经济数学-微积分.pdf

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1、第一章函数函数是数学中最重要的基本概念之一,是现实世界中量与量之间的依存关系在数学中的 反映，也是经济数学的主要研究对象。在这一章中，我们将在中学已有的知识的基础上,进一步阐明函数的一般定义，总结在中学已学过的一些函数，并介绍一些经济学中的常 用函数。第一节集合一、集合的概念集合是一个只能描述而难以精确定义的概念，我们只给出集合的一种描述：集合指所考 察的具有确定性质的对象的全体，集合简称集。组成集合的每一个对象称为该集合的元素。下面举几个集合的例子：例 1 2 0 0 3 年元月1日在中国出生的人。例 2 平面上所有直角三角形。例 3 f 3 x 4 =0 的根。例 4 直线x-y =1 上

2、所有的点。由有限个元素构成的集合，称为有限集，如 例 1,3；由无限多个元素构成的集合，称为 无限集合，如例2,4。通常用大写字母A,B,X,Y 等表示集合，用小写字母a,b,x,y 等表示集合元素，若 x是集合A的元素，则说x 属于A,记作x e A ；若 x不是集合A的预算，则说x不属于A,记作x&A或 x史A。不含有任何元素的集合称为空集，极为0，空集在研究集合运算和集合之间的关系时,有其逻辑上的意义。如由方程/+1 =0的实根构成的集合，即为空集。集合般有两种表示方法：一是列举法，把它的所有元素一一列举在一个花括号内。例如，集 合 A 由元素组成，表示为A=.”2,。“；自然数集N表示

3、N=0,l,2,，n 这种表示法般适用于有限集和可数无限集。二是描述法，指明集合中一是所具有的确定性质。一 般形式为A=x l x 具有性质p例如，方程3 X 4 =0的解集，记为B=x l x2-3 x-4 =0 又如，平面上以原点为中心的单位园内的点的全体组成的集合，记为B=(x,y)I x2+y2 1 元素为数的集合称为数集，通常用N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集,R表示实数集合C表示复数集。有时我们在表示数集的字母右上角添“+等上标，来表示该数集的几个特定子集，以实数为例，R+表示全体正实数之集；R-表示全体负实数之 集，其他数集的情况类似，不再赘述。-1 -只有一个元素的

4、集合，称为单元素集，记为 X。若集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，或者称A包含于B获B包 含于A,记作或BuA。若集合A与集合B互为子集，则称AuB且8uA。就称A与B相等，记为A=B。若A是B的子集，而B中至少有一个元素不属于A,嬲 A是B的真子集，记作A 0 B,例如N刎Z,Z Q Q空集0是任何集合的子集。二、集合的运算集合有三种基本运算，即并、交、差。设A、B是两个集合，则集合A U 8 =x I x e A或x e BA fl 8 =x I x e A且x e BA 8 =x I x e A但x e B分别称为A和B的并集、交集、差集。有时，我们把研究某一问题时所考虑的

5、对象的全体称为全集，并用I表示，把差集I A 特别称为A的余集或补集，记作A,例如在实数集R中，黔 A=x l I x k l 的余集为A=x l x l x -l 或 x N 1 。集合的并、交、余运算满足如下运算律：交换律 A U8=8 U A,A C B=B C A；结 合 律（4UB）U C=A U（B UC），（A nB）nc=4n（B nc）；分配律 APKEUC=（A nB）u（A nc）,au（n c=（A UB）n（A U。）；对偶律 AlTBc,（A n B）=A U 6 .以上这些运算律都很容易根据集合相等的定义验证。在两个集合之间还可以定义直积或笛卡儿（Des va r

6、tes）乘积，设A,B是任意的两个集 合，则A与B的直积，记作A xB,定义为如下的由有序对（a,b）组成的集合：Ax B-（a,b）a&A,b E B例如，R x R =（x,y）l x R,yeR 即为x O y平面上全体点的集合，RxR常记作R?.三、区间和邻域-2-区间和一点的邻域是常用的一些实数集。实 数 集 x l a x A=(a,与 称 为 开 区 间；=句 称 为 闭 区 间；x a x b a,b),x a x 与开区间(a,b),此外还有无限区间，引进记号+8 (读作正无穷 大)及-8 (读 作 负 无 穷 大)后，则 可 用 类 似 的 记 号 表 示 无 限 区 间，

7、例如 a,+o o)=x l x a,(c o,b)=x x b,(-o o,+o o)=x l x e/?).前两个无限区间在数轴上的表示如图1-1 (c)、(d)所示.图 1-1实数集 x l|x 4 0,称为点a的5邻域，记 为 U(a,b).点 a叫做邻域的中心，b 叫做邻域的半径，它在数轴上表示以a 为中心，长度为25的对称开区间，如 图 1-2 所示.图 1-2实数集 x l O|x-a|1 且x =xlx0 且x 8；0uA；A uA.8.设 A=1,2,3 ,B=1,3,5 ,C=2,4,6,求：(1)A UB；(2)A C|B；(3)A UB UC ；(4)ACBPC；(5)

8、A B9.如果 I=1 2 3,4,5,6,A=1,2,3 ,B=2,4,6,求：(1)；A (2)；Br(3)；ACJBC(4)；A Bc1 0 .如果A 是非空集合，下列各个等式哪些是对的？哪些不对？A l M=A；ArA=A；4口4 =0;AJ0=A；AIJ0-0 ;AJ I-I；AC1-I；A C 0 -A ；AQ 0=0；AA=A；A4=0.1 1 .如果 A=a,b,c,d ,B=a,b,c,求 A x 81 2 .设集合乂=再,/,丫 =弘,%Z=z”Z2 ，求 Xx Yx Z.1 3 .用区间表示满足下列不等式的所有x 的集合：(1)|x|3 ;(2)|x-2|1 :(3),-

9、4 (4 为 常 数，5 ；(5)|x+l|2.1 4 用区间表示下列点集，并在数轴上表示出来：(1)A=xl|x+3|2 ；(2)B=xll|x-2|3 .第二节映射与函数-4-一、映射的概念定 义 1设 X,Y 是两个非空集合，若对集合X 中的每一个元素X,均可找到集合Y 中唯一确定的元素y 与之对应，则称这个对应是集合X 到集合Y 的一个映射，记为f,或者 更详细地写为将 x 的对应元y 记作y=/(x).并称y 为映射f 下 x 的像，而 x 称为映射f 下 y的原像(或称为逆像).集合X 称为映射f 的定义域，记作0/=X，而X 的所有元素的像/(x)的集合y ly e Y,y =/

10、(x),x e X 称为映射f 的值域，记 为 勺(或/(%).例 1 设 X 是平面上所有三角形的全体，Y 是平面上所有园的全体，因每个三角形都有唯一确定的外接圆，若定义对应法则y(y 是三角形x 的外接圆)则 f 显然是一个映射，其 定 义 域 与 值 域 分 别 为=X 和勺=Y.例 2 设 X=a,民 川，Y=a,b,c,d),下面所规定的对应关系f 显然也是一个映射：/()=a,f(/3)=ru=：-r i+显然R g=_ l/u。/,因此可以构成复合映射“，、s in xx y=/(g(x)=-1 +s in-x例 6 设映射g与 f 为g :R f RX I-u 1 x 和 f

11、:R*T RM y=I n 则R&=(8,1O/,因此不能构成复合映射fo g.但若将映射g的定义域缩小，就有可能构成复合映射.比如令g*:X=(l,l)f R X H M =1 -X2和f：R j R-7-u y=nu则R；=(O,l u。/,于是可以构成复合映射/g*:X=(-l,l)f Rx 1 y=l n(l-x2)要注意，映 射f与g的复合是有顺序的，这就是说，f o g有意义并不意味g。/也一定有意义，即使都有意义，即(u Df与Ru Dg都满足，复合映射/。g与g。/-一 般来 讲也是不同的.特别地，若将映射f与它的逆映射/t 进行复合，则得到下述两恒等式：f f y)=y *号

12、f f(x)=x,xeX例 7 y=s in x:-.-l,l M,它的逆映射是-2 2x=a r c s in y:-1,1 f 一 通过复合运算，可得到恒等式s in(a r c s in y)=y,y e -1,1 a r c s in(s in x)=x,x e-12 2三、函数的概念定义 设数集OuR,则称映射R为定义在D上的函数，通常简记为y=/(x),x&D其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作即D/=D.这 里f为一种对应规则，对每一个x e D f,有惟一的实数y=/(x)e R与之对应。由 映射的定义可知，当定义域与对应规则确定后，函数就完全确定了，可见，定义域

13、与对应规 则是确定函数的两个要素，因此，对于两函数f,g，如果它们有相同的定义域X,且 对X 中的每个x有相同的函数值，即/(x)=g(x),V x e X则称 f 与 g 相等，并记为 f=g，例如，/(x)=l,x e R 与 g(x)=s in?x+c o s?x,x e R 是-8-Y两个相等的函数，而/(x)=l 与g(x)=则是不相同的函数，因为Z),=R,而。”R 0.x 1&设 f为给定的函数，函数值的全体所构成的数集称为函数f的值域，记作勺 或 f(X),即%=/(X)=yl y=/(x),x G Dy.)表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法(公式法)，这在中学大

14、家已经 熟悉，其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面上的点集P(x,y)lyf(x),x&Df称为函数y=/(x),x e。/的 图 形(图 1-3).图中的勺表示函数y=/(x)的值域.图 1-3下面举出几个例子.例 8 函数y=2的定义域。/=(-8,+8)，值域=2,它的图形是一条平行于X轴的直线，如 图 1-4 所示.例 9 函数.x x 0 =凶=匕 x 0y=s g n x=0 x=0-1 x 0称为符号函数，它的定义域。,=(8,+8),值域A/=1,0,1 ,它的图形如图1-6所示,对于任何实数X,下列关系成立x=s g n x*|x|图1-6例 11 设x为任

15、一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作 x,例如，中=0,：V2F1 菰 T=T,-3.5=-4.把x看作变量，则函数y=x的定义 域。/=(-8,+8),值域%.=Z.它的图形如图1-7所示，这图形称为阶梯曲线，在x为整数值处，图形发生跳跃，跃度为1,这函数称为取整函数.在例9和 例1 0中看到，有的函数在定义域的不同部分用不同的公式表达，这种函数被 称为分段函数.例1 2 某商店对一种商品的售价规定如下：购买量不超过5千克时，每千克0.8元；购买量大于5千克而不超过1 0千克时，其中超过5千克的部分优惠价每千克0.6元；购买 量大于1 0千克时，超 过1 0千克部分每千克0.4元

16、，若购买x千克的费用记为f(x),则0.8%0 x 5y =/(x)=0.8x5+0.6(x-5)5 x 1 0即0.8x 0 x 5y =/(x)=1 +0.6X 5 x 1 0这是定义在 0,+8)上的一个分段函数，它的图形如图1-8所示.图1-7 图1-8用几个式子来表示一个(不是几个！)函 数，不仅与函数定义并无矛盾，而且有现实意 义。在自然科学、工程技术和经济学中，经常会遇到分段函数的情形。四、函数的基本状态-10-1.函数的奇偶性设函数y=f(x)的定义域关于原点对称，如果对于定义域中的任一个X,都有f(x)=f(-x),则称y=(X)为偶函数；如果对于定义域中的任一个X有f (-

17、X)=-f(X),则 f(X)为奇 函数。不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数。由定义显然有：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称，如 图l-9(a)、(b)所示.图1-9例 1 3 证明/(x)=s i n xl o g“(x+J x?+1)是偶函数(其中 a 0且a w l).证因为该函数的定义域为(-00,+8),且有/(-X)=s i n(-x)l o gu(-x+J(-x)2 +1).(+1-+1 +x)=-s m X l o g,-r-.y j x +1 +X,1=-s i n xl o gu-7=-y/x +1+X-s i n x-l o g n(x+V-

18、x2+1)=/(x)所以/(x)=s i n x l o g,(x+Vx2+1)是偶函数.2.函数的周期性设函数f(x)的定义域为Df,如果存在一个正数/，使得对于任一xe O/有(x/)e Df,且x+/)=/(x)恒成立，则称f (x)为周期函数，/称为f (x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最 小正周期。例如函数s i n x,c o s x都是以2万为周期的周期函数；函数t a n x是以万为周期的周期函 数。图1-1 0表示周期为/的一个周期函数，在每个长度为/的区间上，函数图形有相同的形 状。-11-图 1-1 0例 1 4 设函数y=f (x)是以0 为周期的周期函数，试证

19、函数y=f (a x)(a 0)是以色 a 为周期的周期函数。证 要证的是f(ax)=fa(x+)a因为f (x)以 为 周 期，所以f(ax)-fax +c o 即f(ax)=fa(x +)a所以f (a x)是以吆为周期的周期函数.a3.函数的单调性设和X 2 为 区 间(a,b)内的任意两个数，若当王 2)满足/(%,)超时有/(占)/()7T TT则称该函数在区间(a,b)内单调减少，或称递减，例如y =t an A (-一,一)内递增，2 2y =c o t x 在(0,乃)内递减.函数的递增、递减统称函数是单调的，从几何直观来看-，递增就是当x自左向右变化时,函数的图像上升；递减就

20、是当x自左向右变化时，函数的图像下降(图1-1 1).图 1-1 14.函数的有界性设函数f(x)在区间I上有定义，若存在一个正数M,当xw/时，恒有-12-成立，则称函数f(x)为在I上的有界函数；如果不存在这样的正数M,则称函数f(x)为在I上的无界函数.(图1-1 2)图 1-1 2例如，因为当(-8,+8)时，恒有忖1 1,4 1,所以函数/(x)=s i n x在(一 8,+8)内JT 1T是有界函数，而/(X)=t an x 4(一一,+-)内是无界函数。2 2有的函数可能在定义域的某一部分有界，而在另一部分无界。例如/(x)=t an x在77 TT 77-77上是有界的，而在(

21、-1,+彳)内是无界的。因此，我们说一个函数是有界的或 者无界的，应同时指出其自变量的相应范围.习题1-21 .下面对应关系是否为映射？X=平面上一切三角形,Y=平面上全体点,X,Y之间 的对应是：每个三角形与其重心对应。2.求下列函数的自然定义域：(1)y-y/9-x2,(2)(3)y =-;(4)%+4(5)y =(6)y =-J x+2；l-x.x -y=ar c s i n-;2l n(3-x)2 x-l ar c c o s一 73.下列各题中，函数f(x)和g (x)是否相同？为什么？(1)f(x)=In x2,g(x)=2 1 n x;x -1 /(x)F，g(x)=I(3)f(

22、x)=x,g(x)=s i n(ar c s i n x);(4)f(x)=x9g(x)=el n x-13-4.确定函数/(x)小1 l|x|2的定义域并作出函数图形。5.判断下列函数中哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？(1)f(x)-x4-2 x2;(3)/(x)=t an x;(5)/(x)=x s i n x;+x /(x)=l n-;1-x /(x)=|；a-16 .判断下列函数的单调性:(2)/(x)=x-x2;(4)/(x)=s i n x-c o s x;(6)(S)=#(l-X)2+4(l +X)2(8)/(x)=ax+a-x;(1 0)f(x)=l n(x +

23、J l +x ).(1)y =3 x-6;(2)y=2A-1;(3)y =x +In x.7.下列各函数中哪些是周期函数？对周期函数指出其周期(1)y =s i n2 x;(2)y =c o s(/=X I X (-00,+00),a-X G 0,+oo)-x-a x )=了，这就是说，反 函 数 的 对 应 法 则 是 完 全 由 函 数f的时应法则所确定的。习惯上常以x记为自变量，y记为函数，故 反 函 数 又 记 为y=/T(x),x e/(O)显然-16-可见，若Ax,f(x)是函数f(x)的图形上的点，则Bf(x),x是反函数/T(x)的图 形上的点；反之也一样，因此，f的图形与/T

24、的图形关于直线y=x是对称的.(如 图1-14)现在要问函数f在什么条件下一定存在反函数，结论是：定理(反函数存在定理)单调函数f必存在单调的反函数，且具有与f相同的单调性。证明 不妨设函数/(。)是单调递增的，Vx1,x2e D,若x产 乙，则有/(石)工/()，于是Vyw/(。)都存在惟一的一个X G。，使 得f(x)=y,所以函数f 存在反函数广|(0)-0；再证/-1也是单调递增的.,当/(。)，一旦.丫2,则必 有使得/(占)=%,/(2)=%，所以，/(再)/()；又因函数f是单调递 增的，所以，有/，即/7(必)=亍 的 反 函 数.解 由可解得x=log2(1一),变换x、y的

25、位置，即得所求的反函数 i-yx=log,(；-)或y=log,x-Iog2(1-x)1-x其定义域为(0,1).三、函数的运算设函数f(x),g(x)的定义域依次为2、D2 D=DtHD2 0,则我们可以定义这 两个函数的下列运算函数的和(差)f +g：(fg)(x)=f(x)g(x),x eD函数的积7 g:(/g)(X)=/(X)g(X),X。函数的商工：(2)(x)=W D,xO xlg(x)=08 g g(x)-17-例7 设函数f (x)的定义域为(-/)，证明必存在(-/,/)上的偶函数g(x)及奇 函数h(x),使 得f (x)=g(x)+h(x)证 先分析如下：假若这样的g(

26、X)、h(X)存在，使得f (x)=g(x)+h(x)且g(-x)=g(x),/(-x)=/z(x)(I)于是有/(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)/z(x)(2)利 用(1)、(2)式，就可以作出g(x)、h(x)这就启发我们作如下证明：作g(x)=；(x)+/()心)=3。)一/(一切则f(x)=g(x)+h(x)g(x)=g (x)+/(x)=g(x)%(x)=；(x)+f(x)=-h(x)证毕习 题1-31.求下列函数的反函数：X +2(1)y =2x +1;(2)-;(3)y =x3+2;(4)y =l +l g(x+2).x-22.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，

27、并求这函数分别对应于给定自变量值 司和的函数值：/1、2 冗 兀(1)y =u，=s mx,2=1，/=5；.7 1 7 1(2)y -s in =2x,xt=,x2=;(3)y =V w,w =1 +x2,=0,x2=3;(4)y =el,u =x2,X|=l,x2=2;(5)y =u2,u =exl=l,x2=2.-18-3.指出下列函数的复合过程：(1)y =c o s2x；(2)y =ex；(3)y =(4)y =a r c s in l g(2 x+l).4 .(1)设/(s in x)=c o s 2 x+l,求/(c o s x).(2)设/。+)=丁 +与，求 f (x).X

28、X5.已知/(x)=-x,或*)=s in 2 x f(pM(pfx.6.设f(x)的定义域D =0,1,求下列函数的定义域：(1)/(l o g x)；(2)/(s in x)；/().第四节 基本初等函数与初等函数一、塞函数函数y =x(是常数)叫做塞函数.箱函数y =x的定义域，要看是什么数而定。例如：当=3时，y =d的定义域是(-c o,+0 0)；当=时，y =q=6的定义域是 0,+o);当 =一,，y =的2 2 y j x定义域是(0,+8)。但不论取什么值，事函数在(0,+8)内总有定义.y =x中，=1、23/、1时是最常见的幕函数。它们的图形如图1-15所示.图 1-1

29、5二、指数函数与对数函数1.指数函数y =a (a 是常数且a 0 a w l)叫做指数函数，它的定义域是区间(-8,+8).-19-因为对于任何实数值X,总 有 优 0,又珞，所以指数函数的图形，总 在 X轴的上 方，且通过点（0,1）.若。1,指数函数优是单调增加的.若0 。1,指数函数优是单调减少的.所以y =能的图形与y的图形是关于y轴 对 称 的（图1-16).图 1-16 图 1-17以常数e =2.7182 818 为底的指数函数y-e是科技中常用的指数函数.关于常数e的意义将在第二章第五节中说明.2.对数函数指数函数？=优的反函数，记作y =l Q g“x（a 是常数且a 0,

30、a H 1）叫做对数函数。它的定义域是区间（0,+8）.对数函数的图形，可以从它所对应的指数函数y =优的图形按反函数作图法的一般规 则作出，这就是：关于直线y =x作对称于曲线y =/的 图 形，就得y =log“x的 图 形（图 1-1 7）.y =log,x的图形总在y 轴右方，且通过点（1,0）.若对数函数y =log“x是单调增加的，在开区间（0,1）内函数值为负，而在区 间（1,+8）内函数值为正。若 0 a l,对数函数y =log“x是单调减少的，在 开 区 间（0,1）内函数值为正，而-20-在 区 间(1,+oo)内函数值为负。科 技 中 常 用 以 常 数 e为底的对数函

31、数y =log,x叫做自然对数函数，简记作y =lnx.三、三角函数与反三角函数1.三角函数常用的三角函数有正弦函数尸=s i nx（图 1-1 8）余弦函数y 二=c os x（图 1-1 9）正切函数=二 t a nx（图 1-2 0）余切函数y 二=c ot x（图 1-2 1）图 1-1 8图 1-1 9图 1-2 0图 1-2 1其中自变量以弧度作为单位来表示。正弦函数和余弦函数都是以2 万 为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(-8,+0 0),值域都是闭区间6,1 .正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。-21-IT IT由于cosx=sin(x+),所以，把正弦函数y=sinx

32、沿x轴向左移动-一段距离,，就 获得余弦函数y-cos x o正切函数y=tan x的定义域7CD-x x e R,x(2 +1),/?e Z余切函数y=cot x的定义域D-x x e R,x n7t,n e Z)这两个函数的值域都是区间（-8,+8）。正切函数和余切函数都是以乃为周期的周期函数，它们都是奇函数。此外，尚有另外两个三角函数，它们是正割函数 y=secx 它是余弦函数的倒数，即1sec x=-cosx 余割函数 y=cscx它是正弦函数的倒数，即1sec x=-sinx7T它们都是以2为周期的周期函数，并且在开区间（0,一）内都是无界函数。22.反三角函数反三角函数是三角函数的

33、反函数。三角函数丁=5巾工，y-cos x,y=tanx和y=cot x的反函数依次为反正弦函数 y=Arc sin x（图1 22）反余弦函数 y=Arc cos x（图1-23）反正切函数 y=Arc tan x（图1 23）反余切函数 y=Arc cot x（图1-23）反三角函数的图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的般规则作出。这四个反三角函数都是多值函数。但是，我们可以选取这些函数的单值支。例如把 Arcsinx的值限制在闭区间 一工，工 上,称为反正弦函数的主值,并记作arcsinx.这样，2 2函数y=arcsinx就是定义在闭区间/上的单值函数，且有冗,汽-arcsi

34、n x 03 x 0(4)x +l 2.x+1-l x 00 x ly =y =2-x x 14 .由y =T的图形作下列函数的图形:(1)y -3-2；(2)y =2 +4；(3)y =-2 ；(4)y =5 .由y =I gx 的图形作下列函数的图形：(1)y -2 1 gx ：(2)y =lg*2；(3)y =l g V 7；(4)y =1 g.x6 .由y =s i nx 的图形作卜.列函数的图形：(1)y =s i n 2x；(2)y =2 s i n 2x；(3)y =l-2 s i n2 x.7.若f (x)是以2为周期的周期函数，且x +10-1 x 00 x l作出f(X)在

35、(-8,+8)上的图形.8.设f(X)是在(-0 0,+0。)上有定义的偶函数，且对V x e(-8,+8),/(x +2乃)=/(x),当04x4%时，/(X)=兀 求f (x)在-肛 加 上的表达式，并作出在(-0 0,+8)上的图形。第五节函数关系的建立为了解决应用问题，先要给问题建立数学模型，即建立函数关系。为此需明确问题中的 因变量和自变量，再根据题意建立等式，从而得出函数关系，然后确定函数定义域。应用问 题中的函数的定义域，除函数的解析式外还要考虑变量在实际问题中的含义。-24-下面，我们通过几个实例来介绍如何建立函数关系，为以后运用微积分方法解决实际问 题打一些基础。例 1 设有

36、一边长为a 的正方形薄板，将它的四角剪去边长相等小正方形制作一只无盖盒子，试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数(图1-26).图 1-26解 设剪去的小正方形的边长为x,盒子的体积为V,则盒子的底面积为a-2x)2,高为x,因此所求的函数关系为V=x(a-2 x)2,xe(0,1)例 2 某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。它的日固定成本为130元，生产一个单位产品的可变成本为6 元。求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。解 设日总成本为C,平均单位成本为6.由于日总成本为固定成本与可变成本之和。根据题意，日总成本函数为C=C(x)=130+6x(0 x100)平均单位成木函数为C=

37、C(x)=-=+6(0 x 0g(x)=x-x-12%=0.08x x 0=0.88/(%)=0.88-1.12x=0.9856%0；幕函数QnX3/其中 0,。0；指数函数。=a e 3,其中。力 0；例1 设某商品需求函数为Q-aP+b a,b 0讨论P =0时的需求量和Q =0时的价格.解 当P =0时，Q =b它表示当价格为零时，消费者对商品的需求量为b,b也就b b是市场对该商品的饱和需求量。当Q =0时，P=L 它表示价格上涨到巳时，没有人愿意 a a购买该产品。二、供给函数某i商品的供给量是指在一定的价格条件下，在一定时期内生产者愿意生产并可提供出 售的商品量。供给量也是由多个因

38、素决定的，如果认为在一段时间内除价格以外的其他因素 变化很小，则供给量Q便是价格P的函数，设Q=W（P）称“为供给函数.一般说来，商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品量也就越多，因此一般的供给函数都是单调递增的.人们根据统计数据，常用下面这些简单的初等函数来近似表示供给函数：线性函数。=4尸+。，其中。/0;易函数。=女尸，其中k 0,4 0;指数函数。=四 ，其中a,b 0.例2 舍某工厂生产一种产品，经市场统计预测，得该产品的需求函数为。=/（尸）供给函数为Q =H P）-27-在同一个坐标系中作出需求函数曲线D与供给曲线S(见 图1-2 7)曲线D和曲线S的 交点(外,

39、2)就是供需平衡点，Po称之为均衡价格.图 1 -2 7三、生产函数任何一种产品的生产，都是各种生产要素投入后的结果，生产函数刻画了一定时期内各 生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系。一般说来，生产要素包括资金和劳动 力等多种要素。为说明方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其余投入皆为常量 的情况。例3 在电力输送过程中，如用x表示能量输入，则能量输出为y =/(x),其中/(x)-C+y/c2+CX这里c 0为容量参数(见图1-2 8).对于产品的投入与产出，人们关心的是所渭规模报酬问题：当投入增加一倍时，产出是 否也增加一倍？设投入x与产出g (x)的关系为g(x)=c

40、xa由于g(2x)=2 e x可见，当a=l时，规模报酬不变；当时，如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即 规模报酬递减；当a l时，如果投入增加一倍，则产出增加超过一倍，即规模报酬递增.四、成本函数成本是生产定数量产品所需要的各种生产要素投入到价格或费用总额，它由固定成本 和可变成本组成。固定成本是指支付固定生产要素的费用，包括厂房、设备折旧以及管理人 员工资等；可变成本是指支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的支出以及生产工人 的工资，它随着产量的变动而变动.例4 设某厂的生产函数。=2 4JE,其中L表示劳动力数量。求当劳动力价格为1 1 5 2时的可变成本函数。=。(。)解 由。=

41、24 4，得L =,这样5 7 6C =1 1 5 2 =1 1 5 2 0 =2 0 25 7 6-28-即可变成本函数为C=202.五、收益函数总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，用 Q 表示出售的产品数量，R 表示总收益，表示平均收益，则R=R(Q)R=如果产品的价格P 保持不变，则R(Q)=PQR=P六、利润函数利润是生产中获得的总收益和投入的总成本之差，即Q)=R(Q)-C(。)例6 已知某产品价格为P,需求函数为Q=50-5 P,成本函数为C=50+2 Q,求产量Q为多少时利润L最大？最大利润是多少？解 已知需求函数为。=5 0 5 尸故p =i o-2,于是收益函数

42、5Q2R =p.Q =1 0 Q (这样，利润函数L=/?(e)-c(e)=82-51 ,=-(2-2 0)2+3 0因此Q=20时取得最大利润，最大利润为30.七、库存函数舍某企 也在计划期T内，对某种物品总需求量为Q,由于库存费用及资金占用等因素。显然一次进货是不合算的，考虑均匀地分n次进货，每次进货批量为g =2,进货周期为 n.假定每件物品的贮存单位时间费用为G，每次进货费用为c,，每次进货量相同，进 n货间隔忖间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为9,在时间T内的总费用E为2E=-ClTq+C 2 q-29-其中,C J q 是贮存费，C,旦 是进货费用.2 q八、戈 珀 兹(Go

43、m pertz)曲线戈珀兹曲线是指数函数y=kah在经济预测中，经常使用该曲线。当lg a 0,0 b 0 且无线增大时，其无限与直线y=k 接近，且始终位于该直线下方。在 产品销售预测中，当预测销售量充分接近到k 值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱 和。图 1-29从上面的讨论可见，由于实际问题的需求，我们不仅需要建立一些经济量之间的函数关系，而且需要对这些函数的性质作进一步的研究。例如,讨论规模报酬的增减和可变成本的变化,寻求产品的最大利润等等。在后面的几章中，我们将为这些问题的讨论提供一些十分有效的 数学工具。习题1-61.某厂生产录音机的成本为每台50元，预计当以每台x 元的价格

44、卖出时，消费者每月 购买200-x 台，请将该厂的月利润表达为价格x 的函数.2.当某商品价格为P 时，消费者对该商品的月需求量为D(P)=12000-200P.(1).画出需求函数的图形；(2).将月销售额(即消费者购买此商品的支出)标达为价格P 的函数；(3).画出月销售额的图形，并解释其经济意义.3.某 报纸的发行量以-,定的速度增加，三个月前发行量为32000份，现在为44000份.(1).写出发行量依赖于时间的函数关系，并画出图形；(2).2 个月后的发行量是多少？4.某 厂生产的手掌游戏机每台可卖110元，固定成本为7500元，可变成本为每台60元.(1).要卖出多少台手掌机，厂家

45、才可保本(收回投资)？(2).卖 掉 100台的话，厂家盈利或亏损了多少？(3).要获得1250元利润，需要卖出多少台？5.有两家健身俱乐部，第一家每月会费300元，每次健身收费1元，第二家每月会费200 元，每次健身收费2 元，若只考虑经济因素，你会选择哪一家俱乐部(根据你每月健身次数 决 定)？6.设某商品的需求函数与供给函数分别为D(P)=和 S(P)=P-1 0 .(1).找出均衡价格，并求出此时的供给量与需求量；(2).在同一坐标中画出供给与需求曲线；-30-(3).何时供给曲线过P轴，这一点的经济意义是什么？7.某化肥厂生产某产品1 0 0 0吨，每吨定价为1 2 0元，销售量在7

46、 0 0吨以内时，按原价 出售，超过7 0 0吨时超出的部分需打9折出售，请将销售总收益与总销售量的函数关系用数 学表达式表出。8.某饭店现有高级客房6 0套，目前租金每天每套2 0 0元则基本客满，若提高租金，预 计每套租金每提高1 0元均有一套房间会空出来，试问租金定位多少时,饭店房租收入最大？收入多少元？这时饭店将空出多少套高级客房？总习题一1.下 列各对函数中哪些相同？哪些不同？(l)J(x)=l g x2,g(x)=2 1 g|x|;(2)./(x)=J(x-2 )g(x)=k一2|;J(x)=e g,g(x)=2 x;(4)./(x)=1,g(x)=s e c2 x -t a n2

47、 光.2 .下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是非奇非偶函数？(1)./(x)=a rc t a n(s i n x);(2).=(ex+ex)si n x;./(x)=1-；(4)./(x)=x3+l s i n x|.3 .下列函数中哪些是周期函数？并指出其周期：(1).y=l +c os 7 i x (2).y=|s i n.x|;.1(3).y=x s i n ;(4).y =s i n TTX+c os 7 tx.x4 .指出下列函数的复合过程：i sin 21(l).y=Jl n(l +、2)；(2).y=2S，n x;(3).y=s i n l g(x2+l).5.求下列

48、函数的定义域：l-.T 1-x I,I+X(I),y=V 4一 厂+-(2).y=a rc s i n(l -x)+l g-;l-x 2 l-x(3).y=s i n x6.(I)设/(s i n 2 x)=c os 2 x +t a n 2 0 x l 求 f(x)；1(2)设q/(x)+/()=(x O.a2 b2)求 f(x).X X7,设 f (x)是(一8,+8)上的奇函数，7 且对 Vxw R，有/(x +2)-f(x)=f(2)-31-(1)使用a 表示f (2)与 f (5)；(2)问 a 取何值时，f (x)是以2为周期的周期函数.8 .设/(x)=二 求/(x)人 工 .1

49、-x-/(x)1 .x x 00 x 0 0 x 0 -X x 01 1 .利用y=c os x 的图形作出下列函数的图形：(1)y=c os2 x；(2)y =2 c os2x；(3)y =1 -2 c os2x.1 2 .收音机每台售价为9 0 元，成本为6 0 元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量 超 过 1 0 0 台以上的，每多订购1 0 0 台售价就降低1 元，但最低价为每台7 5元；(1)将每台的实际售价P 表示为订购量x的函数；(2)将厂方所获的利润L 表示为订购量x的函数；(3)某一商行订购了 1 0 0 0 台，厂方可获利润多少？1 3 .一 种汽车出厂价4 50

50、0 0 元，使用后它的价值按年降价率1的标准贬值，试求此车的价值 3y(元)与使用时间t (年)的函数关系.1 4 .某大楼有5 0 间办公室出租，若定价每间每月租金1 2 0 元，则可全部租出，租出的办公 室每月需由房主负担维修费1 0 元，若每月租金每提高一个5 元，将空出间办公室，试求 房主所获得利润与闲置办公室的间数的函数关系，并确定每间月租金多少时才能获得最大利 润？这时利润是多少？1 5.每印一本杂志的成木为1.2 2 元,每售出一半仅能获得1.2 0 元的收入,但销售额超过1 50 0 0 本时还能取得超过部分收入的1 0%作为广告费收入，试问应至少销售多少本杂志才能保本？销售量