2019年甘肃省兰州市中考数学试题(含答案).pdf

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1、120192019 年兰州市中考试题年兰州市中考试题数学数学注意事项：注意事项：1.1.全卷共全卷共 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟；分钟；2.2.考生必须将姓名、准考证号、座位号等个人信息填（涂）与在答题卡上；考生必须将姓名、准考证号、座位号等个人信息填（涂）与在答题卡上；3.3.考生务必将答案直接填（涂）与在答题卡的相应位置。考生务必将答案直接填（涂）与在答题卡的相应位置。一、选择题（本大题一、选择题（本大题 1212 个小题，每小题个小题，每小题 4 4 分，共分，共 4848 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项）1.2019 的相反数是（

2、）A.20191B.2019C.2019D.201912.如图，直线 a,b 被直线 c 所截，ab,1800，则2（）A.1300.B.1200.C.1100.D.1000.3.计算：123（）A.3.B.23.C.3.D.43.4.剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）5.x1 是关于的一元二次方程x2+ax+2b0 的解，则 2a+4b（）A.2.B.3.C.4.D.6.第 2 题图26.如图，四边形 ABCD 内接于O，若A400，则C（）A.1100.B.1200.C.1350.D.1400.7.化简：12112aaa（）A.a1

3、.B.a+1.C.11aa.D.11a.8.已知ABCABC,AB8，AB6，则CBBC（）A.2.B.34.C.3.D.916.9.九章算术是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为 x 斤，一只燕的重量为 y斤，则可列方程为（）A.xyyxyx65165B.xyyxyx65156C.xyyxyx54165D.xyyxyx5415610.如图，平面直角坐标系 xoy 中，将四边形 ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形 A1B1C1D1，已知 A（3，5），B（4，3），A1（3，

4、3）.则点 B1坐标为（）A.（1，2）B.（2，1）C.（1，4）D.（4，1）311.已知,点 A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y（x+1）2+2 上，则下列结论正确的是（）A.2y1y2B.2 y2y1C.y1y22D.y2y1212.如图，边长为2的正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，将正方形 ABCD 沿直线 DF 折叠，点 C 落在对角线 BD 上的点 E 处，折痕 DF 交 AC 于点 M,则 DM（）A.21B.22C.31D.21二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分）分）1

5、3.因式分解：a3+2a2+a_.【14.在ABC 中，ABAC,A400，则B_.15.如图，矩形 OABC 的顶点 B 在反比例函数yxk（x0）的图象上，S矩形 OABC6，则k_.16.如图，矩形 ABCD,BAC600.以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交 AB、AC 于点 M、N 两点，再分别以点 M、N 为圆心，以大于21MN 的长为半径作弧交于点 P,作射线 AP 交 BC 于点 E，若 BE1，则矩形 ABCD 的面积等于_第 15 题图4三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 1212 小题，满分小题，满分 8686 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6、）分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题 5 分）计算：|2|（3+1）0+（2）2tan450.18.(本题 5 分)化简：a(12a)+2(a+1)(a1)19.（本题 5 分）解不等式组：131512xxxx20.（本题 6 分）如图，ABDE,BFEC.BE.求证：ACDF.21.（本题 6 分）2019 年 5 月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强-国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用 A1,A2,A3,A4表

7、示）;第二环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用 B1,B2,B3表示）.（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能的结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.22.（本题 7 分）如图，AC8,分别以 A、C 为圆心，以长度 5 为半径作弧，两弧分别相交于点 B 和 D，依次连接 A、B、C、D，连接 BD 交 AC 于点 O.（1）判断四边形 ABCD 的形状并说明理由；第 20 题图5（2）求 BD 的长.23.（本题 7 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，反比例函数 yxk（k0）的图象，过等边BOC 的顶点

8、 B，OC2,点 A 在反比例函数图象上，连接 AC、AO.（1）求反比例函数 yxk（k0）的表达式；（2）若四边形 ACBO 的面积是 33，求点 A 的坐标.24.（本题 7 分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级 1 班和 2 班本门课程的期末成绩进行了调查分析.小佳对八年级 1 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，过程如下：分数段班级60 x7070 x8080 x9090 xy1y2B.2 y2y1C.y1y22D.y2y12【答案】A【考点】二次函数顶点式以及二次函数的性质.【考察能力】空间想象能力，运算求解能力.【难度】较难【解析】根据二次函数顶点

9、式得到函数的开口向下，对称轴为直线x1，顶点坐标（1，2），根据函数增减性可以得到，当x1 时，y随x的增大而减小.因为11y1y2.故选 A.12.如图，边长为2的正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，将正方形 ABCD 沿直线 DF 折叠，点 C 落在对角线 BD 上的点 E 处，折痕 DF 交 AC 于点 M,则 DM（）A.21B.22C.31D.21【答案】D【考点】正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质.【考察能力】空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.【难度】较难【解析】过点 M 作 MPCD 垂足为 P，过点 O 作 OQCD 垂

10、足为 Q，正方形的边长为2，13OD1,OC1,OQDQ22,由折叠可知，EDFCDF.又ACBD,OMPM,设 OMPMxOQCD，MPCDOQCMPC900，PCMQCO,CMPCOQOQMPCOCM,即1122xx，解得x21OMPM21.故选 D.二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分）分）13.因式分解：a3+2a2+a_.【答案】a（a+1）2【考点】因式分解.【考察能力】运算求解能力.【难度】简单【解析】a3+2a2+aa（a2+2a+1）a（a+1）2.14.在ABC 中，ABAC,A400，则B_.【

11、答案】700【考点】等腰三角形性质.【考察能力】空间想象能力.【难度】容易【解析】ABAC,A400，BC700.15.如图，矩形 OABC 的顶点 B 在反比例函数yxk（x0）的图象上，S矩形 OABC6，则k_.14【答案】6【考点】k 的几何意义.【考察能力】数形结合.【难度】简单【解析】|k|S矩形 OABC6，图象在第一象限，k0，k6.16.如图，矩形 ABCD,BAC600.以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交 AB、AC 于点 M、N 两点，再分别以点 M、N 为圆心，以大于21MN 的长为半径作弧交于点 P,作射线 AP 交 BC 于点 E，若 BE1，则矩形 ABC

12、D 的面积等于_.【答案】33【考点】尺规作图，矩形的性质.【考察能力】基础运算能力，空间想象能力，推理论证能力.【难度】难.【解析】由题可知 AP 是BAC 的角平分线BAC600BAEEAC300AE2 BE2.AB3AEB600又AEBEAC+ECAEACECA300AEEC2BC3S矩形 ABCD33三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 1212 小题，满分小题，满分 8686 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题 5 分）第 15 题图第 16 题图15计算：|2|（3+1）0+（2）2tan450.【答

13、案】4【考点】实数的计算.【考察能力】运算求解能力.【难度】简单.【解析】解：原式21+414.18.(本题 5 分)化简：a(12a)+2(a+1)(a1)【答案】a2【考点】代数式的化简.【考察能力】运算求解能力.【难度】简单.【解析】解：a(12a)+2(a+1)(a1)a2a2+2a22a2.19.（本题 5 分）解不等式组：131512xxxx【答案】2x6【考点】不等式组的解法.【考察能力】计算能力.【难度】中等.【解析】解：131512xxxx由得：x2所以原不等式组的解集为：2x6.1620.（本题 6 分）如图，ABDE,BFEC.BE.求证：ACDF.【答案】ACDF.【考

14、点】三角形的全等.【考察能力】推理论证能力.【难度】简单.【解析】证明：BFECBF+CFEC+CFBCEF在ABC与DEF中，EFBCEBDEABABCDEF(SAS)ACBEFDACDF.21.（本题 6 分）2019 年 5 月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强-国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用 A1,A2,A3,A4表示）;第二环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用 B1,B2,B3表示）.（1）请用树状图或列表的方法表示小明参

15、加总决赛抽取题目的所有可能的结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.【答案】解：（1）12 种（2）61.【考点】概率与统计.【考察能力】推理论证能力.【难度】简单.【解析】（1）解：二一B1B2B3A1A1B1A1B2A1B3A2A2B1A2B2A2B3A3A3B1A3B2A3B3第 20 题图17A4A4B1A4B2A4B3（2）小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的概率为：P(抽取题目都是成语题目)12261.22.（本题 7 分）如图，AC8,分别以 A、C 为圆心，以长度 5 为半径作弧，两弧分别相交于点 B 和 D，依次连接 A、B、C

16、、D，连接 BD 交 AC 于点 O.（1）判断四边形 ABCD 的形状并说明理由；（2）求 BD 的长.【答案】（1）菱形，（2）BD6【考点】菱形的判定，垂直平分线的应用.【考察能力】推理论证能力，运算求解能力.【难度】中等.【解析】证明：（1）由图可知，BD 垂直平分 AC，且 ABBCCDAD5,所以四边形 ABCD 是菱形.（2）AC8,BDAC且 BD 平分 AC，OAOC4在 RtAOB 中，OB22OAAB 2245 3,BD2 OB236BD 的长为 6.23.（本题 7 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，反比例函数 yxk（k0）的图象，过等边BOC 的顶点 B，OC

17、2,点 A 在反比例函数图象上，连接 AC、AO.（1）求反比例函数 yxk（k0）的表达式；（2）若四边形 ACBO 的面积是 33，求点 A 的坐标.第 22 题图18【答案】（1）yx3；（2）A（21，23）【考点】反比例函数解析式，不规则图形面积.【考察能力】运算求解能力，推理论证能力.【难度】中等.【解析】解：（1）OC2,OM1,BM3,点 B(1，3)，k(1)（3)3,yx3.（2）SACBO33，SACBOSAOC+SBOCSBOC43OC23,3+SAOC33，SAOC23.OC221OCAN23AN23设 A（t，23）23t3t21A（21，23）.24.（本题 7

18、分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级 1 班和 2 班本门课程的期末成绩进行了调查分析.小佳对八年级 1 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，过程如下：表一19分数段班级60 x7070 x8080 x9090 x100八年级 1 班75103小丽用同样的方式对八年级 2 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，数据如下：根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级 1 班学生的成绩处在 80 x90 这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85.根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由.【答案】

19、（1）80（2）八年级 1 班更为优异.【考点】统计，数据的集中程度和离散程度.【考察能力】运算求解能力，数据处理能力.【难度】中等.【解析】（1）（2）八年级 1 班更为优异.理由如下：可以从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，理由合理即可.25（本题 7 分）某数学课题研究小组针对兰州市住房“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究.过程如分数段班级平均数中位数众数极差方差八年级 1 班788536105.28分数段班级平均数中位数众数极差方差八年级 2 班75767344146.80分数段班级平均数中位数众数极差方差八年级 1 班78808536105.28表二表三表二20下：问题提出：如图

20、 1 是某住户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.方案设计：如图 2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直了墙面 AC 的遮阳篷 CD.数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线 DA 与遮阳篷 CD 的夹角ADC 最大（ADC77.440）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线 DB 与遮阳篷 CD 的夹角BDC 最小（BDC30.560）；窗户的高度 AB2m.问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷 CD 的长.（结果精确到 0.1m，参考数据：sin30.5600.51,cos3

21、0.5600.86,tan30.5600.59,Sin77.4400.98,cos77.4400.22,tan77.4404.49）.【答案】0.5m【考点】三角函数及其应用.【考察能力】运算求解能力，实际应用能力.【难度】中等【解析：在 RtBCD 中，BCD900，BDC30.560，tanBDCCDBC,BCCD tanBDC,在 RtACD 中，ACD900，ADC77.440，tanADCCDAC,ACCD tanADC,ACBCAB,CD tanADCCD tanBDC2即CD tan77.440CD tan30.5602（4.490.59）CD2CD0.5答：遮阳篷 CD 长为

22、0.5m.26.（本题 9 分）如图，在ABC 中，ABAC6cm,BC8cm,点 D 为 BC 的中点，BEDE.将BDE 绕点 D 顺时针旋转a度（00a830）.角的两边分别交直线 AB 于 M、N 两点.设 B、M 两点间的距离为xcm，M、N 两点间的距离为ycm.小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小涛的探究过程.请补充完整.21（1）列表：下表的已知数据是根据 B、M 两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.300.501.001.502.002.50383.003.503.683.813.903.

23、934.10y/cm2.882.812.692.672.803.153.855.246.016.717.277.418.87请你通过计算，补全表格.（2）描点、连线：在平面直角坐标系 xoy 中，描出表中各组数值所对应的点（x，y）.并画出函数y关于x的图象：（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势_.(4)解决问题：当 MN2BM 时，BM 的长度大约是_cm（保留两位小数）.【答案】（1）x/cm00.300.501.001.502.002.50383.003.503.683.813.903.934.10y/cm32.882.812.692.672.803.153103.8

24、55.246.016.717.277.418.87（2）图略（描点可得）（3）随着自变量x的不断增大，函数y呈现先减小再增大的趋势.（4）4 和 1.33【考点】函数图象性质，三角形相似.【考察能力】数据处理分析能力【难度】难【解析】（1）当x0 时，M 点与 N 点分别和 B 点 E 点重合MNBE3当x38时，假设 DN 交 CA 的延长线于点 HABAC,BC,又D 为 BC 的中点，BEDE.BEDB,ED 为 AC 边的中位线根据旋转性质BEDBCMDN,NDBH+C(外角性质)22NDBMDB+MDN,MDB+MDNH+CMDBH,BC,MDBDHCBDCHBMDC,4CH384,

25、CH6AC即 A 点与 H 点重合MN6BM310.(2)根据表格描点可得.（3）根据图象可得（4）MN2BM设 BMx，MN2x，EN3x3，AN63x，NDBH+C(外角性质)NDBMDB+MDN,MDB+MDNH+CMDBH,BC,MDBDHCBDCHBMDC,4CHx4,CHx16，HAHCACx166又HANDENEDAHNEAN,3616x3336xx,解得：x14，x2341.33答：BM 为 4 或 1.33.主要学习通过对下面数学模型的研究学习，解决第 27 题、第 28 题【模型呈现】如右图，在 RtABC 中，ACB900,将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 900得到

26、AD，过点 D 作 DEAC 于点 E，可以推理得到ABCDAE,进而得到 ACDE,BCAE.23我们把这个数学模型称为“K 型”推理过程如下：【模型应用】27.（本题 10 分）如图，RtABC 内接于O，ACB900,BC2.将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转一定角度得到 AD，过点 D 作 DEAC 于点 E，DAEABC,DE1,连接 DO 交O于点 F.（1）求证：AD 是O的切线；（2）连接 FC 交 AB 于点 G，连接 FB，求证：FG2GOGB.【答案】答案见解析【考点】三角形相似，圆切线证明.【考察能力】推理论证能力，运算求解能力【难度】较难【解析】（1）证明：DAEAB

27、C且ABC+CAB900,EAD+CAB900,DAB900,AO 为O的半径，AD 是O的切线.（2）证明：由（1）知DAB900,AC1，BC2AB5,由模型可知，AEDBCA,AD5,AO25,DO25,ADAEDOADAODE552,AEDDAOEADADOAEDO24ACFCFOABFFGOBGF,FGOBGFBGFGFGGOFG2GOGB.28.(本题 12 分)二次函数 yax2+bx+2 的图象交 x 轴于点 A（1，0），点 B（4，0）两点，交 y 轴于点 C.动点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，过点 M 作 MNx 轴交直线 BC 于

28、点 N，交抛物线于点 D，连接 AC，设运动的时间为 t 秒.（1）求二次函数 yax2+bx+2 的表达式；（2）连接 BD，当 t23时，求DNB 的面积；（3）在直线 MN 上存在一点 P，当PBC 是以BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点 D 的坐标；（4）当 t45时，在直线 MN 上存在一点 Q，使得AQC+QAC900,求点 Q 的坐标.【答案】（1）y21x2+23x+2（2）2（3）D（1，3）（4）Q（23，25）或 Q（23，25）【考点】二次函数的综合应用.【考察能力】运算求解能力、推理论证能力、空间想象能力.【难度】困难【解析】（1）将点 A（1，0），点 B（

29、4，0）代入 yax2+bx+2 中，得：0241602baba解得：2321ba所以，二次函数的表达式为：y21x2+23x+2（2）t23，AM3，又OA1,OM2,设 BC 的解析式为：ykx+b(k0),将点 C（0,2）、B（4，0）代入，得：25042bkb解得：221bk所以直线 BC 的解析式为：y21x+2将 x2 分别代入 y21x2+23x+2 和 y21x+2 中，得：D（2，3）、N（2，1）DN2,SDNB21222.(3)过点 P 作 x 轴的平行线，交 y 轴于点 E，过点 B 作 y 轴的平行线，交 EP 的延长线于点 F，设D（m，21m2+23m+2）、E（0，n）、P（m,n）、F（4，n），由题意得：PECBFP,PEBF,CEPFmnnm2411nm所以，点 D 的坐标为：（1，3）.（4）当 t45时，AM25,此时 M 点在二次函数的对称轴上，以 M 点为圆心，AM 长为半径作圆，交 MN 于 Q1、Q2两点，C（0，2），M（23，0）CM25R,C 点在该圆上ACB900,CAB+CBA900,CQ1ACAB,(同弧所对的圆周角)C Q1A+CBA900,C Q2A+CBA900,Q（23，25）或 Q（23，25）