2023年中考数学第一轮培优训练：圆的综合题含答案.pdf

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1、2023年 中 考 数 学 第 一 轮 专 题 培 优 训 练：圆 的 综 合 题 一、综 合 题 1.如 图 1,四 边 形 A B C D 内 接 于。0,A D 为 直 径，过 点 C 作 CE1AB于 点 E,连 接 AC.(1)求 证：ZCAD=ZECB；(2)若 C E 是。O 的 切 线，ZCAD=3O,连 接 O C,如 图 2.请 判 断 四 边 形 A B C O 的 形 状，并 说 明 理 由；当 A B=2 时，求 AD,A C 与 围 成 阴 影 部 分 的 面 积.2.已 知 A B 为。0 直 径，弦 C D 交 A B 于 点 E(点 E 不 与 重 合)，连

2、接 AC、AD,AC=AD.(1)如 图 1,求 证：AB LCD.(2)如 图 2,过 点 D 作 OG_LZC于 点 G,D G 交 A B 于 点 F,求 证:EF=BE.(3)如 图 3,在(2)的 条 件 下，延 长 D G 交。于 点”，Q 为 弧 A D 上 一点，连 接 4 Q、HQ,H Q 交 A B 于 点 P,若 Q=亏，DE=3,LHPB+2/.CAB=90,求 圆。半 径.3.已 知 AABC在 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 位 置 如 图 1所 示，A 点 坐 标 为（口 4,0）,B 点 坐 标 为（6,0）,点 D 为 A C的 中 点，点 E 是 抛 物

3、 线 在 第 二 象 限 图 象 上 一 动 点，经 过 点 A,B,C 三 点 的 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax?+bx+8.（1）求 抛 物 线 的 解 析 式；（2）如 图 1,连 接 D E,把 点 A 沿 直 线 D E翻 折，点 A 的 对 称 点 为 点 G,当 点 G 恰 好 落 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 时，求 G 点 的 坐 标；（3）图 2 中，点 E 运 动 时，当 点 G 恰 好 落 在 B C上 时，求 E 点 的 坐 标.4.如 图，在 R 3 A B C中，4 c=90。，点 D 是 A C的 中 点，过 点 A、D 作。O,与 A B交

4、于 点 E,A E是。0 的 直 径，A D是。0 的 一 条 弦，且 ZA+ZCDB=9O。，AD：A E=4：5,BC=6.（1）求 证：直 线 B D与。O 相 切；（2）下 面 是 根 据 题 中 条 件 求 直 径 A E长 的 过 程，阅 读 后 请 按 要 求 解 决 下 列 问 题:解 法 1.：AE 是。0 的 直 径，.,.NADE=90o=4C,/.DEIIBCAE DE 1 AD 1又：D 是 A C的 中 点，丽=阮=5=而，E 是 A B的 中 点，；.D E=2BC=3.在 RtAADE 中，设 AD=4x,AE=5x,（4x）2+32=（5x）2,解 之 得：X

5、|=l,X2=dl（舍 去），；.A E=5 x=5,即 O O 的 直 径 为 5.解 法 2.VzA+Z.CDB=9 0,又./A+NCBA=90。，/CDB=NCBA,NC=NC,DC BC.,.DCBABCA,:*BC=AC,BC2=D C A C,又 VAC=2DC=2AD,.*.BC2=AD*2AD,4 4 15AD=5 A E,62=2 X（5 AE）2,AE=4 也.以 上 两 种 解 法 结 果 不 同，那 么 问 题 出 在 哪 里 呢？下 列 说 法 正 确 的 是 OA.解 法 1有 错 B.解 法 2 有 错 C.解 法 1、2 都 有 错 D.解 法 1、2 都 没

6、 错，但 题 中 条 件“AD：A E=4；5”是 多 余 的 在 中 若 你 选 择 的 是 A、B、C 中 一 个，请 说 明 错 在 哪 里？若 你 选 的 是 D,请 删 去“AD；A E=4：5”这 个 条 件，求 出。0 的 直 径.5.一 个 边 长 为 6 0米 的 正 六 边 形 跑 道，P、。两 人 同 时 从 Z 处 开 始 沿 相 反 方 向 都 跑 一 圈 后 停 止，尸 以 4 米/秒 逆 时 针 方 向、。以 5 米/秒 顺 时 针 方 向，尸 0 的 距 离 为 米，设 跑 步 时 间 为 x 秒，令 cP=y,A B（备 用 图）（1）跑 道 全 长 为 米，

7、经 过 秒 两 人 第 一 次 相 遇.（2）当 尸 在 8 c 上，。在 E F上 时，求 y 关 于 x 的 函 数 解 析 式；并 求 相 遇 前 当 x 为 多 少 时，他 们 之 间 的 距 离 最 大.（3）直 接 写 出 P、0 在 整 个 运 动 过 程 中 距 离 最 大 时 的 x 的 值 及 最 大 的 距 离.I I6.如 图，A B是。的 直 径，弦 CD1AB于 点 E,G 是 A C上 一 动 点，AG,D C的 延 长 线 交 于 点 F,连 接 AC,AD,GC,GD.(1)求 证：ZFGC=ZAGD；(2)若 AD=6.当 AC，DG,CG=2 时，求 si

8、nzADG；当 四 边 形 ADCG面 积 最 大 时，求 C F的 长.7.如 图，菱 形 ABCD中，对 角 线 AC,BD相 交 于 点 O,AC=12cm,BD=16cm,动 点 N 从 点 D 出 发，沿 线 段 D B以 2cm/s的 速 度 向 点 B 运 动，同 时 动 点 M 从 点 B 出 发，沿 线 段 B A以 Icm/s的 速 度 向 点 A 运 动，当 其 中 一 个 动 点 停 止 运 动 时 另 一 个 动 点 也 随 之 停 止，设 运 动 时 间 为 t(s)(t 0),以 点 M 为 圆 心，M B长 为 半 径 的(DM与 射 线 BA,线 段 BD分

9、别 交 于 点 E,F,连 接 EN.(1)求 B F的 长(用 含 有 t 的 代 数 式 表 示)，并 求 出 t 的 取 值 范 围；(2)当 t 为 何 值 时，线 段 E N与。M 相 切？(3)若。M 与 线 段 E N只 有 一 个 公 共 点，求 t 的 取 值 范 围.8.如 图，AABC内 接 于。0,B D为。0 的 直 径，B D与 A C相 交 于 点 H,A C的 延 长 线 与 过 点 B 的 直 线 相 交 于 点 E,且 NA=NEBC.(1)求 证：B E是。0 的 切 线；(2)已 知 CGIIEB,且 C G与 BD、B A分 别 相 交 于 点 F、G

10、,若 BG BA=48,FG=，D F=2B F,求 A H的 值.9.问 题 背 景：某 课 外 学 习 小 组 在 一 次 学 习 研 讨 中，得 到 如 下 命 题 题 设，请 分 别 补 充 结 论，不 用 证 明.(1)如 图 1,在 正 三 角 形 ABC中，M、N 分 别 是 AC、A B上 的 点，B M与 C N相 交 于 点 0,若 NBON=60。，则 BM与 C N有 何 大 小 关 系？(2)如 图 2,在 正 方 形 ABCD中，M、N 分 别 是 CD、A D上 的 点，BM与 C N相 交 于 点 0,若 NBON=90。，则 B M与 C N有 何 大 小 关

11、 系？(3)学 习 小 组 成 员 根 据 上 述 两 个 命 题 运 用 类 比 的 思 想 又 提 出 了 如 下 的 问 题：如 图 3,在 正 五 边 形 ABCDE中，M、N 分 别 是 CD、D E上 的 点，BM与 C N相 交 于 点 0,若 4 BON=108。，则 BM与 C N的 大 小 关 系 是 怎 样 的？请 说 明 理 由.(4)请 你 继 续 完 成 下 面 的 探 索：如 图 4,在 正 n 边 形(n 3)中，M、N 分 别 是 CD、D E上 的 点，BM与 C N相 交 于 点 0,问 当 4 B 0 N等 于 多 少 度 时，结 论 BM=C N成 立

12、？(不 要 求 证 明)1 0.已 知：A B为。0 的 直 径，A B=2,弦 D E=1,直 线 A D与 B E相 交 于 点 C,弦 DE在 O O 上 运 动 且 保 持 长 度 不 变，的 切 线 D F交 B C于 点 F.(1)如 图 1,若 DEIIAB,求 证：CF=EF；(2)如 图 2,当 点 E 运 动 至 与 点 B重 合 时，试 判 断 C F与 B F是 否 相 等，并 说 明 理 由.1 1.如 图，点 P 是 等 边 三 角 形 ABC中 4 C边 上 的 动 点（0。乙 4B P 30。），作 BCP的 外 接 圆 交 4B于 点 D 点 E 是 圆 上

13、一 点，且 给,=限 连 接 DE交 BP于 点 反（1）求 证：BE=BC（2）当 点 尸 运 动 变 化 时，NBFO的 度 数 是 否 发 生 变 化？若 变 化，请 说 明 理 由；若 不 变，求 NBFD的 度 数.（3）探 究 线 段 BF、CE、E尸 之 间 的 数 量 关 系，并 证 明.1 2.如 图，A B为。0 的 直 径，点 C 为 下 方 的 一 动 点，连 结 O C,过 点 O 作 OD1OC交 B C于 点 D,过 点 C 作 A B的 垂 线，垂 足 为 F,交 D O的 延 长 线 于 点 E。（备 用 图）(1)求 证：EC=ED(2)当 OE=OD,AB

14、=4 时，求 OE 的 长。OE(3)设 加=x,tanB=y。求 y 关 于 x 的 函 数 表 达 式；若 ACOD的 面 积 是 ABOD的 面 积 的 3 倍，求 y 的 值。13.在 AABC 中，AB=AC,zBAC=90,D 为 平 面 内 的 一 点.图 1 图 2 图 3(1)如 图 1,当 点 D 在 边 B C上 时，且 NBAD=30。，求 证：AD=V2BD.(2)如 图 2,当 点 D 在 aA B C的 外 部，月.满 足 NBDC-NADC=45。，求 证：BD=V2AD.(3)如 图 3,若 A B=4,当 D、E 分 别 为 AB、A C的 中 点，把 AD

15、AE绕 A 点 顺 时 针 旋 转，设 旋 转 角 为 a(0aW180。)，直 线 B D与 C E的 交 点 为 P,连 接 P A,直 接 写 出 4PAC面 积 的 最 大 值 _.口 口 14.如 图 1,。为 半 圆 的 圆 心，C、。为 半 圆 上 的 两 点，且 BD=CD.连 接 N C并 延 长，与 8。的 延 长 线 相 交 于 点 E.(2)/。与。C,8 c 分 别 交 于 点 尸，H.若 C F=C H,如 图 2,求 证：CFMF=FO AH；若 圆 的 半 径 为 2,B D=l,如 图 3,求 N C的 值.1 5.定 义：在 平 面 直 角 坐 标 系 x

16、O y 中，点 P 为 图 形 M 上 一 点，点 Q 为 图 形 N 上 一 点.若 存 在 OP=OQ,则 称 图 形 M 与 图 形 N 关 于 原 点。“平 衡”.(1)如 图，已 知 是 以(L 0)为 圆 心，2 为 半 径 的 圆，点 C(一 1,0),0(-2,1),E(3,2).点 H 为 直 线 y=-x 上 一 点，若 点”与 关 于 原 点 平 衡”，点 H 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 为：;(2)如 图，已 知 图 形 G 是 以 原 点 为 中 心，边 长 为 2 的 正 方 形.0 K 的 圆 心 在*轴 上，半 径 为 2.若。K 与 图 形 G 关 于

17、 原 点。“平 衡”，请 直 接 写 出 圆 心 K的 横 坐 标 的 取 值 范 围.5-4-3-2-5-4-3-2-P-2-3-4-52 3 4 5xI _)1 6.如 图，A 为。外 一 点，A O 1 B C,直 径 BC=12,AO=10,的 长 为 兀，点 P 是 B C上 一 动 点，NDPM=90。，点 M在。O 上，且/D P M在 D P的 下 方.备 用 图 3(1)当 sinA=S时，求 证：A M是 0 0 的 切 线；(2)求 A M的 最 大 长 度.答 案 解 析 部 分 1.【答 案】（1）证 明：四 边 形 ABCD是。0 的 内 接 四 边 形,AzCBE

18、-i-zCBA=180o,zD+zCBA=180,/.zCBE=zD,T A D为 O O 的 直 径，4 ACD=90。，Az.D+zCAD=90,/.ZCBE+ZCAD=9O,VCE1AB,ZCBE+ZBCE=9O,AzCAD=zBCE；（2）解：四 边 形 ABCO是 菱 形，理 由：VzCAD=30,4 COD=2 4 CAD=60。，IC E是 O O 的 切 线，AOC1CE,VCE1AB,AOCHAB,，乙 DAB=4COD=60。，由（1）矢 口，zCBE+zCAD=90,/.ZCBE=9O-ZCAD=6O0=ZDAB,ABCHOA,四 边 形 ABCO是 平 行 四 边 形，

19、VOA=OC,，口 ABCO是 菱 形；由 知，四 边 形 ABCO是 菱 形，AOA=OC=AB=2,AD=2OA=4,由 知，4coD=60。，在 RtAACD 中，ZCAD=3O,CD=2,AC=2A/3,/.AD,A C与 e 围 成 阴 影 部 分 的 面 积 为 SAOC+S扇 形 COD1=2 S4ACD+S 扇 形 COD1 1 607rx 22=2 x 2 x 2 x 2+3602=福+3 兀.2.【答 案】(1)解：如 图，连 接 OC,OD.(AO=AOOC=OD在 40C 和 AOD 中 AC=AD,.AAOC=A A O D(S S S),;C A O=Z.DAO,即

20、 Z,CAE=Z.DAE./AC=ADz-CAE=Z.DAE在 CAE 和 DAE 中 AE=AE.CAE=DAE(SAS),/.Z.AEC=Z-AED.-z.AEC+AED=180,.Z.AEC=AED=90,gp AB LCD(2)解：如 图，连 接 BC,BD.7 zDCG+ZCDG=90,Z.DFE+Z-EDF=90,Z-ACE=Z.DFE,A D=AD,/.Z.ACE=Z.DBE,:,乙 DFE=L DBE,(Z.DFE=乙 DBEZFFD=zFED=90在 DFE 和 DBE 中 I ED=EDJ DFE=D B E(A A S),.E F=BE.(3)解：连 接 OC、OD、HB

21、、BD,由 A H 可 得 4 AQP=4HBP,又 乙 APQ=4HPB,APQ HPB,V A B 1 C D,且 AC=AD,ACE=DE,口 口：.BC=BD,由(2)可 知 4 BDE=NFDE=4CAB,I I C-:.HC=BC=BD,VDE=3,HB=CD=6,又.NHP8+2 4 8=90。,J zAFH=zHPB+zCAB,J ZHBP=ZHPB,APQ与 2HPB为 等 腰 三 角 形，14 AP=AQ=5,HP=HB=CD=6,又 在 AACE 中 NOCEEHPB,.NOCE=4ODE=ZHPB,.HPB-A OCD,W F _ RP故 C CD,2 r_14令 圆。

22、半 径 为 r,则 BP=r 5,0 C=r,：.r 6,化 解 得：5 r-7 r-1 2 0=0,18Y-解 得：r=5 或 5（不 符 合 题 意，舍 去），故 圆 半 径 为 5.3.【答 案】（1）解：抛 物 线 产 2*2+6*+8经 过 点 A（口 4,0）,B（6,0）,（16a-4b+8=0（36a+6b+8=0,1a=3b=|解 得 1 3,1 2二 抛 物 线 的 解 析 式 是：y=D 3X2+3X+8（2）解：过 点 D 作 D M,对 称 轴 于 点 M,过 点 D 作 DF_Lx轴 于 点 F,令 x=0 代 入 y=D 3 x2+3 x+8,y=8，：.C(0,

23、8),，OC=8,.,点 D 为 A C 的 中 点，DFIIOC；.DF是 A A O C 的 中 位 线，1；.FO=2,DF=2OC=4,A D(02,4),在 RtAAOC 中，由 勾 股 定 理 可 知：AC=75,1AAD=2 AC=2/5,/点 A 与 点 G 关 于 直 线 D E 对 称，；.DG=AD=2 衽，1 2由(1)可 知：抛 物 线 y=1 9x2+?x+8的 对 称 轴 为：x=l,A M 的 坐 标 为(1,4),.*.DM=1(口 2)=3,当 点 G 恰 好 落 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 时，设 G 点 的 坐 标 为(1,n),.*.MG=|4

24、(n|,在 RtAGDM 中，DG2=DM2+MG2,32+(4Qn)2=20,解 得 n=4V，；.G 点 的 坐 标 为(1,4+V11)或(1,40 V11)(3)解：当 点 G 恰 好 落 在 B C 上 时，由 对 称 性 可 知：AD=DG=CD,.A、C、G 三 点 在 以 D 为 圆 心，A D 为 半 径 的 圆 上，连 接 AG,由 于 A C是 O D 的 直 径,AzAGC=90,点 A 与 点 G 关 于 ED对 称,AEDIAG,A EDHCG,设 直 线 B C的 解 析 式 为：y=kx+m,将 点 C(0.8)、B(6,0)代 入 y=kx+m,w解 得：=8

25、,4 直 线 B C的 解 析 式 为：y=D 3 x+8,4可 设 直 线 E D的 直 线 解 析 式 为：y=O 3 x+d,4将 D（口 2,4）代 入 y=DWx+d,8.4=W+d,4d=3,4 4，直 线 E D的 解 析 式 为：y=n 3x+3,4 4y=-3X+31 2 2y=y+8联 立(3 3解 得：X=3A/29,Y E是 抛 物 线 在 第 二 象 限 图 象 上 一 动 点,4癖-8.E点 的 坐 标 为(3 r 3一)4.【答 案】(1)证 明：连 接 0 D,如 图，VOA=OD,z_A=zODA,VzA+zCDB=90,zODA+z.CDB=90,AzBDO

26、=90,A0D1BD,直 线 B D与 O O 相 切(2)D；解：VzA+Z.CDB=90,NCDB+NCDB=90。，.C B D=NA,而 zDCB=zCBA,/.CDB-ACBD,.CD：CB=CB：CA,即 CD CA=36,VD为 A C的 中 点，A AD=C D,即 AD 2 A D=3 6,解 得 AD=3 J 2,；A E为 直 径，/.ZADE=9O,ADEHBC,，DE 为 AADE 的 中 位 线，D E=BC=3,在 R JA D E 中，AE=3 户.5.【答 案】(1)360；40(2)解：.六 边 形 ABCDEF 是 正 六 边 形，./A=4F=N B=1

27、20。，如 图，连 接 B F,过 点 Q 作 QH1BC于 H,V zA=120,AB=AF=60 米，,NAFB=NABF=30,BF=60 价 米,.B F E=z F B C=9 0。，.四 边 形 FBHQ 是 矩 形,/.Q H=B F=6 0 米，FQ=BH,：AF+FQ=5x 米，AB+BP=4x 米，；.PH=x 米，.y=QP2=PH2+QH2,.,.y=x2+10800,(15x24)/.当 x=2 4时，d 的 最 大 值 为 12肥 米；(3)解：.六 边 形 ABCDEF是 正 六 边 形，.点 A,B,C,D,E,F 在 以 A D中 点 为 圆 心，A B长 为

28、 半 径 的 圆 上，.当 x=6 0 s时，5x60=300米，则 点 Q 与 点 B 重 合，4x60=240米，则 点 P 与 点 E 重 入 口，B E为 直 径 时，如 图，P、Q 之 间 的 距 离 最 大，六 边 形 ABCDEF是 正 六 边 形，BE=2AB=120米，即 P Q的 最 大 值 为 120米.6.【答 案】(1)证 明：.A B是 O O 的 直 径，弦 CDLAB,ACE=DE,CD1AB,A AC=AD,zADC=z.ACD,/四 边 形 ADCG是 圆 内 接 四 边 形，AzADC=zFGC,V ZAGD=ZACD,Z.FGC=zADC=Z.ACD=z

29、AGD,4 FGC=NAGD；(2)解：如 图，设 A C与 G D交 于 点 M,-A G=AG,ZGCM=ZADM,又 ZGMC=NAMD,/.GMC-AAMD,G C CM 2 1;.AD=DM=6=3,设 C M=x,则 DM=3x,由（1）知，AC=AD,:.AC=6,AM=6Dx,在 RtAAMD 中，AM2+DM2=AD2,（6Dx）2+（3x）2=62,6解 得，Xi=O（舍 去），x2=5,6 24A AM=6D 5=5,2 4AM-5 4sinZADG=AD=6=5.S 四 边 形 ADCG=S AADC+S ACG，点 G 是 A C 上 一 动 点，当 点 G在 的 中

30、 点 时，4A C G的 底 边 A C上 的 高 最 大，此 时 4A C G的 面 积 最 大,四 边 形 ADCG的 面 积 也 最 大，.GA=GC,A zGAC=zGCA,VzGCD=zF+zFGC,由（1）知，ZFG C=Z A C D,且 4 GCD=2ACD+4 GCA,.ZF=ZGCA,F=N G A C,A FC=AC=6.7.【答 案】（1）解：连 接 MF.四 边 形 ABCD是 菱 形，AB=AD,AC1BD,0A=0C=6,OB=OD=8,在 R 3A 0B 中，AB=6 2+8 2=10,VMB=MF,AB=AD,zABD=z.ADB=z.MFB,.MFIIAD,

31、BM BF：.BA=BD,t BF.10=16,8ABF=5 t(0t 8).BE BN 2t 16-2t(2)解：当 线 段 EN 与 OM 相 切 时，易 知 BENs/kBOA,A OB=AB,/.8=1032,t=9.32=至$时，线 段 E N与 O M 相 切.(3)解：由 题 意 可 知：当 0V区 7 时，0 M 与 线 段 E N只 有 一 个 公 共 点.当 F 与 N 重 合 时，则 有 5t+2 t=1 6,解 得 t=,40关 系 图 象 可 知，百 V tV 8时，O M 与 线 段 E N只 有 一 个 公 共 点.32 40综 上 所 述，当 0 饪 万 或 V

32、 tV 8时，O M 与 线 段 E N只 有 一 个 公 共 点.AE8.【答 案】(1)证 明：连 接 CD,B D是 直 径，4BCD=90。，即 zD+zCBD=90,VzA=zD,zA=zEBC,AzCBD+zEBC=90,A B E 1 B D,.BE 是 OO 切 线.(2)解：VCGIIEB,AzBCG=zEBC,AzA=zBCG,VzCBG=zABC/.ABC-ACBG,BC AB;JBG=B C,即 BC2=BG BA=48,BC=4 隹，VCGIIEB,ACF1BD,.BFC-ABCD,ABC2=BF*BD,V D F=2B F,，BF=4,在 RtABCF 中,CF=5

33、C2-F B2=4 盘,，CG=CF+FG=5 低,在 RtABFG 中,BG=师 2+FG2=3 也,VBG*BA=48,：.BA=8y2 即 AG=5 隹,CG=AG,AzA=zACG=zBCG,zCFH=zCFB=90,AzCHF=zCBF,：.CH=CB=4,/ABC-ACBG,AC BC BCCG 2073 邸：.CG=B G,.AC=BG=?-,A H=A C H=?.9.【答 案】(1)解：B M=C N,理 由 为：如 图 1,ABC为 等 边 三 角 形，J ZBCM=ZCAN=6O,BC=CA,AzBCN+zACN=60,VzBON=60,B C N+NCBM=60。，Az

34、CBM=zACN,/.BCM=ACAN(ASA),ABM=CN；(2)解：B M=C N,理 由 为：如 图 2,四 边 形 ABCD为 正 方 形，J ZBCM=ZCDN=9O,BC=CD,AzBCN+zDCN=90,V ZBON=90,zBCN+zCBM=90,:.zCBM=zDCN,.,.BCM=A CDN(ASA),BM=CN；(3)解：B M=C N,理 由 为：如 图 3,五 边 形 ABCDE为 正 五 边 形，ZBCM=ZCDN=108,BC=CD,J zBCN+zDCN=108,VzBON=108,J ZBCN+ZCBM=9O,AzCBM=zDCN,/.BCM=ACDN(AS

35、A),BM=CN；(九 一 2)180(4)解：由(1)(2)(3)的 证 明 过 程 知，当 乙 BON=九 时，BM=CN.理 由:如 图 4,正 n 边 形 ABCDEF中，(n 2)180AzBCM=zCDN=n,BC=CA,(九 一 2)180 4 BCN+4 DCN=n,(九 一 2)180VzBON=九，(八 一 2)180A Z.BCN+ZCBM=几,:.zCBM=z.DCN,/.BCM=ACDN(ASA),BM=CN.10【答 案】（1）证 明：如 图 1,连 接OD、0E,图 1 VAB=2,.,.OA=OD=OE=OB=1,VDE=1,AOD=OE=DE,.,.ODE 是

36、 等 边 三 角 形，.NODE=NOED=60。，VDEHAB,.*.zAOD=zODE=60,zEOB=zOED=60,AAOD和 ABOE是 等 边 三 角 形，.,.zOAD=zOBE=60,.,.zCDE=zOAD=60.zCED=z.OBE=60,.MCDE 是 等 边 三 角 形，：DF 是。的 切 线，AODIDF,.,.ZEDF=900D60=300,/.ZDFE=9O,ADFICE,.*.CF=EF.（2）解：相 等；如 图 2,点 E运 动 至 与 点 B重 合 时，B C是。0 的 切 线，图 2O O 的 切 线 D F交 B C于 点 F,.BF=DF,.B D F

37、=/D B F,AB是 直 径，A ZADB=Z.BDC=9O,.zFDC=zC,.DF=CF,/.BF=CF.11.【答 案】（1）证 明：连 接 PE,V ABC是 等 边 三 角 形，AB=BC,ZA=4ACB=6O。，J ZPEB=ZACB=6O,AZA=ZPEB,口.PD=PE,4 PBD PBE,VBP=BP,A AABP=AEBP(AAS),AB=EB,EB=BC；(2)解：当 点 P 运 动 时，4B FD的 度 数 不 会 变 化,口.PD=PE,:.Z.DEP=ZEBP,V ZBFD=ZEBP+ZDEB,AzBFD=zDEP+zDEB=ZPEB=60。，乙 BFD的 度 数

38、 为 60。；(3)解：BF=EF+EC,理 由 如 下：延 长 CE,B P 交 于 点 J,V Z.ABC+Z-CED=180,Z.JEF+zCED=180,A Z.JEF=/.ABC=60,v Z.JFE=ZBFD=60,3 E F 是 等 边 三 角 形，:EF=JE,在 A/P C和 A A P B中，Z.JPC=Z.APB,=乙 4=60。，/.Z.JCP=z-PBA,连 接 PD,：四 边 形 CPD B是 圆 的 内 接 四 边 形，A LPCB+LPDB=180,v PDB+Z.ADP=180,A.ADP=PCB=60,乙 4=60。,M A D P 是 等 边 三 角 形，

39、A AD=AP,.AC-AP=AB-AD,g|J PC=DB,在 A J P C和 A F D B中，=Z-BFD=60Z.JCP=Z.FDB|PC=DB/.JPC=FD B(AAS),A BF=JC,：,B F=JC=JE+EC=EF+EC,即 BF=EF+EC12.【答 案】(1)解：VOC=OBAzB=zOCBV0C1DE,CE1AB zB+zFCB=zOCB+zODC=90.zFCB=zODC即 EC=ED(2)解：由(1 得)EC=EDVOE=OD,OC1DE CD=EC=ED CDE是 等 边 三 角 形 中 4E=60。在 R3OCE 中，OE=OC+tan600=2+但=3(3

40、)作 D H 1 C E,则 DH=CO=OBVCE1ABADHIIABOE _ OF.丽 一 丽=x,即 OF=OBx,CF=yjOC2-O Fz=J i-，O BCF _ J l r 208 _ 卜 一 _2，在 RtACBF 中，tanB=CB 一(1+x)OB-(1+%)一/2 分;COD的 面 积 是 ZkBOD的 面 积 的 3 倍 C D _ 3,丽=4VDHHAB _ 3.而=丽=41由 D H=O B,得 OF=DHOE _ 0 F _ 1项=而=W图 1；AB=AC,NBAC=90。，.A B C=45。，.将 AABD沿 A B折 叠，得 到 ZABE,*A ABD=AA

41、BE,AE=AD,BE=BD,ZEBA=ZABD=45,ZBAD=ZBAE=3O,AzDBE=90,zDAE=60.ADE是 等 边 三 角 形，D E f必 BD,AD=DE=$BD；(2)证 明：如 图 2,过 点 A 作 AEJ_AD,且 AE=A D,连 接 DE,E图 2VAE1AD,4DAE=4BAC=90。，A zB A E=zD A C,且 AD=AE,AB=AC,/.BAE=A CAD(SAS)AZACD=ZABE,V ZACD+ZDCB+ZABC=90,A zDCB+zABC+zABE=90,.ZBOC=90,VAE=AD,AE1AD,ADE=V2AD,ZADE=45,V

42、ZBDC-ZADC=45,A ZBDC=zADC+450=ZEDC,且 DO=DO,zDOB=zDOE=90,.,.DOB=ADOE(ASA)ABD=DE,BDM AD；(3)2+25/314.【答 案】(1)证 明：如 图 1中，连 接 BC.图 1,:DC=BD 5AZDCB=ZDBC,V A B是 直 径，.zACB=zBCE=90,J ZE+ZDBC=9O,ZECD+ZDCB=90,A zE=zD CE,ADE=DC.(2)解：如 图 2 中，图 2VCF=CH,AzCFH=zCHF,V ZAFO=ZCFH,口 口:BD=CDA ZCAD=ZBAD,/.AFO-A AHC,AF OF;

43、.AH=CHCF AF=OF AH.解：如 图 3 中，连 接 C D交 B C于 G.设 O G=x，则 DG=2Clx.图 3口 口：CD=B D,/.4 COD=/BOD,VOC=OB,.,.OD1BC,CG=BG,在 RtAOCG 和 RtABGD 中，则 有 220 x2=l2D(2nx)2,7 7.x=即 OG=”,VOA=OB,O G是 AABC的 中 位 线，1：.OG=2 AC,7：.AC=2.15.【答 案】(1)点 C、D；2-町-2 或 2-XH 2(2)解：图 形 G 是 以 原 点 为 中 心，边 长 为 2 的 正 方 形,原 点。到 正 方 形 的 最 短 距

44、离 是 d=l,最 长 距 离 是 d=盘，K 与 图 形 G 关 于 原 点。“平 衡”，-原 点 到 C)K 上 一 点 的 距 离 ld42,0 K 的 圆 心 在 x 轴 上，半 径 为 2,当 0 K 在 4 轴 正 半 轴 时，圆 心 K 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 为：2-72 x 2+2当 O K 在 x 轴 负 半 轴 时，圆 心 K 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 为：-2-WxW0 一 2,2-2 x 2+2 或-2-7 2%2-216.【答 案】（1）证 明：如 图，过 点 O 作 OEJ_AM于 点 E,3;在 R3AOE 中,当 sinA=亏，OA=10

45、,.*.0E=6.直 径 BC=12,.0 M=6=0 E,.点 E 与 点 M 重 合，OM_LAM,，A M是。O 的 切 线.（2）解：如 图，当 点 P 与 点 B 重 合 时，A M取 得 最 大 值.过 勾 股 定 理 求 得.A M的 最 大 长 度 可 以 通 延 长 A O交。0 于 点 F,作 MG_LAF于 点 G,连 接 OD、OM,.BD的 长 为 兀，Z-BOD-7 T-6.兀=180一,AZBOD=30,V ZDBM=9O,DM是。0 的 直 径，即 DM过 点 O,4 COM=30。，VAO1BC,AzM OG=60o,在 RtGOM 中，4 MOG=60。，OM=6,AOG=3,GM=3也 在 RLM3AM 中，A M=、G2+GM2=14,DM,A M的 最 大 长 度：14。