河北大学信号与线性系统分析第五章.ppt

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1、5.1 拉普拉斯变换5.2 拉普拉斯变换的性质5.3 拉普拉斯变换逆变换5.4 复频域分析第五章 连续系统的s域分析 频域分析频域分析以以虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅立叶变换，如）有些重要信号不存在傅立叶变换，如e2t(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一章将通过把频域中的傅立叶变换推广到复频在这一章

2、将通过把频域中的傅立叶变换推广到复频域来解决这些问题。域来解决这些问题。本章引入本章引入复频率复频率 s=+j,以复指数函数以复指数函数est为基本为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是和。这里用于系统分析的独立变量是复频率复频率 s，故称，故称为为s域分析域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。5.1 拉普拉斯变换一、从傅立叶到拉普拉斯变换一、从傅立叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅立叶变换困难。有些函数不满足绝对可积条件，求解傅立叶变换困难。为此，可用

3、一为此，可用一衰减因子衰减因子e-t(为实常数）乘以信号为实常数）乘以信号f(t)，适当选取适当选取 的值，使乘积信号的值，使乘积信号f(t)e-t当当t时信号幅时信号幅度趋近于度趋近于0，从而使，从而使f(t)e-t的傅立叶变换存在。的傅立叶变换存在。相应的傅立叶逆变换相应的傅立叶逆变换 为为f(t)e-t=Fb(+j)=f(t)e-t=令令s=+j,d=ds/j，有有双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。的双边拉氏逆变换（或原函数）。二、收敛域二、收敛域 只有选择适当的只有

4、选择适当的 值才能使积分收敛，信号值才能使积分收敛，信号f(t)的双的双边拉普拉斯变换存在。边拉普拉斯变换存在。使使 f(t)拉氏变换存在拉氏变换存在 的取值范围称为的取值范围称为Fb(s)的的收敛域。收敛域。下面举例说明下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。收敛域的问题。例例1 因果信号因果信号f1(t)=e t (t)，求其拉普拉斯变换。求其拉普拉斯变换。解解 可见，对于因果信号，仅当可见，对于因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存时，其拉氏变换存在。在。收敛域如图所示。收敛域如图所示。收敛域收敛域收敛边界收敛边界例例2 反因果信号反因果信号f2(t)=e t(-t)，求其拉普拉斯变换。求其

5、拉普拉斯变换。解解 可见，对于反因果信号，仅当可见，对于反因果信号，仅当Res=时，其收敛域时，其收敛域为为 Res 2Res=3 3 2可见，象函数相同，但收敛域不同。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必双边拉氏变换必须标出收敛域。须标出收敛域。通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，时刻为坐标原点。这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。三、单边拉氏变换三、单边拉氏变换 简记为简记为F(s)=f(t)f(t)=-1F(s)或或 f(t)F(s)（1）正变换的积分下限用）正

6、变换的积分下限用 0-的目的是：把的目的是：把 t=0 时时出现的冲激包含进去。这样，利用拉氏变换求解微分方出现的冲激包含进去。这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用已知的初始状态程时，可以直接引用已知的初始状态 f(0-)。（2）反变换的积分限并不改变。）反变换的积分限并不改变。讨论单边拉氏变换需要注意的：讨论单边拉氏变换需要注意的：（3）f(t)的单边拉氏变换和的单边拉氏变换和 f(t)(t)的双边拉氏变的双边拉氏变换是一样的。或者换是一样的。或者f(t)的单边拉氏变换和的单边拉氏变换和 f(t)(t)的单边拉氏变换是一样的。的单边拉氏变换是一样的。（4）信号）信号f(t)与其单边

7、拉氏变换与其单边拉氏变换F(s)是一一对应的。是一一对应的。单边拉氏变换收敛域不再强调单边拉氏变换收敛域不再强调。四、常见函数的拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换性质一、线性性质一、线性性质若若f1(t)F1(s)Res 1,f2(t)F2(s)Res 2则则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)Resmax(1,2)例例f(t)=(t)+(t)1+1/s，0 二、尺度变换二、尺度变换若若f(t)F(s),Res 0，且有实数且有实数a0，则则f(at)Resa 0 例：如图信号例：如图信号f(t)的拉氏变换的拉氏变换求图中信号求图中信号y(t

8、)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)。解：解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=42 F(2s)三、时移（延时）特性三、时移（延时）特性 若若f(t)F(s),Res 0,且有实常数且有实常数t00,则则f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s),Res 0 与尺度变换相结合与尺度变换相结合 f(at-t0)(at-t0)例例1:求如图信号的单边拉氏变换。求如图信号的单边拉氏变换。解：解：f1(t)=(t)(t-1)，f2(t)=(t+1)(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)若若f(t)为因果信号，则为因果信号，则f(t-t0)e-st0F(s)例例2:已知已知f1(t)F1(s),求求

9、f2(t)F2(s)解：解：f2(t)=f1(0.5t)f1 0.5(t-2)f1(0.5t)2F1(2s)f1 0.5(t-2)2F1(2s)e-2sf2(t)2F1(2s)(1 e-2s)利用时移性可以求单边周期信号的拉氏变换利用时移性可以求单边周期信号的拉氏变换设设 f1(t)表示第一个周期的函数，则表示第一个周期的函数，则 周期信号的拉氏变换等于它第一个周期波形的拉氏周期信号的拉氏变换等于它第一个周期波形的拉氏变换变换F1(s)乘以因子乘以因子四、复频移（四、复频移（s s域平移）特性域平移）特性 若若f(t)F(s),Res 0 ,且有复常数且有复常数sa=a+j a,则则 f(t)

10、esat F(s-sa),Res 0+a 例例:已知因果信号已知因果信号f(t)的象函数的象函数F(s)=求求e-tf(3t-2)的象函数。的象函数。解：解：五、时域的微分特性（微分定理）五、时域的微分特性（微分定理）若若f(t)F(s),Res 0,则则f(t)sF(s)f(0-)f(t)s2F(s)sf(0-)f(0-)f(n)(t)snF(s)若若f(t)为因果信号，则为因果信号，则f(n)(t)snF(s)例例求求f1(t)和和f2(t)的单边拉氏变换。的单边拉氏变换。故根据线性得故根据线性得 若应用时域微分性质求解，则有若应用时域微分性质求解，则有(1)求求f1(t)的单边拉氏变换。

11、由于的单边拉氏变换。由于 解解 (2)求求f2(t)的单边拉氏变换。由于的单边拉氏变换。由于 因此得因此得 六、时域积分特性（积分定理）六、时域积分特性（积分定理）若若f(t)F(s),Res 0,则则 若若f(-n)(t)表示从表示从-到到 t 对对f(t)的的n重积分，则有重积分，则有 例例1:已知因果信号已知因果信号f(t)如图如图,求求F(s)解解：对：对f(t)求导得求导得f(t)，如图如图由于由于f(t)为因果信号，故为因果信号，故f(0-)=0f(t)=(t)(t 2)(t 2)F1(s)结论：若结论：若f(t)为因果信号，已知为因果信号，已知f(n)(t)Fn(s)则则 f(t

12、)Fn(s)/sn七、卷积定理七、卷积定理 时域卷积定理时域卷积定理 若因果函数若因果函数 f1(t)F1(s),Res 1 ,f2(t)F2(s),Res 2则则 f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s)复频域（复频域（s域）卷积定理（很少用）域）卷积定理（很少用）例：已知例：已知F(s)=八、八、s域微分和积分域微分和积分 若若f(t)F(s),Res 0,则则 例例1：t2e-2t(t)?e-2t(t)1/(s+2)t2e-2t(t)例例2：九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f(），），而

13、不必求出原函数而不必求出原函数f(t)初值定理初值定理设函数设函数f(t)不含不含(t)及其各阶导数（即及其各阶导数（即F(s)为真分式，为真分式，若若F(s)为假分式化为真分式），为假分式化为真分式），则则 终值定理终值定理 若若f(t)当当t 时存在，并且时存在，并且 f(t)F(s),Res 0,00，则则 例例1：例例2：5.3 拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。复变函数积分，比较困难。通常的方法通常的方法（1）查表）查表 （2）利用性质）利用性质 （3）部分分式展开部分分式展开 -结合结合 若象函数若象函数F(s)是是s的有理分式，可

14、写为的有理分式，可写为 若若mn（假分式）假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理分解为有理多项式多项式P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。由于由于L-11=(t)，L-1sn=(n)(t)，故多项式故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。下面主要讨论有理真分式的情形。部分分式展开法部分分式展开法若若F(s)是是s的实系数有理真分式（的实系数有理真分式（mn)，则可写为则可写为 式中式中A(s)称为称为F(s)的的特征多项式特征多项式，方程，方程A(s)=0称为称为特特征方程征方程，它

15、的根称为，它的根称为特征根特征根，也称为，也称为F(s)的的固有频率固有频率（或自然频率）。（或自然频率）。n个特征根个特征根pi称为称为F(s)的的极点极点。（1）F(s)为单极点（单根）为单极点（单根）例例1:例例2:特例特例：若：若F(s)包含共轭复根时包含共轭复根时(p1,2=j)K2=K1*由复频移和线性性质得由复频移和线性性质得F1(s)的原函数为的原函数为 对对于于F(s)的的一一对对共共轭轭复复极极点点s1=-+j和和s2=-j，只只需需要要计计算算出出系系数数K1=|K1|ej(与与s1对对应应)，然然后后把把|K1|、代代入入上上式式，就可得到这一对就可得到这一对共轭复极点

16、对应的部分分式的原函数。共轭复极点对应的部分分式的原函数。例例3：求象函数求象函数F(s)的原函数的原函数f(t)。解：解：A(s)=0有有6个单根，它们分别是个单根，它们分别是s1=0，s2=1，s3,4=j1，s5,6=1 j1，故故 K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=1 K3=(s j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(/2),K4=K3*=(1/2)e-j(/2)K5=(s+1 j)F(s)|s=-1+j=K6=K5*（2）F(s)有重极点（重根）有重极点（重根）若若A(s)=0在在s=p1处有处有r重根，重根，K11=(s p1)rF(s)|s

17、=p1，K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1 例例:5.4 复频域系统分析 拉拉氏氏变变换换是是分分析析线线性性连连续续系系统统的的有有力力数数学学工工具具，它它将将描描述述系系统统的的时时域域微微积积分分方方程程变变换换为为s域域的的代代数数方方程程，便便于于运运算算和和求求解解；同同时时它它将将系系统统的的初初始始状状态态自自然然地地包包含含于于象象函函数数方方程程中中，既既可可分分别别求求得得零零输输入入响响应应、零零状状态态响响应应，也也可可一一举举求求得得系系统统的的全全响响应应。本节讨论拉氏变换用于本节讨论拉氏变换用于LTI系统分析的一些问题。系统分析的一些问题。设

18、二阶连续系统的微分方程为设二阶连续系统的微分方程为 式式中中，a0、a1和和b0、b1、b2为为实实常常数数；f(t)为为因因果果信信号号，因因此此，f(0-)、f(0-)均均为为零零。设设初初始始时时刻刻t0=0,y(t)的的单单边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换为为Y(s)，对对上上式式两两端端取取单单边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换，根根据据时时域域微微分分性性质质，得得一、微分方程的变换解一、微分方程的变换解 分别令分别令 只只与与初初始始值值y(0-)，y(0-)有有关关，与与系系统统输输入入无无关关，因此是因此是系统零输入响应系统零输入响应yx(t)的单边拉氏变换的单边拉氏变换。只与系统输入

19、有关，而与初始值只与系统输入有关，而与初始值y(0-)，y(0-)无无关，因此是关，因此是系统零状态响应系统零状态响应yf(t)的单边拉氏变换的单边拉氏变换。A(s)称称为为系系统统的的特特征征多多项项式式，A(s)=0称称为为系系统统的的特特征征方方程程，A(s)=0的根称为特征根。的根称为特征根。对对上上式式取取单单边边拉拉普普拉拉斯斯逆逆变变换换，就就得得到到系系统统的的完完全全响响应应y(t)、零输入响应零输入响应yx(t)和零状态响应和零状态响应yf(t)，即即 例例1 描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+6 f(t)已知

20、初始状态已知初始状态y(0-)=1，y(0-)=-1，激励激励f(t)=5cost(t)，求系统的全响应，求系统的全响应y(t)解解：方程取拉氏变换，并整理得方程取拉氏变换，并整理得Yx(s)Yf(s)若若已知已知y(0-)=1，y(0-)=-1y(t)=2e2t (t)e3t (t)-4e2t (t)+yx(t)yf(t)暂态分量暂态分量yt(t)稳态分量稳态分量ys(t)二、系统函数二、系统函数 系统函数系统函数H(s)定义为定义为 它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。状态无关。yf(t)=h(t)*f(t)H(s)=L h

21、(t)Yf(s)=L h(t)F(s)例例2 已知当输入已知当输入f(t)=e-t(t)时，某时，某LTI因果系统的因果系统的零状态响应零状态响应 yf(t)=(3e-t -4e-2t +e-3t)(t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。解解h(t)=(4e-2t-2e-3t)(t)微分方程为微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t)s2Yf(s)+5sYf(s)+6Yf(s)=2sF(s)+8F(s)取逆变换取逆变换 yf(t)+5yf(t)+6yf(t)=2f(t)+8f(t)三、系统的三、系统的s域框图域框图 时

22、域框图基本单元时域框图基本单元f(t)af(t)y(t)=a f(t)s域框图基本单元域框图基本单元s1F(s)Y(s)=s1F(s)aF(s)Y(s)=a F(s)f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)+F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)+X(s)s-1X(s)s-2X(s)例例3 如图框图，列出其微分方程如图框图，列出其微分方程解解 画出画出s域框图域框图,s-1s-1F(s)Y(s)设左边加法器输出为设左边加法器输出为X(s)，如图如图X(s)=F(s)3s-1X(s)2s-2X(s)s域的代数方程域的代数方程Y(s)=X(s)+4s-2X(s)微分方程为微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)+4f(t)再求再求h(t)?四、电路的四、电路的s域模型域模型 对时域电路取拉氏变换对时域电路取拉氏变换 1、电阻、电阻 u(t)=R i(t)2、电感、电感 U(s)=sLIL(s)LiL(0-)U(s)=R I(s)元件元件的的s域域模型模型3、电容、电容 I(s)=sCUC(s)CuC(0-)4、KCL、KVL方程方程