ax+m-m,所以

31、1，“吁2 m-i 1 册 2,a”a“i-2-1 4 4”一 3，L，%a,-1 a,-(m-2),a a2-am-(w-1),所以 6+。2+。3+a,”?4”1+2+3+(m 1)=inam-即 150 4ma,“-L2rrM、150 m 1所以 花 募+5一5因为数列 4 是整数列，所以+加 的最小值不小于30.假设a,”+机=3 0,必有二F-30,解得 z?i 12,m2!3因为meN*，所以加可取9,10,11,12.当初=9时，册=2 1,存在满足条件的数列.6 7|=1 0,=1 4,C ly =15,6 Z 4 =16,。5=1 7,。6 =18,C lj=1 9,。8 =

32、20,。9 =21；当机=10时，=2 0,存在满足条件的数列.q=6,a2=12,a3=13,a4=14,%=15,=16,%=17,=18,%=19,q()20；当机=11时，4=1 9,存在满足条件的数列.q=5,a2=1 0,。3=11,6?4=12,%=13,4=14,%=15,4 =16,。9 =17,tijg=18,=19；当机=12时，金=1 8,存在满足条件的数列.%=7,。2=8,3=9,。4=1 ，。5=1 1，4=1 2,%=1 3,4=1 4,g=1 5,4O=16，4=17,4 2=18,以 上 都 是%+m=30的充分条件.所以%+，的最小值为3 0,此时册的所有可能的取值为18，19,20,21.