2023年全国初中数学竞赛试题及参考答案.pdf

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1、“数 学 周 报 杯 2 0 2 3年 全 国 初 中 数 学 竞 赛 试 题 参 考 答 案 及 评 分 标 准 一、选 择 题(共 5 小 题，每 小 题 6 分，满 分 3 0分.每 小 题 均 给 出 了 代 号 为 A,B,C,D 的 四 个 选 项,其 中 有 且 只 有 一 个 选 项 是 对 的 的.请 将 对 的 选 项 的 代 号 填 入 题 后 的 括 号 里.不 填、多 填 或 错 填 都 得 0 分)(1)已 知 实 数 x,y 满 足 4-4=3,y*+y 2=3,则 三，+y4的 值 为(A).x x x,、/、1+V13/、7+V13,、(A)7(B)-(C)-

2、(D)52 2解：由 于/0,/()，由 已 知 条 件 得 1 2+J4+4 X4 X 3 1+3 i 1+V1+4x3 1+-xT2=8=4，y-2=2，4 9 9所 以 7+)=Z-+3+3 j2=-j y2+6=7.X X x(2)把 一 枚 六 个 面 编 号 分 别 为 1,2,3,4,5,6 的 质 地 均 匀 的 正 方 体 骰 子 先 后 投 掷 2 次，若 两 个 正 面 朝 上 的 编 号 分 别 为 根,，则 二 次 函 数 y=/+如+的 图 象 与 x轴 有 两 个 不 同 交 点 的 概 率 是(C).(A)(B)(C)(D)12 9 36 2解:基 本 领 件

3、总 数 有 6X6=36,即 可 以 得 到 36个 二 次 函 数.由 题 意 知=/?-4 0,即/乂”.17通 过 枚 举 知，满 足 条 件 的 根，有 17对.故=一.(3)有 两 个 同 心 圆，大 圆 周 上 有 4 个 不 同 的 点，小 圆 周 上 有 2个 不 同 的 点，则 这 6 个点 可 以 拟 定 的 不 同 直 线 最 少 有(B).(A)6 条(B)8 条(C)10 条(D)l 2 条 解：如 图，大 圆 周 上 有 4 个 不 同 的 点 4 6,两 两 连 线 可 以 拟 定 6 条 不 同 的 直 线；小 圆 周 上 的 两 个 点 E,尸 中，至 少 有

4、 一 个 不 是 四 边 形 4 3 5 的 对 角 线 与 协 的 交 点，则 它 与 4&G 的 连 线 中，至 少 有 两 条 不 同 于 6,C 的 两 两 连 线.从 而 这 6 个 点 可 以 拟 定 的 直 线 不 少 于 8条.当 这 6个 点 如 图 所 示 放 置 时，恰 好 可 以 拟 定 8条 直 线.所 以，满 足 条 件 的 6 个 点 可 以 拟 定 的 直 线 最 少 有 8 条.(4)已 知 A 8 是 半 径 为 1 的 圆。的 一 条 弦，且 A B=a l.认 为 A 3 一 边 在 圆。内 作 正 A B C,点 D为 圆。上 不 同 于 点 4 的

5、一 点，且。3=A B=a,。的 延 长 线 交 圆。于 点 E,则 A E 的 长 为(B).(A)a(B)12n(C)(D)a2解:如 图，连 接。七。4 位 设=0,则 NECA=120-a=NEAC.又 由 于 4 4 5 0=3 4 4 8 0=；(60+180-2。)=120。&,所 以 zM C E丝 ZXABO,于 是 AE=0 4=1.(5)将 1,2,3,4,5 这 五 个 数 字 排 成 一 排，最 后 一 个 数 是 奇 数，且 使 得 其 中 任 意 连 续 三 个 数 之 和 都 能 被 这 三 个 数 中 的 第 一 个 数 整 除，那 么 满 足 规 定 的 排

6、 法 有(D).(A)2 种(B)3 种(C)4 种(D)5 种 解：设 4,a2,av a4,%是 1,2,3,4,5 的 一 个 满 足 规 定 的 排 列.一 方 面，对 于 4,a2,av a4,不 能 有 连 续 的 两 个 都 是 偶 数，否 则,这 两 个 之 后 都 是 偶 数，与 己 知 条 件 矛 盾.又 假 如 生(1 W/W 3)是 偶 数，aM是 奇 数,则%+2是 奇 数，这 说 明 一 个 偶 数 后 面 一 定 要 接 两 个 或 两 个 以 上 的 奇 数，除 非 接 的 这 个 奇 数 是 最 后 一 个 数.所 以 q,a2,av aA,为 只 能 是:偶

7、，奇，奇，偶，奇,有 如 下 5 种 情 形 满 足 条 件：2,1,3,4,5；2,3,5,4,1；2,5,1.4,3;4,3,1,2,5；4,5,3,2,1.二、填 空 题(共 5 小 题，每 小 题 6 分，满 分 3 0 分)(6)对 于 实 数 u,v,定 义 一 种 运 算“*为：*u=u+y.若 关 于 x 的 方 程 x*(a*x)=-；有 两 个 不 同 的 实 数 根，则 满 足 条 件 的 实 数 a 的 取 值 范 围 是.【答】a 0,或。0,或 a 0,(7)小 王 沿 街 匀 速 行 走，发 现 每 隔 6 分 钟 从 背 后 驶 过 一 辆 18路 公 交 车,

8、每 隔 3 分 钟 从 迎 面 驶 来 一 辆 18路 公 交 车.假 设 每 辆 18路 公 交 车 行 驶 速 度 相 同,并 且 1 8 路 公 交 车 总 站 每 隔 固 定 期 间 发 一 辆 车,那 么 发 车 间 隔 的 时 间 是 分 钟.【答】4.解:设 1 8 路 公 交 车 的 速 度 是 x 米/分，小 王 行 走 的 速 度 是 y 米/分，同 向 行 驶 的 相 邻两 车 的 间 距 为 S米.每 隔 6分 钟 从 背 后 开 过 一 辆 1 8路 公 交 车，则 6x 6y=s.每 隔 3分 钟 从 迎 面 驶 来 一 辆 1 8路 公 交 车，则 3x+3y=s

9、.由，可 得 s=4 x,所 以-=4.x即 18路 公 交 车 总 站 发 车 间 隔 的 时 间 是 4分 钟.(8)如 图，在 A 8 C中，仍 7,4C=1 1,点”是 8 C的 中 点，初 是 N 阴。的 平 分 线,MF/A D,则 用 的 长 为.【答】9.解:如 图，设 点 是“的 中 点，连 接“2则 又 MF/I AD,所 以 N F M N=/B A D=A D A C=N M F N,所 以 FN=M N=L A B.2因 此 FC=F N+N C=L AB A C=9.2 2(第 8题 答 案 图)(9)46。中，A B=7,3 用 8,。=9,过 的 内 切 圆 圆

10、 心/作，园 分 别 与 4 8,相 交 于 点 E,则 膜 的 长 为.【答 号 麻：如 图，设 的 三 边 长 为&b,a 内 切 圆/的 半 径 为 月 边 上 的 高 为 人,则|a ha=S f c=g（。+0+，所 以 厂 际 由 于 以 S/X/1 8 C,所 以 它 们 相 应 线 段 成 比 BC例,m因 u此.ha-r=DE,ha BC所 以 OE-ha-r-a=(Z11-r-)a=(1-a-)a=-a-(-h-+-c-)-ha ha a+b+c a+b+c“8x(7+9)16故 DE=-=8+7+9 3(10)关 于 为 7 的 方 程 X2+2=208(一.丫)的 所

11、有 正 整 数 解 为.【答】犬=48,卜=160,y=32,y=32.解：由 于 208是 4 的 倍 数，偶 数 的 平 方 数 除 以 4 所 得 的 余 数 为 0,奇 数 的 平 方 数 除 以 4 所 得 的 余 数 为 1,所 以 X,y 都 是 偶 数.设 x=2a,y=2/?,则+匕？=104(a-6),同 上 可 知，。功 都 是 偶 数.设。=2。,8=2 力 丘 2+/=52(c d),所 以，c,都 是 偶 数.设 c=2s,d=2九 则 S2+/=2 6(S T),于 是(5-13)2+(f+13)2=2X132,其 中 s,都 是 偶 数.所 以 一 13=2x1

12、32+13)22x13215?1-.所 以 卜 一 13 卜 也 许 为 1,3,5,7,9,进 而 0+13)2 为 337,32 9,313,2 89,257,故 只 能 是“+13)2=289,从 而 卜 一 13卜 7.有 s-6,1=20,1=4；1=4,x=48,y=32,x=160,y=32.故 三、解 答 题(共 4 题，每 题 1 5 分，满 分 6 0分)(11)在 直 角 坐 标 系 x a 中，一 次 函 数 y=kx+b(%。0)的 图 象 与 x 轴、y 轴 的 正 半 轴 分 别 交 于 4 8两 点,且 使 得 如 8 的 面 积 值 等 于|Q4|+|QB|+

13、3.(I)用 6表 达 k；(II)求 OA3面 积 的 最 小 值.h解：(I)令 x=0,得 y=/?,Z?0;令 y=0,得=0,k 2.5 分(H)由(I)知 S_h:3+3)(2)2+7(8一 2)+102 b-2 b2=/?-2+-+7=(V 2-+7+2标 7+2如，b-2 b-2当 且 仅 当 人 一 2=工 一 时，有 S=7+2jI6,b-2即 当 b=2+加，左=1时，不 等 式 中 的 等 号 成 立.所 以，O A B 面 积 的 最 小 值 7+2V10.15 分(12)已 知 一 次 函 数 y=2x,二 次 函 数%=/+1.是 否 存 在 二 次 函 数 y3

14、=ax2+bx+c,其 图 象 通 过 点(-5,2),且 对 于 任 意 实 数 x的 同 一 个 值，这 三 个 函 数 所 相 应 的 函 数 值 必，%，内，都 有 必 忘 为 乃 成 立？若 存 在，求 出 函 数 丫 3的 解 析 式;若 不 存 在,请 说 明 理 由.解：存 在 满 足 条 件 的 二 次 函 数.由 于 y1%=2x(x+1)=-x 4 2x 1(x 1)0,所 以，当 自 变 量 x取 任 意 实 数 时，乃 忘 为 均 成 立.由 已 知，二 次 函 数%+x+c 的 图 象 通 过 点(一 5,2),得 25。5人+。=2.当 x=1 时，有 X=%=2

15、,y3=a+b+c.由 于 对 于 自 变 量 x取 任 意 实 数 时，力 或 为 三 2均 成 立，所 以 有 2 WQ+6+CW 2,故 Q+Z?+C=2.由，得 b=4af c=2-5a,所 以 为=狈？+4度+(2-5。).5分 当 为 为 时，有 2x W ax?+4QX+(2-5Q),即 ax2+(4a-2)x+(2-5a)20,所 以 二 次 函 数=。/+(4。2)元+(2-5。)对 于 一 切 实 数 x,函 数 值 大 于 或 等 于 零,.即.所 以。二 一(4。-2)2-4。(2-5a)0.(3a-l)2 0,故 4(-4)2-4(1一。)(5-1)0.a L(31)

16、2 40,所 以 a=L34-3即 1-3-综 上 1,4 1所 以，存 在 二 次 函 数 为=-+x+-，在 实 数 范 围 内，对 于 x 的 同 一 个 值，都有 力 w 为 W 为 成 立 15分（1 3）是 否 存 在 质 数 p,q,使 得 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 X2一 办+=0有 有 理 数 根？解:设 方 程 有 有 理 数 根,则 判 别 式 为 平 方 数.令=，一 4 P 2=2,其 中 是 一 个 非 负 整 数.则（4 一）（4+力）=4/.5分 由 于 I W q-n W G n,且 乡 一 及 与 g+同 奇 偶，故 同 为 偶 数.因 此，有

17、 如 下 几 种 也 许 情 形:q-=4,2q+n=p,q-n=2,q+n=2p2,q-n=2p,q+n=2p,7q-n=pq+n=4.q _ n=p,g+几=4p,消 去,解 得 q=p+1,q=,q=2 p，q=2+gq7,p2乙 H-，2i o 分 对 于 第 1,3 种 情 形，=2,从 而=5；对 于 第 2,5 种 情 形，=2,从 而 于 4（不 合 题 意，舍 去）；对 于 第 4 种 情 形，是 合 数（不 合 题 意，舍 去）.又 当=2,0=5时,方 程 为 2/5x+2=0,它 的 根 为 玉=g,马=2,它 们 都 是 有 理 数.综 上 所 述，存 在 满 足 题

18、 设 的 质 数.15分(1 4)如 图，A B C 的 三 边 长 8C=a,CA=b,AB=c,a,b,c都 是 整 数，且 a,b 的 最 大 公 约 数 为 2.点 G 和 点/分 别 为 ABC的 重 心 和 内 心，且 NG/C=90.求 A 8C的 周 长.解：如 图，延 长 G/,与 边 BC,C 4分 别 交 于 P,Q.设 重 心 G 在 边 6C,C 4上 的 投 影 分 别 为 E,/，A A B C的 内 切 圆 的 半 径 为 r,BC,C 4边 上 的 高 的 长 分 别 为“，%,易 知。P=CQ,由 S APQC-S AGPC+S 4G Q C，可 得 2 r

19、=GE+GE=g(4+4,),即 2x 2S 8 C=J_X(2S&B C-2sQ+C 3 Q b),.-_r.6ab从 而 可 得 a+/?+c=-.a+h10分 由 于 ABC的 重 心 G和 内 心/不 重 合，所 以，A 8 C 不 是 正 三 角 形，且。W Q,否 则，。=匕=2,可 得 c=2,矛 盾.不 妨 假 设 a，由 于（a,。）=2,设 a=2q,=2,（如 b j=l,工 曰.6ab 12cL b,于 是，有-=-4a+。q+4为 整 数,所 以 有“+白）|1 2,即（a+6）|24.于 是 只 有 a=14,b=10时，可 得 c=l l,满 足 条 件.因 止 匕 有 Q+Z?+C=35.所 以，A B C 的 周 长 为 3 5.1 5分