2023高考数学一模试题及答案.pdf

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1、2023高考数学模拟试题1.已知集合8=0,1,2,C=-1,0,1,非空集合A满足A q B,AcC,则符合条件的集合A的个数为A.3 B.4 C.7 D.82.已知复数z满 足（2+i）z=I 4 3 i I（i为虚数单位），则2=A.2+i B.2 i C.1 +2i D.I 2i3 .某街道甲、乙、丙三个小区的太极拳爱好者人数如右侧的条形图所示.该街道体协为普及群众健身养生活动，准备举行一个小型太极拳表演.若用分层抽样的方法从这三个小区的太极拳爱好者中抽取12名参加太极拳表演，则丙小区应抽取的人数为A.2 B.3C.4 D.64 .已知椭圆C：-+4=1 0）的左、右焦点分别为B,20

2、kh2+3 b1F2,P为椭圆C的上顶点，若N F|P F 2=。，则6=A.3 B.5 C.75 .在平面直角坐标系xO y中，已知点P （1,0）和圆O：x2+y2=l,在圆O上任取一点Q,连接P Q,则直线P Q的斜率大于一 V 3的概率是叫一。甲 乙 丙 小 区D.9A.6B.3C.D.566 .数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线.具体作法是：先作边长为1的正三角形A B C,分别记射线A C,B A,C B为匕，h，以C为圆心、C B为半径

3、作劣弧BG交八于点C i；以A为圆心、A C i为半径作劣弧G A i交乙于点A i；以B为圆心、B A i为半径作劣弧AIBI交/3于点B i,，依此规律作下去，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线.记劣弧BG的长，劣弧G A i的长，劣弧AB的长，依次为a i，a 2 a j,，则 a i+a 2+a 9=A.3 0%B.4 5乃C.6 0万D.6 5乃7 .已知aA B C是边长为4的等边三角形，D为B C的中点，点E在边A CUUUl UUU1上，且力=（02 0),若 f(X)在区间(乃，2%)上不存在零点，则。的取值范围是,7A.(0,1 2C.(,1)1 2 6B.7U (,1 1 2

4、D.,1 1 7(0,U-,1 2 6 1 21 7 1 2 1 21 2.已知双曲线E：/V2(a 0,b 0)a2 b2的左、右焦点分别为F i,F 2,过F 2作圆O：x 2+y 2 =a 2的切线，切点为T,延长F 2 T交双曲线E的左支于点P.若 I P F 2 I 2 I T F2 I,则双曲线E的离心率的取值范围是A.(2,+)B.(亚,+)C.(夜，石)D.(2,V 6 )二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 2 0 分.1 3 .若(l-3 x)展开式中各项系数的和等于6 4,则展开式中产 的系数是1 4 .已知三棱锥P-/8 C中，侧棱切，底面N B C A C L

5、B C.PA=A B =2 B C=2,则三棱锥P -A B C的外接球的表面积为1 5 .已知数列%,满足%+=3。“+4,4=1,则。“=.1 6 .对于函数“X),若存在区间A/=%b a 0),直线y=A x +l 交T于A点，且当上=1时，|8|=8.求 P 的值；(2)如图，抛物线T在 A、B两点处的切线分别与V 轴交于C、。，4 C 和3。交于G,元+彷+至=0.证明：存在实数工，使 得 近=/1彳 5.21.(12 分)已知函数/(x)=o r l n x +x 2.(1)讨论/(力 的零点个数：若 0 a W l,求证：/(x)ex-s in x +l .(-)选考题，共10

6、分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2.选修4 4：坐标系与参数方程(1 0分)(X =。+4 c o s 0在平面直角坐标系X。中，曲线G ：.(9 为参数,实数。0)，y=asm(px=b c o s (p71.(。为参数，实数方 0).在以。为极点，x轴的y=b+bsm(pT V正半轴为极轴的极坐标系中，射线/：0=a,(p 0,与q交于。，4两点，与G 交于。，8两 点.当 a =0 时，=当a =时,囱=2.(1)求 a,6的值；求 2|。/+君|。叫 O 8|的最大值.2 3.选修4-5:不等式选讲(1 0分)已知/(x)=2,-l|+卜-

7、2 卜a ,若在R上恒成立.(1)求实数。的取值范围；(2)设实数。的最大值为加，若正数6,c 满足上+：=机，求 bc+c+2 6 的最c b小值.A B C A D A D C B A B C1 3 .1 3 5 1 4 .8 1 5 .3 一 2 1 6 .，1 7.(1)选条件：由6 ta n C =(2 a-b)ta n B ,得bsinC _(2a-b)snBc o s C c o s B由正弦定理可得：s in 5 s in C c o s 8 =(2 s in 4 -s in 8)s in 8 c o s C,因为s in B w O ,所以s in C c o s 6 =2

8、s in/c o s C-s in 8 c o s C,所以 2 s in 4 c o s c =s in C c o s 5 +s in B c o s C =s in(B +C)=s in A,因为s i n/w O,所以2 c o s c =1,即c o s C =，2因为C e(O,兀)，所以C =：；在ANBC中，由正弦定理可得：号=，方=，三=2 石，s in A s in C s in C所 以。=2 6 s in A=2y/3s in(8 +=V 5 s in 8 +3 c o s 8 ,即证；选择条件：由正弦定理可得：2 s in C c o s 5 =2 s in /i -

9、s in B,又因为 s in 4 =s in(C +B),所以 2 s in C c o s S =2 s in (C +5)-s in 5 =2 s in Cc o s 6 +2 c o s C s in 5-s in B ,化简整理得：2 c o s C s in 5 =s in 8 ,由 s i n 8*0,所以 c o s C =L 又 0 C /3 ,s m A s in C s in C所以 a=2百s in N=2 7 5 s in(8 +g)=J Lin 3 +3 c o s B ,即证；选择条件：由已知得：b2+a2-c2=accos A a2 c o s C，由余弦定理得

10、+/一/=2 c o s C，所以 2 bc o s C =a c c o s 4+/c o s C，因为。0，所以 2/)c o s C =c c o s力+c o s C，由正弦定理可得：2 s in 8 c o s c =s in C c o s J +s in c o s C=s in(J +C)=s in 5,因为s i n S w O,所以c o s C =g,又0 cg,所以C =,在ANBC中，由正弦定理可得：-=-=-=2 ,sin A sin C sin C所以a=2#s in/l=2 5/5 s in(8 +m)=K s in 8 +3 c o s B ,即证；(2)由

11、4 P=2 P B 及 4B=3,可得尸 8 =1,在中，由余弦定理可得：C P2=a2+-2acosB=y/s mB+3 c o s 8 )+1-2 (&i n B +3 c o s B ,o s 8=4+2限in 2 8 ,0 B -因为A/B C 为锐角三角形，所以、2,解得：y B 38700,故种植园选择方案获利更多.19.(1)设尸。=。4=1,4 8 =力(/0),如图，以O 为坐标原点，DA,DC,DP所在方向分别为x,z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.则。(0,0,0),P(0,0,l),5(1,人 0),4(1,0,0),因为点E 是 4的中点，所以P5=(l,2,-1)

12、于 是 港 法=0,即尸8J.O E,又已知E尸_LP8,jfu(?=,所以P 8 1 平面。尸.(2)由尸。_ 1_平面/8 C ),所以6P=(0,0,1)是平面48CD 的一个法向量;由(1)知，P8_L平面。：尸，所以 尸 =(,_ )是平面OE尸的一个法向量.若面。E尸与面/BCD 所成二面角的大小为60。，则 )BP,DPcos=-2 T TJ BP-Dl当面。E F 与面力8CZ)所成二面角的大小为60。时，=1 =.AB A 2I ,解得a=拒.所以w 二V r+2|2 AB:咚故20.(1)解：将 y=x+l 代入x?=2抄 得 Y-2 p x-2P=0,设 4 a,乂)、B

13、(x29y2),则A=4 p 2+8 p 0,由韦达定理可得+工2=2 Pxx2=-2p则以同=V2|xj-x2|=亚 J(X I+W)_4演=V2 J4P 2 +8p=8,解得P=2 或p=-4(舍)，故 p=2.将 V=b+1 代入V=4 y 中得f _ 4 履_4=o,，则 =1 6/+1 60 ,由韦达定理可得a+b=4kab=-4对求导得y =则抛物线T在点A 处的切线方程为),盘=9一 0，y=-x ,2 4同理抛物线7在点8处的切线方程为y=2 x-殳，2 4联立得)二 T，所以G点的坐标为(2 人,-1),当4 =0 时，即切线/C 与8。交于V轴上一点(0,7),此时。、D、

14、G重合，由 1+彷+屈=。，则 屈=6，又Z BHO，则存在4 =0 使得G E=A A B成立：/2、当R w O 时，切线力C 与了轴交于点C O,-1,切线8。与了轴交于点由 J广 一 2 J _ 2ab-(a+b)2 _ 公,得 C。的中点 M(0,-2 2-1),由 无 +初 +无=0 得G E=_(G C+GD)=_ 7,g p G E U G M ,又 J T)=),所以G M/Z 8,所以，丽 而，又 布 片 6,削 2k-0所以存在实数2使得班=彳益成立.综上，命题成立.2 1.由题意/(x)=x(“ln x+x)(其中x 0),只需考虑函数8(丫)=。1 1 1 +在(0,

15、+8)的零点个数.当。=0 时，函数8。)=在(0,+()内没有零点，当乙0 时,函数g(x)在(0,+8)单调递增，-10 210-10-10-10取 工=门 时/(ef l)=ane a+e=-1 0 +e a 0f,此时g(x)在(o,+8)存在唯一个零点X。，且X。e(0,1).当”0 时，g,(x)=,贝lJ 0 x-a 时，g(x)-a 时，g(x)0.所以g(x)在(0,-a)上单调递减，在(-,m)上单调递增.则&=-a 是函数g(x)在(0,+巧 上唯一的极小值点，且g(x)极 小 值=g)-。10 10 10 10 10取工=e“时，/(ef l)=t zln ef l+e

16、=1 0 +e0 0 ,取1=。时，e)=a ln e+e =/+e 0.因 此:若 g(x)皴 小 值 0,即-e a 0 时,g(x)没有零点；若g(x)机 小 值=，即-e 时，g(x)有唯一个零点；若g(x)极 小 值 ，即a -e 时，g(x)有且仅有两个零点.综上所述，a 0 或。=-0 时，g(x)有唯一个零点；-e 4 0 时，g(x)没有零点.不等式/(x)e,-s i n x+1 即为亦I n x+x?0 ),先 i i E x 0 B J ,s i n x x.令人(x)=x-s i n x,则=1-cos xN 0,贝 i j 单调递增，所以=0,贝”,s i n x.

17、所以e -x+l e -s i n x+l,故只需证明 a xln x+x2 ex-s i n x+l B P 可.即证明 lE +l0),X X令(X)=+1,丫(月=吐/1,只需证明(x)3 v(x)m,n即可.XX又G(x)=a(,0 a l,则0 x 0；X e 时，X 0 .所以(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.则x=e 时，(x)取得极大值，且“(X)极 大 值=“(e)=：+l,也即为最大值.,e x+l 俎，、(e-l)x2-2 x(er-x+l)(x-2)P+l)由 n(x)=j 得叫 x)=-1-X X X则 0 x 2 时，vf(x)2 时，v*(x

18、)0 .所以 y(x)在(0,2)上单调递减，在(2,y)上单调递增.则x=2 时，n(x)取得极小值，且 丫(矶”；也=丫(2)=攀，也即为最小值.由于v(x),今-w (x),=v(2)-w (e)=-1 -L 1V )最 小 值 /最 大 值 V /4 e 4 e4 e4 e即有(x)共他 v(x)*小 值，则的+X X所以0 4 1 时，不等式/(x)e-x+l成立，贝 I J 不等式/(x)0),y=asm(p化为普通方程为(x-)2 +y 2=a 2,展开为：/+/一 芯=0,其极坐标方程为p 2=2 p cos e,即p =2 a cos。，由题意可得当9 =0 时,OA=p=2

19、a=1,a=.f x=b cos (p曲线C2：(9 为参数，实数6 0)，y=b+bs i n s化为普通方程为=b2,展开可得极坐标方程为O =2 6s i n。，由题意可得当。=生 时，|。邳=0 =2 6=2,由(1)可得G，G 的极坐标方程分别为夕=cos。，p=2sin，.2OA+V3|O|-|(9S|=2co 初+M 5sin0 co 矽=V_3 sin29+cos 29+=2sin(2(9+)+l,：2。+三 r-,二 2sin(29+f+l 的最大值为 3 ,当 2。+3=9，6|_ 6 6 IM 6 2时取到最大值.63 x-4,x 也23.(1)令 g(x)=2k-+|x-2|=x,x 2,则.f(x)=g(x)-a-3x+4,x 1由解析式易知，g(X)mM =g 6=l，因为/(X”O 在R上恒成立,所以g(X)柏,即 a g(x)mm=l1 2(2)由(1)可知，一 +7=1,5 1 0 b+2c=be.c bhe+c-2h=3c+3h=(3 c+3h)!=9+2 ,=9+6-/2当且仅当K，即 八 缶=2+a 时，取等号.故bc+c+2b的最小值为9+6五