2021年中考数学压轴题专项训练02四边形含解析.pdf

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1、四边形1.如图，在正方形46（切中，E、尸是对角线劭上两点，且N4尸 =45,将/1游 绕 点1顺时针旋转90后，得到4制，连接偌.(1)求证：4是/Q第的平分线；(2)已知跖=1,D F=3,求所1的长.【详解】证明：(1)：将/分绕点/顺时针旋转9 0 后，得到/幽,：.QB=DF,AQAF,4B A gN D A F,V Z 4f=45 ,:./D AR N BAE=45,./=45 ,:.NQAE=4FAE,在力和力中，-AQAF ZQAE=NFAE,AEAE：./心 近(SAS),：.4AEQ=Z.AEF,是N Q&?的平分线；(2)由(1)得(口 1,:.Q E=E F,NA D

2、F=/A B Q,.四边形/腼是正方形，:./A D B=/A B D=45,侬=4 5 ,Z Q B E-Z A B Q Z A B D=9 0 ,在 双 /中，Q R+B F=Q F,又,：Q B=D F,.欧=曲 刎=1+9 =1 0,E F=Vi o .2.四边形A B CD为正方形，点 E 为线段A C上一点，连接D E,过点E 作 E F L D E,交射线B C于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.备用图(1)如图，求证：矩形DEFG是正方形;(2)当线段DE与正方形A B CD的某条边的夹角是3 5 时，求N E F C 的度数.【详解】解：(1)证明：如图，作

3、EP J_CD于 P,EQ_L B C于 Q,图 1四边形A B CD为正方形，VZ DCA=Z B CA=4 5 ,EQ=EP,矩形 DEFG,/P ED+NP EF=9 0 ,V Z QEF+Z P EF=9 0 ,；.NQEF=/P ED,在 R 3 E Q F 和 R S E P D 中，NQEF=NPED，EQ=EP,ZEQF=ZEPD：.Rt/EQF 丝Rt AEPD(A SA),；.EF=ED,矩形DEFG是正方形；(2)当DE与 A D 的夹角为3 5 时,如图2,V Z A DE=3 5 ,/A DC=9 0 ,.Z EDC=5 5O,:E F C =360-9 0 -90-

4、55。=125,当 DE与 DC的夹角为3 5 时，如图3,即DC,E尸交于，图3.ZDEH=NDCF=90,ZDHE=ZFHC,/EDC=/EFC=3 5 ,综上所述：Z EFC=3 5 或 1 2 5 .3.如图所示，四边形ACEQ中，C E/A D,以。C,O E为边作平行四边形QCFE,EC的延长线交AF于3,求证：AB=FB.AD【详解】证明：如图，延长咫交/于点G,.四边形切所为平行四边形，：.CF/DE,CF=DE,又/，.四边形府为平行四边形，Z.CODE,：.CFCG,旦 BCa AG,是川G 的中位线，.为 的 中 点,即 AB=FB.4.如 图 1,已知正方形A B C

5、D 和正方形CEG尸，点在同一直线上，连接BE,D F，交于点M.O E 与 E G 相(1)求证：B E=F D.(2)如图2,N 是 边 上 的 一 点，连接A N 交 8 E 于点“，且网=型.B C G E求证：B N=E C ；若C E =2 D E,直接写出的值.A B【详解】解：(1):四边形A B CD和四边形CEGF是正方形,，B C=CD=A B,CE=CF,Z B CE=Z DCF=9 0/.B CEA DCF(SA S),.,.B E=FD；(2).四边形A B CD和四边形CEGF是正方形,A CD/GE,GF=EC/.D E M AFGM,.G M G F E CE

6、 M D E D E.G M E CE G D C.B N G M,B C G E.B N E CB C D CVB C=CDB N=E CC E =2D E：.C E =-D C3B N=E C.BN 2 -DC 3,.A B=CD.BN 2 -AB 35.如 图1,已 知 正 方 形A B=,以顶点6为直角顶点的等腰Rt成尸绕点6旋转，B E=B F=屈，连结/,C F.(1)求证：XA B 咯 XC B F.（2）如图2,连结施，当 D E=B E 时,求宓呼的值.（3）如图3,当Rt叱旋转到正方形4及力外部，且线段4 6与线段成存在交点G时，若 是切的中点,户是线段加上的一个动点，当满

7、足,仍也小的值最小时，求,少的值.2【详解】解：(1)二 四边形/版是正方形,：.A B=B C,ZA B C=90,:/E B F=9Q =/A B C,：.A A B E=A C B F,又,：B E=B F,A B=B C,：.4A B 恒 A C B F (SA S)；(2)如图2,过点月作以1 四于,:XA B哙XC B F,S4 雌=Scni-t：A D=A B,A E=A E,D E=B E,：./A D E/A B E(SSS),:.ND A E=4B A E=45,：E H L A B,:.NE A B=ZA E H=A 5,:.A H=E H,：B e=B ib E I l

8、,；.1 0=初 +(4 -B E)2,.班=1 或 3,当B E=1 时S4A B n=5ACJW-A B X E H X 4 X 1 =1,2 2当B E=3时 4B X E H X 4 X 3=6,2 2(3)如图3,过点巴乍掰，熊于由（1）同理可得儿?匡 如；ZEAB=/BCF,V ZBAE+ZCAB-ZACB=90,1 /BCF+/CAa/ACB=9C,N C=90,9：ZAGC=ZADC=90,J点 用 点G,点C,点四点共圆,/.ZACD=ZAGD=45,:PK1AG,:/PGK=4GPK=45,：.PKGK PG,25：.MPPGMPPK,2；.当点M,点、P,点/三点共线时，

9、且 点 反 点G重合时，朗再走尸G值最小,2如 图4,过 点6作 制，夕 于。,:B E=B F=A ,NEBF=9Q,BQX.EF,:.EF=2 后,BQ=E gF Q=后,g BC2-BQ1=V16-5=V n，：.CE=CQ-E Q=-逐,：MKA.AE,CEVAE,：.MK/CE,.DM _ MP D C E 又 是 切 的 中 点，：.DC=2DM,.yp_ rp A/TT-6226.如图，在正方形ABC。中，点E、尸均为中点，连接A F、DE交于点P，连接P C,证明:PE+PF=6PC ADP)【详解】证明：如图，延长。七至N,使得EN=PF,连接CN,在正方形A6CO中，*.E

10、、F分别是BC、C O的中点，:.CE=DF,在尸和AOCE中，AD=CD,ADF=/DCE=90,DF=CE,:./ADF A D C E(S),：.ZAFD=ZDEC,:.ZCFP=ZCEN,在 ACEN 和(中，CE=CF,ZCEN=NCFP,EN=PF,:M E N 乌M FP(SAS),:.CN=CP,4ECN=/P C F,;N P C F+C P =90,:E C N+/BCP=乙NCP=90,.NCP是等腰直角三角形，：.PN=PE+NE=y2PC-PE+PF=42PC-N”7.如图，正方形力腼中，E为BC上一点、,(1)求证：/BAG=NCBF；(2)求证：AG=FG；(3)

11、若 GF=2BG,CF=6,求 4?的长.At_ DOB E C【详解】(1)证明：因为/腼是正方形过点6作B G _L A E于G,延 长%至 点 尸 使/CFB=45.所以 ZABG+ZCBF=90在三角形加中,因为 8G _L AE,NBAG=ZCBF(2)过 点C作CJ_8尸，-.AG 1 BF,CH BFZAGB=NBHC=9C因为4腼 是 正 方 形，所以4户8a由(1);.NBAG=NCBF所以AAGB三ABHC；.AG=BH,BG=CH在三角形幡 中，ZCBF=4 5 ,FH=CH:.GF=GH+FH=GH+CH=GH+BG=BH=AG,所以AG=FG.(3)在三角形CHF中,

12、NCFB=4S,TCF=6：.CH=HF=1,;BG=CH-：CF=2BG：.FG=2：AG=FG:.ABy/AG2+BG2=V22+1=V5 8.已知正方形A B CD,点 E 在 A B 上，点 G 在 A D,点 F 在射线B C上，点 H 在 CD上.(1)如图 1,DEJ_FG,求证：B F=A E+A G；(2)如图 2,DEDF,P 为 EF 中点，求证：BE=&PC；(3)如 图 如 EH交 FG于 0,Z G0 H=4 5 ,若 CD=4,B F=D G=1,则线段EH 的长为【详解】解：(1)如图1,过点G 作 GMB C于 M则/GMB=/GMF=9 0 ,四边形A B

13、CD是正方形，；.A D=A B,NA=NB=9 0 ,四边形A B MG是矩形，；.A G=B M,DE1 GF,A Z A DE+Z DGF=Z A DE+Z A ED=9 0 ,.e.Z A ED=Z DGF,又 NDGF=NMFG,A Z A ED=Z MFG,/.DA EA GMF(A A S),A A E=MF,则 B F=B M+MF=A G+A E；(2)如图2,过点E 作 EQ P C,交 B C于点Q,P 是 EF的中点，P C是4 E Q F 的中位线，则 EQ=2 P C,QC=CF,V Z A DC=Z EDF=9 0 ,Z A DE=Z CDF,XV Z A=Z D

14、CF=9 0 ,A D=CD,AA A DEA CDF(A SA),/.A E=CF=QC,VA B=B C,A B E=B Q,则 NB EQ=4 5 ,A EQ=V2 B E,则 2 P C=&B E,B E=VP C；(3)如图3 所示，作 B MGF交 A D于 M,作 B NEH交 CD于 N,则四边形B FGM和四边形B EHN是平行四边形，B M=GF,B F=MG=1,B N=EH,VDG=1,CD=A D=4,A A M=2,延长DC到 P,使 CP=A M=2,VB A=B C,Z A=Z B CP=9 0 ,A A B A M A B C P (SA S),A Z A B

15、 M=Z CB P,B M=B P,V Z G0 I I=4 5 ,B N/EH,B MGF,A Z MB N=4 5 ,图 3Z A B M+Z CB N=4 5 ，：.Z CB P+Z CB N=4 5 ,即NP B N=4 5 ,.MB NA P B N(SA S),；.MN=P N,设 C N=x,则 MN=P N=CN+P C=x+2,DN=4 -x,在 RtA DMN中，由口|+口=呱 2 可得22+(4 -x)2=(x+2)4解得x=y则 E1 I=B N=VJBC2+C7V2=故答案为:平9.己知：四边形A B C。为正方形,M M N是等腰R t A,NAMN=90.(1)如

16、图：当用A A M N 绕点A 旋转时，若边A M、A N 分别与8 C、C D 相交于点E、F,连 接 班试证明：E F =D F +BE.(2)如图，当心A 4 W N 绕点A 旋转时，若边A M、A N 分别与B C、C O 的延长线相交于点E、F,连接 石厂.试写出此时三线段石F、D F、破的数量关系并加以证明.若C E =6,D F =2,求：正方形A B C。的边长以及八4 /中4 后边上的高.【详解】(1)证明：如 图 1,延长CB 到 G,使 B G=DF,连接A G,图 1.四边形A B CD是正方形，A Z D=Z A B C=Z DA B=Z A B G=9 0 ,A D

17、=A B,在A A D F 和A B G中，A D=A B连接A G,同(1)可证AA6G名AADE,；.A G=A F,/DA F=NB A G,AAMN是等腰直角三角形，ZMNA=ZN=45。,：.ZFAD+ZDAE=45,：.ZZME+Zft4G=45。，ZDAB=90,：.ZG4E=90-45=45=ZFAE,AF=AG在 AE4E 和 AGAE 中，Z.FAE=NGAFAEAE：.FAEG AE(SAS),：.EF=EG=BE-BG,BG=DF,，EF=BE-D F.如图2,过 F 作 FHL A E于 H,设正方形A B CD的边长是x,则 B C=CD=x,VCE=6,DF=B

18、G=2,.,.EF=GE=CG+CE=B C-B G+CE=x-2+6=x+4,在 R S F C E 中,由勾股定理得：E F2=F C2+C E2,(x+4)J (x+2)2+62,解得：x=6,A G=A F=762+22=2V10，,/Z F A M=4 5 ,.-.F H=_AF=x 2 V 1 0=：2 2即a A E F 中 A E 边上的高为2垂).1 0.如图，在边长为。的正方形四切中，作 切 的 平 分 线 交 相 于 凡 过尸作直线然的垂线交 于只交切的延长线于。，又过尸作4的平行线与直线必 交于点,连 接 应AE,PD,PB.AB(1)求4a 的长；(2)四边形丽 是菱

19、形吗？为什么？(3)探究线段。0,D P,尸之间的数量关系，并证明探究结论；(4)探究线段如与4?之间的数量关系与位置关系，并证明探究结论.【详解】解：(1)A C=+口2 =立a,；C F 平分N B C D,F D_ LC D,F P 1 A C,；.F D=F P,又 N F DQ=N F P A,Z DF Q=Z P F A,.,.F DQ A F P A (A S A),；.Q D=A P,.点P 在正方形A B C D对角线A C 上，.C D=C P=a,Q D=A P=A C-P C=(/2-l)a；(2)V F D=F P,C D=C P,A C F 垂直平分D P,即 DP

20、 1 C F,A E D=E P,则/E DP=N E P D,V F D=F P,；.N F DP=N F P D,而 E P DF,Z E P D=Z F DP,，N F P D=N E P D,N E DP=N F P D,；.1)E P F,而 E P DF,四边形M 艺是平行四边形，V E F l DP,四边形历见?是菱形；(3)DP2+E F M Q D2,理由是：.四边形如1 是菱形，设 DP 与 E F 交于点G,，2 DG=DP,2 G F=E F,V Z A C D=4 5 ,F P 1 A C,P C Q 为等腰直角三角形，A Z Q=4 5 ,可得Q DF 为等腰直角三

21、角形，；.Q D=DF,在DG F 中，DG 2+F G 2=DN,.有(，DP)2+(J-E F)2=Q D2,2 2整理得：DP2+E F2=4 Q D2；(4)V Z DF Q=4 5 ,DE F P,；.N E DF=4 5 ,又：DE=DF=DQ=A P=(V 2-l),A D=A B,A A A DE B A P (S A S),.*.A E=B P,Z E A D=Z A B P,延长B P,与 A E 交于点H,/Z H P A=Z P A B+Z P B A=Z P A B+Z DA E,Z P A B+Z DA E+Z H A P=9 0 ,A Z H P A+Z H A

22、P=9 0 ,Z P H A=9 0 ,即 B P _ LA E,综上：B P 与 A E 的关系是：垂直且相等.1 1.如 图 1,在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。在a A B C 中，Z C=9 0 ,则 A C 2+B C 2=A B 2.我们定义为“商高定理”。(1)如图 1,在a A B C 中，Z C=9 0 中，B C=4,A B=5,试求 AC=；(2)如图2,四边形A B C D的对角线A C、B D交于点0,A C B D.试证明：A B2+C D2=A D2+B C2；(3)如图3,分别以R t A A C B 的直角边B C 和斜边A B

23、为边向外作正方形B C F G 和正方形A B E D,连结C E、A G、G E.已知 B C=4,A B=5,求 G E，的值.A【详解】解：(1)：.,在A A B C 中，Z C=9 0 中，B C=4,A B=5,：AC7 AB2BC?=3,故答案为：3；(2)证明：在 R t Z XDO A 中，Z D0 A=9 0 ,.,.O D2+O A2=A D2,同 理:O D2+O C2=CD2,OB2+OC2=BC2,O A2+O B2=AB-,A B C D O A +O B +O D O C2,A D2+B C2=O D2+O A2+O B2+O C2,.*.AB2+CD2=A D

24、2+BC2；(3)解：连接C G、A E,设 A G 交 C E 于 I,A B 交 C E 于 J,如图3 所示:.四边形B C F G 和四边形A B E D都是正方形，Z G B C=Z E B A=9 0 ,A B=B E=5,B G=B C=4,，Z G B C+Z C B A=Z E B A+Z C B A,.Z A B G=Z E B C,在A A B C 和A E B C 中，AB=BE，NABG=NEBC,BG=BC.,.A B G A E B C (S A S),.Z B A G=Z B E C,V Z A J I=Z E J B,；.N E B J=N A I J=9 0

25、 ,A A G I C E,由（2）可 得:A C2+G E2=C G2+A E2,在 R t Z XC B G 中，C G 2=B d+B G 2,即 C G=42+42=3 2,在A B E 中，A E2=B E2+A B2,即 A E2=52+52=5 0,在 R t A A B C 中，A B2=A C2+B C2,即 52=A C2+42,.*.A CZ=9,VAC2+GE2=CG2+AE2,即 9+G E2=3 2+5 0,.G E 7 3.1 2.己知：在正方形A B C D中，A B=3,E是边B C 上一个动点(点E不与点B,点 C重合)，连接A E,点 H是B C 延长线上

26、一点.过点B作 B F L A E,交 A E 于点G,交 DC 于点F.(1)求证：A E=B F；(2)过点E作 E M L A E,交N D C H 的平分线于点M,连接F M,判断四边形B F M E 的形状，并说明理由；(3)在(2)的条件下，/E M C 的正弦值为 注，求四边形A G F D的面积.10【详解】解：证明：(1),在正方形A B C D中,A Z A B E=Z B C F=9 0 ,A B=B C,V Z B A E+Z A B F=9 0 ,Z C B F+Z A B F=9 0 ,A Z B A E=Z C B F,且N A B E=N B C F=9 0 ,

27、A B=B C,.A B E A B C F (A S A)，A E=B F,(2)四边形B F M E 是平行四边形理由如下：如 图 1：在 A B 上截取B N=B E,图1A A B E A B C F.Z B A E=Z F B CV A B=B C,B N=B E,A A N=E C,Z B N E=4 5/.Z A N E=1 3 5 C M 平分N DC H/.Z DC M=Z M C H=4 5.Z E C M=1 3 5 =Z A N EV A E 1 E M/.ZAEB+ZMEC=90,ZAEB+ZBAE=90A Z B A E=Z M E C,且 AN=EC,ZANE=Z

28、DCMA AANEAECM(SAS)AAE=EM,ZBAE=ZM ECA ZB A E=ZFB C=ZM E C，BFE M,且 BF=AE=EM四边形BFME是平行四边形(3)如图2,连接B D,过点F作FN_LBD于点N,*.*四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=3,ZD BC=ZBD C=45,BD=3逝，ZDBF+ZFBC=45V ZMCH=ZMEC+ZEMC=45,ZFBC=ZM ECA ZEM C=ZD BFNF F)*.sinZEMC=sin Z D B F=-=BF 10.设 N F=&a,BF=10a,V ZB D C=45,FNBD.DN=NF=V2 a,D F=&N F=2a，BN=3 夜-无 a，VBF2-NF2=BN2,；.981=(372-V2 a)2,.a=?83 3 D F=2X_=_8 4 9：.F C=-4*/AABEABCF9 BE=CF=一,43 EC=BF=/BC2+CF2=7VZFBC=ZFBC,NBGE=NBCF/.BGEABCF BGGE BEBCFCBF9 BG,亍9GE_2_9-154 427.BG=5，GE=20S四边形RDFG=S四边形ADEC-S四边形ECFG，3o9o6-27o-2-29-51-29-41-23-41-2