2023年中考数学训练：四边形证明题.pdf

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1、2023年 中 考 数 学 专 题 训 练：四 边 形 证 明 题 一、综 合 题 1.【问 题 情 境】在 综 合 与 实 践 课 上，老 师 让 同 学 们 以“平 行 四 边 形 的 剪 拼”为 主 题 开 展 数 学 活 动，如 图 1.在 平 行 四 边 形 纸 片 ABCD中，BA=B C,沿 该 纸 片 对 角 线 A C剪 开，得 到 ABAC和 DAC.图 2 图 3(1)【操 作 发 现】将 图 1中 的 以 A 为 旋 转 中 心，逆 时 针 方 向 旋 转 角 a,使 a=BAC,得 到 如 图 2 所 示 的 AC。，分 别 延 长 B C和 DC交 于 点 E,请

2、判 四 边 形 4CEC的 形 状，并 说 明 理 由.(2)创 新 小 组 将 图 1中 的 ZCD以 A 为 旋 转 中 心，按 逆 时 针 方 向 旋 转 角 a,得 到 如 图 3 所 示 的 平 行 四 边 形 B C L D,且 4 8 c L=90。，请 判 断 此 时 a与 NB4C的 数 量 关 系.并 说 明 理 由；(3)【实 践 探 究】缜 密 小 组 在 创 新 小 组 发 现 结 论 的 基 础 上，量 得 图 3 中 BC=13cm,AC=10cm,请 直 接 写 出 B D的 长.2.如 图，抛 物 线 y=ax2+bx+c与 x 轴 交 于 点 A(-1,0)

3、,B(4,0),与 y 轴 交 于 点 C(0,2),点 D与 点 C 关 于 x 轴 对 称，点 P 是 x 轴 上 的 一 个 动 点，设 点 P 的 坐 标 为(m,0),过 点 P 作 x 轴 的 垂 线 1,交 抛 物 线 于 点 Q.(1)求 抛 物 线 的 解 析 式；(2)求 直 线 B D的 解 析 式；(3)当 点 P 在 线 段 O B上 运 动 时，直 线 1交 B D于 点 M,是 否 存 在 点 P,使 得 四 边 形 CQMD是 平 行 四 边 形？若 存 在，求 出 m 的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.3.问 题 解 决：如 图 1,在 矩 形 A

4、B C D 中，点 E.F分 别 在 AB.BC边 上，OE=AF,DE 1 A F于 点 G.(1)求 证：四 边 形 A B C D 是 正 方 形；(2)延 长 C B 到 点 H，使 得 BH=AE,判 断 A H F 的 形 状，并 说 明 理 由.类 比 迁 移：如 图 2,在 菱 形 A B C D 中，点 E.F分 别 在 AB.BC边 上，D E 与 A F 相 交 于 点 G,DE=AF,ZAED=60,AE=6,BF=2,求 DE 的 长.B 图 E C ffi?B DA 图 3/A 备 用 图 p B(1)【问 题 再 现】苏 科 版 数 学 八 年 级 下 册 第 9

5、 4页 有 这 样 一 题：如 图 1,在 正 方 形 ABCD中，E,F,G 分 别 是 BC,CD,A D上 的 点，GE 1 B F,垂 足 为 M,那 么 GE BF(填 或“).(2)【迁 移 尝 试】如 图 2,在 5 x6的 正 方 形 网 格 中，点 A,B,C,D 为 格 点，A B交 C D于 点 M.求 乙 4MC的 度 数；(3)【拓 展 应 用】如 图 3,点 P 是 线 段 A B上 的 动 点，分 别 以 AP,B P为 边 在 A B的 同 侧 作 正 方 形 APCD与 正 方 形 P B E F,连 接 D E分 别 交 线 段 BC,P C于 点 M,N.

6、求 NDMC的 度 数；连 接 A C交 D E于 点 H,直 接 写 出 弱 的 值 为.5.如 图，在 3ABCD 中，BC=8,SABCD=24A/3,tanZ=孚，M 是 的 中 点，点 P 从 点 M 出 发 沿 M B 以 每 秒 1个 单 位 长 度 的 速 度 向 点 B 匀 速 运 动，到 达 点 B 后 立 刻 以 原 速 度 沿 B M 返 回；点。从 点 例 出 发 以 每 秒 1个 单 位 长 度 的 速 度 在 射 线 C 上 匀 速 运 动，在 点 P,。的 运 动 过 程 中，以 PQ为 边 作 等 边 4 E P 0，使 它 和 SABCD在 射 线 B C的

7、 同 侧，点 尸，。同 时 出 发，点 尸 返 回 到 点 M 时 终 止 运 动，点。也 随 之 停 止，设 点 P，Q 运 动 时 间 是 r秒(t 0).A DADEMBM(1)当 t=秒 时，点 E 刚 好 落 在 边 A D 上.(2)当 PM=2 时，求 A E P Q 与 ABCD重 叠 部 分 面 积.(3)随 着 时 间 f的 变 化，&E P Q 的 外 心 是 否 一 直 在 回 4 B C D 内 部？如 果 在，请 说 明 理 由；如 果 不 在，直 接 写 出 X E P Q 的 外 心 在 S A B C D 外 部 时 f的 取 值 范 围.6.已 知：点 C,

8、D 均 在 直 线 1的 上 方，AC与 8D都 是 直 线 1的 垂 线 段，且 8。在 4c的 右 侧，BD=2AC,力。与 BC相 交 于 点 O.(1)如 图 1,若 连 接 C D,则 BCD的 形 状 为,奈 的 值 为；(2)若 将 8。沿 直 线 1平 移，并 以 AC为 一 边 在 直 线 1的 上 方 作 等 边 A/IDE.如 图 2,当 2E与 4C重 合 时，连 接 0 E,若 4c=|,求 0E的 长；如 图 3,当 乙 4cB=60。时，连 接 EC并 延 长 交 直 线 1于 点 F,连 接 OF.求 证：OF _L AB.7.如 图 1,在 平 面 直 角 坐

9、 标 系 中，直 线 y=-：x+3与 x 轴、y 轴 相 交 于 A、B 两 点，点 C 在 线 段 OA上，将 线 段 C B 绕 着 点 C 顺 时 针 旋 转 90。得 到 C D,此 时 点 D 恰 好 落 在 直 线 A B 上，过 点 D 作 DEx轴 于 点 E.图 1 图 2 备 用 图(1)求 证：B O C A C E D；(2)如 图 2,将 小 B C D 沿 x轴 正 方 向 平 移 得 小 BCD,当 BC经 过 点 D 时，求 B C D 平 移 的 距 离 及 点 D 的 坐 标；(3)若 点 P 在 y 轴 上，点 Q 在 直 线 A B 上，是 否 存 在

10、 以 C、D、P、Q 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形？若 存 在，直 接 写 出 所 有 满 足 条 件 的 P 点 的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由.8.如 图，已 知 矩 形 O A B C,以 点 O 为 坐 标 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，其 中 A(2,0),C(0,3),点 P 以 每 秒 1个 单 位 的 速 度 从 点 C 出 发 在 射 线 C O 上 运 动，连 接 BP,作 BE PB交 x 轴 于 点 E,连 接 PE交 A B 于 点 F,设 运 动 时 间 为 t秒.(1)当 t=4时，求 点 E 的 坐 标；(2)

11、在 运 动 的 过 程 中，是 否 存 在 以 P、O、E 为 顶 点 的 三 角 形 与 ABE相 似.若 存 在，请 求 出 点 P的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由.9.综 合 与 实 践 问 题 情 境：如 图，点 E 为 正 方 形 ABCZ)内 一 点，ZAEB=90,将 预 ABE绕 点 5 按 顺 时 针 方 向 旋 转 90。,得 到 CBE(点 A 的 对 应 点 为 点 C).延 长 A E 交 C E 于 点 F,连 接 DE.猜 想 证 明：0 0(1)试 判 断 四 边 形 BEFE的 形 状，并 说 明 理 由；(2)如 图，若 请 猜 想 线 段 C

12、 F 与 FE的 数 量 关 系 并 加 以 证 明；解 决 问 题：(3)如 图，若 45=15,CF=3,请 求 出。E 的 长.10.如 图，正 方 形 ABCD,将 边 C D 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 60,得 到 线 段 CE,连 接 DE,AE,B D 交 于 点 F.(1)求 A F B 的 度 数；(2)求 证：BF=EF；(3)连 接 CF,直 接 用 等 式 表 示 线 段 AB,CF,E F 的 数 量 关 系.11.综 合 与 实 践 问 题 情 境：如 图 1,四 边 形 ABC。和 EFCG都 是 正 方 形，点 G,F 分 别 在 边 CD和 CB上，点

13、E 在 正 方 形 ABC。的 内 部.CG和 BF的 位 置 关 系 是,DG和 BF的 数 量 关 系 是.(2)将 正 方 形 EFCG以 C 为 中 心 顺 时 针 方 向 旋 转 到 图 2 所 示 位 置，则(1)中 的 结 论 是 否 仍 然 成 立？请 说 明 理 由.(3)如 图 3,在 正 方 形 EFCG以 C 为 中 心 顺 时 针 旋 转 的 过 程 中，当 点 E 落 在 正 方 形 ABCD的 边 AD上 时，若 CB=17,CF=13,则 BF的 长 度 是.(请 直 接 写 出 答 案 即 可)12.综 合 与 实 践：折 纸 中 的 数 学 问 题 背 景

14、在 数 学 活 动 课 上，老 师 首 先 将 平 行 四 边 形 纸 片 ABCD按 如 图 所 示 方 式 折 叠，使 点 C 与 点 A 重 合，点。落 到。处，折 痕 为 E E 这 时 同 学 们 很 快 证 得：a A E F 是 等 腰 三 角 形.接 下 来 各 学 习 小 组 也 动 手 操 作 起 来，请 你 解 决 他 们 提 出 的 问 题.4,(1)操 作 发 现“争 先”小 组 将 矩 形 纸 片 ABCD按 上 述 方 式 折 叠，如 图，发 现 重 叠 部 分 AEF恰 好 是 等 边 三 角 形，求 矩 形 ABC。的 长、宽 之 比 是 多 少？(2)“实

15、践 探 究 励 志”小 组 将 矩 形 纸 片 A3C。沿 E F折 叠，如 图，使 8 点 落 在 A。边 上 的 夕 处；沿 夕 G折 叠，使。点 落 在。处，且 8。过 尸 点.试 探 究 四 边 形 EVG9 是 什 么 特 殊 四 边 形？(3)再 探 究：在 图 中 连 接 3屈，试 判 断 并 证 明 B夕 G 的 形 状.13.已 知 点 B、D 分 别 为 射 线 AM、A N上 异 于 端 点 A 的 任 一 点，点 C 为 N M A N内 部 一 点(如 图 1).N A=a,Z C=6，(0 a 180,0/?180)图 1 图 2 备 图(1)/A B C+/A D

16、 C=(用 含 a、0 的 代 数 式 直 接 填 空)；(2)如 图 2,若 a=0=90,B E平 分 NABC,D G平 分 N C D N,若 射 线 B E与 D G所 在 直 线 交 于 点 F,则 NBDG为 角(只 填 序 号)；锐 角：直 角；钝 角(3)若/M B C、N CDN的 角 平 分 线 相 交 于 点 P,a+0=110,Z BPD=3 0,试 求 a、0的 值；中 的 NBPD是 否 一 定 存 在？若 N BPD不 存 在，请 直 接 写 出 a、满 足 的 条 件 14.已 知 一 次 函 数 y=kx+b的 图 象 经 过 点 M(-1,3)、N(1,5

17、).直 线 M N与 坐 标 轴 相 交 于 点 A、B两 点.(2)如 图 1,点 C 与 点 B 关 于 x 轴 对 称，点 D 在 线 段 0 A 上，连 结 B D,把 线 段 BD顺 时 针 方 向 旋 转 90。得 到 线 段 D E,作 直 线 C E交 x 轴 于 点 F,求 纥？1 的 值.EF(3)如 图 2,点 P 是 直 线 A B上 一 动 点，以 O P为 边 作 正 方 形 O P N M,连 接 ON、PM交 于 点 Q,连 B Q,当 点 P在 直 线 A B上 运 动 时，需 的 值 是 否 会 发 生 变 化？若 不 变，请 求 出 其 值；若 变 化，请

18、 说 明 理 由.15.如 图，在 正 方 形 ABCD中，点 E、G 分 别 是 边 AD、B C的 中 点，AF=/AB.(2)若 点 F、G 分 别 在 射 线 AB、B C上 同 时 向 右、向 上 运 动，点 G 运 动 速 度 是 点 F 运 动 速 度 的 2倍，EFL A G是 否 成 立(只 写 结 果，不 需 说 明 理 由)？(3)正 方 形 ABCD的 边 长 为 4,P 是 正 方 形 ABCD内 一 点，当 SA PAB=S A OAB,求 PAB周 长 的 最 小 值.16.如 图，在 口 ABCD中，对 角 线 AC,B D相 交 于 点 O,OA=5cm,E,

19、F 为 直 线 B D上 的 两 个 动 点(点 E、F 始 终 在。ABCD的 外 面)，连 接 AE、CE、CF、AF.AEF C(1)若 D E=：OD,BF=|OB,求 证：四 边 形 AFCE为 平 行 四 边 形；若 C A 平 分/BCD,ZAEC=60,求 A E 的 长.(2)若 DE=#)D,BF=J O B,四 边 形 AFCE还 是 平 行 四 边 形 吗？请 写 出 结 论 并 说 明 理 由.1 1(3)若 DE=3)D,BF=O B,四 边 形 AFCE还 是 平 行 四 边 形 吗？请 直 接 写 出 结 论.答 案 1.(1)解：四 边 形 4CEC是 菱 形

20、，理 由 如 下：V 四 边 形 A B C D 是 平 行 四 边 形，：.AB|CD=Z.DCA,，根 据 旋 转 的 性 质 可 知 ABAC=DCA,：BA=BC,：.Z.BCA=Z.BAC,V a=/.BAC,即 N CSC=/BAC,J.A BCA=A CAC,/.DCA=A CAC,：.AC|CE,AC|CE,四 边 形 ACEC，是 平 行 四 边 形,根 据 旋 转 可 知 4c=AL,二 四 边 形/CEC是 菱 形 形；(2)解：a=2乙 BAC,理 由 如 下：过 点 A 作 A M I C C，于 点 M,如 图,：AC=AC,z.MAC=z.CAC，HPa=2Z.M

21、AC,:乙 B C D=90,：.AAMC=乙 BCG,：.MA|BC,：.BCA=/.MAC,：z.BAC=Z.BCA,：.Z.BCA=/.MAC,.a=2Z.BAC；(3)解：过 点 A 作 AELCC于 点 E,作 A F L B C 于 点 F,在（2）中 有 四 边 形 BCCD是 平 行 四 边 形，且 乙 BCC=90。,则 有 平 行 四 边 形 BCLD是 矩 形，即 有 BD=CC,VAE CC AFBC,二 可 得 四 边 形 AECF是 矩 形，即 有 AF=CE,：BA=BC,BC=13,：.BA=BC=13,.在 Rt A 8AF 中，AF2=BA2-BF2=132

22、-BF2.VAC=10,.在 Rt 4c尸 中，AF2=AC2-CF2=102-(BC-BF)2=102-(13-BF)2,即 有 132-BF2=102-(13-BF)2,解 得 BE=胃 即 力 2=132 _ B F2=(辔)2,120CE=4F=臂 根 据 旋 转 的 性 质 可 知：AC=AC,X V A E 1 C C S二 CC=2CE=2 X 罟=娉；.BD=CC，=鬻(cm),即 BD的 长 度 为 警 m.2.(1)解：由 题 意 可 得 a-b+c=O,解 得 1a=216a+4b+c=0.抛 物 线 解 析 式 为 y=-；x2+|x+2(2)解：.点 C 与 点 D

23、关 于 x 轴 对 称，A D(0,-2),.可 设 直 线 B D解 析 式 为 y=kx-2,把 B(4,0)代 入 可 得 4 k-2=0,解 得 k=|,二 直 线 B D的 解 析 式 为 y=1 x-2(3)解:如 图 所 示,P B平 设 Q(m,-1 m2+|m+2),则 M(m,1 m-2),QM=-；m2+|m+2-(i m-2)=-i m2+m+4,VQM/7CD,.当 Q M=CD时，四 边 形 C Q M D是 平 行 四 边 形，m2+m+4=4,解 得 m=0(不 合 题 意，舍 去)或 m=2,.当 m=2时，四 边 形 C Q M D是 平 行 四 边 形 3

24、.(1)证 明：如 图 1,.四 边 形 A B C D 是 矩 形，II B图 1:.Z.ABC=乙 DAB=90.B A F+乙 GAD=90.DE 1 AFf ZADG+乙 GAD=90.Z.BAF=Z-ADG.又 v AF=DE,.ABF=D A E,:.AB=AD.矩 形 A B C D是 正 方 形(2)解：L A H F 是 等 腰 三 角 形.理 由 如 下：-A B=A D/A B H=4 DAE=90。,BH=AE,ABH=D A E,AH=DE.又 DE=AF,AH=4 F,即 A H F是 等 腰 三 角 形.类 比 迁 移：如 图 2,延 长 C B 到 点 H,使

25、得=AE=6,连 接 AH.图 2.四 边 形 A B C D是 菱 形,AD|BC.AB=AD,：.乙 ABH=.BAD.：BH=A E,A A B H=DAE.AH=D E/A H B=/.DEA=60.又 v DE=AF,：.AH=A F.Z.AHB=60,AHF 是 等 边 三 角 形,AH=HF,：,DE=AH=HF=HB+BF=6+2=84.=【迁 移 尝 试】如 图 2,在 5 x 6的 正 方 形 网 格 中，点 A,B,C,D 为 格 点，A B交 C D于 点 M.求 乙 4MC的 度 数；解：将 线 段 A B向 右 平 移 至 N D处，使 得 点 B 与 点 D 重

26、合，连 接 P N,如 图 2 所 示：.乙 4MC=乙 N D C,设 正 方 形 网 格 的 边 长 为 单 位 1,则 由 勾 股 定 理 可 得:DN=&2+42=2遍,PD=V l2+32=V10,PN=V l2+32=V10：.PN2+PD2=DN2,J.FCD=9 0,且 PN=PD,.N4MC=4NCC=45。；【拓 展 应 用】如 图 3,点 P 是 线 段 A B上 的 动 点，分 别 以 AP,B P为 边 在 A B的 同 侧 作 正 方 形 APCD与 正 方 形 P B E F,连 接 D E分 别 交 线 段 BC,PC于 点 M,N.求 4DMC的 度 数；连

27、接 A C交 D E于 点 H,直 接 写 出 窗 的 值 为 解：如 图 3所 示：平 移 线 段 B C至 D G处，连 接 GE,则 zDMC=Z.GDE,四 边 形 DGBC是 平 行 四 边 形，.DC=GB,四 边 形 ADCP与 四 边 形 PBEF都 是 正 方 形，=4。=4 P,BP=BE,/.DAG=乙 GBE=90,：.DC=AD=AP=GB,：.AG=BP=B E,在 小 AGDfOA BEG中，：AG=BE,NZM G=/GBE,AD=BG,：.AGD BEG,：.DG=EG,乙 40G=tEGB,.E G B+AGD=Z.ADG+Z.AGD=9 0,:.乙 EGD

28、=90,G D E=乙 GED=45,：.DMC=乙 GDE=45。.孝(1)=（2）解：将 线 段 A B向 右 平 移 至 N D处，使 得 点 B与 点 D 重 合，连 接 P N,如 图 2 所 示:.乙 4MC=乙 NDC,设 正 方 形 网 格 的 边 长 为 单 位 1,则 由 勾 股 定 理 可 得：DN=422+42=2而,PD=勾 12+理=PN=V12+32=7 1 0,：.P N2+PD2=DN?,J.Z.FCD=9 0,且 PN=PD,/.Z.AMC=NDC=45；(3)解：如 图 3 所 示：平 移 线 段 B C至 D G处，连 接 GE,则 4 DMC=乙 G

29、D E,四 边 形 D G B C是 平 行 四 边 形，：.DC=GB,四 边 形 A D C P与 四 边 形 P B E F都 是 正 方 形，：.DC=AD=A P,BP=BE,DAG=L.GBE=90,：.DC=AD=AP=GB,：.AG=BP=BE,在 4G。和 BEG中，9：AG=BE,/LDAG=/LGBE,AD=BG,：A G D Q BEG,；.DG=E G,乙 ADG=E G B,：.Z.EGB+Z.AGD=Z.ADG+Z-AGD=90,J.Z.EGD=90,J.Z.GDE=乙 GED=45,D M C=Z-GDE=45.孚 5.(1)3(2)解：当 PM=2时，由 题

30、意 知，分 两 种 情 况,当 点 P 未 返 回 时，如 图 2,则 PQ=2PM=4,连 接 E M,则 EMLPQ,ZEPQ=60,/.EM=PM tan600=2百，1 1工 s 重 叠=SAEPQ=万 PQ EM=5 x 4 x 2b=4百;当 点 P 返 回 时，如 图 3,贝 U PQ=PM+MQ=8,K,设 P E交 A D于 H,则 PN=j PQ=4,EN=PN-tan60=473,DK=373,ACN=PM+MC-PN=2+4-4=2,VZBCD=ZA,.tan/BCD=tan4=芈=第=舞；.C K=2,即 点 N、K 重 合，EN经 过 点 D,AED=EN-DN=R

31、,；AD BC,A ED AD,ZEHD=ZEPQ=60,FD 刖=1,S重 叠=S梯 形 HPND=2x(6+1)x 3V3=，综 上，当 PM=2时，X E P Q与 A B C D重 叠 部 分 面 积 为 4 H 或 斗 色(3)解：不 在，当&E P Q 的 外 心 在 A B C D外 部 时，目 t86.(1)等 腰 三 角 形；J(2)解：过 点 E 作 于 点 H,如 图 所 示：图 2VAC,B D均 是 直 线 1的 垂 线 段，J.AC/BD,ADE是 等 边 三 角 形，且 AE与 AC重 合，二/E A D=60。，.乙 4DB=LEAD=60,.A BAD=30,

32、.在 Rt/W B中，AD=2BD,AB=W B D，又；BD=2AC,AC=|.：-AD=6,AB=3V3.1=DH=2A D=3，又 Rt ADB,*EH=y/AH2+AE2=A/32+62=3A/5，又 由（1）知 瑞=4,.AO=A D=2,则。H=1,.在 R tZ E。”中，由 勾 股 定 理 得：OE=2V7.连 接 C D,如 图 3 所 示：图 3：AC/BD,：.z.CBD=/.ACB=60,BCD是 等 腰 三 角 形，.BCD是 等 边 三 角 形，又/WE是 等 边 三 角 形，；.ABD绕 点 D 顺 时 针 旋 转 60。后 与 EC。重 合,：.A ECD=A

33、ABD=90,又；乙 BCD=/.ACB=60,：.Z.ACF=乙 FCB=乙 FBC=30,:.FC=FB=2AF,.AF _ AO _ 1，AB=AD=3,又 ZOAF=2-DAB,AOF s&ADB,：.AFO=乙 ABD=90,：.OF 1A B.7.(1)证 明：V ZBOC=ZBCD=ZCED=90,AZOCB+ZOBC=90,ZOCB+ZECD=90,.ZOBC=ZECD.;将 线 段 C B绕 着 点 C 顺 时 针 旋 转 90。得 到 CD,BOCD.(乙 BOC=KCED=90。在 BOC 和 CED 中，(乙 OBC=cECDI BC=CD BOCACED(A A S)

34、.(2)解：.直 线 y=1 x+3与 x 轴、y 轴 相 交 于 A、B两 点,.点 B 的 坐 标 为()，3),点 A 的 坐 标 为(6,0).设 OC=m,VA BOCACED,.OC=ED=m,BO=CE=3,点 D 的 坐 标 为(m+3,m).点 D在 直 线 y=-；x+3上，m=-(m+3)+3,解 得：m=l,.点 D 的 坐 标 为(4,1),点 C 的 坐 标 为(1,0).点 B 的 坐 标 为(0,3),点 C 的 坐 标 为(1,0),.直 线 B C的 解 析 式 为 y=-3x+3.设 直 线 B C 的 解 析 式 为 y=-3x+b,将 D(4,1)代

35、入 y=-3x+b,得：l=-3x4+b,解 得：b=13,二 直 线 的 解 析 式 为 y=-3x+13,.,.点 C 的 坐 标 为(学，0),13 1 _ 1。CC-BCD平 移 的 距 离 为 学.(3)存 在，点 P 的 坐 标 为(0,)或(0,呈)8.(1)当 t=4 时，PC=4,过 点 E 作 C B的 垂 线，垂 足 为 H,如 图 1所 示：VA(2,0),C(0,3),.O A=2,OC=3,.四 边 形 OABC是 矩 形，.AB=OC=3,B C=O A=2,VZBPC+ZPBC=90,ZPBC+ZEBH=90,，/B P C=/E B H,VZEHB=ZBCP=

36、90,PBCABEH,.BH _EH 日 n BH _ 3=BC 即 丁 一 2解 得：BH=6,A E=B H=6,:.OE=OA+AE=2+6=8,.点 E 的 坐 标 是(8,0)；(2)存 在；VZABE+ZABP=90,NPBC+NABP=90。,.,.ZA B E=Z PB C,V Z B A E=Z B C P=90o,/.BCPABAE,.BC _ PCAB=AE.2 _ t3=AE，AE=I t,若 器=器 时 A PO Es/kEAB,VOP=3-t,OE=2+|t,至 一 丁 解 得：t尸 _ 4+1同,t2=-4一 严（舍 去）,Qp _ 2 _-4+2J13 _ 13

37、-2,131-3-3.P的 坐 标 为（0,生|些）；若 POEABAE,：/P E O 和/B E A 明 显 不 相 等，.此 情 况 不 成 立；当 点 P 在 点 0 下 方 时，如 图 3 所 示：若 黑=器,则 OPEsABE,.t 3 _ 2+,Q Q f解 得：ti=3+V13,t2=3-V13（舍 去），OP=t-3=3+V13-3=V13,J P 的 坐 标 为（0,-V13）;若 器=器,则 AOEPsABE,3即 早=学，整 理 得：:t2=-9,这 种 情 况 不 成 立，综 上 所 述，存 在 以 P、O、E 为 顶 点 的 三 角 形 与 A B E 相 似，P

38、的 坐 标 为：（0,13-严）-V13）.9.（1）四 边 形 BEFE是 正 方 形，理 由 如 下：或（0,.将 RtA ABE绕 点 B 按 顺 时 针 方 向 旋 转 90,.NAEB=NCEB=90。，BE=BE,ZEBE=90,又：/B E F=90,二 四 边 形 B EFE是 矩 形，又；BE=BE，.四 边 形 BEFE是 正 方 形；(2)CF=EF；理 由 如 下：如 图，过 点 D 作 DHJ_AE于 H,VDA=DE,DH_LAE,.A H=1 AE,/.Z A D H+Z D A H=90,四 边 形 ABCD是 正 方 形，A AD=AB,Z DAB=90,.,

39、.ZD A H+ZE A B=90,.NADH=NEAB,又；AD=AB,NAHD=NAEB=90。，ADHABAE(AAS),.*.AH=BE=1 AE,.将 RIA ABE绕 点 B 按 顺 时 针 方 向 旋 转 90,.AE=CE,.四 边 形 BEFE是 正 方 形，.BE=EF,.*.EF=1 CE,.CF=EF；(3)如 图，过 点 D 作 DHJ_AE于 H,甑.四 边 形 BEFE是 正 方 形,.*.BE=EF=BE,VAB=BC=15,C F=3,BC2=EB2+EC2,.*.225=EB2+(EB+3)2,.*.EB=9=BE,.*.CE=CF+EF=12,由(2)可

40、知：B E=A H=9,D H=A E=CE=12,.HE=3,.DE=yjD H2+HE2=1144+9=3 V17.10.(1)解：.四 边 形 A B C D是 正 方 形，1,乙 1OB=45。，由 旋 转 得：CD=CE,Z.DCE=60,A D C E是 等 边 三 角 形，A CD=DE=AD,Z.ADE=90+60=150,J.2LDAE=乙 DEA=15,：.AFB=Z.FAD+Z-ADB=15+45=60(2)证 明：连 接 CF,V 4C D F是 等 边 三 角 形，：./-DEC=60,9：Z-DEA=15,：.z.CEF=乙 CBF=45,四 边 形 AB C D是

41、 正 方 形，：.AD=CD,4 ADF=乙 CDF=45,:DF=DF,：.AADF=ACDF（iSAS）,J.2LDAF=乙 DCF=15,，乙 FCB=90-15=75,（ECF=60+15=75,，乙 FCB=ECF,V CF=CF,J.AECF=ABCFAAS,：.BF=EF.（3）解：yf2AB+CF=2EF,理 由 是：过。作 CG _ L B D 于 G,:乙 CBD=45,：.A C G B是 等 腰 直 角 三 角 形,:（BCF=75,：.z.GCF=30,：.CF=2FG,设 FG=%，贝！I CF=2x,CG=BG=V3x,:.BC=AB=&CG=依，：.y/2AB+

42、CF=2V3x+2%,EF=BF=BG+FG=x+3 x,.y/2AB+CF=2EF11.DG_LBF；DG=BF(2)解：成 立，理 由 如 下：延 长 BF与 DG交 于 点 H.四 边 形 4BC0和 EFCG均 为 正 方 形，:.BC=DC,FC=G C,乙 BCD=FCG=9。.：.乙 BCD-Z.FCD=ZFCG-ZFCD,:.Z.BCF=Z.DCG.BCF=DCG./.DG=BF,Z.GDC=Z.FBC.Z.CDA+N A+Z.ABC=270,Z.CDA+N A+乙 ABH+乙 FBC=Z.CDA+4/+ZLABH+乙 GDC=270,:.GDA+4/+4ABH=270.乙 G

43、DA+NA+乙 ABH+乙 BHD=360./.Z.BHD=90,BPBF 1 DG.(1)中 的 结 论 仍 然 成 立.解：5a12.(1)解：矩 形 A B C D的 长、宽 之 比 应 是 V3.证 明：设 BE=a,v A A E F等 边 三 角 形,A Z-EAF=60,四 边 形 A B C D为 矩 形，Z.BAD=Z.ABE=90,/-BAE=.BAD-Z.EAF=30.在 RtAABE 中，ABE=90,Z.BAE=30,BE=a,BE BE k-A E=Z B A E=2 a A=tan血 E=岛 V AE=EC,:.BC=BE+EC 3a,.B _ 3a_ _ AB

44、_ 凤 _ V3.(2)解：四 边 形 BE F G是 平 行 四 边 形.证 明：四 边 形 A B C D为 矩 形，AD/BC,乙 BEF=乙 BFE,乙 EBF=乙 G F B,乙 DBG=乙 F G B.由 翻 折 的 特 性 可 知：乙 BFE=LBFE,乙 DBG=LFBG,：.z.BEF=乙 BFE,乙 FBG=乙 F G B,又 A EBF=乙 G F B,乙 BFE=乙 FBG,EF/BG,又:BE/FG,四 边 形 BE F G是 平 行 四 边 形.(3)解：B B G为 直 角 三 角 形.证 明：连 接 B B,交 E F 于 点 M,如 图 所 示.v AD/BC

45、,乙 EBB=乙 F B B,v BF=BF,:乙 FBB=LFBB,乙 EBB=乙 FBB.乙 BEF=乙 BFE,B E F为 等 腰 三 角 形，BM 1 EF,乙 BMF=90.v EF/BG,乙 BBG=乙 BMF=90,B B G为 直 角 三 角 形.13.(1)360-a-/?(2)(3)解：a+3=110%Z BPD=30,/-ABC+乙 ADC=360-110=250,乙 MBC+乙 NDC=110,:B P、D P 分 另 平 分 乙 M BC、乙 NDC,1乙 PBC+乙 PDC=5(N MBC+乙 NDC)=1 x 110=55,连 接 P C并 延 长 至 Q,如

46、图：v 乙 BCQ=乙 BPQ+乙 P B C,乙 QCD=乙 QPD+乙 PDC,乙 BCD=乙 PBC+Z.PDC+乙 BPD=55+30=85,即/?=85,贝 l j a=110-85=25；当 a=0 时；乙 M B C的 角 平 分 线 平 行 于 乙 N D C的 角 平 分 线，此 时/B P D不 存 在.14.(1)解：.一 次 函 数 y=kx+b 的 图 象 经 过 点 M(-1,3)、N(1,5),.(k+b=3k+b=5解 得 C 1:，一 次 函 数 解 析 式 为 y=x+4.(2)解：如 图 1中，过 点 E 作 E P L x轴,VZBDO+ZEDP=90,

47、NEDP+NDEP=90。,.Z B D O=ZDEP,V ZD O B=ZD PE=90(/-BDO=Z.DEP在 BOD 和 DPE 中，lBOD=乙 EPD(BD=DE/.B D O A D E P,设 D(-a,0),则 E(4-a,-a)设 直 线 C E解 析 式 是：y=k x+b,贝 U(4+b=-a.(b=-4,I k=1；.y=x-4,：.F(4,0),DF=4+a,DA=4-a,EF=V2 a,=V2(3)解：如 图 2 中,连 结 BM,.DF-DA-E F%VOA=OB,NPOM=NAOB=90,.,.ZPO A=ZB O M,ZOAB=ZOBA=45,.四 边 形

48、OPNM是 正 方 形，.,.OP=OM,在 小 OBM和 4 OAP中，OM=OPZ.BOM=Z.AOP,OB=OABOMAAOP,A ZM BO=ZPAO=135,/.Z M B P=90在 RtA MBP 中 BQ=|MP,在 RtA MOP 中 M P=V2 OP,：,B Q _ P Q _ 2 P O O P T 15.(1)证 明：.四 边 形 ABCD是 正 方 形，；.AD=AB,ZEAF=ZABG=90,.点 E、G 分 别 是 边 AD、B C的 中 点，AF=1 AB.1-2=F-E1-2=G-8BJ.AF _BG 而 AEFABAG,AZAEF=ZBAG,VZBAG+Z

49、EAO=90,ZAEF+ZEAO=90,.ZAOE=90,A EF1A G；(2)解：成 立；理 由 如 下:根 据 题 意 得：1,.AE _ 1A B 2.AF _A EBG=AB XVZEAF=ZABG,AEFABAG,.,.ZAEF=ZBAG,.,ZBAG+ZEAO=90,/.ZAEF+ZEAO=90,ZAOE=90,A E F l AG(3)解：过 O 作 MN A B,交 A D于 M,B C于 N,如 图 所 示:则 MNLAD,MN=AB=4,.是 正 方 形 ABCD 内 一 点，当 S A PAB=S A O AB,.,.点 P 在 线 段 MN 上，当 P为 M N的 中

50、 点 时，PAB的 周 长 最 小，此 时 PA=PB,PM=1 M N=2,连 接 EG、PA,P B,则 EG AB,EG=AB=4,/.AOFAGOE,.空=煞=1,：MN AB,.理=1,；.AM=J AE=OE EG 4 EM OE 4 5|x2=|,由 勾 股 定 理 得：PA=y/pM2+AM2=尊-/.A PAB周 长 的 最 小 值=2PA+AB=生 族+4.16.（1）解：证 明：,四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形，AOA=OC,OB=OD,又 YDE=今 0 0，BF=0 B，；.DE=BF,，OB+BF=OD+DE,即 OE=OF,四 边 形 AFCE为 平