经济数学基础期末总辅导.pdf

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1、经济款当基砒期末总辅导第一编第二章一无函熬微今当l im/(x)=A一、一、左 而 剧 极 限 定 义，中应谨意什么7要 浅 意；(1)f(x)左x=x处 系 一 是 定 又，(2)x无 限 接 近/时，f(x)无 限 接 近A,A是一个确定的冬照/(3)%。可。代 表 帝 熬，也 可 起 衰 亦 无 穷 上。二、二、为 何 判 断 曲 剧f(x)在=人 处 极 限 是 否 在 左7常 用 极 限存在克夏条件来判断。l im /(x)=A l im f(x)=l im f(x)=A若 X T q X T/X H我 们 说 照f(x)点x=x。处 极 限 是 百 点 的，不表朗当XT X。时，f

2、(x)。A名极限。若 左、右 极 限 所 一 个 不 后 点或 左、右 极 限 后 点 俚 系 相 等，我 们 就 说f(x)在x=x。处 的 极 限 系 后 在。例 为，世曲剧c f c o s(x-l)X 1f(x)=s in(九 一 1)+1 x T X T l，X T】+的 l im /(x)=1=l im f(x)=l im/(x)l im/(x)=l故 7三、三、无穷小勿无穷大定义及常用植质1、1.这 索 名 极 限 的 变 量，称 名 无 穷 小(-f)o无穷力存 用a、0、T表示。2,2,咨“lx。时，(x)l无 限 褶 大 且 可 大 于G意 作 是 的 正 实 数，款Ax)

3、为无l im /(x)=8穷 人(t)o祀名 X f。上 式 表 明XT“。时，/)是 无 穷 上。3,3.3用健质(I)(I)有界蜃与无穷小的积是无穷小;(2)(2)有 限 个 无穷小的积、和仍为无穷力：(3)(3)无 穷人身无穷。鼠倒照关系。四、四、求极限有用方让上种k 1,用极限四则运算法则求的 为，求下列匹数极限l im(x2+3)=l im x2+l im 3 =12+3 =4()x-l x T x Il im(6 x2-9 x+4)=6 1 im x2-9 1 im x+l im 4=6 x 22 一9 x 2 +4=1 0(2)x-2 X-2 X T2 X T22、2、用无穷小傥

4、质病例 由；忒极限；l im 的A *X今 折，此 魏 系 怩 用 运 算 法 则 求。c l im s in x,l im x、._ 小.一 上、国 X T 8 .18极 限 及 点 左，但 可 用 无 穷 小 但 质 点。解，I s in x 1 411 1(x+5)(V x+2)9 x 4 3 6lim(x-V x2 (I)+x)(2)6.6、用重要极限(I)/(X)点 点 X。处 南 定 义；X 8今 折，当X T 8 时 上 式 是*确 定 的 熬，不 犍 用 运 算 让 则，先 根 式 帝 理 化，春点极 限。解源式limX 8=limX 2 2x-X-x=-limx co1 _1

5、 _ _ _ j_I 1 -1 +1 2i+Mx+v x2+x5.5、比较零法法忒 嘴 理台 式 极 限，用 今 母 中 法 照 秦 裔 的 家 去 除 今 3、今 专，森 用 商 的 求 极 限 汝 则，例 由，忒极限()c 1 1i2 H-1-r2/+X+1 X /2 +0+0 limz-=lim-=-=21 8 X X l 1 8 _ _ L i-o-oX X23 x，2 x+x+1limX T 8x2+X-13 x-2 d-1-=lim-x =8X T o o 1 11 +-7X XlimX TO9=1 和 lim(l+L =e 未求极限。xXT8 X例 由,或 下 列 色 熬 极 限

6、(I)limx Ot a n xlim.v-0s in x 1limxs in =limXT8X co s x1s in ,=1,1s in x.1 11Ilim-lim-=1 x1 =1x1 0 X 1 0 co s XX 1 8X五、l i m()v=lim(l+-V 2=e2XT8 X XT8 X五、曲 熬 窟 倭 的 到 定，1,/(x)在 直 X。处接裱也义若 四!”幻=),则 称/(X)点 点 X。处 直 狡。点 X。/(X)的直揍点。2、flim/(x)=/(x0)运 善 式/三 种 含 义，hmf(x)极限存在；（3）极 限 值 雪 署 于 曲 照 值/（X。）。上述三个条件鞅

7、一个，就表求茁熬/（X）点点4处系it修。这时点/称名/（天）的间断直。3、总洋利新/（X）在4处接读？用途瘦克要圣件未判断小）。处 邃 续=吧&）=,噂&）=。）的为，曲数/（x）=1 一 点X=O处是否直裱7x x 0融 lim/（x）=lim（x-l）=-l解:X TO X TOlim f（x）-lim x2=0 lim/（x）X T（）+X-O+X-0W（“）不存在，/（x）左x=O处系途孩。4.4,力要辖企，初等匹熬点其5t义域由途发。5,5、直僚曲熬f（x）求极限，嘴。下错累：lim/(x)=f(lim x)X T%XA0自恻敢/（X）=迄界鼓1、考 I1=2,则 妈/（）=（）x

8、 W 2A,2 B,4 C,1 D,系志在2,当X T+8 时，下列变量中（）素是无穷小量.1 s in x xx s m-A、x B、x C,x-x D、e3,不列晶剧中，在x=O处同断嗡（）s in x2 x“x)=A、匕x H Ox=0B、/(x)=x 0C,f(x)=0 x 0二、二、嫉空数limxs in=、X T。Xlim(l-)x=2、X T 8 X 2、+1x 0/(X)=,s in xA-x 0 a#l)(ex =ex(loga )=(a 为常数，a 0 a Wl)xna(i n x)=x(si nx)=cosx (cosx)=-si nx,1 ,1(ta nx)=-(cot

9、x)=-cos x si n-x1 0 条导数基本公式是微分、积分、求解微分议程的基础，同学们必须多做练习，熟练使用。4、微分与导数关系导数又名微商，即y=空dx故有 dy=y dx上式表明，求微分，只要求出导数y再乘上d x 即可七、求导常用方法(一)用四则运算法则求导1、四则运算法则设 u=u(x),v=v(x)C 为常数有(cu)=cu (uu)=u u(uv)=uz v+uv/八 u v-u v .c、(-)=2 W w O)VV2、求下列函数的导数例：2 r+3(1)y=(a、b 常数)a+b心 /2 3、，/2 /3、,2 八 2解：y=(-)=(-x)+(-)=-+0 =-a+b

10、 a+b a+b a+b a+b a+b(2)y=-=-x +x1 2-3,+log9 x +cosx1 N 1x 2-1 +2 x-3A ln3 d-si n x2 x ln2G 一,-,1解：y=(x 2)-l +2 x-3*ln3 +-si n xx ln2(二)用复合函数求导法复合函数求导法，是本章重点，同学们应熟练掌握1、复合函数求导法则：设 y=f(u),u=p(x),且 f(x)和 p(x)在 X 处可导，则y=f(p(x)=f(u),p(x)或 y x=y 口 u，x这法则表示复合函数ffp(x)的导数是y 对中间变量u 求导乘以中国变量U 对自变量x 的导数。这法则通常称为链

11、式法则。这法则可推广到有限个中间变量的情况。如 y=-f(u),u=p(u),u=x(x)则 Yx=Yn Uv Vx2、求 导(或 微 分)例：(1)Y=(1+2X)8解：令 Y=IJ8,U=1+2XY=Yu Ux=(U8)(1+2X)=8U72=16U7=16(1+2X)7(2)y=lncosx解：令 y=lnu U=COSxy=Yu Ux=(lgu)z(cosx)二1 z、sin x(-sin X)=-=-tan xu cos x注意：用复合函数求导法，复合函数分解为简单函数求导后，需用代入法消去所有中间变量，把导数表示为X 的复合函数。熟悉了复合函数求导法后，司以不用写出中间变量，直接山

12、外及里，逐层求导，即可(3)Y=log2(3X)13X解：y=-(31)=-二 一3%In 2 3x-In 2 x In 2(4)Y=sin2 x解：y=cos2x (2X)Z=2xln2 cos2x又例如：(5)已知 y=J l+s i n ,求 dy。解:1y-(1+sine)2yh+sine”12 jl+sine”12 jl+sin eex cosex2川+sin e”(1+s in e 0+c o s/(1).e cose.ay=-j 二 ax2，1 +sin e6、已知 y=xex+ln(x4-x2+e2)求 f(0)解：y=(xe“)+ln(x+J-、+e，)=e+xcA H-.(

13、x+J x +e)x+G+e?t t1 ri(/+e 2)=e+xe+-/1+-x+G+e，2 v x2-be21X=ex+xe*+-1+-/9 9/2 x+e 7 x +e-y y 1%+/厂+6=ex+xex+-1 .x+y/x2+e2 A/X2+e2=ex+xex+.slx2+e2/(0)=k o=e+0 e+/J=1 +-V02+e2 e(三)隐函数求导法1、求法：设 y=f(x)是由方程F(x,y)=0 确定的隐函数，求导方法是:(1)把 y 看成x 的函数，在方程两边对x 求导：(2)用复合函数求导法(3)解出y 的表达式2、例题(1)函数y=f(x)是由方程exy=y所确定的，求

14、 y解：方程两分对X 求导exy(xy);=y,exy(y+xy,)=yyexy+xexy y y=0(xe-l)y=-yexyy =-xex y-lyexyl-xe(2)求由方程x?+x y+y2=4 确定的曲线y=y(x)在(2,-2)点处切线方程，分析：本题需求出隐函数的导数及导数在点(2,-2)处的数值，进而由导数的几何意义及点斜式求得切线方程。解：方程两边对X求导：2 x+y+x y +2 y y =0(x+2 y)y/=-(2 x+y)y=-2 x+yx+2y 2 x +y一 x=2 _ x +2 y y=-2,L=2y=-2所求切线方程为：y+2=l(x-2)即 x-y-4=0八

15、、高数导数定义：y=f(x)的 n-1 阶导数的导数称为n 阶导数。即 y(n)=y(n-1)以上是n 阶导数定义。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数利用导数的基本公式和运算法则，对函数一次一次求导，可得高阶导数,例如：求 y=ln(l+x)的二阶导数解：1 1y =(1+x)=-1+X 1+Xy-5-(1+X)=?7(1+x)2(1+X)2自测题求下列函数的导数(或微分)1 y=+2)(-=-1)J X2、y=e 63、y=ln2(3x +7)4、y=log2(x +x2)5、y =3+%3+3 ln(l 2x)6、设函数y=f（x）由方程尤之+y 2=“2（a为常数）所确定，求d y.7、

16、求曲线y 一 在 点（0,1）处的切线方程。2+x8、已知y =xn x,求y 及y答案：_ x +42x4x2/2661n(3x +7)3、3x +7nla2+x2o5、33+3/+l-2x6、-dxy7、x+4y-4=08、2 1n x+3及y”lr N=y (e)=5经济数学基础辅导4第 一 编 第 三 章 导 数 应 用本章主要是介绍利用导数研究函数的一些特性，如极值、最值和对经济问题进行边际分析、弹性分析等内容:一、如何确定函数的单调区间？1、定理：设 y=f(x)在 a,b 上连续,在(a,b)内可导，若X(a,b),有(1)f(X)0,f(X)在 a,b 上单调增加;(2)f (

17、X)0,f(X)在 a,b 上单调减少;此定理中的区间，称为单调区间。2、确定函数y=f(x)单调区间步骤：(1)确定Y=f(x)的定义域D；(2)求 Y ；(3)令 Y =0,求出根；(4)用 Y=0 的根，划分D为几个小区间，列出表格判别；(5)结论。例如：确定函数/(x)=2/_9x2+12-3的单调区间。解：f(X)的定义域：(-8,+8)/(x)=6x2-18x+12=6(x2-3x+2)=6(XT)(X-2)令尸(x)=0 即 6(X-l)(X-2)=0得 Xi=l,X2=2列表X(-8,1)1 (1,2)2(2,+8)Y +-+注意：确 定Y 的符号时，可取小区间中任意一个确定数

18、，如:0,1.5,3,代 入f (X)式中定出y 的正、负号，再用符号“/”、分别表示，曲线上升或下降。故f(x)单调增加区间为(-8,1,2,+8),单调减少区间为 1,2二、函数极值和最值：函数极大值与极小值统称为极值。取到极大值或极小值的点统称为极值点。1、极值的必要条件：f(x)在 点Xo处可导，点Xo是f(X)的极值点，则f (Xo)=02、驻点：使f (X)=0的点，称 为f(X)的驻点(或稳定点)。注意：(1)点Xo是f(x)的极值点(或稳定点)，f(x)在Xo处可导，则点Xo必定是驻点；(2)驻点不一定是极值点；(3)在导数不存在的点处，可能有极值。3、极值存在充分条件：设f(

19、x)在点X0的邻域连续且可导(f (Xo)可以不存在)，当X从X。的左侧到右侧取值时，f (X)符号:从+变-，Xo为极大值点，f(Xo)为极大值;从-变+,Xo为极小值点,f(Xo)为极小值;不变号，Xo不是极值点，f(X)在X0处无极值。用以上定理，可判别Xo是不是f(X)的极值点。下面举例说明如何求函数的极值和极值点o2例如：求函数/(x)=3x-x 的极值。解：f(X)的 定 义 域(-8,+OO).-1 2 2-V 7f(x)=2x 3 1 =1 =产令f (X)=O 则有2-沃=0得驻点X=8X=0使f、(X)无意义，X=0是f (X)不可导的点。列表X(-8,0)0(0,8)8(

20、8,+8y不存在y 0+04极小值极大值故 x=o是极小值点，极小值f(0)=0 x=8是极大值点，极大值f(8)=44、函数的最值:函数最大值和最小值统称为函数的最值。对整个函数定义域而言，极值是局部概念，函数最值是整体概念。求应用问题的最值，常用以下的结论：f(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内可导，且 Xo是 f(x)在(a,b)内唯一驻点，那 么 当 X o 是 f(x)极大值点(或极小值点)时一，Xo一 定 是 f(x)在 a,b 上的最大值点(或最小值点)，f(x。)是函数f(x)的最值。例如：生产某产品的总成本函数C (X)=40 0 +10 x +x2 2求使平均成本最低的

21、产量及最低平均成本。“、c(x)40 0 in解：平 均 成 本 丁 =:+1 0 +,、4 0 0 ,X2-400A (x)=一 一 丁+1=-X X令 A (X)=0,贝 I J 有，一 4 0 0=0得 X 1=2 0 X 2=2 0(舍 去)当 X 2 0 时，A (X)2 0 时，A (X)0X=2 0 是极小值点，在(0,+8)内驻点唯一，X=2 0 也是最小值点。故当产量X=2 0 时-，平均成本最低，最低平均成本为A (2 0)=%+1 0 +2 0 =5 02 0三、导数在经济分析中的应用1、需 求(价 格)弹 性设某商品的市场需求量为q,价格为P,需求函数q=q(P)可导,

22、则称为该商品需求价格弹性，简称需求弹性。其经济意义是：当某种商品的价格下降(或上升)1%时，某需求量将增加(或减少)IEpl%o例如：某种商品的需求量q(单位：百件)与价格P(单位：千元)的关系为：_pq(p)=1 5 e)p 0,1 0 求当价格为9 千元时的需求弹性。1 -2 X 1 5 e 3解：/?=/?=/?-=-?q 1 5/3 3当P=9时，9 199=3 32、三个边际函数(1)边际成本：边际成本是总成本函数C(q)关于产量q 的导数，记为M C,则有MC=C(q)o经济意义：当产量为P 时，再生产一个单位产品所增加的成本。即边际成本是第q+1个产品的成本。(2)边际收入：边际

23、收入是总收入函数R (q)对销售量q 的导数，记为M R。经济意义：当销售量q时，再销售一个商品所增加的收入。(3)边际利润：利润函数L=L (q)对销售量q的导数，称为边际利润，记为M L。由于利润函数 L(q)=R(q)-C(q),则有(q)=R (q)-c (q)例如：已知总成本函数为C (q)=2 0 0 0+4 5 0 q+0.0 2 q2销售单价为4 9 0,求1)C (q)2)L(q)及 L (q)解:D C (q)4 5 0+0,0 4 q2)总收入函数R (q)=p q=4 9 0 q利润函数：L(q)=R (q)-C(q)=4 9 0 q-(2 0 0 0+4 5 0 q+

24、0.0 2 q2)=-0.0 2 q2+4 0 q-2 0 0 0边际利润函数为：L (q)=-0.0 4 q+4 0自测题：一、选择题：1 函数 y=x?-4 x+5 在区间(0,+8)内 A、单调增加B、先单调增加后单调减少C、先单调减少后单调增加2、下列结论中正确的是(A、函数的驻点一定是极值点C、函数的极值点处导数必为0驻点3、设需求函数q=1 0 0 e 2_ p _A、5 0 e 2_ C、2D、单调减少)oB、函数的极值点一定是驻点D、函数的导数为0的点一定是，则需求弹性EP=()B、l O O p e 2D、2二、填空题1、f(x)在(a,b)内 有 f (X)=O,则 f(X

25、)=o2、函数f(x)=x2-l的单调下降区间是。23、已知需求函数q(p)=1 0-3 P 3 ,则需求弹性EP=三、计算题1、确定函数y=%3，3 x+i的单调区间。Q2.求函数 f(x)=-X 4+-j X32 x2+2 的极值。3.某产品固定成本为1 8 (万元)，可变成本2 x 2+5 X (万元)，其中X为产量(百台)，求使平均成本最低的产量。4.某产品的需求量q=2 5 0-2 P(P为价格)，价格为多少时，可使收入最大？5、已知某商品的需求量q=1 2 0 0-1 0 0 p(件)，其中P是价格(元/件)，求使收入最大的销售量和相应的最大收入。6、某厂生产X 个产品的成本为C(

26、X)=2X+100(元)得到收益为R(X)=8X0.01x2(元)，问生产多少个产品时才能利润最大?最大利润是多少？答案：一、选择题：1、C 2、D 3、C二、填空题：1、C(常数)2、(0,+8)23、.2P3210-3/三、计算题：1、f(x)单调增加区间(-8,-1,3,+8)单调减少区间为 T,32、X=0是极大值点，极大值f(0)=23、3(百台)4、62.55、q=600(件)，最大收入 R(600)=3600(元)6、q=300(个)，最大利润 L(300)=800(元)经济数学基础辅导5叶挺峰第二编一元函数积分学第四章一元函数积分学一、不定积分1、什么是原函数？设 f(x)是定

27、义在区间D 上的函数，若存在F(x),对任何xD,均有 F(x)=f(x)(或 dF(x)=f(x)dx)则称F(x)为f(x)在 D 上原函数(简称f(x)的原函数)。注意：函数f(x)的原函数不唯一，有无穷多个。f(x)的任意两个原函数只差一个常数。例如：F(X)是 f(x)的一个原函数，C 为常数，有F(x)+C=FZ(x)=f(x)o2、不定积分定义：对于某区间D 上的函数f(x)为可积函数，若存在原函数，则称 f(x)为可积函数，并将f(x)的全体原函数记为/f(x)dx,并称它为函数f(x)的不定积分。若 F(x)是 f(x)的一个原函数，C 为任意常数，由于f(x)的全体原函数可

28、表示为F(x)+C,则有f f(x)dx=F(x)+C其中C 称为积分常数。3、为什么求积与求导互为逆运算？在 f f(x)dx=F(x)+C中，两边对一 x 求导，则有/f(x)dx=F(x)+C=F(x)=f(x)又因/F(x)dx=f f(x)dx=F(x)+C上式表明：对 F(x)先导后积，结果是F(x)加上一个常数。可见：求积与求导(或求微分)互为逆运算。4、基本积分公式：求积与求导互为逆运算，因此，有一个导数公式就有一个对应的积分公式，同学们应熟记以下九个积分公式。p p xJ odx=c J xndx=+C(nW l)f dx r axJ =In x+c J a dx=;+cx

29、Inaf exdx=ex+c f sinxdx=-cosx+cC f dxJ cosdx=sinx+c J 也入=-cotx+cdxCOS X=tanx+c二、基本积分方法:(一)不定积分常用性质1、代数和分开积f f(x)g(x)dx=f f(x)dx f g(x)dx2、常数因子提出来f k f（x）d x =k /f（x）d x （k W O 常数）（二）积分基本方法：1、直接积分法这是用不定积分运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。例 1：求下列不定积分(1)f(3 x1 2-342 x+l)d x1 2X2xd x=l n l x l+r 7 +c2 m 2(3)f ex(

30、l+e-x)d x解：原式=f exd x+f d x=ex+x+c(4)f t a n2x d xha f s i n2x ,r l-c o s2x,解：原式=)蓊d x=J 7F dx解：原式=3 f x2d x 2 f x d x+f d xv3 2_ X X.3 2=3 2 j+x+c=x -x +x+c(2)f 圭 +2x)d x解:原式=1f Jd x+f乙 A.-dx c o s xf dx=t a n x-x+c2、凑微分法（又名第一换元法）这是计算不定积分重要方法，又是本章重点，应多做练习，熟练掌握。凑微分法又名第一换元法。这方法实质上是把被积表达式凑成微分形式，再用基本公式

31、求积。即f u(x)u (x)d x =f u(x)d u(x)u(x)=u,有 f(u)d u =F，(u)d u =d F(u)故 f d F(u)=F(u)+c=Fu(x)+c u=u(x)注意:使用这方法求积，凑微分时需换元即选取新积分变量；在结果中要回代，消去中间变量。例如：求f e2xd x解：令2x =u,(以便用/e X d x公式)d u =(2x)d x =2d x d x =；d u原 式=J eu du=J eud u =；e u+c=e 2x+c例1、求下列不定积分，d x解：令2x-l=u (以便用f 7 d x公式)A.d u =(2x-l)d x=2d xd x

32、 =g d u原 式=J J 2du=g：du1s i n 一(2)f d x解：令:=U d u =p d x原式=-f s i n ,(-4 )d=f s i n u d u=c o s u +c =c o s 1+XX Xc熟悉了凑微分法求积分，可以省略换元、回代，但要熟记下列常用的凑微分公式，公式是：(l)a d x =d(a x+b)(a W O 常数，b 常数)1 2(2)x d x =/d x (3)c o s x d x=d(s i n x)(4)s i n x d x =d(c o s x)(5)-d x=2d(/x )(6)廿 d x=-d()(7)+d x=d(l n x

33、)(8)exd x=d(ex)例3：求下列不积分(1)f s i n 2x d x,1 r 1解：原式=”J s i n 2x d(2x)=c o s 2x+c(2)f t a n x d x&力 C s i n x ,r d c o s x ,角 车：原式=J-d x =-J-=In c o s x +cc o s x c o s x(3)/野 d x解：原式=/n x d l n x=f l n2x+cr Eex d x解：原式=/叫：x)=l n l l+exl+c1 I w3、分部积分法这是求不定积分另一种重要方法，是本章重点之一。在被积表达式中，出现函数之积，需要分部积分法求积。(1

34、)分部积分公式：设u=u(x),V=v(x)都是连续可微函数，则f u d v=u v j v d u(2)u、d v选择的原则在被积表达式中，对出现下列情况时，u、d v选择的原则是：xkea xd x1 xk s i n a x d x 选 u=x R,其他为 d vX.xkc o s a x d x2 _ f ea xs i n b x d xea xc o s b x d x 选11=/淇他为 d v3 xkl nmx d x 选 u =l n m x,其他为 d v。(3)分部积分时，d v中函数v如何找？1用凑微分得到2 一时无法凑微分，可用不定积分/d v=v +c 求得一个原函

35、数v,把 v放 在 d之后，不必把积分常数 c 也放入d之后，因为d(v+c)=d v。例 4：求下列不定积分：(1)f x2exd x解：原式=f x2d ex=x2ex f exd x2=x2ex2 f x exd x=x2ex2 f x d ex=x2ex2x ex f exd x=x2ex2x ex+2ex+c =(x22x+2)ex+c从上例可见，分部积分公式可反复使用。(2)f exc o s d x解：原式=J exd s i n x=exs i n x-f s i n x d ex=exs i n x-f exs i n x d x=exs i n x+f exd c o s

36、x =exs i n x+exc o s x-f c o s x d ex=exs i n x+exc o s x f exc o s x d x+2c贝 I 2 f exc o s x d x =(s i n x+c o s x)ex+2c原式=4 (s i n x+c o s x)ex+c f 2x l n x d x解：原式=f l n x d x2=x2l n x f x2d l n x =x2l n x f d x =x2l n x Xf x d x=x2l n x x2+c自测题：一、选择题:1、若F(x)是f(x)的一个原函数，则f f(3x+2)dx=()B、oF(x)+cD、

37、F(x)+c则 f(x)=()B、3cos3xD、3cos3xA、F(3x+2)+cC、；F(3x+2)+c2、若 f f(x)dx=cos3x+c,A、3sin3xC、3sin3x3、下列等式成立的有()A、dx=d也C、sinxdx=d(cosx)4、下列等式正确的是()A、g x2dx=d(x3)C、sinxdx=d(cosx)5、d(/a3xdx)=()A、a3xdxC、a3xB、T d x=-d(；)D、axdx=lnadaxB、dx=d(lnlxl)2XD、百 dx=d(2x)B、a3x(-31na)dxD、a3x+c6、若f(x)是可导函数，则下列等式中不正确的是()A、f f(

38、x)dxj =f(x)B、f (x)dx=f(x)+cC d f f(x)dx=f(x)dx D、f df(x)=f(x)二、填空题：1、若函数f(x)的一个原函数F(x)=x1则f，(x)=o(4)f 2x l n(x+l)d x2、f s i n2x c o s x d x=03、若 f f(x)d x=x2+c,则 f x f(l x2)d x=_ o、计算题：1、求下列不定积分(1)f(x )d xA(2)J(+s i n x)d xXf ex(3+2x)d x2、求下列不定积分(1)f ex(l+ex)4d x(2)d xf s i n(l-2x)d x(4)f c o s x es

39、 i n xd xC CO S 侦 JJ c o s r d xA/x3、求不定积分(1)f x e d xfx l n x d x(3)f x s i n x d x(4)fexs i n x d x答案：一、选择题:三、计算题:1、C 2、A3、B4、B 5、A6、B二、填空题：1、6 x 2、s i n3x+c3、2(1x2)2+c1、4 +Cc、2 x(2e)x3 e+由+c2、(1)|(l+ex)5+c;c o s(l 2x)+c(5)2s i n MT+c3、(l)x ex-ex+c(2)x-In l x l c o s x +c；1 (l )22+c(4)es i n x+c(2

40、)g x2l n x+c(3)x c o s x +s i n x +c(4)2 ex(s i n x c o s x)+c(5)x2l n(x+l)+x l n l x+l l+c经济数学基础辅导6第二编 第四章 一元函数积分学(续)三.定积分(一)定积分定义：设f(x)在 a,b 上连续，f(x)是一个原函数，数值F(b)-F(a)称为f(x)在 a,b 上的定积分(或称为f(x)从a到b的定积分)记为/b f(x)d x 即/f (x)d x=F(b)-F(a)简记为 f(x)|:a a 1 bbc1.f f(x)dx与J f(x)d x有什么关系？a两者都与原函数F(x)有关f f (

41、x)d x是全体原函数，是一个函数；Zbf(x)dx是一个数，它与原函数及积分上，下限有关，与积分a变量选用什么字母无关。即f bf (x)dx=f，(t)dt=f (u)dua a ab b2 .“N L”公式/f(x)dx=F(x)|=F(b)-F(a)a a这公式是积分学基本公式，它说明求定积分是通过不定积分求出原函数，再代入上、下限求出数值。这公式称为“牛顿莱布尼兹”公式，简 写 为“N-L”公式。使用这公式，要注意f(x)在 a,b上不连续，不能用。3 .变上限定积分若x a,b,/X f (x)dt称为变上限定积分，它 是f(x)的一个a原函数。V若有 U f(x)dt/=f(x)

42、I t =x=f (x)a4 .规定：f (x)dt=-f 1(x)dx f(x)dx=Oa a a例如：求变上限积分f Xsi nt dt的导数。ox解：f si n t dt =si n t|t=x=si n x又如：设f(x)为连续函数，求J f(t)dt的导数。X解F 7 f (t)d t=-Xf (t)dt =-f (t)|t =x=-f (x)dx x dx o(-)定积分性质设f(x),g(x)在 a,b上连续，则1 .代数和分开积 f%(x)g(x)dx=/,(x)dx f bg(x)dxa a a2 .常数因子提出来Jb K f(x)dx=k/bf (x)dx(k常数)a a

43、b c b3.区间可加性：f f (x)dx=f f(x)dx+f f (x)dx(a co,则等式()成立。A.J a f (x)dx=2 f af (x)dx B./a f (x)dx=2 f 0 f (x)dx-a o-a -aC.J 3 f (x)dx=f af (x)dx D.J 8 f (x)dx=O-a o-a2 .设f(x)为连续函数，贝 dt =()dx xA.f (x)B.-f (x)C.f (x)dx D.-f (x)dx3 .若/e dx=J,则 a=()-oo 21A.1 B-C.2 D.-l乙4 .当()时 一，无穷积分f ea xdx收敛。ooA.K 0 B.K

44、0 C.K N O D.K W O5.下列无穷积分中，()是收敛的。4-oo J+oo 1 4-oo A.f,-dx B.f,pdx C.f,-y=dxl x 1 x 1 y/xdx二、填空题：1.(x s i n x+5)dx=r +l n xD-;IVdx =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,三、计算瓦1.求下列定积分2、f X,Hx(4)f od x(7)f j x t n x dx2.求下列无穷积分(1)f+dx答案一、选择题：1.D5.B二、填

45、空题：1.10三、计算题：/、3%W(8)l n 2-19 Y(2)f 0 dxU 1+x(5)/l，e*(l+e)dx(8)f QX ID(X2+1)dx2.B2.0(2)j l n 5(6)1-e2 f (l-x),dx(6)f:x e*dx+oo(2)f e-2 xdx3.C 4.B 内 (2 e3+l)J2.(1)|12经济数学基础辅导10第四编矩阵代数 第九章矩阵一、m x n 矩阵由 m x n 个数 a”(i =l,2,.m,j =l,2,.n)排成一个 m行 n 列的矩阵数表 aH a12al n321 a2 2.a 2nami 3-m2*3/inn称为m x n 矩阵，其中此

46、是矩阵第i 行第j 列交叉处的元素。矩阵常用大写字母A、B、C 表示。有时为标明一个矩阵的行数和列数，用 Am x n 或(ai j)m x n 表示一个m行 n 列的矩阵。当m=n 时，A 是 n x n 矩阵，称为n 阶方阵，简记An。二、矩阵的运算1.矩阵加法设 人=(aij)mxn,(bQ 则 A+B=(a“+bQ mxn由 此 可 得 A-B=A+(-B)2.数乘矩阵若k=(aij)m x n,人是任意数，则 入 A=(入aQ mxn厂 入 a”入 a,i2*Aiiin入 am i 入 3-m 2*例 1 已知2 3-2 5 J)、B =4-3,L 8 J 2求矩阵方程A+2X=B解

47、：2X=B-A1 ,、X=-(B-A)乙12 I3 f5 0JA2!C 4-3-3+28-5 2-0312 am2 如：A=12 3 1 414 6,则A 7=2 5S m l a(n n I -3 6(2)运算法则(AT)=A(A+B)T=A T+B T(KA)T=KA(K 常数)(AB)T=B T三、特殊矩阵：特殊矩阵都是方阵，常见的有以下五种：1、单位矩阵：主对角线上元素都是1,其余元素全是零的n 阶方阵，称为n阶单位矩阵记为I 为 In即 In=1 001对任何矩阵 Am x n,有 Ii n Am x n=Am x n Ii n Am x n Ii n=Am x n若 A 为 n 阶

48、方阵，有 IA=AI=A并规定A 的零次幕为I,即A=I2、数量矩阵：主对角线上的元素为同一个非零数，其余元素全是0的矩阵K 00 K称为数量矩阵，记为KI。3、对角矩阵主对角线上元素不全为零，其余元素全是零的n 阶矩阵di?00称为对角矩阵4、三角形矩阵主对解线下方的元素全为0的方阵 a”ai21 al n0 3-nn称为上三角形矩阵。主对角线上方的元素全为0的方阵厂 1311 0y0-21 22an l a.称为下三角形矩阵上、下三角形矩阵绕称为三角形矩阵。5.对称矩阵设 n 阶方阵A=(aQ n,若满足A，=A，则称A 为对称矩阵。用这定义可判别或证明一个矩阵是不是对称矩阵。例如：证明两

49、个同阶对称矩阵和仍为对称矩阵。证：设 A、B 为同阶对称矩阵，贝|J A=A BT=A因(A+B)T=AT+BT=A+B故 A+B为对称矩阵。四、矩阵初等行变换与矩阵的秩(一)矩阵初等行变换1.矩阵初等行变换是指：(1)对换变换：互换矩阵某两行的位置。(2)倍束变换：用非零常数遍乘矩阵某一行。(3)倍加变换：将矩阵的某一行遍乘一个常数K 加到另一行o2 .矩阵A 经过初等行变换化为B,记作A-B注意：在 A、B 之间，不能用“=”因为A N B,只能用“一”(二)阶梯形矩阵1.定义：满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵：(1)各个非0行(元素不全为0的行)的第一个非。元素的列标随着行标的递增而严格

50、增大;(2)如果矩阵有。行(元素全为0 的行)在矩阵最下方。例如：1 T 2 3 1 -3 0 00 2 0 4 和 0-2 0 10 0 5-2 0 0 0 10 0 0 0都是阶梯形矩阵。2.通过初等行变换，矩阵A可化为阶梯形矩阵。具体求法是：在矩阵A中，从上到下，逐行把每行中第一个非零元下的元素化为零，便得A的阶梯形矩阵。例如：化矩阵A为阶梯形矩阵。1A=0-5 2 1-116-7-5 5-1-11 5 4-46-3-3 21 -5 2 1 -10 16-7-5 50-16 7 5-50 16-7-5 91 -5 2 1 -10 16-7-5 520 0 0 0 00 0 0 0 41-