抛物线的标准方程与几何性质（1月）（期末复习热点题型）（人教A版2019）（解析版）.pdf

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1、考点11 抛物线的标准方程与几何性质一、单选题1.抛 物 线 的 焦 点 到 准 线 的 距 离 是A.2 B.1C.D.-2 4【试题来源】【南昌新东方】江西省南昌市南铁一中2020-2021学年高二上学期11月期中21【答案】D【解析】抛物线/的焦点到准线的距离是0=故选D.2 42.抛物线2 y的准线方程为A.y=-B.%=-2 2C.x=-l D.y=8【试题来源】【南昌新东方】江西省南昌市南昌县莲塘一中2020-2021学年高二上学期11月期 中（理）【答案】A【解析】因为抛物线的方程为d=2 y,所以p =l,焦点在y轴上，所以准线方程为y=-g,故选A.3.抛物线f=-2 y的准

2、线方程为1A.x=2B.x=2c.二 ；1D.y=2【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期期中考试（文）【答案】D【解析】抛物线V=-2 y是顶点在原点，开口向下的抛物线，2。=2,准线方程为y=；,故选D.4.焦点为（0,2）的抛物线标准方程是A.x2=8 yB.x2=4 yC.y2=4 x D.y2=8x【试题来源】江苏省连云港市2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期中【答案】A【解析】因为抛物线的焦点为(0,2),所 以 设 抛 物 线 方 程 为,且&=2,-2解得 =4,所以抛物线的方程为V =8，故选A.5.A3是抛物线f =2y上的两点，。为坐

3、标原点.若|。4 卜|。3|,且口498 的面积为126，则 Z A05=A.3 0 B.4 5 C.6 0 D.1 2 0【试题来源】四川省成都市第七中学2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期中【答案】C/2 /2、【解析】如图，因为知A8 两点关于y轴对称，设A -a,J ,B a,J2 )%2)所以So o B=；x 2a x g=126,解得a =2把,所以8(2 6,6 1所以 t an e=2 v 5 =1 8,所以 6 =3 0,所以 N AO 3=2 6 =6 0 .故选 C.6 36.设抛物线V =-8 x 上一点P 到 丁轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离

4、是A.1 2 B.8C.6 D.4【试题来源】吉林省吉林油田高级中学2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期中【答案】C【解析】由y 2=8 x N 0,可得x W O,据已知抛物线方程可得其准线方程为x=2,又由点尸到y 轴的距离为4,可得点P 的横坐 标 勺=-4.由抛物线定义可知点p 到焦点的距离等于其到准线的距离，即忸丹=一七,+=4+2=6.故选C.7.已知抛物线J/=4 x 上一点A（2,z）到其焦点的距离为A.3B.-2C.4D.-4【试题来源】山东省济南第H 一中学2020-2021学年第一学期期中考试高二年级【答案】A【解析】因为抛物线的方程为：/=4%,故 =2,又

5、点A（2,m）到其焦点的距离为2+=3,故选A.8.已知抛物线y=则它的焦点坐标为4A。I M）B.后。）。,加 d-【试题来源】四川省成都市实验外国语学校2020-2021学年第一学期高二第二次阶段性考试【答案】D【解析】由y=13/得/、=4 丫，所以2P=4,所以p=2,所 以 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为（0,）.故选D.9.抛物线丁=的准线方程为A.x=1 B.x-211C.x=4D.X=一4【试题来源】福建省宁德市高中同心顺联盟校2020-2021学年高二上学期期中检测【答案】C【解析】抛物线的准线方程为x=-；,故选C.1 0.抛物线y 2 =4 x的焦点到直线x+y-3

6、=0的距离d =A.巫 B.V22C.1D.2【试题来源】河南省重点高中2 0 2 0-2 0 2 1 学年第一学期高二阶段性测试（二）（1 2 月）（文）【答案】B【解 析】由抛物线V=4x 可得焦点坐标为（1,。，根据点到立线的距离公式，可得=三=四，即抛物线y 2=4 x 的焦点到直线x+y 3 =o 的距离为&.故选B.v 21 1 .动点尸（x,y）到 点/（3,0）的距离比它到直线x+2=0 的距离大1,则动点p的轨迹是.A.椭圆 B.双曲线C.双曲线的一支 D.抛物线【试题来源】四川省成都市锦江区田家炳中学2 0 1 9-2 0 2 0 学年高二上学期期中（理）【答案】D【解析】

7、因为动点到点（3,0）的距离比它到直线x=-2的 距 离 大 1,所以动点到点（3,0）的距离等于它到直线1 =3的距离，所以由抛物线的定义知该动点的轨迹是以点（3,0）为焦点,以直线x=3为准线的抛物线.故选D.1 2 .抛物线y =2/的焦点坐标为A.（1,0）B.（1,0）C.（0q）D.（0 浴）【试题来源】黑龙江省哈师大附中2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二（上）期 中（文）【答案】D,1 1【解析】整理抛物线方程得/=一 丁，.焦点在y轴，=一，2 4二焦点坐标为（0），故选D.81 3.抛物线y =-/的焦点坐标为A.(,0)B.(,0)4 4c.(0,)D.(0,)4 4

8、【试题来源】山东省泰安市宁阳县宁阳一中2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期中考试【答案】D【解析】抛物线方程y =-可 化简为/=-y,所 以 焦 点 坐 标 为 故 选 D.1 4.已知/为抛物线丁=8%的准线，抛物线上的点M至 I/的距离为2,点A的坐标为(1,4),则 的 最 小 值 是A.V1 7 B.4C.2 D.1 +V1 7【试题来源】四川省江油市第一中学2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二第一学期期中考试(文)【答案】A【解析】抛物线y 2=8 x 的焦点E(2,0),准线x=2,连接FM，MA-由抛物线定义四/|=d,.-.AM +d A M +MF|A F|

9、=(1-2)2+(4-0)2=V 1 7，当且仅当A 例,R三点共线时，取“=”号，所以的最小值为J 万.故选A.【名 师 点 睛】求 解 本 题 的 关 键 在 于，根 据 题 中 条 件，由 抛 物 线 的 定 义，得到 AM +d A M +M F ,进而可得出结果.1 5.抛物线/=-4 y 的焦点坐标为A.f ,0 B.(-1,0)C.(0,-1)【试题来源】四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二上学期期中考试(理)【答案】C【解析】抛物线/=_4 y 开口向下，焦点坐标为(0,-1),故选C.16.已知抛物线。：/=2 3(0)的 焦 点 为/，准线为/,且/过点(3,2),

10、M 在抛物线。上，若点N(2,4),则IM F|+|MN|的最小值为A.2C.4B.3D.5【试题来源】安徽省淮南市第一中学2020-2021学年高二上学期期中(理)【答案】D【解析】由题可得，准线/的方程为x=3.由抛物线的定义可知，|加尸|=七0+3,|MN|+|M FRM N|+A：M+3XN+3=2+3=5.故选 D.17.已知抛物线。：兀 2=2 刀(0)的焦点为，抛物线C 上一点尸(机1)到焦点F 的距离为之.则实数P 值为【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研(二)【答案】C【解析】抛物线C：f=2 p y(p 0),焦点(0,幻，准线方程y=

11、g+=，解得p=,故选C.2 4 218.若抛物线y 2=2 p x(p 0)上的点A(x 0,4 0)到其焦点的距离是点A 到 了轴距离的3倍，则。等于【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期期中考试(文)【答案】D【解析】由题意，3%=%+，/=号,则(4拉y=2p-K,解得P =8,故选D.2 4 41 9.若抛物线2=2*(0)的焦点与双曲线2一5；2=2的右焦点重合，则。的值为A.4B.8C.V2 D.272【试题来源】河北省任丘市第一中学2 0 1 9-2 0 2 0学年高二下学期开学考试【答案】A【分析】先求得双曲线的焦点为(2,0),可得=2,从而得解.

12、22 2【解析】双曲线/一 2=2的标准方程为二 一 乙=1,右焦点为(2,0),-2 2抛物线V=2 p x(p 0)的焦点也是，(2,0),所以5 =2,所以p =4.故选A.2 0.已知。为坐标原点，尸为抛物线C：丁=4岳 的 焦 点，P为C上一点，若|P q=4 0,则 丽 丽=A.6 B.12C.36 D.42【试题来源】天津市河东区2 0 1 9-2 0 2 0学年高二上学期期末【答案】C【分析】根据抛物线的性质求出P点的横坐标，代入抛物线方程得出抛物线的纵坐标，从而解出向量的数量积.【解析】抛物线的焦点为F(0,O),准线方程为 =&.因为|尸 产|=%+、历=4 0，所以Xp=

13、3a.不妨设P在第一象限，则 其=4 0 x30=2 4,所以4=26.所 以 而 丽=(3夜,2遥)2 71,2 )=1 2 +2 4=3 6,故选C.2 1.已知抛物线。：2=2/(0)的焦点为产，。为坐标原点，A,5为抛物线C上两点,A.I AO|=|AF|,且|4七|+|5/|=型4272丁则A B的斜率不可能是B.-2 7 2C.2V2D.交2【试题来源】河南省开封市2021届高一第一次模拟考试（理）【答案】D【分析】先由题中条件，根据抛物线的焦半径公式，求出A B的横坐标，进而确定A 3的坐标，由斜率公式，即可求出结果.【解析】因为F为抛物线。：丁=2*（0）的焦点，所以产多。,又

14、|AO|=|A可，即LJ AOR为等腰三角形，所以乙=（，又点A在抛物线：/=2 p x上,所以2=2 p*(=,则 A=冬，即 A所以由抛物线的焦半径公式可得IAF|=4+(P+&P3丁,又|4/|+|3/|=助，所以|3尸|=女，即4 +4 23=红22,所以4=p.则为2=2 p 2,即%=土及，所以 B（p,0）；当小现2)B（p,及p）时,A3的斜率为心s岳-争2&n P-3P-4当AP _现2)B/、-也（P，一&P）时，AB的斜率为kAR=-=2夜；P/（。,夜。）时，AB的斜率为左 相当心一，B(p,-6 p)时，A 3的斜率为原B何+浮-二=2 五;岳+率2 0c P 3P-

15、4当A 42)，B岛12)故ABC都能取到，D不能取到.故选D.【名师点睛】求解本题的关键在于利用题中条件|A 0|=|A F|,确 定A点横坐标，结合也出叫号以及焦半径公式，确定5点横坐标，得出两点坐标，即可求解.2 2.若点P是抛物线V=8 无上一点，且点p到焦点F的距离是它到了轴距离的3 倍，则P F的中点到y轴距离等于3A.1B.-2C.2D.3【试题来源】河南省2 0 2 1 届高三上一学期名校联盟模拟信息卷（理）【答案】B【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离建立等量关系，求出尸点横坐标，再求出P F的中点横坐标，则PF的中点到y轴距离可求.【解析】抛物线的准线方程

16、为x =2,尸（2,0）,由抛物线的定义，得点P（Xo，X）到焦点F的距离等于点P到准线的距离，则内）+2 =3 X（）,解得 x0=1.所以尸产的中点的横坐标 为 匕 2=3,所以尸产的中点到y轴距离等于之.故选B.2 2 22 3.已知抛物线 2=-2 p x（p0）的焦点为双曲线上-=1 的一个焦点，那么。=1 6 95A.-B.52C.1 0 D.2 0【试题来源】河南省2 0 2 1 届高三名校联盟模拟信息卷（文）【答案】C【分析】分别表示出抛物线的焦点与双曲线的左焦点，进而构建等式求解即可.【解析】双曲线m-4=1的左焦点坐标是（一 5,0）,抛物线丁=一 2 必;（p0）的焦点为

17、1 6 9一 0）所以5=5,解得p =1 0.故 选 C.2 4.已知抛物线V=-1 2%的焦点与双曲线=1 的一个焦点重合,则。=A.7 5B.V 1 3C.5D.2 7 5【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2 0 2 1 届高三上学期数学统练5试题【答案】C【分析】首先求抛物线的焦点坐标，山 双 曲 线 方 程 可 知=。+4,求a的值.【解析】抛物线产=-1 2 尤的焦点是（一 3,0）,2 2双曲线土 二=1 中，c2=a +4,由题意可知a+4 =9,解得。=5.故选C.a 42 5.已知点A（l,0）,8（5,1）,点 P为抛物线C：2=4 x 上任意一点，则归A|+|P B

18、|的最小值为A.6B.7C.8D.V 1 7【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2 0 2 1 届高考适应性月考卷（三）（文）【答案】A【分 析】由 题 知 4 点 为 该 抛 物 线 的 焦 点，进 而 根 据 抛 物 线 的 定 义 得|尸A k|尸 出 P H-跳 剂 L,即|Q4|+|P 8|最小值为6【解析】由题意可知，A点为该抛物线的焦点，分别过点P,B 作直线 =1 （也即抛物线的准线）的垂线交直线于点”,8 ,如图，则有1 P A i+|例=|”|+|尸 5闫 四 1 =6,当且仅当P,8,8 三点共线时等号成立，所以最小值为6.故选A.【名师点睛】本题解题的关键在于根据题意将问题

19、转化为1 尸川+1 尸 3|=1 2 1 +|/用，再根据图形得P,8三点共线时取得最小值，考查化归转化思想与运算求解能力，是基础题.2 6.已知抛物线C：丁 =/（。为常数）过点4（1,3）,则抛物线。的焦点到它的准线的距离是c 2C.3D.-3【试题来源】天津市红桥区2 0 2 0-2 0 2 1 学年高三上学期期末【答案】B【解 析 抛物线过点A（l,3）,.二二，.抛物 线 的 方 程 为 则 焦 力:为（0,4准线为y =-17，.焦点到它的准线的距离为!.故选B.1 2 627.已知P 为抛物线尢=匕上任意一点，抛物线的焦点为产,8点 A（3,l）是平面内一点,则 耳 的 最 小

20、值 为A.72B.3C.4D.5【试题来源】黑龙江省2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二第一学期学业水平考试（文）【答案】D【分析】根据条件作出图示，根据抛物线的定义将|尸 尸|转化为P 到准线的距离，然后根据三点共线求解出|/训+|PE|的最小值.【解析】根据已知条件出图示如下，过 P 作尸产，准线，且准线方程x=-2,所以|必|+|盟=仍 尸|+|叫,所以当P,P,A 三点共线时,此时|PP|+|Pd 有最小值,即|PA|+|P同有最小值，所以（|%+忸 月%,=恒 尸 1,且 P（2,l）,A（3,l）,所以（照+阀网=5 ,故答案为D.【名师点睛】思路【分析】利用抛物线的定义求解抛

21、物线上的点到定点和焦点的距离之和或差的最值问题的思路：（1）将抛物线上的点到焦点的距离转变为到准线的距离；（2）利用三点共线分析距离之和或者距离之差的最值.22 8.动圆M经 过 双 曲 线/一 二=1 的左焦点且与直线=2 相切，则圆心 的轨迹方程是3A.y2=Sx B.y2=-8 xC.y2=4 x D.y2=-4 x【试题来源】湖南省湘潭市第一中学2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期中【答案】B【分析】求出双曲线的左焦点坐标，由直线与圆相切得出圆心M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程.2【解析】双曲线2 1 =1 的左焦点为F（-2,0）,动圆M经过尸且与直线x=2 相切，则圆

22、心M到点F的距离和到直线 =2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是焦点为F，准线为x=2的抛物线，其方程为V=-8x.故选B.2 9.设抛物线C:=2py（p0）的焦点为产，点 p在。上，俨 刊=|,若 以 线 段 p/7为直径的圆过点（-1,0）,则C的方程为A.x2=4 y W c x2=8 y B.x2=2 y .x2=4 yC.x2=2 y x2=Sy D.x2=4 y s J c x2=1 6 y【试题来源】四川省绵阳南山中学2 0 2 0-2 0 2 1 学年高三上学期1 1 月 月 考（理）【答案】C【分析】首先设出点P,尸的坐标，根据题意可知以线段P F为直径的圆与8轴相切，利用

23、焦半径公式和几何关系得到点P 的坐标，建立方程求P.【解析】设 P（x,y）,F（，事），由条件可知y +5=g，即 y =苫，v+并且线段P F的中点纵坐标是y 2 _5,所以以线段P b为直径的圆与X轴相切，2 -4切点坐标（一 1,0）,所以x=2,即 尸,2 节 一 ），代入抛物线方程4=2 p g-曰 ,整理为p2-5p+4=0,【名师点睛】本题的关键是知道以线段PF为直径的圆与x轴相切，这样利用中点的坐标可以求点尸的坐标，和此几何关系类似的有以抛物线焦点弦长为直径的圆与抛物线的准线相切.30.已知直线/:y=Z（x-2）（%0）与抛物线C:V=8x交于A,8两点，F为抛物线C的焦点

24、，若|AF|=2忸可，则人的值是A1R2V23 3C.272 D.也4【试题来源】广西梧州高级中学2020-2021学年高二上学期段考试题（理）【答案】C【分析】设4（%,%）,8（9,必），则不+2=2（%+2）,联立直线方程和抛物线方程，消去 了利用根与系数关系可求k的值.【解析】由抛物线C：V=8 x,知/（2,0）,设4（斗b）,8（%2，%），因为直线/过（2,0）且其斜率大于零，故在x轴两侧.又同尸|=2怛耳，知芯，且玉+2=2（+2）,即占=24+2.由 一 2可得42%2_（8+442卜+4父=0,由根与系数关系得8（X.+x）=-v+4 _ _一公，代入=2%+2,可得，中2

25、 =4X 1 =4X、二 1P=8又上0,故k =2叵,故选c.二、多选题1 .设抛物线C:=2 p x(p 0)的焦点为F,点M在抛物线C上，IM F|=5 .若以M尸为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程可能为A.y2-4 x B.y2=8 xC.y2=1 6 x D.y2=3 2x【试题来源】人教B版(2 0 1 9)选择性必修第一册必杀技第二章 平面解析几何【答案】A C【解析】由题意可知，抛物线C的焦点/(/,。)，设点A(0,2),抛物线C上点(后,%),则 标=6,一2),丽=(浮%2).因 为 以 为 直 径 的 圆 过 点(0,2)，所以 丽 =(),即y；-8%+1 6

26、 =0,解 得%=4 ,加(色,4 .由 尸|=5 得 J 但 +1 6=5.又 P。，解得=2 或 p =8,、P J y l P 2,则抛物线C的方程为y 2=4 x或V=i 6 x.故选A C.2.设 抛 物 线y 2=2 x(0)的 焦 点 为 尸.点M在 丫轴上，若线段FM的中点3在抛物线上，且点B到 抛 物 线 准 线 的 距 离 为 逑，则点M的坐标为4A.(0,-1)B.(0,-2)C.(0,2)D.(0,1)【试题来源】江苏省南通市海安市2 0 2 0-2 0 2 1学年高二上学期期中【答案】B C【分析】设M(0,%),可得8仁,微),结合抛物线的性质可得 忸 闻=(+g

27、可求出，由5在抛物线上，可求出先，即可求出答案.r（万、则忸止卜勺平，解得“=0.所以抛物线方程为y 2 =2&x,且又8在抛物线上，；为2=2&*?，因此为2=4,解得为=2.所以点M的坐标为（0,2）或（0,2）.故 选B C.3 .已知方程如？+咬尸=1 （加,e R）,贝IA.当相 0时，方程表示椭圆 B.当?0时，方程表示两条直线 D.方程表示的曲线不可能为抛物线【试题来源】江苏省南京师范大学附属苏州实验学校2 0 2 0-2 0 2 1学年高二上学期教学质量调研（二）【答案】B C D【解析】A：取?=1,此时表示圆，故A错误；B：当初 0）的焦点尸到准线的距离为2,过点F的直线与

28、抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，。为坐标原点，则A.C的准线方程为y=-lC.S OPQ 2B.线段PQ长度的最小值为4ULU UUUD.O P O Q =-3【试题来源】江苏省盐城市响水中学2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期中【答案】B C D【解析】焦 点 F 到准线的距离为p=2,所以抛物线C的焦点为(1,0),准线方程为x=-1,则选项A错误；当 PQ垂直于x 轴时长度最小，此时P(l,2),Q(l,-2),所以|尸。|=4,则选项B正确；设 P(x i,yi),Q(X 2,”)，直线 P。的方程为广，,联立产)?=2 p x ,消去 y 可得*2 (4 n?2

29、+2)x+l=0,消去 x 可得y 4?y4=0,J W W xi+X 2=4 m2+2,yi+)2=4 m,yly2=-4 S 8 2=；|0F|M_y 2|=g x l x _ 4 y%=g x J 1 6 +1 6 N 2,当m=0时成立，则选项C正确；又 第x 2=1,y i)2=-4,所以=x i X 2+yi)2=3,则选项 D 正确；故选 B C D.5.以直线2 x-y-l =0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为A.y2=2x B.y2-4 xC.x2=-4 y D.x2=-2y【试题来源】江苏省南通市平潮高级中学2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期中【答案】

30、A C【解析】直.线2 x y l=0与x轴的交点坐 标 是 即 抛 物 线 的 焦 点 坐标是此时抛物线的标准方程丁=2%，与 y 轴的交点坐标是(o,-i),抛物线的焦点坐标是(o,-i),此时抛物线的标准方程是%2=-4 y.故选A C.6.若抛 物 线 丁=2/(。0)上一点(6,到焦点的距离为相，则A.p =1 2 B.p =2 4C.m-1 2 D.p=2 m【试题来源】河北省2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期1 1 月期中【答案】A C【分析】根据抛物线的定义，可得6 +5=加，结合点(6,机)在抛物线 2=2 内 上，联立方程组，即可得，加 的值，得到答案.【解析】

31、由抛物线y2=2 p x(p 0),可得其准线方程为x =一5，因为点(6,相)到焦点的距离为”?，根据抛物线的定义，可得6 +=相，2又由点(6,m)是抛物线V=2 p x(p 0)上的点，可得1 2 p =加？，联立方程组1 5 根，解得p =/=1 2.故选A C.2p=nr7.设抛物线C：=2px(/?0)的焦点为F,准线为/,A为C上一点，以F为圆心，|布|为半径的圆交/于3,。两 点.若N 4 B =9 0。，且A A B F的面积为96，则A.|B F|=3 B.A A B F是等边三角形C.点F到准线的距离为3 D.抛物线C的方程为y=6 x【试题来源】2 0 2 1年新高考数

32、学一轮复习学与练【答案】B C D【分析】根据题意，作出示意图，结合抛物线的定义，焦半径公式，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【解析】根据题意，作图如下：因为I用为半径的圆交/于8,。两点，所以I B 4 R FB I,乂|E4|=|A B|,所以口A B/7为等边三角形，B正确：Z ABD=90,AB/x,过尸作尸C L A 8交于C,则C为A 8的中点,C的横坐标为3,B的横坐标为一,所以A的横坐标为|p,|A B|=2 p ,S ABC AB?p1=9 6，p=3，IB F|=|AB|=2p=6,所以 A 不正确,焦点到准线的距离为p=3,所以C正确:抛物线的方程为V=6x,所

33、以D正确.故选BCD.8.已知抛物线/=2py（p0）的焦点为凡 过点F的直线/交抛物线于A,B两点，以线段A3为直径的圆交x轴于M,N两点，设线段A8的中点为Q.若抛物线C上存在一点EQ,2）到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的是A.抛物线的方程是B.抛物线的准线是y=-lC.sinNQMN的最小值是g D.线段4B的最小值是6【试题来源】江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初【答案】BC【解析】抛物线C:x2=2 y（p 0）的焦点为尸（0,9,得抛物线的准线方程为y=点七（。2）到焦点F的 距离等于3,可得2+5 =3,解 得。=2,则抛物线。的方程为x2=4y,准线为y=

34、-l,故A错误，8正确；由题知直线/的斜率存在，F（0,1）,设A（玉,y j,3（%2，%），直线/的方程为丁=h+1，y=去+1由 2 ,，消去y得f-4米一4=0，所以X1+X,=43 X|X,=-4,x=4 y所以y+%=%（玉+W）+2=4公+2，所以AB的中点Q的坐标为（2匕2公+1）,|4却=乂+%+=4公+2+2=4公+4,故线段AB的最小值是4,即 错误；所以圆。的半径为r=2公+2，在等腰QMN 中，疝/0仰=闯=2/+1 =i 1=1,r 2k2+2 2左2+2-2 2当且仅当k=0时取等号，所以sinNQMN的 最 小 值 为 即C正确，故选BC.【名师点睛】本题考查抛

35、物线的定义、方程和性质，课程中心方程和抛物线方程联立，运用根与系数关系和弦长公式、中点坐标公式，考查化筒整理的运算能力，属于中档题.9.已知点M（2,-2）在 抛 物 线 幺=2、（0）的准线上，F是抛物线的焦点.过点M的两条直线分别与抛物线相切于点A，B,直线Mb交直线AB于点E,则下列结论正确的是A.抛物线方程为f=4y B.直线A3的方程为x-2 y +4 =0C.A M-B M=O D.MEf=AE-BE【试题来源】2 0 2 1届全国著名重点中学新高考冲刺（8）【答案】B C D【解析】因为点M（2,2）在抛物线x2=2 p y（p 0）的准线上，所以=2,p=4,抛物线的方程为f=

36、8y,故A错误.设 g,y）,3（%,%），则抛物线在4,B两 点 处 的 切 线 方 程 分 别 为%）,根据x：=8y,化简可得x=4（%+y）,同理可得+V），因为两直线均过点M（2,-2）,所以占=2（%-2）,x2=2（y2-2）,则点 A（石，x）,8,%）均在直线x=2（y-2）上，所以直线A8的方程为x=2（y-2）,即x 2 y +4 =0,故B正确.联立直线AB与抛物线的方程得 2 o 得f 4 x 1 6 =0,所以百 =-1 6,所x=8 y,以“八 加 原 加 L所以A M -B M=0 故C正确4 4 1 6-2-2 1 1又 =-2 ,kA B=-f 所以氏 M

37、F =_ 2乂7 =-1 ,所以 A/E J _A 5，所以2 0 2 2 MEf=AE-BE.故选 B C D.【名师点睛】本题是综合性题目，属于探索创新情境，具体是数学探究请境.关键点【名师点睛】本题以直线与抛物线相切为载体，考查抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系，本题的关键利用在点A5处的切线方程都过点M（2,-2）,求出直线A8的方程.1 0.抛物线C：/=4）,的焦点为尸，p为其上一动点，设直线/与抛物线C相交于A,B两点，点”（2,2）,下列结论正确的是A.1 P M+1尸 用 的最小值为3B.抛物线C上的动点到点”（）,3）的距离最小值为3C.存在直线/,使得A,3两点关于

38、x+y-3 =o对称D.若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T,则 4、8两点的纵坐标之和最小值为2【试题来源】专题十 平面解析几何-山东省2 0 2 0 二模汇编【答案】A D【解析】A.设/是抛物线的准线，过 尸 作 P N J J 于 N,则|讯/|呻 画辟|43 ,w 川 似 当.点 儿 线 时 等 号 成 匚 所 以|P M|+|P F|储小值是3,A 正确；B .设 P(X,是抛物线上任一点，即 f=4y,|P*=4 2+(y _ 3)2 =J 4 y +(y _3)2 =J(y l)2+8 ,y =l 时，1 P Mmm=a=2夜B 错误；C.假 设 存 在 宜 线/，使 得

39、A,B两点关于工+y一3 =0 对称，设/方程为x-y +m=0,由 (,x-y+m=0m-l,设 4%,%),8(%,%)，则%+工 2=4,A8中点为。(%,%)则X。=、=2 ,y0=x0+m =2+m,。必在直线x+y-3 =。上,所以2 +2 +机一3 =0,m =-l,这与直 线/抛物线相交于两个点矛盾，C错误;D.设 A（X，X）,3（毛，：,由/=4y即 y =,得 y=,则切线A T 方程为1 1 1 9 1 1 9y _ y =5玉（_&）,即，同理BT 方程是y =/%2 彳-w*2，,解得1 z、X=(X|+x2),由题意T 在准线y =-l上,1所以I玉%,=-,X

40、/=-4,所以 y +%=w(x；+x；)=w(X +工 2)+2，所 以%+工2=0时，y+%=2为最小值.D正 确.故 选 AD.三、填空题1.若动点P与定点F(l,l)的距离和动点P与直线l:3 x+y-4 =0的距离相等，则动点p的轨迹方程是.【试题来源】河北省唐山市第一中学2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期中【答案】x-3 y +2=0.【分析】本题考查抛物线的定义与方程，主要用于准确落实抛物线的定义，关键在于首先确定点在直线上，然后可判定P 在过定点尸且与定直线垂直的直线上，从而利用直线的垂直关系求得P 的轨迹方程.【解析】因为定点尸(1,1)在直线/：3 x+y 4

41、 =()上，所以到定点F的距离和到定直线/的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点/与直线/：3 尤+y -4 =0垂直的直线.所以动点尸的轨迹方程是y l =g(x 1),即x -3 y +2 =0.【名师点睛】平面内到定点距离等于到定直线距离的动点的轨迹不一定是抛物线：当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与已知直线垂直的直线，当且仅当定点不在定直线上时，动点的轨迹才是抛物线.对圆锥曲线的概念的掌握一定要准确全面，此题易错误当成抛物线求解.912 .抛物线/=-y的 准 线 方 程 是.4【试题来源】山东省日照市五莲县2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二上学期期中考试 答案】y=-1

42、 6【解析】抛物线中，y 0,是一原点为顶点，开口方向向上的抛物线，2p=L4 4所以抛物线的准线方程为y =-故答案为y =1 6 1 6【名师点睛】抛物线x 2=2 p x(p 0)的准线方程是y =抛物线2=如(4。0)的准线方程是y =.43 .若抛物线V=4 x上一点M到焦点F的距离为4,则M点 的 横 坐 标 为.【试题来源】上 海市黄浦区格致中学2 0 2 1 届高三上学期期中【答案】3【分析】根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，列关系即得结果.【解析】易见，抛物线V=4 x的准线方程为x =1,设M （%，），则M 到准线的距离为%+1,等于M 到焦点口的距离为4

43、,即玉）+1 =4,故/=3,即M 点的横坐标为3.故答案为3.4 .己知抛物线y 2=2 p x（p o）上横坐标为1 的 点 到 焦 点 的 距 离 为 则，=.【试题来源】江苏省南通市海安县2 0 2 0-2 0 2 1 学年高三上学期期中调研考试【答案】3【解析】由抛物线定义可得，1 一（一 ）=1,解得P=3,故答案为3.5 .抛物线父=-4 y 上一点M到焦点的距离是7,则点M到 准 线 的 距 离 是.【试题来源】江西省贵溪市实验中学高中部2 0 2 1 届高三上学期三校生第三次月考【答案】7【分析】根据抛物线定义即可知点A f 到准线的距离.【解析】由抛物线定义知抛物线上的点到

44、焦点与点到准线的距离相等，所 以 点 M 到准线的距离为7,故答案为7.6.已知抛物线C：;/=4 尢上，则抛物C的 准 线 方 程 为.【试题来源】北京市昌平区第一中学2 0 2 0 2 0 2 1 学年度高二年级匕学期期中考试【答案】=-1.【解析】抛物线C：y2=4x,所以2=4,p =2,准线方程为x =|=1,7 .抛物线的准线方程为.【试题来源】广东省中山市第一中学20 20-20 21 学年高二匕学期第二次统测【答案】）【解析】因 为 抛 物 线 方 程 为 所 以 2 =!，即 =!，3 3 6所以准线方程为y=5=.故答案为y=白 .8.已知抛物线V=-4x上 的 焦 点/，

45、点 P 在抛物线上，点 A（2,l）,则要使|PF|+|/训的值最小的点P的坐标为.【试题来源】广东省珠海市第二中学20 20-20 21 学年高二上学期期中【答案】信，1）【分析】利用抛物线的定义，将 点P（3 ）到焦点F的距离|尸内转化为它到准线/：的距离，利用不等式即可求得答案.【解析】因 为 抛 物 线=一4%的焦点尸，所以尸（一 L 0）,其准线方程为/:x =l，因为点P 在抛物线上，点A（2,1）,设点P 在准线/：ml上的射影为P,则|PF=PP,PF+PA=PA+P P|AP|=3 （当 A,P,P 三点共线时取“=”），此时尸点的纵坐标为=1,所以1 =-4 机，解得机=工

46、，所以点P 的坐标为（!）.4 49 .设抛物线9=2*（0）的 焦 点 为F,若 F 到直线y=的距离为6,则。=【试题来源】浙江省金华市曙光学校20 20-20 21 学年高二上学期期中【答案】4【解析】抛物线y 2=2 p x（p0）的焦点为,因为尸到直线y=&x的距离为G，V 3所以/3+T解得P =4；故答案为4.1 0 .已知。为坐标原点，抛物线C:y 2=2 p x 上一点A 到焦点尸的距离为4,若点M为抛物线C 准线上的动点，若 赤=3 胡，则?=.【试题来源】江西省南昌市第十中学20 20-20 21 学年高二上学期期中考试（文）【答案】3【分析】作 A E垂直于准线于E，由

47、抛物线的定义可得|4 E|=|Aq=4,再由相似的知识即可得解.【解析】若 0,作 A E垂直于准线于E，设准线与工轴的交点为N,如图,由 抛 物 线 的 定 义 可 得|AE|=|A/|=4 ,因 为 诉=3包，所 以|“q=3|/木=1 2,|M4|=1 6,由相似的性质可 得 圈=犒即蒋=粤，所以|册1 =3,所以p =3；当p 2=4%的焦点，若8(3,2),则 P B+P F的最小值为.【试题来源】湖南省常德市淮阳中学20 20-20 21 学年高二上学期期中【答案】4【分析】先判断点8(3,2)在抛物线内，过点3作 8。垂直准线于点Q,交抛物线于点4,根据抛物线的定义，结合图形，得

48、至 尸耳+忸目之山邳+山9,即可得出结果.【解析】因为2 2 0 时，整理抛物线方程得V=-y,即0=T，a 2a由抛物线f=2期(0)的焦点为(I,),所求焦点坐标为(0,圭).当。0)的焦点是双曲线/一三_ =1的一个焦点，贝I j p=.【试题来源】山东省济南第十一中学2 02 0-2 02 1学年第一学期期中考试高二年级【答案】4【分析】由题意可知抛物线的焦点(,0)为双曲线的右焦点，而双曲线的右焦点坐标为2(2,0)可得答案.【解析】因为抛物线y2=2 p x(p 0)的焦点为(g0),2所以双曲线的右焦点为(5,0),因为双曲线x2-=l的右焦点坐标为(2,0),所以=2,解得p

49、=4,故答案为4.215.平面直角坐标系x O y中，抛物线C：V=8x的焦点为F,M是C上的点，若 O F M的外接圆E与C的准线相切，则圆E的面积为.【试题来源】福建省莆田第十五中学2 019届高三上学期期中考试(理)【答案】9n【解析】由圆的对称性可知，圆E的圆心在线段。尸的垂直平分线上，如下图所示，其中A为 线 段 的 中 点，8为准线与圆E的切点，连接3E,C为正线与X轴的交点,由题意可知，|A C|=|O A|+|O C|=l+2 =3,圆E的半径r =怛 目=|A C|=3,则圆的面枳S =7rr2=9 7 r .故答案为97V.16 .己知抛物线C:y 2=4 x与圆E：(%-

50、l)2 +y 2=9相交于A,B两点，点M为劣弧农B上不同于A,3的一个动点，平行于x轴的直 线 交 抛 物 线 于 点N,则匚MNE的周长的取值范围为.【试题来源】湖南师范大学附属中学2 02 0-2 02 1学年高三上学期月考(三)【答案】(6,8)【分析】先画出图形，求出4(2,2、历)，8(2,-20),得到2 V x M 4,再求出口脑V E的周长为|M E|+1 N E|+1 M N|=3+1|,求出|M D|的范围即得解.【解析】画出图形如图所示，圆E的圆心为(1,0),半径为3,抛物线的焦点为(1,0),准线为 x =-l,由)V,解得 A(2,2衣，5(2,-20),所以 2