行列式中行与列具有同等的地位.ppt

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1、第第 一章一章 行列式行列式 行列式中行与列具有同等的地位，行列式的行列式中行与列具有同等的地位，行列式的 性性 质凡是对行成立的对列也同样成立质凡是对行成立的对列也同样成立.计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：行列式的行列式的6个性质：个性质：(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式利用性质把行列式化为上三角形行列式知识回顾：知识回顾：知识回顾：知识回顾：第第 一章一章 行列式行列式实例分析实例分析计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：利用运算利用运算 把行列把行列式化为式化为上三角形行列式上三角形行列式，从而算得行列式的值，从而算得行列式的值例例1（具体过程请

2、参考上节课件）（具体过程请参考上节课件）第第 一章一章 行列式行列式行列式计算的特点行列式计算的特点：（2 2）运算过程中既可对运算过程中既可对行行运算也可以对运算也可以对列列运算运算（1 1）是是整行（列）进行运算，计算过程用整行（列）进行运算，计算过程用“=”（3 3）可同时进行几种运算，但）可同时进行几种运算，但运算次序不可随意颠倒运算次序不可随意颠倒（参看书（参看书P13-14P13-14）（4 4）计算时注意看清行列式的）计算时注意看清行列式的阶数阶数。第第 一章一章 行列式行列式（1）（2）练习：计算下列行列式练习：计算下列行列式（提示提示：）提示：提示：（所有行都减最后一行）（所

3、有行都减最后一行）第第 一章一章 行列式行列式引例引例（P14 P14 例例1010）证明证明第第 一章一章 行列式行列式例如：例如：降阶？降阶？第第 一章一章 行列式行列式余子式与代数余子式余子式与代数余子式 6 6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开例题分析例题分析行列式按行行列式按行(列列)展开法则展开法则第第 一章一章 行列式行列式第第 一章一章 行列式行列式 在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行行和第和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做阶行列式叫做元素元素 的的余子式余子式，记作，记作aaaa444342413433323124232

4、22114131211aaaaaaaaaaaaD=例例 计算计算 的余子式的余子式一、一、余子式余子式第第 一章一章 行列式行列式二、二、代数余子式代数余子式44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD=例例 计算计算 的代数余子式的代数余子式叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式第第 一章一章 行列式行列式 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式代数余子式第第 一章一章 行列式行列式引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 元元 外都

5、为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即与它的代数余子式的乘积，即 第第 一章一章 行列式行列式三、三、行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或或第第 一章一章 行列式行列式Proof：第第 一章一章 行列式行列式 解解 选一行（或列）具有较多的选一行（或列）具有较多的0元素的展开式，元素的展开式，按第三行展开，得按第三行展开，得(技巧是：按技巧是：按0 0较多的行或列展开降阶较多的行或列展开降阶)例例1 计

6、算行列式计算行列式第第 一章一章 行列式行列式解解例例2计算计算第第 一章一章 行列式行列式 计算计算n阶行列式阶行列式P28 7(6)（提示提示：）第第 一章一章 行列式行列式(书书P18P18例例12)12)范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式第第 一章一章 行列式行列式例例5利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算第第 一章一章 行列式行列式相相同同第第 一章一章 行列式行列式推论推论 行列式的行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素与与另一行另一行(列列)的对的对应元素的代数余子式应元素的代数余子式乘积之和为乘积之和为0 0。第第 一章一章 行列式行列式代数余子式的重

7、要性质（代数余子式的重要性质（P20）第第 一章一章 行列式行列式例例13(P21):使用推论的证明技巧使用推论的证明技巧Solution 第第 一章一章 行列式行列式 2.2.行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具的计算化为低阶行列式计算的重要工具；四、小结四、小结 1.1.区别余子式和代数余子式，并注意其计算；区别余子式和代数余子式，并注意其计算；3.3.注意注意范德蒙行列式范德蒙行列式的的形式形式与与计算结果计算结果，利，利用范德蒙行列式计算；用范德蒙行列式计算；4.4.代数余子式的重要性质：代数余子式的重要性质：第

8、第 一章一章 行列式行列式7/18/2023 关于齐次线性方程组的结论关于齐次线性方程组的结论7 7 克拉默克拉默(Cramer)法则法则 克拉默法则克拉默法则 克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值第第 一章一章 行列式行列式一、克拉默法则一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组的的系数行列式不等于零系数行列式不等于零，即即proof(see p 52)第第 一章一章 行列式行列式其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的

9、，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为第第 一章一章 行列式行列式7/18/2023(1)1)个方程个方程,个未知数个未知数 的线性方程组的线性方程组:注：注：克拉默克拉默(Cramer)Cramer)法则的法则的使用前提使用前提：(2)(2)系数行列式不等于系数行列式不等于0:0:第第 一章一章 行列式行列式例例1 用克拉默则解方程组（用克拉默则解方程组（p22 例例14）6741212060311512-=D第第 一章一章 行列式行列式定理定理44 如果上述线性方程组如果上述线性方程组无解无解或或有两个以上有两个以上不同的解不同的解，则它的，则它的系数行列式必为零系数行列式必为零.二

10、、二、克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值定理定理4 4第第 一章一章 行列式行列式设线性方程组设线性方程组则称此方程组为则称此方程组为 非齐次线性方程组非齐次线性方程组;此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.三、非齐次与齐次线性方程组的概念三、非齐次与齐次线性方程组的概念第第 一章一章 行列式行列式定理定理5定理定理5 注：注：齐次方程组一定有零解，但不一定有非零解。齐次方程组一定有零解，但不一定有非零解。第第 一章一章 行列式行列式例例3 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？该齐次方程组有非零解，则该齐次方程组有非零解，则所以所以 或或

11、 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.第第 一章一章 行列式行列式1.1.用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导.四、小结四、小结第第 一章一章 行列式行列式本章内容要点：本章内容要点：1 1、会求二阶、三阶行列式；计算逆序数；、会求二阶、三阶行列式；计算逆序数；2 2、掌握行列式的性质和行列

12、式的展开定理，、掌握行列式的性质和行列式的展开定理，会利用其进行会利用其进行n n阶行列式的计算。阶行列式的计算。3.3.区别余子式和代数余子式，并注意其计算；区别余子式和代数余子式，并注意其计算；4 4、注意克拉默法则解方程组的两个条件；及、注意克拉默法则解方程组的两个条件；及其掌握判断方程组解的结论其掌握判断方程组解的结论第第 一章一章 行列式行列式性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.性质性质2 2 互换行列式的两行（列），行列式变号互换行列式的两行（列），行列式变号.推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列如果行列式有两行（列）完全相同，则此行

13、列式为零式为零.性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘行列式的某一行（列）中所有的元素都乘 以同一数以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零第第 一章一章 行列式行列式性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.例如第例如第 列的元素为两数之和：列的元素为两数之和：性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式的列式的值不变值不变第第 一章一章 行列式行列式证明：采用数学归纳法证明：采用数学归纳法()()假定对假定对 阶阶VandermondeVandermonde行列式，行列式，结论成立。结论成立。采用降阶的方法：采用降阶的方法：从第从第n行开始，后行减去前行开始，后行减去前行的行的x1倍，有倍，有第第 一章一章 行列式行列式