2023春步步高数学人教A版必修第二册期末检测试卷(一).pdf

《2023春步步高数学人教A版必修第二册期末检测试卷(一).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023春步步高数学人教A版必修第二册期末检测试卷(一).pdf（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、期末检测试卷（一）（时间：1 2 0 分钟 满分：1 5 0 分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 4 0 分）1 .若 z=l+i,则|i z+3 石等于（）A.4 4 B.4 6 C.2 5 D.2小答 案 D解 析 因为 z=l+i,所以 i z+3 =i（l+i）+3（l-i）=2 2 i,所以|i z+3|=护7=2啦.2 .某学校有高中学生1 0 0 0 人,其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为3 2 0,3 0 0,3 8 0.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用按比例分配分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为1 0 0 的样本，那么应抽取高二年级学生

2、的人数为（）A.6 8 B.3 8 C.3 2 D.3 0答 案 D解 析 根据题意得，用分层随机抽样在各层中的抽样比为儡=,则高二年级被抽取的人数是3 O O X =3 O（人）.3 .南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1 4 8.5 m时，相应水面的面积为1 4 0.0 k n?；水位为海拔1 5 7.5 m时，相应水面的 面 积 为 1 8 0.0 k m2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1 4 8.5 m上升到1 5 7.5 m时，增加的水量约为（木 p2 6 5）（）A.1.0 X 1 09m3 B

3、.1.2 X 1 0 9 m 3C.1.4 X 1 0 9 m 3 D.1.6 X 1 0 9 m 3答 案 C解析 依题意可知棱台的高为MN=1 5 7.5 1 4 8.5=9（m）,所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台上底面面积 S=1 4 0.0 k m 2=1 4 0 X 1 0 6 m 2,下底面面积 S =1 8 0.0 k m2=1 8 0 X 1 06 m2,所以 V=|/?(S+S/+小 7)=g x 9 X (1 4 0 X 1 06+1 8 0 X 1 06+/1 4 0 X 1 8 0 X 1 01 2)=3 X (3 2 0+6 0 巾)X 1 0 65 5 a(96

4、+1 8 X 2.6 5)X 1 0 7=1.4 3 7 义 1 09 1.4 X 1 09(m3).4 .某校高一年级1 5 个班参加朗诵比赛的得分如下：91 8 9 90 92 94 8 7 93 96 91 8 5 8 9 93 8 8 98 93则这组数据的6 0%分位数、90%分位数分别为()A.92,96 B.93,96C.92.5,95 D.92.5,96答 案 D解 析 将这组数据按从小到大排列得8 5 8 7 8 8 8 9 8 9 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98则 1 5 X 6 0%=9,1 5 X 90%=1 3.5,所以6 0%分位数为92

5、k+9=39 2590%分位数为96.5 .已知底面边 长 为 1,侧棱长为限的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为()3 2 兀 八 “C 3 -4 兀B.4 兀 C.2 兀 D.-答 案 D解 析 .正四棱柱的底面边长为1,侧棱长为也，.正四棱柱体对角线的长 为 护 HR=2.又.正四棱柱的顶点在同一球面上，.正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，则球的半径R=l,根据球的体积公式，得此球的体积丫=京7?34 兀=于6.在 A B C 中，内角A,B,C的对边分别为，b,c.若 A 8 C 的面积为S,且。=1,4 S=序则AABC外接圆的面积为()兀A.4 兀 B.2 兀 C.兀

6、 D，2答 案 D解 析 由余弦定理得，b2+c2a2=2bccos A,又 a=l,所以尻+/1 =2bccosA,又 S=f c s i n A,4S=h2+c2 1,所以有 4 Xbcsin A=2bccos A,即 s i n A=c o s A,t a n A=l,j r又 0 4 2 2 5 1 9 26=#8 F+d A 8 A C+K|A C F=K +(29 30)2+(3030)2+(31-30)2+(32-30)2=2,故可得甲地该月1 4 时的气温的方差大于乙地该月1 4 时的气温的方差，所以甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.11.从 1,2

7、,3,，7 这 7 个数中任取两个数，其中不是对立事件的是（）A.恰有一个是偶数和恰有一个是奇数B.至少有一个是奇数和两个都是奇数C.至少有一个是奇数和两个都是偶数D.至少有一个是奇数和至少有一个是偶数答 案 ABD解 析 C 中，“至少有一个是奇数”，即“两个奇数或一奇一偶”，而从1 7 中任取两个数,根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：”两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故”至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.12.已知正方体A B C Q-A iSG A，则（）A.直线8 G 与 0 4 所成的角为90。B.直线B G 与 C 4 所成

8、的角为90。C.直线B G 与平面88。所成的角为45。D.直线B G 与平面ABCO所成的角为45。答 案 ABD解析 如图，连接BC,B C i,因为。所以直线B G 与 BiC所成的角即为直线8G与 D 4i所成的角，因为四边形BBiGC为正方形，则 B|C_LBG,故直线8 c l与 0 4 所成的角为90。，放 A 正确;连接4 1 c 因为 Ai，平面 8B1GC,B G U 平面 8 B C C,则 A iB JB G,因为 BiCLLBG,4 向 C B iC=C i,所以 BG J_平面 4 B C,又 4 C U 平面4 B C,所以8cl_L C 4i,故 B 正确；连接

9、4 G,设 4 0 8|。|=0,连接 B0,因为 BB|_L平面 A BIC QI,G O U 平面 A1B1CQ1,则 GO_LBiB,因为 GO J_8iA,BDrBB=Bx,所以 CQ_L平面所以NGB。为直线BC与平面B B Q Q 所成的角，设正方体棱长为 1,则,BC y2,sinNCi80=所以直线B G 与 平 面 所 成 的 角 为 30。，故 C 错误;因为C|C，平面ABCQ,所以N G B C 为直线B G 与平面ABCO所成的角，易得/Q B C=4 5。,故 D 正确.三、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分)13.已知向量。=(肛3),b=(l,m

10、+1).若 a_LA,则?=.答 案 4解 析 由题意知，。功=加+3(,+1)=0,3解得机14.已知在三棱锥尸一A 8C中，若 胆 _L平面A B C,且 朋=A B=A C=B C,则异面直线PB 与AC所 成 角 的 余 弦 值 为.答 案 当解析 过点B 作 BOA C,且 B O=4 C,连接A。，P D,如图所示,则四边形AOBC为菱形，或其补角)即为异面直线P 8 与AC所成的角.设 PA=AB=AC=BC=a.则 AD=BD=a,.公_L平面ABC,PB=PD P A2+AD2=yf2a,cos ZPBD=PB2+BD2-P D2 2a2+a2 2a2 22XPBXBD=2X

11、 巾 aXa=4.异面直线PB与A C 所成角的余弦值为坐1 5.甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8,若只有1 人击中，则飞机被击落的概率为0.2,若 2 人击中，则飞机被击落的概率为0.6,若 3 人击中，则飞机一定被击落，则 飞 机 被 击 落 的 概 率 为.答 案 0.492解 析 设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A,B,C,依题意，A,B,C 相互独立，故所求事件的概率为 P=P(AB-C)+P(T BC)+P(AB QX0.2+P(ABC)+P(T BC)+P(ABC)X 0.6+P(ABC)=(0.4 X 0.5 X 0.2+0.6 X 0.5

12、X 0.2+0.6 X 0.5 X 0.8)X 0.2+(0.4 X 0.5 X 0.2+0.6 X 0.5 X 0.8+0.4 X 0.5 X 0.8)X 0.6+0.4 X 0.5 X 0.8=0.492.16.足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲更早，历史更为悠久，如图，现代比赛用的足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体,著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F),顶点数(V),棱数()满足尸+V E=2,那么，足球有 个 正 六 边 形 的 面，若 正 六 边 形 的 边 长 为 旧 c m,则足球的直径约为cm.(结果保留整数)(参考数据t

13、an 54吟 1.38,小 和 1.73,衿=3.14)答 案 20 22解 析 因为足球由正五边形与正六边形构成，所以每块正五边形皮料周围都是正六边形皮料,每两个相邻的多边形恰有一条公共边，每个顶点处都有三块皮料，而且都遵循一个正五边形，两个正六边形的结论.设正五边形为x 块，正六边形为块，由题意知，x+y+gex+G y)-g(5x+6y)=2,x+y=32,x12,解得“LV=20.所以足球有20个正六边形的面.每个正六边形的面积为:x(、/i i)2x坐*6=吟 后，每 个正五边形的面积为师x g q a n 54。乂5=105：154。,则球的表面积S=20X吟 回+12X 您 喂

14、至-630V3+315tan54=l 089.9+434.7=1 524.6,所以4派2=兀(2幻2=1 5 2 4.6,解得2R=22.所以足球的直径约为22 cm.四、解答题(本大题共6 小题，共 70分)17.(10 分)已知=4,网=3,(2a-3*)-(2a+*)=61.求 Q与分的夹角8；(2)求|a+加；(3)若 赢=a,B C=b,求ABC的面积.解(1)因为(2。3。(2。+方)=61,所以 41a l2-4。协一3 4 F=6 1.又=4,步|=3,所以 6 44。协-27=6 1,所以 a-b=-6,所以cos =丽=小 石=一 又 o w e，,所以。=季(2)|0+肝

15、=3+5)2=间2+lab+步 F=4 2+2 X(6)+3 2=13,所以|a+b|=qi 5.(3)因为后 与 正 的夹角。=用，所以 N A B C=7 T 争=.又 而|=|0|=4,|正尸网=3,1 f f所以 5 M 第=习48 118 a si n N A 8 C=；X 4 X 3 X 坐=3 小.18.(12 分)记 A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 si n C si n(A 3)=si n 5si n(C-4).(1)证明：2a2=b2-lc2；(2)若 a=5,cos 求 A B C 的局长.证明 因为 si n C si n(A B)=si

16、 n 8 si n(C 4),所以 si n C si n A cos si n C si n B cos A =si n B si n C eos A si n B si n A cos C,所以ac-cp+c2-Z;2 6+/一层+按/-2bc-2 b c-=a b _2 b 口 r +f2 一/即-o-(6+4 一屏)=后+人2/2所以22=尻+/.(2)解因为。=5,cosA=|,由(1)得+C2=50,由余弦定理可得屋=按+。22Z?ccos A,则 50 梁?c=25,31所以b c=,故仍+。)2=庆+/+2儿=50+31=81,所以b+c=9,所以ABC的周长为a+6+c=14

17、.19.(12分)某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个数.带&:与。是虚数单位).(1)从三个式子中选择一个，求出这个数；(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.2+i(2+i)(l+2i)2+4i+i 2.解()l-2 i-(l-2 i)(l+2 i)-5 f-4+3 i_(-4+3 i)(3-4 i)_-1 2+1 6 i+9 i+1 2_ _ TT_(TT.Li)_ l+2 iT _3+4i=(3+4i)(3-4i)=25=1-1+i=(-l+i)(-l-i)=2i(选择其中一个式子即可).(2)根据三个式子的结构特

18、征及(1)的计算结果，可以得 到 光=i(,6 C R 且”，不同时为零)，下面进行证明：a+历(a+bi)(6+ai)b-a i(匕 一 4i)(Z+ai)(ab-ab)+(辟+从)=b2+a2=i.20.(12 分)如图，四面体 ABC。中，AO_LC,ADCD,NADB=NBDC,E 为 AC 的中点.(1)证明：平面平面AC)；(2)设 AB=8=2,NACB=60。，点尸在BO上，当 的 面 积 最 小 时，求三棱锥尸一ABC的体积.(1)证明 因为AO=CD,E 为AC的中点，所以ACJ_DE.在AOB 和C8 中，因为 AO=C,NADB=NBDC,DB=DB,所以 AAD BA

19、CD B,所以BA=BC,又 E为AC的中点，所以 A C _ L B E.因为8 E n Z）E=E,且 B E,OEU平面B E D,所以A C _ L 平面B E D,又 4 CU平面ACD,所以平面8 E _ L 平面ACD.（2）解 由（1）可知B A=B C,又因为N A C 8=6 0。，A B=2,所以 A 8 C 为边长为2 的正三角形,则 A C=2,BE=yf3,AE=.因为A O=C ,A D L C D,所以 A C C 为等腰直角三角形，所以 E=1.又 BD=2,所以 8 0 2 =8 2 +。2,所以DELEB.连接EF（图略），易知当 A FC 的面积最小时，

20、E F 取最小值，D E B E在 Rt A i B E。中，E F 的最小值为E 到 3。的距离，故当人人?的面积最小时，E F=”=tSLJ近2 ,由射影定理知E D F FB,又 D F+F B=B D=2,-1 3所以。F=,FB=.方 法 一 因为。EJ _ A C,D E L BE,A C C B E=E,AC,B E U 平面 A B C,所以。E L 平面A B C,则尸到平面A B C 的距离,BF 3d=Bi5D E=4-故 VF-ABC S ABC-Z=|x X 4 X方 法 二 由（1）知 B Q LA C,又 A C E F=E,AC,E F U 平面 A C F,所

21、以8 DJ _ 平面A C F,所以8F 即 8到平面A C F的距离，故 VF-ABC=VB-AFC=SFC BFEF-BF=XX2X-X=-.2 1.（12 分）全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城 市.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛,现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩(单位：分)如下表:甲单位8 78 89 19 19 3乙单位8 58 99 19 29 3(1)根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；(2)用简单随机抽样法从

22、乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率.8 7 +8 8+9 1+9 1+9 3解(1)x 中=-=9 0,8 5 +8 9+9 1+9 2+9 3x z.=9 0,51=1X(87-9 0)2+(8 8-9 0)2+(9 1-9 0)2+(9 1-9 0)2+(9 3-9 0)2 =4.8,.y?.=|x (8 5-9 0)2+(8 9-9 0)2+(9 1-9 0)2+(9 2 -9 0 产+(9 3 9 0)2=8,显然X单=X-，S*甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工对文明城市知识掌握得更好.(2)从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的

23、所有样本点(用数对表示)为(8 5,8 9),(8 5,9 1),(8 5,9 2),(8 5,9 3),(8 9,9 1),(8 9,9 2),(8 9,9 3),(9 1,9 2),(9 1,9 3),(9 2,9 3),共 10 个，且每个样本点出现的可能性相等.记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件A,则事件 A 包含的样本点为(8 5,8 9),(8 5,9 1),(8 5,9 2),(8 5,9 3),(8 9,9 3),共 5 个，则由古典概型概率公式可知尸(4)=磊=/2 2.(12 分)有7 位歌手(1至 7 号)参加一场歌唱比赛，由 5 0 0 名大众评委现场投

24、票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5 010 015 015 05 0(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用按比例分配分层随机抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从8组抽取了 6 人，请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5 010 015 015 05 0抽取人数6(2)在(1)中，若 A,3两组被抽到的评委中各有2人支持1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1 人，求这2人都支持1 号歌手的概率.解(1)由题设知，分层随机抽样的抽取比例为6%,所以各组抽取的人数如下表.组另I JABCDE人数5 010015 015 05 0抽取人数36993(2)记从A 组抽到的3位评委分别为0,42,43,其中0,42 支 持 1 号歌手；从 B 组抽到的6位评委分别为bi,bi,bi,d，bs,b(,其中。i,岳支持1 号歌手，从 m,“2,痣 和/九，bi,加，b5,从 中各抽取1 人的所有样本点如图：由树形图知所有样本点共18 个，且是等可能的，其中2人都支持1 号歌手的有功也，aM,azb,a2b2,共 4 个，4 2故所求概率2=比=