2022届上海市重点名校高考数学倒计时模拟卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2 .选择题必须使用2 B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线 _ 4=1 3 0 0)的两条渐近线与抛物线丁=2*,()的准

2、线分别交于点幺、3,O 为坐a b标原点.若双曲线的离心率为2,三角形A O B的面积为6，则p=().3A.1 B.-C.2 D.322.设集合A=H-2X（）在区间（）,+2 ,q：x a,且 力 是 F 的充分不必要条件，则的取值范围是（）A.a B.a-D.a 8.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）正视图 侧视图5A.7 T3B.2 5C.一712D.3万9.已知椭圆二+与=1（。0）的左、右焦点分别为、F2,过”的直线交椭圆于A,B两 点,交y轴于点M,若K、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为（）_2226丁D.51 0.已知椭圆E：=1 （a 匕 0）的左、右

3、焦点分别为耳，尸2,过鸟的直线2 x+y-4 =0与）轴交于点A,7+F线段A行 与七交于点B.若|A B|=|B 6则E的方程为（）2 2-1-4 0 3 6B.2 2厂 工Iy2 0 1 6C/),2.10 61D.+/=15-1 1 .把函数/（x）=A s i n 1 2 x q J（A w O）的图象向右平移:个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数g（x-加0）是偶函数，则实数加的最小值是（）1 2 .f（x=-在原点附近的部分图象大概是（）s i n x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3 .（1-3幻（1 +尤）5展开式中1项的系数是1 4 .设 S“为数

4、列 ,的前项和，若%0,q=l,且 2 S,=%(%+f),n w N*,贝！1、。=1 5 .已知向量d=(L 1),b=y/3,(2 M +B)Q =2,贝，|=.1 6.已知点4(0,-1)是抛物线Y=2py 的准线上一点，尸为抛物线的焦点，尸为抛物线上的点，且 同=制 必|,若双曲线C中心在原点，尸是它的一个焦点，且过尸点，当“取最小值时，双曲线C的 离 心 率 为.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。I-/2X=-1 7.(1 2 分)在直角坐标系x Q y 中，曲线C的参数方程为a 为参数).点(%,%)在曲线c 上，点。,)；+产满足m=2x0=3

5、0(1)以坐标原点。为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点。的轨迹G 的极坐标方程;点 A i 分别是曲线G 上第一象限，第二象限上两点，且满足4。八f,求 总 7+高的直1 8.(1 2 分)如图所示，四棱柱 中，底面4BCO为梯形，AD/BC,NADC=9 O。，A B =B C =BBi=2,A D =,C D =邪,4 8 耳=6 0。.(D 求证：(2)若平面A B C。，平面AB44,求二面角。一片。一8 的余弦值.1 9.(1 2 分)已知函数/(x)=x +a(l e*),a s R.(1)讨论/(x)的单调性；(2)当aNl时,证 明：./(x)-a l n a+a

6、 L2 0.(1 2 分)已知函数/(X)=0-%)0-2)0-尤 3)，x x X y&R,且玉 /七.(1)当芯=0，x2=,x,=2 时，求函数f(x)的减区间；2)求证：方 程/(x)=0 有两个不相等的实数根；(3)若方程/(x)=()的两个实数根是圆，(=玉+X?参考答案一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】D M 扇试题分析：抛物线丫2=2 内,(2 0)的准线为=一，双曲线的离心率为2,则 e 2=：=l +4=4,2 a a，=石，渐近线方程为y=gx,求出交点A(_ ,冬)=p1=,则

7、P =2 ；选 C2 4考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程;2.B【解析】由题意知0,2之A且4 e A,结合数轴即可求得a的取值范围.【详解】由题意知，8=0,2,则0,2q A,故a 2,又4至A,则a 4,所以2 0在区间(0,+oo)内的解集中有且仅有三个整数，转化为/(x)g(x)在区间(0,+)内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数。的取值范围.【详解】设函数/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2 x2,因为 g(x)=3 f 4x,所以 g(x)=0,-4.x=0 或 x=-,34因为 0 x 时，g(x)0,4或x 0,g(0)=g(2)=

8、0,其图象如下：当 心 0 时，/(x)g(x)至多一个整数根;/(3)g(3)当 a 0时，/(x)g(x)在(。,+8)内的解集中仅有三个整数，只 需 二 八1 7(4),g(4)33-2 x 32,a l n 5 43-2X42，故选：C.【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.7.D【解析】r 是 f的充分不必要条件”等价于“4 是P的充分不必要条件”，即q中变量取值的集合是p中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知：P：|X +1|2 可化简为 x|x l ,q-.xa,所以4中变量取值的集合是P中变量取值集合的真

9、子集，所以“21 .【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性，对是r 的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.8.A【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高 为 1.再由球与圆柱体积公式求解.【详解】由三视图还原原几何体如图,该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高 为1.则几何体的体积为V=i x 1 x f+xl2X l=y .故选：A.【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.D【解析】

10、根据题意，求得A M,B的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.【详解】由已知可知，M点为人片中点，K 为 B M 中点,故可得.年+xA=2XM=0,故可得/=c；代入椭圆方程可得=c2+与v2=1,解得y=hL2,不 妨 取 匕=b幺2，a b a a（b2故可得A点 的 坐 标 为c,k a）（h2（b2则M 0,易知8点坐标一2c,一,l 2a）I 2a J将3点坐标代入椭圆方程得=5C2,所 以 离 心 率 为 正，5故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得A,8,/点的坐标，属中档题.10.D【解析】由题可得A（0,4）,鸟（2,0）,所

11、以c=2,又|/3|=忸 国，所以2a=忸用+忸 用=|A闾=26，得。=石，故可得椭圆的方程.【详解】由题可得A（0,4）,6（2,0）,所以c=2,又|4 8|=忸 用，所以2a=忸 制+忸 闾=|A用=2逐，得a=,.=1,r2所以椭圆的方程为L +V=i.5-故 选:D【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.11.A【解析】先求出g（x）的解析式，再求出g（x-/力（70）的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数?满足的等式，从而可求其最小值.【详解】/3=本 包 向-（4#0）的图象向右平移；个单位长度，故g（九一根）=Asin2乃2x-2m-（JT乃、2 o 7As

12、in（2x刃,I 3）27r 7r 7 TT Kjr令2x-2m-=攵 乃+一,k e Z,解得x=/%+-F,k e Z 3 2 12 2因为y=g（x-m）为偶函数，故直线x=o为其图象的对称轴,A 7 攵 乃 八，“j 7 Z乃，r令2H-1-0 k e Z,故/=-9 k e Z,12 2 12 25因为m 0,故Z K-2,当4=一2时，/nmin=故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量X 做加减，比如把y =/(2 x)的图象向右平移1 个单位后，得到的图象对应的解析式为y =/2(x-l)=/(2 x-2),另外，如果x =m为

13、正弦型函数 x)=As i n(az x+e)图象的对称轴，则有/(m)=A,本题属于中档题.1 2.A【解析】分析函数y =/(x)的奇偶性，以及该函数在区间(0,)上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.【详解】令 s i n x#(),可得 x|x w Qr,A:eZ,即函数y =/(x)的定义域为wZ,定义域关于原点对称，cos(-x)COSX.(=一=一 力，则函数y=/(x)为奇函数，排 除 c、D 选项；s i n(一%)s i n xcosx当0 x 0 s i n x 0,贝!=-0 排除 B 选项.s i n x故选：A.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要

14、分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3.-2 0【解析】根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解.【详解】解：(1-3 x)(1+x)5=(1 +x)5-3 x(1 +X)、展 开 式 中 项 的 系 数：二项式(1 +x)5由 通 项 公 式=意产当 r =3 时，Y项的系数是c；=1 0,当 r=2时，一 项的系数是优=1(),故 的 系 数 为 C：-3 C；=-2 0；故答案为：-2()【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意分情况考虑，属于基础题.1 4.5

15、 5【解析】由题可得2 S1 =4(q+r)=2 q ,解得/=1,所以2 S“=,(+1),2 5+1=u+1(a+1+1),上述两式相减可得2 s“+-2 S.=4+1 =4,+i(4 用 +1)-4(4 +1),即(%+4)(a,向-4 -1)=。，因为40,所以4 用-4-1=(),即4+|-4,=1,所以数列伍“是以1 为首项，1 为公差的等差数列，1 QXO所以品)=1 0 x l +-二 x l =5 5.15.3【解析】由题意得/=-2,内=应，再 代 入|一 昨 加 一 杨 2=5/7-2 石+片中,计算即可得答案-【详解】由题意可得|。|=应，(2a+b)ct=ct-b+2

16、,a=a b+4a-b+4 =2 解得a d =-2,a-b=(a-h)2-yja-2a-b+b=J2 +4 +3 =3。故答案为：3.【点睛】本题考查向量模的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意向量数量积公式的运用.16.V2+1【解析】由点A 坐标可确定抛物线方程，由此得到户坐标和准线方程；过 P 作准线的垂线，垂足为N,根据抛物线定义可得网陷=加，可知当直线必与抛物线相切时，?取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得。点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.【详解】A（O,1）是 抛 物 线f =2py准线上的一点：.p=2，抛物

17、 线 方 程 为V=4 y /.F（O,1）,准 线 方 程 为y=-l过P作准线的垂线，垂 足 为N,贝ij|PN|=|P月-PF=mP四1=殴西一阿-设 直 线PA的倾斜角为a,贝ij sin a =?当，取得最小值时，sin a最 小，此 时 直 线 以 与 抛 物 线 相 切设 直 线Q 4的方程为 =五-1,代 入 炉=4）得：X2-4AX+4=0A=6k2-16=0 解 得：%=土1 .尸(2,1)或(2,1)双曲线的实轴长为|/刘一0同=2（忘T），焦 距 为|A尸|=2二双曲线的离心率=2+1故答案为：e+i【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应

18、用、双曲线定义的应用;关键是能够确定当?取得最小值时，直 线 与 抛 物 线 相 切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得P点坐标.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。717.（1）3052。+4夕飞抽2。=12（万（2）【解 析】(1)由已知，曲线。的参数方程消去,后，要注意X的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可;z.Q1)，、-r 3 1 3c o s-0.+4 s i n-d.3c o s 1 4 +(2)设 小 自，4),22，4+二 I，由(1)可得一r =-L 1 Ik z)P 12 Pl相加即可得到证明.【详解】+4 sir,+912-e

19、 (-1,11 x l,/.x2+y2=l(x -1),1 +r J*121 1 117-|。-4-+.|.0.臼.2 p -=-p2 居 12【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.18.(1)证明见解析(2)型35【解析】(1)取A B中点为。，连接。C,。&，AC,AB1，根据线段关系可证明A A B C为等边三角形，即可得AB_ LO C由题可知:m =2x0冗0=V%m2/7 72/=+=l(m -2),n 4 3耳C：3p2 c o s2 +4p2 s i n2 0=12(兀 9 =1,CD=6,ZADC=90,所以AC=2,故AA

20、BC为等边三角形，则ABJ_OC.连接 AB,因为 AB=BB=2,ZABB,=60,所以AAB4为等边三角形，则AB1O4.又。CPI。耳=。，所以平面。BC.因为与C u平面OBC，所以ABLgC.(2)由(1)知ABLOC,因为平面ABCD fl平面ABB14 =AB,OC u平面ABCD,所以平面A 8 8 4，以。为原点，。4，OB,OC为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,X易求OC=04=JL 则B(O,I,O),4(上,o,o),c(o,o,V 3)贝I J配=（0,-1，码，鸵=（-6,0,码，函=、7设平面B B 的法向量勺=（%,加4）,则M.的 的n,-B Q=0

21、,即二V i 4-,y 3/z1 =0,令 玉=1,则X =6广,4=1,。3玉 +y/3Z1 0,故 点=0,6,1).设平面B C。的法向量后=（%,为，Z 2），则-C D =0,2一 则.耳 C =0,2 yy 2-2 z -0Z2 U,-+=0,-令 工2二1，贝!I为=-9 Z2=1,故外3 J J所以c o s伍,展n-n27105马2Mt 及 由图可知，二面角。-。-B为钝二面角角,所以二面角D B C B的余弦值为运.35【点睛】本题考查线面垂直的判定，由线面垂直判定线线垂直，由空间向量法求平面与平面形成二面角的大小，属于中档题.19.（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）

22、求导得/（x）=l-ae,分类讨论“40和a 0,利用导数研究含参数的函数单调性;（2）根 据（1）中求得的/（X）的单调性，得出/（X）在x =-In a处取得最大值为/(-In a)=_ l n a +a(一=a-n a-,构造函数g(a)=a-l n a-l-a l n a +a ,利用导数，推出g（a）0,此时/(x)在 R上递增；当 a 0 时，由/(x)=O,解得x =-l n a,若 x w(8,-In a),则/(x)0,若 x e(-l n a,+8),/(x)0,此时/(x)在(f,-In a)递增，在(-In a,”)上递减.(2)由(1)知“X)在 x =In a 处取

23、得最大值为：/(-In a)=-l n a +6/|1 -|=a-l n a-l,设 g(a)=a-l n a-l-a l n a +a ,贝！j g a)=l-In a,令(a)=1工-l n a ,则”(a)=4-0,a a a贝 I (a)在 L+单调递减，二h 0 W及=0,即 g a)0,则 g(a)在 1,位)单调递减g(a)g(l)=l，/./(In a)a l n a +a41,/./(x)a l n a+a%3=2 时,/(%)=%(%-1)(%-2)=%3 -3 炉+2 认/(%)=3 炉 6 x+2,由 f (%)V。得了。)减区间(1 一 走,1 +3)(2)因为/(X

24、)=+X 2 +%3)*2+(X 1%2 +X 2%3 +工3尤1)%一 工1工2 1 3，所以fx)=3 X2.2a+X2+X3)X +(X jX2+%2元3+9)，因为 =2(%j-X2)2+(%-X 3)2 +(%-玉 力 0所以，方程r(x)=o 有两个不相等的实数根；(3)因为尸(土！玉)=一 蛋 二 直 (),/(土 出)=_(/一/)一0,所以2 4 2 4x.+x9 X,+M Ca -B2 2试题解析：(1)当王=0，尢 2=1，=2时，f(x)=x(x-l)(x-2)=x3-3 x2 4-2 x,/z(x)=3 x2-6 x+2,由/(x)0,x x2x39所以，方 程/(x

25、)=0 有两个不相等的实数根；法 2：/(X)=(X )(x -工2)+(X 工2)(X *3)+(X 3)(X ，ff(x2)=(%2 4)(%2 一 不)0，/(X)是开口向上的二次函数，所以，方 程/(%)=。有两个不相等的实数根；(3)因为/_()2 0，,产+%)=一 -=)一 0 ,2 4又/在(-O O,a)和(尸,+0 0)增，f(x)在(a,Z 7)减，所以。五士强立 口 广.2 2考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系21.上 1 0 0 元,8 0 元第一种抽奖方案.【解析】（1）方案一中每一次摸到红球的概率为=果=g，每名顾客有放回的抽3次 获 1 8 0

26、元返金券的概率为C；g =g根据相互独立事件的概率可知两顾客都获得1 8 0 元返金券的概率（2）分别计算方案一，方案二顾客获返金卷的期望，方案一列出分布列计算即可，方案二根据二项分布计算期望即可根据得出结论.【详解】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为。=2=g设“每位顾客获得1 8 0 元返金券”为事件A,则=，所以两位顾客均获得1 8 0 元返金券的概率P =尸（A）P（A）=/1 2（2）若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为彳，每一次摸到白球的概率为彳.3 3设获得返金券金额为X元，则 X可能的取值为6 0,1 0 0,1 40,1 8 0.贝！|P（X=60）=C#;P（

27、X=1 0 0）=C；49P（X=1 40）=G229P（X=1 8 0）=C/-1 JA3 i所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金券金额的数学期望为X 4 2 1E（X）=6 0 x +1 0 0 x-+1 40 x-+1 8 0 x =1 0 0 （元）,2 7 9 9 2 7若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为y,最终获得返金券的金额为Z元，则 丫 8（3,；故 E）=3 x g =l所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金券金额的数学期望为（Z）=（8 0 Y）=8 0 （元）.即七（X）E（Z）,所以该超市应选择第一种抽奖方案【点睛】本题主要考查了古典概型，相互独立事件的概

28、率，二项分布，期望，及概率知识在实际问题中的应用，属于中档题.2 2.(1)减区间是增区间是(2)fo,-证明见解析.I e j l e J e j【解析】(1)当。=-6时，求得函数f(x)的导函数f(x)以及二阶导函数/(X),由 此 求 得 的 单 调 区 间.(2)令/(x)=0求得.=构造函数g(x)=(，利用导数求得g(x)的单调区间、极值和最值，结合八工)有两个极值点，求得。的取值范围.将对马代入/(力=枢-依列方程组，由m(、+)阳+%2【详解】(1),f1x)=lnx-ax=lnx+ex9又.n x)=(+e0,所 以,(x)在(0,+8)单增,(1 从而当x e 0,-时，

29、/(x)4=,令g(x)=，则 g (x)X1-l n x故g(x)在(o,e)递增，在(e,+0 0)递减，所以g(x)a=g(e)=J注意到当1时g(x)，所以当。0时，/(x)有一个极值点，当0a In x2-o r2=0不 妨 设X%，得1 玉V e /，小(王+工2)l n x7 l n(%+%2)所 以 a玉+x2 x2 xx+x2/、l n(x,x2)X i n%)+l n x2=a(x+x,)n a=-xx+x2In ()I ng)rf*、人j人2 /人 42X,+x2 x,+x2【点 睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.