2023届高中数学大题二轮复习第20讲取值范围问题的解法-解析版.pdf

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1、第 2 0讲 取 值 范 围 问 题 的 解 法 这 一 节 主 要 讲 解 解 析 几 何 的 范 围 问 题，相 对 于 前 一 讲 最 值 问 题 来 说 难 度 加 大,但 和 最 值 问 题 的 解 题 思 路 很 像，解 题 的 核 心 思 路 是:构 建 所 求 几 何 量 的 含 参 一 元 函 数，形 如=/(%),并 且 进 一 步 找 到 自 变 量 范 围，进 而 求 出 值 域，即 所 求 几 何 量 的 范 围,常 见 的 函 数 有：二 次 函 数;对 勾 函 数 y=x+(a 0);反 比 例 函 数;分 式 函 数,若 出 现 非 常 规 X函 数，则 可 考

2、 虑 通 过 换 元“化 归”为 常 规 函 数，或 者 利 用 导 数 进 行 解 决.这 里 找 自 变 量 的 取 值 范 围 在 A 0 或 者 换 元 的 过 程 中 产 生.除 此 之 外，在 找 自 变 量 取 值 范 围 时,还 可 以 从 以 下 几 个 方 面 考 虑：利 用 判 别 式 构 造 不 等 关 系，从 而 确 定 参 数 的 取 值 范 围.利 用 已 知 参 数 的 范 围，求 出 新 参 数 的 范 围，解 题 的 关 键 是 建 立 两 个 参 数 之 间 的 等 量 关 系 冒 用 基 本 不 等 式 求 出 参 数 的 取 值 范 围.利 用 函 数

3、 值 域 的 求 法，确 定 参 数 的 取 值 范 围.弦 长 的 取 值 范 围 v-2 v2【例。若/为 圆 O：l+y 2=i 的 任 意 一 条 切 线,/与 椭 圆 E：土+2L=1交 于 两 点 P,4 3Q,求 归 的 取 值 范 围.【解 析】设 直 线/方 程 为:、=丘+加.直 线/为 圆 的 切 线，y=kx+m联 立 直 线 与 椭 圆 方 程,x2 y2 得（4攵 2+3）f+8knr+4/2 12=0.14 3=48（3公+2）0,由 韦 达 定 理 得 X,+马 状=一 8km-4二+34m2-124左 2+3弦 长 IPQ|=J1+Y,-x2|=4&恭+2.令

4、 f=422+3.3,.|P 0 3 用+2 0,华|P Q|的 取 值 范 围 为【例 2】过 点（2,0）的 直 线/交 椭 圆 C:5+y 2=i于 A 1 两 点,M 为 椭 圆 C 上 一 点,。为 坐 标 原 点，且 满 足。4+0 3=其 中 加 e 半，竽，求|钻|的 取 值 范 围.【解 析】设 直 线/的 方 程 为:y=M x-2）,m wO,M w O,将 该 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 y=k x-2）立 得 X 2+y2=（1+2攵 2）工 2一 8攵，+842一 2=0,设 4（%,乂）,8（9,%），我 2 弘 2-2有 玉+x2=IT页 中 2=币

5、 记/.M+%=%(X+x2-4)=设 M(XO,NO)-A kf l 8d VOA+OB=m O M,/.有%+%=-4 k1+2”1 S k2-7=inx=x(=-，1+2 m+2 k21-A bmy0=%=+2公，把 点 M（%,%）坐 标 代 入 椭 圆 方 程 中 得 m 1+2%、2_L _4km 1+2Z?:一 化 简 得 病 二 罂，而 小 475 473亏，亍 8/+领 卜 1.3|AB|二 J(X|-X2+(y 一%)2=?+l=,+1 J(X|+X2)2-4X|X2/2 7 2 x 7 1-2=+1 x-,2 k2+l-2 k2 0 k2 k2 k2=J.-!k2-,2

6、3 2-t 2.3.-.|AB|=2.一 5 张 双 上,L 2c,.1.一 1-33 2 t 5；.当;=|,|A B|的 最 大 值 为 竽.当;=g a寸 的=0.5 0铲，2,（472 A 5|的 取 值 范 围 为 0,罢 2 2 例 3 已 知 月,尸 2是 椭 圆 q+方=1（。）0）的 两 个 焦 点,。为 坐 标 原 点，点 P（T，学 在 椭 圆 上，且 P耳 由 6=0,O 是 以 外 为 直 径 的 圆，直 线/:y=&+/与。相 7切,并 且 与 椭 圆 交 于 不 同 的 两 点 A 8.求 椭 圆 的 标 准 方 程.当。4。8=4,且 满 足 2 张 收 1 时

7、,求 弦 长|A用 的 取 值 范 围。/【解 析】由 巴 6 月=（）得 可 得 c=l,将 点 P-1，与 代 入 椭 圆 方 程 得 7，+/=1又./_户=02=1，与 上 式 联 立 解 得/=2万=1，故 椭 圆 标 准 方 程 为+V=1 1 利 1 直 线/:y=kx+m 与 O。相 切,则/=1=m2=Z:2+1a+iX2 2.万+厂 1 得 y=kx+m由（1+2左 2）X2+4 k次+2 m2 2=o,直 线/与 椭 圆 交 于 不 同 的 两，点 4,3.设 24（%,凹）,3（毛,丁 2）,0=F 0=Z w 0,玉+%=-4km 2m2-21+2/小 1+2%yxy

8、2=（向+?）（丘 2+，）=k2xxx2+初 2（%+x2）+m22 m2-2 k2+2k2.O A.0B=X|%2+y%=:1;卜 2=九 n g 剜 版 14 22MM=Jl+G J（X+%2）2-4%1%2-2设=称 2 1）,则 加 2.43|=2,匚 豆=2 在 日,21上 单 调 递 增,1 1 V4+l）2 2（4M+1）L4 J 1 1|_4 弦 长|A3|的 取 值 范 围 为 近 4V 3三 角 形 面 积 的 取 值 范 围 2 2 例 1 如 下 图 所 示，已 知 椭 圆 c：3+方=1左、右 焦 点 分 别 为 E，K，s 为 椭 圆 上 任 意 一 点，过 F2

9、的 直 线/与 椭 圆 C 交 于 A,8 两 点，点 M 在 线 段 A B 上，且 A M=2 M B点 B关 于 原 点 对 称 的 点 为 点 P,求 3 P M 面 积 的 取 值 范 围.解 析 1 由 题 意,K（1,0）,设/：x=冲+1,A（%,y）,B 8,%），则 P（-x2,-y2）,i 2 2 1 1由 题 意 可 知，s BPM=S ARp=-S AOA=乂 万|08 H y-%|=|凶 一%|，x=my+1联 立 尤 2 y2，整 理 得+4）y2+6my-9=0.彳+5=由 根 与 系 数 的 关 系 得 y+%=，乂=4+3相 小 一%|=J（X 7 2）2=

10、+%）2-4）1%=-94+3/36m2,-9 12，1+苏 _ 4 x _（4+34 7_ 4+3/n2_ 4+3/n2令 7=4 7 7 1=4t=4加 一 3疝+4-3r2+r 4.l，tf（/）=3/+；在 1,+e）上 是 增 函 数,/./（/）./（I）=4.B P M 面 积 的 取 值 范 围 为（）.【例 2 设 直 线/与 椭 圆 C jr2+匕 v2=1 相 交 一 于 不 同 的 两 点 A,5.M为 线 段 A 8 的 中 点,6 3。为 坐 标 原 点，射 线 O M 与 椭 圆。相 交 于 点 P,且。点 在 以 A 3 为 直 径 的 圆 上.记 q一 A O

11、 M 5 0 P 的 面 积 分 别 为 5 同,求 亍 的 取 值 范 围.$2【解 析】M 为 线 段 A 8 的 中 点,.多=心 也=咨。.邑 S 0P(1)当 直 线/的 斜 率 不 存 在 时，由。4 _L0 8 及 椭 圆 的 对 称 性，不 妨 设。4 所 在 直 线 的 方 程 为 y=x，得 X：=2.则 总=2 芯=6,:.?=（2）当 直 线/的 斜 率 存 在 时，设 直 线/:y=依:+m（m w O）,A（玉,y）,8（%2，%）y=kx+m联 立 v x2 y2，消 去 y,得（2&2+l）d+4初 zx+2?2-6=0.16 3=1642m 2 _8（24 2

12、+1）（租 2 3）=8（6化 2 _ m 2+3）0,即 6左 2 一 M 2+3 04kmM+工 2=-2,2+，XX1 2 m 2-62公+1点 O 在 以 A 3为 直 径 的 圆 上，0 4 0 3=0,即 百 元 2+y%=o.xyx2+y1y2=（1+左 2）内 工 2+k m（N+x2）+m2=0./2 2m 6（1+&）-F km、2k2+4km）2 F+1）+m2-0.化 简 得 m2=2k2+2,经 检 验 满 足 A 0,成 立.，线 段 A3的 中 点 M-2km m2k2+V2k2+l)当 Z=0时,，=2.此 时 W L=逅 52 V3 3Z w O 时，射 线

13、0 M 所 在 的 直 线 方 程 为 尸-工 尤.2k1y=x联 立，+J16 3消 去 y 得 说=焉，疗=六.O M=yM 加 20 P|-p（2+l）-综 啜 的 取 值 范 围 为 怪 当 四 边 形 面 积 的 取 值 范 围 r2 v2 1【例 1】已 知 椭 圆 C:=+与=13。0）的 离 心 率 为 上，片,工 是 椭 圆 的 左、右 焦 点,a b 2P是 椭 圆 上 一 点,PR-PF2的 最 小 值 为 2.求 椭 圆 C 的 方 程.过 点 尸 2且 与 X 轴 不 重 合 的 直 线/交 椭 圆 C 于 M，N 两 点，圆 E 是 以 耳 为 圆 心 椭 圆 C的

14、 长 轴 长 为 半 径 的 圆，过 F?且 与/垂 直 的 直 线 与 圆 E 交 于，。两 点，求 四 边 形 M P N。面 积 的 取 值 范 围.【解 析】已 知,耳 的 最 小 值 为 c2=2，又/=+。2,a 22 2解 得/=4方=3,粗 圆 方 程 为 一+J=i.4 3（2）当 I与 x 轴 不 垂 直 时，设/的 方 程 为 y=%（x-l）（左 wO）,M（4），（/，必），联 立 y=M x-l）得(4公+3厂 一 8公 x+4%2 12=0，由 韦 达 定 理 得 8k2 4G 一 12%+=赤?中 2=京 7 7 I,12（公+1）-M N=J l+K W 止

15、Z 庐+3,设 过 点 F2(1,0)且 与 I垂 直 的 直 线 m:y=工(x 1),至 U机 的 距 离 为 k2J/+1四 边 形 M P N Q 的 面 积 S=MN.闸 川+小.可 得 当/与 x 轴 不 垂 直 时，四 边 形 MPNQ面 积 的 取 值 范 围 为(12,86)当/与 x 轴 垂 直 时 淇 方 程 为 x=l,|M 7V|=3,|PQ|=8,四 边 形 MPNQ的 面 积 为 12.综 上,四 边 形 MPN。面 积 的 取 值 范 围 为 1 2,8 6).2 2【例 2】已 知 椭 圆 G：1r+/y=1(。8 0)的 焦 距 为 4,左、右 焦 点 分

16、别 为 月，工，且 C 1与 抛 物 线。2：丁=x 的 交 点 所 在 的 直 线 经 过 巴.求 粗 圆 a 的 方 程.分 别 过 耳，工 作 平 行 直 线 S，若 直 线，与 G 交 于 A,8 两 点，与 抛 物 线 无 公 共 点,直 线 与 G 交 于 C，。两 点,其 中 点 A，。在 X轴 上 方，求 四 边 形 A 6 K。的 面 积 的 取 值 范 围.【解 析】依 题 意 得 2c=4,则 c=2,耳(一 2,0)心(2,0).椭 圆 G 与 抛 物 线。2的 一 个 交 点 为 尸 倒，血)于 是 2a=归 用+归 用=4x历，从 而 a=2 0.又 4=攵+,2,

17、解 得 人=2.2 2；椭 圆 C1的 方 程 为 土+二=1.8 4(2)依 题 意，直 线 优 的 斜 率 不 为 0,设 直 线 m:x=)-2,联 立 消 去 x 得 V 一？+2=0,由 八=(-行-8 0 得/2+2令,产+1=s e 1,3),贝 US四 边 形 曲&/,=4应；.四 边 形 然 后。的 面 积 的 取 值 范 围 为 竽,4 0向 量 点 积 的 取 值 范 围 2 2【例 1】设 直 线/:丫=履+机 与 椭 圆 C：土+匕=1 交 于 A B 两 点,。为 坐 标 原 点，若 8 4kO A-kOB=g，求 Q4 0 3 的 取 值 范 围【解 析】设 4（

18、%,另）,3（,必）,y=kx-m/口/）o联 立）得（1+2 F）/+4 爪+2根 2-8=0,|X24-2/=8、）=16左 2m24（1+2%2）（2僧 2-8）=64火 2-8加 2+320,艮 加 2 8+4,4km 2m2-8-1+2/1+2/.yxy2=%2须+m k（X+x2）+nr2k2nr-S k2 4k2m2-7-7+m1+2公 1+2公 广 2nr-8 k21+2F之 桨 2 324%2 8 8公+4,即 0”k2 0,解 得-2 m 2.存 在 点 C,使 得 四 边 形。4 c B为 平 行 四 边 形，.0,4 8不 共 线,2#0.设 4（司,y）,8（知），则

19、%+工 2=当 生，不 3（/?2-2）4OC=OA+OB=+犬 2，b+%），AB=O B-O A=（X2.y2-,2、0 C,AB=x；x：+y：y：=x；+2 1-2|1 7江、3 J=；（工；_ 52）=（工 2+谷）（工 2一 内）X|x2-4 X,X2=3/2/一 2）=当 Q 7.|0 C*x 一 冬 x争”-n r=-m2（4-m2m2-2:+4,-2m2,m 0,故 0 in2 4,-2 m2-2 2.0(jrr 一 2)4.1.0 4-(/n2-2)2 0|OC-1.。/屈 勺 取 值 范 围 为-1,0)0,1.参 数 的 取 值 范 围【例 1】过 点 P（0,2）的

20、直 线/交 椭 圆 三+丁 2=1于 不 同 的 两 点 4 3（8 在 4 1 之 间）,且 满 足 PB=APA,A的 取 值 范 围.【解 析】当 直 线/的 斜 率 不 存 在 时，即 直 线/:x=0,此 时 4（0,T）,8（0,1）,由 P8=/IPA解 得；l=L3（2）当 直 线 1的 斜 率 存 在 时，设 直 线 l-.y=kx+2,A（x”y）,5（勺,%）.，2X 2 联 立（了+）消 y得（2公+1卜+8日+6=0y=kx+28k 2=一 7?3,.（）,即 2公 一 3 0,解 得 二.由 P8=/IPA得 4=%，百 而(-2)=三 十 五+2=”+2玉 x2

21、x x2 ASk2即 4+1=(3+)_2=Z x-x22k2+l)64F二 一 一 E 一 一 3”32又 丁 卫 K-2在 公 上 单 调 递 增,3（2+记）2 Z+-P之 间,即 0%1,解 得-21.2 3 3综 上 所 述,/I的 取 值 范 围 是-,1 3）【例 2】设 椭 圆 上+V=1的 左 顶 点 为 A,右 顶 点 为 B,设 过 点 4 的 直 线/与 椭 圆 交 于 4点 M,且 点 M 在 第 一 象 限，点 M 关 于 x 轴 对 称 点 为 点 N，直 线 N B 与 直 线 I交 于 点 P,若 直 线。尸 斜 率 大 于|，求 直 线/的 斜 率 k 的

22、取 值 范 围.【解 析】设 M（x0,y0）,其 中 0/2,0/|.Lkx 0+2-4y；+2-4o 2yo令 J i-y；=，田|),k=-rf 0,|卜 贝%2 例 3 若 过 点 M（2,0）的 直 线/与 椭 圆 C:5+y 2=i交 于 不 同 的 两 点 A B,且 与 圆 Ct:x2+y2=l没 有 公 共 点，设 G 为 椭 圆 C 上 一 点，满 足 OA+OB=tOG（0 为 坐 标 原 点）,求 实 数 的 取 值 范 围.【解 析】由 题 意 可 知 直 线 A8斜 率 不 为 0,设 直 线 A3:x=y+2.联 立 x-ny+22=i得（2+/）y2+4 几 y

23、+2=0.由=8 1 160 得 2.设 A（X|,y）,5（肛 力）,G（%），由 韦 达 定 理 得 y+%=%，凹%=OA+OB=tO G，（玉+X2，y+%）=/（/，）8-4 飞=rT（n2+2），%=+八,点 G在 椭 圆 上,64 2xl6n2-Tr（2+2）-r（2+2）-=2,得 八 号.|2|直 线 与 圆 没 有 公 共 点，则 1,2/3.由 可 得 g r 4,.e-2,-,2.7.r2.例 4 已 知 椭 圆 耳+y2=1的 一 个 顶 点 为 A（O,-1）,设 椭 圆 与 直 线），=依+加（左。0）相 交 于 不 同 的 两 点 M,N,当|AM|=|AN|时

24、，求 加 的 取 值 范 围.y=kx+m【解 析】设 用（如,%）,%（漏,后），P（%P，VP）为 弦 MN的 中 点，联 立 f,得（3左 2+1卜 2+6以 乙+3。2-1）=0.因 直 线 与 椭 圆 相 交，故=（6 永）2-4-（3炉+l）-3（m2-l）0,即 苏 3公+1，XM XN23mx k,y,m 7 yP+1p=kxp+?=-；kAP=-=3）t2+l P 3k2+1 样/m+3k2+13mk又|A M|=|4V|,A n.n g m+3k+1 1AP J_ M N，贝！J-=一 一,3mk k即 2用=3/+1.把 上 式 代 入 式 得 m2 v 2加 解 得 0 机 V 2.由 式 得 二=网 二 1 0解 得 Z L3 2综 上,的 取 值 范 围 是 l m2