平面解析几何（圆与方程）-五年（2018-2022）高考数学真题按知识点分类汇编.pdf

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1、五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编20-平面解析几何（圆与方程）（含解析）一、单选题1.（2 02 2 北京统考高考真题）若直线2 x+y-l=0 是圆（x-a）2+y 2=l的一条对称轴，则 a =（）A.B.C.1 D.1222.（2 02 1 北京统考高考真题）已知直线卜=履+，（机为常数）与圆x2+/=4交于点M,N,当 变化时，若 的 最 小 值 为 2,则/=A.1 B.y/2 C.y f i D.23.（2 02 0全国统考高考真题）若 过 点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2 x-y-3 =0 的距离为（）A75 n 2 y/5 0 3后 n 4 蓬

2、5 5 5 54.（2 02 0全国统考高考真题）若直线/与曲线尸五 和/+/=（都相切，则/的方程为（）A.y=2 x+B.y=2 x+-C.y=y x+1 D.x+y5.（2 02 0全国统考高考真题）已知。M：x2+y2-2 x-2 y-2 0,直线/：2 x +y +2 =0,P为/上的动点，过点P作。M 的切线尸4尸 8,切点为42,当1 P M i 孤例最小时，直线 的 方 程 为（）A.2 x-y-l=0 B.2 x +y-l=0 C.2 x-y +1-0 D.2 x +y +=06.（2 02 0全国统考高考真题）己知圆r+V-6 x =0,过 点（1,2）的直线被该圆所截得的

3、弦的长度的最小值为（）A.1 B.2C.3 D.47.（2 02 0北京统考高考真题）已知半径为1 的圆经过点（3,4）,则其圆心到原点的距离的最小值为（）.A.4 B.5 C.6 D.78.（2 02 0山东统考高考真题）已知圆心为（-2,1）的圆与了轴相切，则该圆的标准方程是（）A.(X+2)2+(J；-1)2=1B.(X+2)2+(J-1)2=4C.(X-2)2+(+1)2=1 D.(X-2)2+(J；+1)2=49.(2 01 8 全国高考真题)直线x +y +2 =0 分别与x 轴，轴交于A,8 两点，点 P 在圆(x-2 y+/=2 上，则48P面积的取值范围是A.2,6 B.4,

4、8 C.近，3 近 D.2 /2,3 72 1 0.(2 01 9 全国专题练习)圆(x +2)2+/=4 与圆(x-2)2 +3-l)2=9 的位置关系为A.内切 B.相交 C.外切 D.相离1 1.(2 01 8 北京高考真题)在平面直角坐标系中，记d为点P(c o s 6,s i n 6)到直线x 沙 2 =0 的距离，当。、，”变化时，d的最大值为A.1B.2C.3D.41 2.(2 008 全国高考真题)若直线土+斗=1 通过点(c o s a,s i n a),则a bA.d!2+ft2 1c-D.7V-1二、多选题1 3.(2 02 1 全国统考高考真题)已知点P在圆(x-5)2

5、+(y-5 =1 6上，点4(4,0)、8(0,2),则()A.点P到 直 线 的 距 离 小 于 1 0B.点P到直线为8的距离大于2C.当 N P 8/最小时，P B =3y/2D.当 N P 8/最 大 时,|P B|=3 V21 4.(2 02 卜全国统考高考真题)已知直线/:依+勿-=0 与圆。d 2+产=r 2,点/(4 向,则下列说法正确的是()A.若点Z在圆C上，则直线/与圆C相 切 B.若点Z在圆C内，则直线/与圆C相离C.若 点/在 圆 C外，则直线/与圆。相 离 D.若点N在直线/上，则直线/与圆C相切1 5.（2 02 0海南高考真题）已知曲线。:，泼+町？=（）A.若

6、加 0,则 C是椭圆，其焦点在y轴上B.若，片 0,则 C是圆，其半径为分C.若则C是双曲线，其渐近线方程为y =j xD.若?=0,n 0,则 C是两条直线三、填空题1 6.（2 02 2 全国统考高考真题）写出与圆x 2+/=i 和（x-3）2+（y-4）2=1 6都相切的一条直线的方程.1 7.（2 02 2 全国统考高考真题）过四点（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三点的一个圆的方程为.1 8.（2 02 2 全国统考高考真题）设点力（-2,3）,8（0,幻，若直线Z 8 关于丁 对称的直线与圆（x +3/+3+2 =1 有公共点，则。的 取 值 范 围 是.1 9.

7、（2 02 2 全国统考高考真题）若双曲线/-=（?0）的渐近线与圆t n炉+歹2-4 歹+3 =0相切,贝i jm=.2 0.（2 02 2 全国统考高考真题）设点M在直线2 x +y-l=0 上，点（3,0）和（0,1）均在OM上，则。M 的方程为.2 1.（2 02 2 天津统考高考真题）若直线x-y +m =0（阳 0）与圆（x-i y+（y-l）2=3 相交所得的弦长为?，则m =.2 2.（2 02 1 天津统考高考真题）若斜率为6的直线与N轴交于点A,与圆/+（y-l）2=l相切于点B,则|/同=.2 3.（2 02 0天津统考高考真题）已知直线x-岛+8 =0 和圆/+/=/2

8、（/0）相交于48两 点.若|N 8|=6,贝什的值为.2 4.（2 01 8 全国高考真题）直线y =x +l与圆x 2 +_/+2 y _ 3=0 交于N，8两点，贝I 如.2 5.（2 01 9 北京高考真题）设抛物线V=4 x 的焦点为凡 准线为/.则以尸为圆心，且与/相 切 的 圆 的 方 程 为.2 6.（2 01 8 江苏高考真题）在平面直角坐标系X。中，A为直线/：y =2 x 上在第一象限内的点，8（5,0）,以4 8 为直径的圆C与直线/交于另一点。.若 福 而=0,则点A的横坐标为.四、解答题2 7.（2 02 1 全国高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，

9、直线/：x =l交 C于尸，Q两点，且。尸，。0.已知点“（2,0）,且OM与/相切.（1）求 C,OM的方程；（2）设是c上的三个点，直线4 4,44均与OM 相切.判断直线44与的位置关系，并说明理由.2 8.（2 0 2 1 全国统考高考真题）在直角坐标系X/中，。的圆心为C（2,l）,半径为1.（1）写出。C的一个参数方程；（2）过点尸（4,1）作。C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.2 9.（2 0 2 1 全国统考高考真题）已知抛物线 9 =2 抄（。0）的焦点为尸，且尸与圆M -.X1+（y +4）2=1 上点的距离的最小值为4

10、.（1）求 P；（2）若点P在 M 上，尸 4PB是C的两条切线，48是切点，求AP/8面积的最大值.3 0.（2 0 1 8 全国高考真题）设抛物线G V=4x的焦点为尸，过了且斜率为k/0）的直线/与C交于8两点，MB|=8.（1）求/的方程；（2）求过点4,8且与C的准线相切的圆的方程.3 1.（2 0 1 8 全国高考真题）在直角坐标系x Q y 中，曲线G的方程为了=太卜|+2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G 的极坐标方程为p2+2 0 c o s 0-3 =O.（1）求 G 的直角坐标方程；（2）若G与G有且仅有三个公共点，求G的方程.3 2.（2 0 1

11、 8 全国高考真题）在平面直角坐标系X。中，。的 参,数 方 程x为=c二o s 0则,为 参 数）,过 点t 但-码l、且倾斜角为a的直线/与。交于4，8两点.（1）求a的取值范围；（2）求 中 点 P的轨迹的参数方程.3 3.（2 0 1 9 北京高考真题）已知抛物线C：*2=-2 勿 经 过 点（2,-1）.（I）求抛物线C的方程及其准线方程：（I I）设 O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线/交抛物线C于两点M,N,直线尸T分别交直线。M，ON于点A和点8.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.3 4.（2 0 1 8 江苏高考真题）在平面直角坐标系X。中，椭圆C过点（行

12、,；），焦点6（-百 0）,玛 诋 0）,圆。的直径为大鸟.（1）求椭圆C及圆。的方程；（2）设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点尸的坐标：直线/与椭圆C交于48两 点.若AO/8的面积为城，求直线/的方程.7五、双空题3 5.（2 0 2 0 浙江统考高考真题）设直线/：，=丘+方（后 0）与圆 2+_/=1 和圆（x 4）+y=1 均相切，贝!X =；b=.3 6.（2 0 1 9 浙江高考真题）已知圆C的圆心坐标是（0,加），半径长是L若直线2 x-y +3 =0 与圆相切于点4-2,-1）,则 =,r=参考答案：1.A【分析】若直线是圆的对称轴

13、，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解.【详解】由题可知圆心为（4,0）,因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2 0 +0-1 =0,解得a =.2故选：A.2.C【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出2【详解】由题可得圆心为（0,0）,半径为2,则圆心到直线的距离d =,则弦长为 MN=2 4,则当左=0 时，弦长脑V|取得最小值为2：版=2，解 得/=J L故选：C.3.B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为（4,a）M 0,可 得 圆 的 半 径 为 写出圆的标准方程，利用点（2,1）在圆上，求得实数。的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直

14、线2 x-y-3 =0 的距离.【详解】由于圆上的点（2,1）在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为（a,a）,则圆的半径为“，圆的标准方程为（x-炉 +（y-a）2 =0 2.由题意可得（2 -4 +（1-4=/,可得。2 -6。+5 =0,解得。=1 或a =5,所以圆心的坐标为（1,1）或（5,5）,|2 x l 1 3|2 y/5圆心（1.1）到直线2 V 3-0的距离均为4 =-忑-丁圆心（5,5）到直线2 v-V -3 -0的距离均为4|2 x 5-5-3|_ 2 4 5忑 一丁圆心到直线2 x-y-3 =0的距

15、离均为1=中=2叵；V 5 5所以，圆心到直线2 x-y-3 =0的距离为手.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4.D【分析】根据导数的几何意义设出直线/的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线/在曲线y =4上的切点为。,瓜），则%0,函数y =J 7的导数为了=）,则 直 线/的 斜 率 左=条,设 直 线/的 方 程 为 后=耳 北（一）,即 -2n+/=0,1 x j由 于 直 线/与 圆 相 切，则Jl+I=忑,两边平方并整理得5 x；-4%-1 =0,解得%=1,x0=-1 （舍），则直线/的方程

16、为x-2 y +l =0,即y =g x +；.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.5.D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点4 P,尻M共圆，且_L河尸，根据 卢卜|/邳=4 =4|尸/|可知|,当直线工/时，|尸叫|/邳最小，求 出 以M P为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线4 8的方程.【详解】圆的方程可化为(x-iy +(y-l)2=4 ,点 M 到直线/的距离为|2 x l+l +2 l r-d =l/,1=6 2,所以直线/与圆相离.V 22+l2依圆的知识可知，四点4尸四点共圆，且所以|P A/|

17、.|=4 S =4 x lx|P/l|x p M|=4|P/i|,而 P A =，lMP f-4 ,当直线M P I/时，|初儿山=,|p +y 2=2上圆 心 为（2,0）,则圆心到直线距离4=-=2-/2故点P到直线x+y+2=0 的距离4 的范围为 0,3&则，碑=-阳%=血&2,6故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.1 0.B【分析】试题分析：两圆的圆心距为J(2 +2)2+(l-0)2 =后,半径分别为2,3,.-.3-2 7 1 7 2 +3.所以两圆相交.故选B.考点：圆与圆的位置关系.II.C【分析】P为单位圆上一点，

18、而直线x-叼-2 =0 过点4(2,0),则根据几何意义得d的最大值为。+L【详解】Q 1,故选D1 3.A C D【分析】计算出圆心到直线48 的距离，可得出点尸到直线45的距离的取值范围，可判断A B 选项的正误；分析可知，当N P 8 N 最大或最小时，/8与圆M 相切，利用勾股定理可判断 CD选项的正误.【详解】圆(x-5)2+(y-5)2=1 6 的圆心为M(5,5),半径为4,直线，8 的 方 程 为 洛 川 即 x +2 I =。,圆心M到直线AB的距离为6：2X5_4|=?=*4,+2 2 V 5 5所以，点P 到直线48 的距离的最小值为上叵-4 2,最大值为“正+4 H，y

19、 la+h则直线/与圆C相离，故B正确；若点4(。,6)在圆C夕卜,则点+户所以d =则直线/与圆C相交，故C错误;若 点 在 直 线/上，贝 I。2 +一/=0 即。2 +=/，/2所 以 八 77主力,直线/与圆C相切，故 D正确.故选：ABD.1 5.A C D 分析 结合选项进行逐项分析求解，?0 时表示椭圆，m =n 0时表示圆，?0时表示两条直线.江+武=1【详解】对于A,若加 0,则加f +y 2 =可 化 为 1 1 ,m n因为根 0,所以m n即曲线C表示焦点在歹轴上的椭圆，故 A 正确；对于B,若 加=0,则7 n/+7 2y 2 =i 可化为f+二，n此时曲线C表示圆心

20、在原点，半 径为近的圆，故 B 不正确；nx2 y2,_ _ -1-1对于 C,若?0,贝 i j m f+町;2 =i 可化为=j _,ny =近,此时曲线C表示平行于x 轴的两条直线，故 D正确；n故选：AC D.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3 5 7 2 5 i,1 6.y =-x +-gc y =X-4 4 2 4 2 4【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】方法一:显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为x +如+c =0,4-35-3或24-725-7-于是白:1，当 竺 守=4.J1 +/Z

21、l +b2故C?=1 +/，1 3 +4b +c|=|4c|.于是 3 +46 +c=4c 或 3 +4/+c=-4 c ,伍=0再结合解得，或，c=l所 以直线方程有三条，分别为x +l =O,7 x-2 4y-2 5 =0,3 x +4y-5 =0.(填一条即可)方法二:设 圆/+/=1的圆心。0),半 径 为4=1,圆(x-3)2+(y-4)2 =1 6 的 圆 心C(3,4),半径弓=4,则|O C|=5 =4+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显 然x +l=O符合题 意；又由方程(x-3)-+(y=1 6和x +y2=1相减可得 方 程3 x +4j 5 =0 ,即

22、为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆 心 所 在 直 线OC的方程为4x-3 y =0,4直 线oc与 直 线x+i =o的交点为(-1,-3),设过该点的直 线 为y +：=&(x +i),则 卜一 ,解得上=三，3 衍-I 2 4从而该切线的方程为7 x-2”-2 5 =0.(填一条即可)方法三:圆/+/=1的圆心为。(0,0),半 径 为1,圆(x-3)2+(y-4)2=16 的 圆 心 为(3,4),半径为4，两 圆 圆 心 距 为 律 寿=5,等于两圆半径之和，故两圆外切,如图，d =1 5 3 SO 到/的距离 广 于 ，解得f 所以/的方程为y=+9V1+16 4 4 4当切

23、线为加时，设直线方程为丘+y+P=o,其中PO,k 6 尸 0,即(x-2+(y-3)2=13；尸=0（2）若过（0,0）,（4,0）,（4,2）,则彳16+4。+尸=016+4+4O+2E+尸=0所以圆的方程为/+/_ 4 工-2 =0,即(x-2 y+(y-l)2=5；F=0（3）若过（0,0）,（4,2）,（-1,1）,则,1+1 -0 +/=（）16+4+4O+2E+F尸=0解 得。=-4,=-2F=0Q，解 得。=4，所以圆的方程为r +一 丫一?_ =0,即(x g)=等；1 +1 D+E+尸=0（4）若过（一口），（4,0）,（4,2）,则 16+4。+尸=016+4+4D+2E

24、+尸=0F=一-5解 得。=-*所 以 圆 的 方E=-2程为J +/一号=0,即x8I +所1）=,故答案为：(x-2+(y-3)2=13 或(x-2)2+(y-l)2=5 或 方法二:【最优解】圆的标准 方 程(三点中的两条中垂线的交点为圆心)设点4(0,0),B(4,0),C(-l,l),(4,2)(1)若圆过4 B、C 三点，圆心在直线x=2,设圆心坐标为(2,a),则4+/=9 +.-1)2=4 =31=6 万=内，所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13；(2)若圆过4 B、。三点，设圆心坐标为(2,a),则4+q2=4+(a 2)2=a=l,1=J 4+a2=，5,所以圆的

25、方程为(x 2)”+(y 1)=5；(3)若 圆 过 4 C、D 三 点,则线段Z C 的中垂线方程为y=x+l,线段力。的中垂线方程为j=-2 x+5,联立得x=*y =(=,=,所以圆的方程为秩-g)2+(y-，=；(4)若圆过瓜 G 3 三点，则线段8。的中垂线方程为N=l,线段8 C 中垂线方程为y =5x-7 ,联立得x=Q =l n r =,所以圆的方程为(x-%+(方 1)2=粤.故答案为：(*_ 2)?+(k 3)2=13或(x_2)2+(y_l)2=5或 fx-)+，一 j=竺或【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单,运算稍繁：方法二；

26、利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解.【分析】首先求出点A 关于V=a 对称点4 的坐标，即可得到直线/的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可：【详解】解：/(-2,3)关于y=a 对称的点的坐标为H(-2,2 a-3),8(0,a)在直线y=a 上,所以4 8 所在直线即为直线/,所以直线/为y=+即(a-3)x+2y-2a=0：2圆 C:(1+3)2 +(y+2)=1 ,圆心。(一 3,-2),半径尸=1 ,|-3(a-3)-4-2 a|依题意圆心到直线I的距离d =I ,4 1，3)2+2?3 3一即(5 5Q +2?,解得K a K,即

27、；-1 3故答案为：1 9 .显3【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可.2【详解】解：双曲线=的渐近线为y =,即x w =O,不妨取x +叼=0,0X2+/-4 +3 =0,即/+(了-2)2=1,所以圆心为(0,2),半径r =I,依题意圆心(0,2)到渐近线x +叼=0 的距离4=1,5/1 +/解 得/或 加=.(舍去).3 3故答案为：息.32 0 .(XT)?+(y +l =5【分析】设出点”的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在OM上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】

28、方法一:三点共圆.点M 在直线2 x +y-l =0 上，二设点M 为1 -2 a),又因为点(3,0)和(0,1)均在。/上，二点M到两点的距离相等且为半径R,二 J(a-3 +(l-2 a)2 =m 2+(-2 幻2 =R ,。2-6。+9 +4。2-4。+1 =5。2,解得。=1，.,.(1,-1),R=后,OM的方程为(x-1)。+(y +以=5.故答案为：(x-l)2+(y +l)2=5 方法二:圆的几何性质由题可知，M 是 以(3,0)和(0,1)为端点的线段垂直平分线y=3 x-4与直线2 x +y-l =0的交点,-.夫=指，的方程为(x-l)2+(y +l)z=5.故答案为：

29、(X-1)2+(J+1)2=521.2【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于根的等式，即可解得，”的值.【详解】圆 门-1+（k 1）2=3 的圆心坐标为（1,1）,半径为6,圆心到直线x-y+巾=0（机 0）的 距 离 为 弓 手=宝,由勾股定理可得2=3,因为m 0,解得加=2.故答案为：2.2 2.0【分析】设 直 线 的 方 程 为 歹=百 +人 则点力（0），利用直线4 8 与圆/+（1）2 =相切求出b 的值，求出|N C|,利用勾股定理可求得|/身.【详解】设 直 线 的 方 程 为 y=+则点/（0,助,由于直线月8 与圆x2+（y-l =i相切，且圆心为C（0

30、,l）,半径为1,则 口 =1,解得6=-1或b=3,所以HC|=2,因为忸C|=I,故|阴=J|/c f-B c =G故答案为：百.23.5【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ,进而利用弦长公式|/8|=2 尸 丁 ，即可求得O【详解】因为圆心（0,0）到直线X-回+8=0 的距离=7 忘=4,由|/8|=2 护二T7可得6=2后 二 T7，解得厂=5.故答案为：5.【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题.24.272【分析】方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式

31、以及弦长公式即可求出.【详解】方法一:【通性通法】【最优解】弦长公式的应用根据题意，圆的方程可化为+3+1)2 =4,所以圆的圆心为(0,-1),且半径是2,1 0 +1 +1 1 r,_ _ _ _ _ _ 广弦心距d =方 不 京=2,所以=故答案为：2 T L 方法二:距离公式的应用V=X +1由xn=。解得:x=0 x=-2 、/、或 不妨设次0,1),8(-2,-1),y =i y =-i所 以,同 二J(0 +2)2 +(1 +1)2 =2 7 2 .故答案为：2 T L 方法三:参数方程的应用直线y=x+i的参数方程为将其代入/+/+2y-3=0,可得/F T、/(R /2+1

32、+2 t +1 3=0,化简得+2 f 2 t -0 ,从而 4 =0,G =2A/?,所以,回=乂 一2 1 =2&.故答案为：2五.【整体点评】方法一：利用圆的弦长公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算偏麻烦；方法三：直线参数方程中弦长公式的应用.2 5.(x-l)2+2=4.【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线p=4 x中，2/7=4,p=2,焦点F (1,0),准线/的方程为x=-l,以F为圆心，且与/相切的圆的方程为(x-l)2+V

33、=2 2,即为(X-1)2+Y=4.【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2 6.3【分析】方法一：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求出结果.【详解】方法一:【通性通法】直译法设”(a,2 a)(a 0),则由圆心C 为48中点得C(等,易 得O C:(x-5)(x-a)+(y-2 a )=0 ,与y =2 x联立解得点。的横坐标%=1,所以。(1,2).所 以 万=(5-a,-2 a),而=(1 一 皇,2-a),由 布 丽=0 得(-2 a)(2-a )=0,B

34、 P a2-2 a-3 =0 ,解得：a =3 或“=1,因为 a 0,所以 a=3.故答案为：3.方法二:【最优解】几何法如图3,因为4B为直径,所以/8。，A B C D=Q,/A F D/DE B .图 3设|O E|=f,则|D E|=|A F=2 t,D F|=|B E|=4 t,所以|。8|=|。|+|8|=5，=5,即f =l.所以，/点的坐标为(3,6),则点4的横坐标为3.方法三:数形结合如图4,由已知，得 BD U,贝麟即=-；,所 以 8。的方程为y =-g(x-5).图 4y=2 x,由 1 Q 解得。,2).设/(a,2 a),则C(半,a),从 而 荔=(5-%一2

35、“),丽=(,2-所 以 丽 丽=(5-“)音 卫-2 a(2-a)=0,解得a =3 或 a =-l.Xa 0 ,所以a =3.即点/的横坐标为3.方法四：数形结合+斜率公式由9 丽=0，得/8 J.C。，又 C是的中点，所以又4518。，所以Z 8/O =4 5。.设直线/的倾斜角为a,则t a n a =kA B-t a n /A B x=t a n(a +4 5。)=-3 .设 Z(a,2 a),则 用-=-3,解得a =3.即点/的横坐标为3.a-5 方法五:数 形 结 合+解 三 角 形n /c由方法四，知t a n a =2,则s i n a =至.5，/s在 Rt Z 8。中，

36、B D =O B s m a=5 x =2 /5 .在等腰R M/O B 中，AB=6BD=2 M .从而设力(a,2)，则J(a-5 +(2 a)2 =2 屈,解得。=3 或。=一1.又。0,所以a =3.即点/的横坐标为3.方法六:数形结合+解三角形2 1设直线/的倾斜角为a,则t a n a =2,则s m a =忑,c o s a =正.由方法四知于是s i n/O氏4 =s i n /a+2=2=4 4)2 45 100A 二 OB在OZ B中，由正弦定理知s i n/O8 4=.不，解得。4 =3 石，s i n 4故点4的横坐标为O4 c o s a =3 .方法七:数形结合+解

37、三角形因为。为以4 8为直径的圆C上一点，所以8。，力。，C为 48的中点.因 为 刘 丽=0,所以4 B 1 C D,4 3。为等腰直角三角形，即力。=8。.BD在Rt/08。中，t a n/8 0Z =左=2 =.0D又OD+BD=OB2=,所以OD=#,BD=2瓜因为/在第一一象限，所以0/=0。+/。=3 石.又也=2,x；+用=。彳=(3 石 匕 所 以 =3.XA【整体点评】方法一：直接根据题意逐句翻译成数学语言，通过运算解出，是该题的通性通法；方法二：作出简图，利用平面几何知识求解，运算简单，是该题的最优解；方法三：通过圆的几何性质，利用直线方程联立求点。的坐标，简化计算：方法四

38、：通过圆的几何性质，求出直线48的倾斜角，从而得出斜率，根据斜率公解出，是不错的解法；方法五：同法四，通过圆的几何性质，求 出 直 线 的 倾 斜 角，从而得出斜率，再通过解三角形求出；方法六：基本原理同方法五；方法七：基本原理同方法五.2 7.(1)抛物线C:/=x,。”方程为(X-2)2+/=I；(2)相切，理由见解析【分析】(1)根据已知抛物线与x =l 相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出尸,。坐标，由OP JL。，即可求出P；由圆也 与直线x =l 相切，求出半径，即可得出结论；(2)方法一：先考虑44斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若 44,44,44斜

39、率存在，由4,三点在抛物线上，将直线44,44,44斜率分别用纵坐标表示，再由44,44与 圆 相 切，得出力+乃，%,%与 x的关系，最后求出收点到直线44的距离,即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线C：V=2 p x（p 0）,P（I,%）,Q（l,-y。）,OP lO Q,:.O P OQ=l-y l=1-2p=0,:.2p=,所以抛物线C的 方 程 为/=，（2,0）,。与x =l 相切，所以半径为1,所 以 的 方 程 为（x-2 +y 2 =1：（2）方法一：设4日 必）,*巧，为），4（0 为）若/出斜率不存在，则44方程为x =1 或x =3,若44方程为=1，根据对称性

40、不妨设4（1 1），则过4与圆相切的另一条直线方程为y =i,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在4,不合题意；若44方程为=3,根据对称性不妨设4（3,0）,4（3,-6），则过4与圆 相切的直线44为y-6=*（x-3）,R k 一 1 -1-v-0乂-_ ,_/7 _ q，-y 3-u,%一七%J 3+%3匕=o,4（o,o），此时直线44,44关于x 轴对称，所以直线44与圆/相切；若直线44,44,44斜率均存在，,1 1 1则卜 人 乐=-，kA、&=-，后=-）%+为%为+%所以直线44方程为y-M =（x f）,yI+%整理得 x-（x +y2）y+yty2=0,同理直线4

41、H的方程为x-（M +为）y +乂为=0,直线44的方程为*-（%+%）夕+%力=，1 2 +y1y2|5 4 与 圆 相 切,7+（必+力）2整理得 3 -1)7 2 +2 y M +3 -y；=0,44与圆M 相切，同理与;-1）7；+2 M入+3-=0所以外，%为方程（-1）/+2 y,y+3-必2 =o 的两根,2 M 3-乂%+为=一 尸必-1%-1M 到直线4 4 的距离为：r 2|2 +L|1 2 +%川 _ y-1了 乂为yt+y2必+刈=1,化简得2yM+(玉一1)&一%+3 =0,7-=-1 1 +(%+%)2 J(_ _ 1 2 L)2_，旧 +J=J(J?-1)?+4y

42、；y；+所以直线4 4 与圆M 相切：综上若直线4 4,4 4 与圆M相切，则直线4 4 与圆M相切.方法二【最优解】：设4（不乂）,弘 2=与 4（玉,%）,*=W，4（,%）,达=工2.当玉=七时，同解法1.当X 1 W X 2 时，直线4 4 的方程为y-乂 =（丫-%），即=X2 *1 1 *X2 +必力 +为由直线4 4 与OM相 切 得I,y同理，由直线4 4 与。加相切得2MM+（玉 一 1）覆-司+3 =0.因为方程2 凹丁+（入-1）x-+3=0 同时经过点4,4,所以4 4 的直线方程为.、|2(x,-l)-x,+3|l x +1 1+(王一 l)x 石+3 =0,点M到直

43、线4 4 距 离 为/2 ,J =/=44M 2+(演-1)v(xi+ir所以直线4 4 与。M 相切.综上所述，若直线4 4,4 4 与相切，则直线4 4 与。相 相切.【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示,将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法 一 是 要 充 分 利 用 的 对 称 性，抽象出8 +%，%-%与 M关系，把%，%的关系转化为用必表示,法二是利用相切等条件得到4 4的直线方程为2 乂旷+（占-1 卜-玉+3 =0,利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路X=2+COS6Z，,一2 8.（1）,.,（。为参数）；y

44、 =1 +si n a（2）psi n（6+三）=2-#和psi n（e+）=2+夸.【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4,1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由题意，0c的普通方程为（x-2 K+（-1）2=1,f x =2 +c o sa所以。C的参数方程为 为参数）y =1 +sm a（2）方法一:直角坐标系方法当直线的斜率不存在时，直线方程为x =4,此时圆心到直线的距离为2r,故舍去.当切线斜率存在时，设其方程为V =k（x-4）+l,即依-y-4A +l =0.故1J*=1，即|2 幻=4 7 记 4 6=1

45、+左 2 ,解得人=与.所以切线方程为夕=*（、-4）+1 或 卜=-乎。-4）+1.两条切线的极坐标方程分别为/j si n。=-pc o s。-三+1 和psi n =-梳pc o se +三+1 .即夕或1 1（0+胃）=2 等 和 psi n（0+器）=2+#.方法二【最优解】：定义求斜率法如图所示，过点F作OC的两条切线，切点分别为4,B.又C/X轴，所以两条切线E 4,尸 8 的斜率分别必和33 .故切线的方程为 夕=#（、-4）+1,y14-3叵36寺-,这两条切线的极坐标方程为-1 .即 psi n（0+K）=2-等 和 psi n（0+5）=2+夸.【整体点评】（2）方法一：

46、直角坐标系中直线与圆相切的条件求得切线方程，再转化为极坐标方程，方法二：直接根据倾斜角求得切线的斜率，得到切线的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程,在本题中巧妙的利用已知圆和点的特殊性求解，计算尤其简洁，为最优解.29.（1）p =2；（2）20技【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于P 的等式，即可解出。的值；（2）设 点/（再,%）、8（%,%）、。（%，九），利用导数求出直线尸4、P B,进一步可求得直线 48的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立,求出|工邳以及点P 到直线48的距离,利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得AP/8 面积的最大值.【详解】（1）方法一卜利用二

47、次函数性质求最小值/X由题意知，F 0,三，设圆M 上的点N（x 0,为），则X；+（为 +4）2 =1.所以片=1-（为+4）2（-5 4%4-3）.从而有|FN|=J x；+仁-%）=-5 +4+仁-队）=J-（p +8）盟-15+因为-5 4%4-3,所以当稣=-3时，|FN 1m,乎+3p+9 =4.又P 0，解之得P=2,因此p =2.方法二【最优解】：利用圆的几何意义求最小值/抛物线C的 焦 点 为 尸,F M=+4,所以，尸与圆加：/+（了 +4）2=1上点的距离的最小值为5 +4-1=4,解得P=2；（2）方法一:切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法2抛物线C的方程为x 2

48、=4 y,即了=工，对该函数求导得夕=；,设点/（X|，x）、8（%,%）、户亿,九），直线?/的方程为y 几=受（*_&）,即了=子 _ 必，即x/_ 2必-2y =0,同理可知，直线P8的方程为X 2X-2%-2y =0,由于点P为这两条直线的公共点，则-:,x2xo-2 y2-2 yo=O所以，点，、8的坐标满足方程X o X-2y-2%=0,所以，直 线 的 方 程 为9-2，-2夕0=0,xox-2 y-2 yo=0联立 x2，可得/-2%+4典=0,r v由韦达定理可得为 +工2=2%,x,x2=4 y o ,所以闷=+件）da+xj-g%=J（x；+4）（x；-4%）,点P到直线

49、AB的距离为d =,所以，S g”=；|4 8卜”=；J（x；+4）；一物0 I:2 L 4 y o ）2,2 2 U +4 2$-4%=1-（为+4）2-4典=-、；-12%-15=-加+6 ）+21,由已知可得-5 4%-3,所以，当盟=-5 时，P4 8 的面积取最大值1 x 2()2-=20/r-5.2 方法二【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值同方法一得到西+=lx0,xx2=4%).过尸作y轴的平行线交AB于Q,则。4-%).令 耽=I 尸 0 I 再一切=-2%).J 4 x；_ 16 y o =；(x；-4%.=c o s c r,尸点在圆上，则 4.yQ=-4

50、 +s i n a,1 3 i _3 1 3$出0=5(*一 4 y o y (c o s 2a-4 s i n a+16)2=4 -s i n a+2)2+21f .故当s i n a=-1时APAB的面积最大，最大值为20%/?.方法三:直接设直线A B方程法设切点4 8的 坐 标 分 别 为 小,小 25.y =kx +h,设 如：y =f c r +b,联 立 和 抛 物 线 C的 方 程 得。,整理得f-4 履-4 6 =0.x =4 y,判别式A =16 F+16 6 0，即公+b 0,且演+x 2=4 左，玉 X 2=7b.2抛物线C的方程为d=4y,即y=q,有，=1.222则