2023届黑龙江省牡丹江市第三高三年级上册学期第五次月考数学试题含答案.pdf

《2023届黑龙江省牡丹江市第三高三年级上册学期第五次月考数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届黑龙江省牡丹江市第三高三年级上册学期第五次月考数学试题含答案.pdf（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023届 黑 龙 江 省 牡 丹 江 市 第 三 高 级 中 学 高 三 上 学 期 第 五 次 月 考 数 学 试 题 一、单 选 题,w.4=白 卜 2%2 o 1 8=x 3)r C l1.已 知 集 合 e I 九 则 8=()A x|-l x 3 B x|-l x lC xl x 2 D 2 V x 3【答 案】C【分 析】化 间 集 合 4=C J,再 与 I 1 求 交 集 即 可.【详 解】襟 合/=部.-2 0,.集 合 4=X H X 2,又.8=X|1X 3.4 8=刈。2故 选:c【点 睛】本 题 主 要 考 查 集 合 的 交 集 运 算，涉 及 一 元 二 次 不

2、 等 式 的 解 法，属 于 基 础 题.2.已 知(3 4 i)z=l+i,其 中 i 为 虚 数 单 位，则 在 复 平 面 内 z 对 应 的 点 位 于()A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限【答 案】B【分 析】根 据 复 数 的 除 法 计 算 出 z,即 可 确 定 z 对 应 的 点 所 在 象 限.【详 解】因 为(3 D 4 i)z=l+i1+/-1+7/1 7.z-=-=-1-1所 以 3-4/25 25 25,_1 _ 7故 在 复 平 面 内 z 对 应 的 点 为(25,25),在 第 二 象 限.故 选：B【点 睛】本 题

3、 主 要 考 查 了 复 数 的 除 法 运 算，复 数 的 儿 何 意 义，属 于 容 易 题.3,已 知 向 量 I,石 满 足 同 W=2,且|。+4=百,则，与 彼 的 夹 角 为()兀 兀 5兀 2兀 A.6 B.3 c.6 D.3【答 案】D【分 析】先 求 得 数 量 积 1 彼=T,再 利 用 向 量 夹 角 公 式 即 可 求 得）与 月 的 夹 角.【详 解】因 为 所 以 辰%（打=同，际+2兀=5+2晨 7 3H=丽 a-b=必-1=-51则 公。=T.则 1 11 I又 因 为 标）,所 以 即）与 囚 的 夹 角 为 了.故 选：D.4.一 次 竞 赛 考 试，老

4、师 让 学 生 甲、乙、丙、丁 预 测 他 们 的 名 次.学 生 甲 说：丁 第 一；学 生 乙 说：我 不 是 第 一；学 生 丙 说：甲 第 一；学 生 丁 说：甲 第 二.若 有 且 仅 有 一 名 学 生 预 测 错 误，则 该 学 生 是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答 案】C【分 析】丙 和 丁 必 有 一 个 错 误，分 类 讨 论 后 可 得 正 确 的 选 项.【详 解】显 然 丙 丁 有 一 个 错 误，倘 若 丙 正 确，则 与 甲 矛 盾，故 丁 错 误.故 选：C.5.在 ZVIBC中，角/,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c.若 2bcosCW2aD

5、 e,则 角 8 的 取 值 范 围 是（）n 24 工 2万 A.（0,3 B.（0,3 C.3,乃）D.3,灯）【答 案】A【分 析】已 知 的 不 等 式 利 用 正 弦 定 理 化 简，整 理 后 求 出 c o s 8的 范 围，利 用 余 弦 定 理 的 性 质 即 可 确 定 8 的 取 值 范 围.【详 解】在 ZU8C 中，,.2 6 c o s C 4 2 a-c,-.2sinficosC l-sinC,2sin5 cosC 2sin(8+C)-sinC,即 2sin B cosC 2 c o s 5 sm C-s in C 0,即 2,故 选：A【点 睛】本 题 主 要

6、考 查 正 弦 定 理、两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 公 式，以 及 余 弦 函 数 的 性 质，熟 练 掌 握 正 弦 定 理 是 解 决 问 题 的 关 键，属 于 中 档 题.6.设“log”,6=2-）,则（）A.ahc B.hac C.ach D.cah【答 案】c=3【分 析】由 换 底 公 式 得 lg49=bg?3,由 塞 的 运 算 法 则 得，一 5,利 用 对 数 函 数 的 单 调 性 比 较。工 的,再 借 助 中 间 值 1和 指 数 函 数 性 质 比 较 C 大 小 可 得 结 论.3一 3 33 logi 3 logo 22=a=log.9=log,

7、3=c 1 22=b【详 解】7 9 A 8,.门？，故 2,从 而 有 2故 选：C【点 睛】本 题 考 查 比 较 对 数 和 累 的 大 小，掌 握 指 数 函 数 和 对 数 函 数 性 质 是 解 题 关 键，解 题 时 可 借 助 中 间 值 如 0,1等 进 行 比 较.sinzrxy=7.函 数 I 2 x-l|的 图 象 大 致 为（）【答 案】D1X【解 析】确 定 函 数 图 象 关 于 直 线 2 对 称，排 除 A C,再 结 合 特 殊 的 函 数 值 的 正 负 或 函 数 零 点 个 数 排 除 B,得 出 正 确 结 论.【详 解】函 数 定 义 域 是 I

8、由 于 了=1 2欠-1|的 图 象 关 于 直 线 对 称，V=sin口 的 图 象 也 1 1X=/、X=-关 于 直 线 2 对 称，因 此 J）的 图 象 关 于 直 线 2 对 称，排 除 AC,y=sin口 有 无 数 个 零 点，因 此 x）也 有 无 数 个 零 点，且 当 x-+8时，x）f 0,排 除 民故 选：D.【点 睛】思 路 点 睛：函 数 图 象 的 辨 识 可 从 以 下 方 面 入 手：（1）从 函 数 的 定 义 域，判 断 图 象 的 左 右 位 置；从 函 数 的 值 域，判 断 图 象 的 上 下 位 置.（2）从 函 数 的 单 调 性，判 断 图

9、象 的 变 化 趋 势；（3）从 函 数 的 奇 偶 性，判 断 图 象 的 对 称 性；（4）从 函 数 的 特 征 点，排 除 不 合 要 求 的 图 象.8.己 知 奇 函 数“X）的 定 义 域 为&,且/（l+x）=f（l-x）.若 当 x e（O，l 时，/（x）=log2（2x+3）,/f-1则 I 2 J 的 值 是（）A.-3 B.-2 C.2 D.3【答 案】B【分 析】先 根 据 题 意 得 函 数 的 周 期 为 4,再 根 据 周 期 函 数 和 对 数 运 算 求 解 即 可.【详 解】解：因 为 函 数 x）是 奇 函 数，所 以 函 数 图 象 关 于 点（0，

10、）对 称，因 为 函 数 满 足+所 以 函 数/图 象 关 于 直 线 x=l 对 称，所 以 函 数 的 周 期 为 4,93 393=-/-=-lo g24=-23故 选：B【点 睛】本 题 考 查 抽 象 函 数 的 周 期 性，对 数 运 算，是 中 档 题.二、多 选 题 F 列 关 于 平 面 向 量。，b,c 的 运 算，一 定 成 立 的 有（(a b)c=a-B.1/a-bb【答 案】ACD【分 析】根 据 数 量 积 的 定 义 及 运 算 律 判 断 即 可;【详 解】解：对 于 A：根 据 平 面 向 量 数 量 积 的 分 配 律 可 知+一 定 成 立，故 人 正

11、 确;（a-h i c-对 于 B：由 数 量 积 的 结 果 为 数 量，则 卜）表 示 与。共 线 的 向 量,G U 表 示 与 共 线 的 向 量,则 1 1 与 V 1不 一 定 相 同,即 B 错 误:对 于 C：设。与 否 的 夹 角 为，,则=1 叶 忖 侬，因 为-l c o s O l,所 以 附 阵 7 M W,故 C 正 确；对 于 D：B引 用+E M*冲 种 用+用+2砰 旧 耐 用+W T 种 由 C 知 啡 H形 呻 性 所 以 同+限 2而 娟+联 2 中 川+2种，即 冲 林 班-心 冲 机 即 田 相*第+W,故 D 正 确;故 选：ACD1 0.若.且+

12、6=4,则 下 列 不 等 式 恒 成 立 的 是（）0-frA.ab 4 B.7ab 21 1 5 1/C.a b D.a2+b2 8【答 案】CD【分 析】结 合 基 本 不 等 式 对 选 项 进 行 分 析，由 此 确 定 正 确 选 项.明 ab【详 解】-,y a b S,-4 x=I对 于 C 选 项，a b ab ab 4,C 选 项 正 确.故 选：CD7111.将 函 数 x）=sin 2 x的 图 象 向 左 平 移 7 个 单 位 后，得 到 函 数=8（刈 的 图 象，则（）_ 兀 A.函 数 g（x）的 图 象 关 于 直 线 x-五 对 称函 数 g（x）的 图

13、象 关 于 点（%,0）对 称 57 71c.函 数 g（x）在 区 间（12,%）上 单 调 递 增 7%函 数 g（x）在 区 间（0,6）上 有 两 个 零 点【答 案】ACD1 Tg（x）=sin（2x+）【分 析】先 由 已 知 求 出 3,然 后 利 用 三 角 函 数 的 图 像 和 性 质 逐 个 判 断 即 可 g(x)=sin(2x+)x=2x+=【详 解】可 得 3,当 12,3 2,故 A 正 确:当 x e（12,6）,3（2,0）,故 C 正 确；7乃、冗 冗 8冗-H-.当 x e（0,6）,3（3,3）,故 D 正 确.故 选：ACD.【点 睛】此 题 考 查

14、三 角 函 数 的 平 移 变 换，考 查 三 角 函 数 的 图 像 和 性 质 的 应 用，属 于 基 础 题 1 2.若 正 方 体 4 8 8-4/8/。/的 棱 长 为 1,则 下 列 命 题 正 确 的 是（）直 线 B C 与 平 面 ABC,Dt所 成 的 角 为 4V2点 C 到 平 面 的 距 离 为 2异 面 直 线 DtC 和 BC 所 成 的 角 为 4正 D.三 棱 柱 4 4/。-8 8/G 外 接 球 半 径 为 2【答 案】ABD【分 析】对 选 项 A,首 先 连 接 4 C,交 8 G 于。点，易 证 C _L平 面 8 G R,从 而 得 到/C 8 O

15、 为 直 71A B r线 8 c 与 平 面 8 酬.2n 所 成 的 角，再 根 据 ZCBO=4-即 可 判 断 选 项 A 正 确.对 选 项 B,根 据 COJ平 面 A B CD,得 到 C O为 点 C 到 面 4 B W 的 距 离，再 计 算 C O即 可 判 断 选 项 B正 确.对 选 项 C,首 先 连 接*,4 巴 4 G,根 据*,得 到 g 为 异 面 直 线*和 8 G 所 成 的 角，再 计 算 2AM l 即 可 判 断 选 项 c 错 误.对 选 项 D,根 据 三 棱 柱 44D B B 的 外 接 球 与 正 方 体 A B C D-A M R 的 外

16、 接 球 相 同，计 算 正 方 体 的 外 接 球 的 半 径 即 可 判 断 选 项 D 正 确.【详 解】对 选 项 A,如 图 所 示:连 接 交 8 G 于。点.因 为 正 方 体 8 8-4 A G A,所 以 四 边 形 8CC圈 为 正 方 形，C 01 B Q又 因 为 4 5 1 平 面 BCG 4,c o u 平 面 BCG印，所 以 4 5 J.CO.AB IC OCOJL 6G nABcBC=B C。J L 平 面/8 C i27 T/n NCBO=-所 以 NC8O为 直 线 5 c 与 平 面/8 和 2 所 成 的 角，又 因 为 4,故 选 项 A 正 确.对

17、 选 项 B,由 上 知：C O,平 面,8 G A,所 以 CO为 点 C到 面 8 G Q 的 距 离 6c o=又 因 为 正 方 体 边 长 为 1,所 以 2,故 选 项 B 正 确.对 选 项 C,如 图 所 示：连 接 班,田，,因 为 2 a/4 8,所 以 N 4 8 G为 异 面 直 线 和 8 G 所 成 的 角.乃 又 因 为 4 8=8G=4 G=啦，所 以 故 选 项 c 错 误.对 选 项 D,因 为 三 棱 柱 4 A 一 8 8 的 外 接 球 与 正 方 体”8C Z)-44G Rn Vl2+12+12 V3的 外 接 球 相 同，设 外 接 球 半 径 为

18、 R,2 2,故 选 项 D 正 确.故 选：ABD三、填 空 题 13.写 出 一 个 最 小 正 周 期 为 2 的 奇 函 数/()=.【答 案】/(*)=sin%x【解 析】根 据 奇 函 数 性 质 可 考 虑 正 弦 型 函 数/*)=sin o x,(*),再 利 用 周 期 计 算。，选 择 一 个 作 答 即 可.【详 解】由 最 小 正 周 期 为 2,可 考 虑 三 角 函 数 中 的 正 弦 型 函 数/(x)=s i n s,(0),满 足-x)=-s in(ox=-x),即 是 奇 函 数；T=2根 据 最 小 正 周 期 一 0 一，可 得 外 二.故 函 数 可

19、 以 是 f(x)=/s in;rx 5*)中 任 一 个，可 取/(x)=sin/x故 答 案 为：/U)=s i n.cos 2 a+=14.已 知 tan a=2,贝 I I 2 J._ 4【答 案】一 M【分 析】利 用 诱 导 公 式、二 倍 角 的 正 弦 公 式 以 及 齐 次 式 即 可 求 解.(、冗、._ c.-2 sin a cos acos 2 a+=-sin 2a=-2 sin a cos a=-【详 解】1 2)sin a+cos a-2 tan a _ _2 x 2 _ 4tan2 a+1 22+1 5._4故 答 案 为：5【点 睛】本 题 考 查 了 诱 导

20、公 式、二 倍 角 的 正 弦 公 式 以 及 齐 次 式 求 三 角 函 数 值，需 熟 记 公 式，属 于 基 础 题.1 5.已 知 正 方 体 棱 长 为 2,以 正 方 体 的 一 个 顶 点 为 球 心，以 2夜 为 半 径 作 球 面，则 该 球 面 被 正 方 体 表 面 所 截 得 的 所 有 的 弧 长 和 为.【答 案】3n【分 析】不 妨 以。为 球 心，画 出 几 何 关 系 图 形，结 合 图 形 即 可 知 球 面 被 正 方 体 表 面 所 截 得 3 段 相 等 的 弧 长，其 中 与 上 底 面 截 得 的 弧 长，是 以 A 为 圆 心，以 2 为 半 径

21、 的 四 分 之 一 的 圆 周，通 过 计 算 即 可 得 答 案.【详 解】如 图 所 示，球 面 被 正 方 体 表 面 所 截 得 3 段 相 等 的 弧 长，与 上 底 面 截 得 的 弧 长，是 以 2 为 圆 心，以 2 为 半 径 的 四 分 之 一 的 圆 周，所 以 A C=AB=BC=乃 x2=%则 所 有 弧 长 和 为 加，故 答 案 为：3n.【点 睛】本 题 考 查 了 正 方 体 与 球 的 截 面 问 题，关 键 是 理 解 截 面 与 球 的 关 系，弧 与 球 心 的 位 置 关 系，属 于 中 档 题.1 6.已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比

22、数 列,若 2 a 4+a 3-2 a 2-a l=8,则 2“8+a 7的 最 小 值 为.【答 案】54【详 解】由 题 意 知 等 比 数 列 J 中,则 公 比 夕 2%+%2。2 q=821+q q2 2aM q=8即 4(2/+q2-2 q-l)=8贝 心(2 g+1)0 84(2”1)=7q t82ag+a7=j（21+1）夕 6=xqq-t8J_/q6,6i i ix=y=-=x设 q,则 犬 设.q q2贝 ijy，=2 x _ 3 f=x（2_3x）,令 y=0,得 x=0 或 520 X 0。，2x 一，八 当 3 时，V 0,由 通 项 公 式 代 入 式 子:2%+%

23、-2%-q=8,化 简 得 到 q（2q+l）=-X=Tq-i,同 理 化 简 2%+%,再 把 上 式 代 入 用 q 来 表 示 且 化 简，设 q 并 构 造 函 数 y _ _J_J_ _ 工 2 _工 3“”,再 求 导，求 临 界 点 和 函 数 单 调 区 间，求 出 函 数 的 最 大 值，代 入 2仆+%的 化 简 后 式 子 求 出 最 小 值.四、解 答 题 17已 知 加=（2cosx,-l）,=/5sinx,2cos2x）x e R 设 函/（x）=m i+l 求 函 数/（X）的 最 小 正 周 期；冗 7乃 1 ga e,fa=r 若 L3 12，且 5,求 co

24、s2a的 值.【答 案】兀 4+375 10【分 析】（1）根 据 平 面 向 量 的 数 量 积 坐 标 公 式，以 及 辅 助 角 公 式 化 简/（X）,再 根 据 周 期 公 式 求 最 小 正 周 期.（2）根 据 八 刃 的 值 计 算 I 6人 再 利 用 和 角 公 式 计 算 cos2a.【详 解】（1）由 已 知 条 件 得：1、f（x）=2 石 sin x cos x-2 cos2 x+l=V 3sin2x-cos 2x=2 sin 2x cos 2x=2 sin2xcos-co s2 x sin=2sin 2 x-I 6 6）I 6 j_ _2_ 7_1=兀 最 小 正

25、 周 期 2 v f（a）=2 sin f2 a-/.sin|2 a-j=.2E aZZE 2 a-K（2）I 6 j 5,I 6）5 又.3-a 12 2 635_ f f.兀)兀)f,兀 1 7 1.f _ 7 1、.兀 3 4 1/.cos2a=cos 2 a+=cos 2 a cos sin 2 a sin=x-x=(I 6)6)I 6)6 I 6)6 5 2 5 24+3百 101 8.已 知 各 项 均 不 相 等 的 等 差 数 列 J 的 前 4 项 和 为 1 0,且“”生，为 是 等 比 数 列 4 的 前 3 项.求 知 也；Cn=bn+-设。”（。，+1）,求 匕 的

26、前 项 和 S”.【答 案】=，b=2TS“=2-二+1【分 析】（1）利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 与 等 比 中 项 公 式 求 得 基 本 量 为 4，从 而 利 用 公 式 法 依 次 求 得。“也；（2）结 合（1）中 结 论，利 用 分 组 求 和 法 与 裂 项 相 消 法 即 可 得 解.【详 解】（1）设 等 差 数 列“的 公 差 为 前“项 和 为，则 d*0,4x3_ 4（7.H-=10。o j c因 为 看=1 0,则 2,即 2%+3d=5,又 因 为，。2必 成 等 比 数 列，所 以 即（q+）-=q（q+3d）,整 理 得 力=。”,又 因 为

27、d x O,所 以 q=，J2q+3d=5 fa）=1联 立 1%=，解 得 1=1,所 以 勺=1+（-1）x1=，又=L 与=%=2,%，是 等 比 数 列，q=A=2所 以 4,则 4=加 1=2小 c=2+.1.=-(2)由 得(+】)n-I,s=2+2+.+2,-+fi所 以(2 2 3 n n+)I、。一 2)1 1=-1-1-=2-1-2+1 7 2+1所 以 数 列 的 前 项 和 一 一 1.19.在“8 C 中，角 4 8,C 的 对 边 分 别 为 a/,c,/=B+3C（1）求 sinC的 取 值 范 围；（2）若 c=6 b,求 sinC的 值.榜）【答 案】（1）1

28、）sinC=-(2)0 A T Tre 乃 0 8 万 B=-2 C A=-+C【分 析】（1）利 用 三 角 形 的 内 角 和 性 质 可 得 2,2，由 可 得 4.从 而 可 得 sinC的 取 值 范 围.B=-2 C（2）利 用 正 弦 定 理 的 边 角 互 化 可 得 sinC=6sin8,由（1）可 得 2,代 入 上 式 即 可 求 解.【详 解】（1）由”=8+3C及 Z+8+C=i,得 2B+4C=万，B=-2 C A=-+C所 以 2，所 以 2.由 0A7V0B 7T0 C 7T 得 o g+c 肛 IT0-2 C T T,20C 7T,0 C-.得 4,故 sin

29、 C 的 取 值 范 围 为 I（2）若 c=6 b,由 正 弦 定 理 有 sinC=6sin3,B=-2 C由（1）知 2，则 sin 8=sin 怎 一 2C）=cos 2CsinC=cos2C=1-2 sin2 C由 得 6所 以 IZsirC+sinC-6=0,sinC=-sinC=-3解 得 3 或 4,sinCG 0,又 I 2人 所 以 sinC=-32 0.已 知 数 列 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列，其 前 项 和 为 s=L（1）在 6+83=2邑+2,3 廿 3=4%,这 三 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 到 上 述 题 干 中.求 数 列“”的 通

30、 项 公 式，并 判 断 此 时 数 列 是 否 满 足 条 件 P：任 意 机，nwN*,%均 为 数 列 中 的 项，说 明 理 由;（2）设 数 列 满 足/,”，求 数 列 也 的 前 项 和 k注：在 第（1）问 中，如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.【答 案】（1）答 案 不 唯 一，理 由 见 解 析；（2）=（一 1）2+1【分 析】（1）选，利 用 前 项 和 与 项 的 关 系 求 得 田，得 出 数 列 通 项 公 式，然 后 可 证 明 数 列 具 有 性 质 这 P,选，同 样 可 利 用 前 项 和 与 项 的 关 系

31、求 得 的，得 出 数 列 通 项 公 式，然 后 可 证 明 数 列 不 具 有 性 质 这 尸，选，利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 求 得 田，得 出 数 列 通 项 公 式，然 后 可 证 明 数 列 具 有 性 质 这 P,（2）不 管 选 还 是（不 可 能 选）都 得 刖=2一，利 用 错 位 相 减 法 求【详 解】（1）选，因 为 S+S3=2$2+2,所 以 S3-S2=S?S+2,即 的=2+2,又 数 列 m 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列，所 以 4田=2卬+2,解 得 的=1,因 此 曲=1 X2 T=2 T.此 时 任 意 加，nWN*,所 2

32、7 2=2 2,由 于 机+-1 E N*,所 以 是 数 列。的 第 m+n 项，因 此 数 列“满 足 条 件 尸.7 7选，因 为$3=5,即 卬+勿+。3=5,又 数 列 劭 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列，7 所 以 的+2田+4许=5,解 得 的=,因 此 a=3 x 2 T.2此 时“心 2=的%，即 卬 的 不 为 数 列 劭 中 的 项，因 此 数 列 的 不 满 足 条 件 p.选，因 为。如=4即 又 数 列 刖 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列,所 以 2a尸 4田=4、8即 又 可 和,故 的=4,因 此 加=4乂 2-=2”.此 时 任 意 机，eN*

33、,aman=2 2向=2M+n+2,由 于，“+”+le N*,所 以 a/a 是 为 数 列“的 第 机+”+1项，因 此 数 列“”满 足 条 件 P.+1(2)因 为 数 列 加 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列，所 以 a=2,因 此 加=x2T.所 以 7H=lx20+2x21+3x22+.+x2n-1,则 2T=lx2i+2x22+(”-1)X2T+”x 2,_2两 式 相 减 得 一 7=1+2+2?+2-x 2=1 2 nx2=(1)2-1 所 以 乃?=(-1)2+1.【点 睛】本 题 考 查 数 列 新 定 义，考 查 错 位 相 减 法 求 和，解 题 关 键 是

34、理 解 新 定 义，用 已 知 的 知 识 研 究 新 定 义，本 题 是 一 种 开 放 性 问 题.考 查 了 学 生 的 运 算 求 解 能 力，创 新 意 识.2 1.如 图，在 四 棱 锥 尸 一 中，平 面 尸/。1平 面 ABCD,AD/BC,AB=BC=PA=,A D=2,4PAD=34B=90,点 E 在 棱 尸 C上，设 CE=2 CP.(1)求 证：C D U E；记 二 面 角 J E”的 平 面 角 为。，且 盛 语 乎，求 实 数 2 的 值.2【答 案】(1)证 明 见 解 析；(2)5【分 析】(1)由 平 面 R4OJ平 面 N 8 C D,乙?/。=90。，

35、可 证 得 P/_L平 面 从 而 得 CDLP4,再 由 已 知 的 数 据 结 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理 可 得 C Z X M C,再 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 平 面 P A C,从 而 可 得 CDL4E；(2)因 为 R U 平 面/BCD,BALAD,故 以 万，而，存 为 正 交 基 底，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，然 后 利 用 空 间 向 量 求 解 即 可【详 解】(1)因 为 乙 以 0=90。，所 以 PZL4O.因 为 平 面 P4DL平 面 A B C D,平 面 P/OIT平 面 ABCD=AD,P A

36、 平 面 PAD,所 以 PN1平 面 ABCD.又 8 平 面 A B C D,所 以 CD1PA.在 四 边 形 中，ADHBC,乙 0/8=90。，所 以 乙 48c=90。，又 A B=B C=1,所 以 A/BC是 等 腰 直 角 三 角 形，即/5/。=乙。=45。，A C=.在 04。中，4cA0=45。，A C=6,AD=2,所 以 C D=+AD-2xACxADxcosZ.CAD=近,从 而 AC2+C D2=A D2.所 以 CD VAC.5LAC(PA=A,A C,尸/口 平 面 PNC,所 以 CZ)1平 面 PAC.又/El平 面 P/C,所 以 CZXL/E.(2)

37、因 为 平 面 N8C。，BALAD,故 以 而，石,下 为 正 交 基 底，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系.因 为 4B=BC=P4=1,A D=2,所 以 4(0,0,0),P(0,0,1),C(l,1,0),)(0,2,0),则 CO=(-i,i,o),而=(0,2,0).因 为 点 E 在 棱 P C 上，且 C E 0 C P,所 以 0=4。尸，设 E(x,y,z),则(x1,y 1,z)=2(1,1 1)故 E(l2,1 k,A)所 以 NE=(1一 九 1九 2).由(1)知，CZR平 面 尸 4 C,所 以 平 面 Z C E 的 一 个 法 向 量

38、为=5=(一 1,1,0).Jw,AE-0 J(1几)西+(1 4)M+4ZI=0设 平 面 的 法 向 量 为 前=(x”力，乃)，由 1所 得 1%=令 z,=l一 九 所 以 平 面 的 一 个 法 向 量 为 加=(一 九 0,1-A).-V10因 此|cosq=|cosv而，|=|l/Mlll|=|-V+(1-7|=,2 2化 简 得 3Q82+4=0,解 得 2=3 或 2.因 为 E 在 棱 尸 C 上，所 以 在 0,1,所 以 2=3.回 2所 以 当|cos6|=5 时，实 数 2 的 值 为【点 睛】此 题 考 查 线 线 垂 直 的 证 明，考 查 二 面 角 的 求

39、法，考 查 推 理 能 力 和 计 算 能 力，属 于 中 档 题 22.已 知 函 数/（x）=b-xlnx,%eR.（1）当=2时，求 函 数 X）的 单 调 区 间；（2）当 求 出 其 单 调 递 增 区 间，令/（幻 0,解 得 0 x e,因 此 函 数 x）单 调 递 增 区 间 为（，e）,单 调 递 减 区 间 为（e，）.(2)f(x)=kx-xnx 故/(x)=l_lnx当 1 1时，因 为 0 x 4 1,所 以 左-INONlnx,因 此/（x）2 0 恒 成 立，即/在（0 上 单 调 递 增,所 以 x）4/（1）=左 恒 成 立.当 左 0(/单 调 递 增；当 x e-1),/(x)l)=3 与/O X 后 恒 成 立 相 矛 盾.综 上，发 的 取 值 范 围 为 口，+).1(3)由(2)知，当 0 x41 时，x-x l n x l,令 x=/(eN*),In z?n-21nn2-l,因 此“+L 2.1 2则 n2+n2 Inn 1,即 则+出+巫+L.+所 以 2 3+1 2 2“一 1F(一 1)4【点 睛】本 题 主 要 考 查 函 数 的 单 调 性 与 最 值，以 及 不 等 式 的 证 明 相 关 问 题，考 查 运 算 求 解 能 力，属 于 中 等 题 型.