2023高考数学04平面投影向量的应用.pdf

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1、专题0 4 平面投影向量的应用I 新教材的新增内容背景分析:在旧教材中只是讲解了投影的概念，而新教材再次基础上增加了投影向量的概念与求解公式.1 .投影向量的概念:如图设是两个非零向量，A B a,C D =b,作如下变换：过刀的起点Z和终点从 分别作丽所在直线的垂线，垂足分别为4，片，得到4瓦，我们称上述变换为向量向向量B 投影，工瓦叫做向量 在向量B 上的投影向量.如 图（2）,在平面内任取一点O,作 两 =,丽=心 过 点 M 作直线ON 的垂线,垂足为朋】则 西 就 是 向 量 在向量至上的投影向量.2 .投影向量计算公式：当8 为 锐 角（如 图（D）时，函 与 方 向 相 同，4

2、=|西|=|co s。，所以O MX=|O My|e=同co s。e；,*JT 当。为直角（如图（2）时，Z =0,所以。=0=同co s,e ；当。为 钝 角（如 图（3）时，西 与 工 方 向 相 反，所以2 =-1O MX =-a co s Z M 0M1=-|a|co s（-0）=a co s 8,即 0 叫=a cosOe当。=0 时，A=a 所以O A/=同e =同 co s O e ；当。=兀时，丸=一间，所以。=-|a|e =|a|co s n e综上可知，对于任意的。6 0,扪，都 有 西 =R|C O S92.新增内容的考查分析1.求投影向量（由投影向量与投影所在的向量共线

3、，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量方向上单位向量的积（注意向量间的投影向量与向量间投影的数量区别）【考法示例1】1.己知|Z|=4,1 为单位向量，它们的夹角为告，则向量 在向量1 上的投影向量是；向量2 在向量上 的 投 影 向 量 是.【答案】.-2 e .-O【解析】【分析】向量 在向量工上的投影向量：与向量工共线，即向量 在向量 上投影的数量乘以向量工方向上的单位向量；同理，向量 在向量之上的投影向量亦如此；由向量的数量积的几何意义知向量 在向量）上投影的数量为同co s 券=-2,向量工在向量上投影的数量为 卜 05 号=-；，由此向量在向量工上的投影向量为一 2 工，向量

4、工1 一在向量上的投影向量-三。O0 r r【详解】由|自=4,工为单位向量，它们的夹角为年根据向量的数量积公式，有:a-e =|a|e|co s y即向量 在向量工上的投影数量：|R co s 笥=-2向量6 在向里Q 上的投影数量：H C O S y =向量 在向量工上的投影向量：-2 工1 C I 1 向量工在向量Z 上的投影向量：一 5 目=一 铲_ 1 -故答案为：-2 e;一3a8【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义；由投影向量与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量方向上单位向量的积(注意向量间的投影向量与向量间投影的数量区别)【考法示例2】2.已知向量

5、与B的夹角为:万，且 问=2,忖=3,则 在5方向上的投影向量与投影数量分别是()A.鸟,V2 B.巫九-V23 3C.乌,V2 D.母,-V23 3【答案】D【解析】【分析】利用向量投影数量的概念可求得 在3方向上的投影数量，设在B方向上的投影向量为4网几6火)，根据向量数量积的几何意义可得出%=4 3/，求出实数X的值，即可得出结论.【详解】设在B方向上的投影向量为宓(X e R),则=-7 kz cos-R 历故丸=故 在否方向上的投影向量为-上加b2 b 3 3 在加方向上的投影数量为 c o s?=-72.故选：D.2.已知投影向量求解向量的模、数量积等【考法示例3】3.已知向量值=

6、(1,2),/(6,4),8(4,3),B为向量又在向量N 上的投影向量，则历1=_【答案】拽5【解析】【分析】根据投影的定义计算即可.【详解】48=(-2,-1)，由 投 影 公 式 可 知 网=-3)=与瓦故答案为：生叵.5【点睛】本题考查向量的投影，此类问题熟记公式是关键，本题属于基础题.【考法示例4】4.已知忖=3,向量 在向量B上的投影向量为，则 石=.【答案】18【解析】【分析】由题意向量在向量至上的投影向量为工，分析可得同cos=2忖，代入公式,即可得答案.【详解】因为向量1 在向量)上的投影向量为打，则可得同c o s=2 W，所以=MWcos=2恸卡卜 2|=18,故答案为：

7、18.【点睛】本题考查向量投影的应用，考查分析理解的能力，属基础题.3.已知投影向量求解参数【考法示例5】5.已知向量万=(-4,3),点41,1),8(2,-1),记才罚 为 方 在向量上的投影向量，若AB=质 则彳=.2【答案】【解【分析】先求得方在向量G上的投影，再根据彳万 为 万 在向量上的投影，求得府 的 坐 标，然后由彳炉=2 万求解.【详解】因为点H U),5(2,-1),所 以 方=(1,一 2),又向量)=(4,3),AB-c i 1 0所 以 荏 在向量上的投影不=;一=一2,所 以 正=_ 2 X肓W因为彳炉=/万，2所以几=-,2故答案为：4.与投影向量相关的综合考查【

8、考法示例6】6.已知非零单位向量和 加 若 石=-电，向量B 在向量上的投影向量为限3向量在向量B上的投影向量为2,则下列结论正确的是()A.H=|B-a-b-a-cC.d b D.3=立3 9【答案】A B D【解析】【分析】根据数量积的定义及投影定义，依次计算各选项即可求得结果.【详解】和石为单位向量,K=l,75=福c os(词=9，向量B 在向量 上的投影为b c os(a =，向量3在向量上的投影向量为三-虫w,3,.响量在向量否上的投影为a cos(a,b)=，向量B 在向量 上的投影向量为2=-且 别 C错误,3口卜 一 孝 石=孝，c=Ya =A 正确，c d=|c|-|c/|

9、c os e,6/=x c os a,/)=-x -=-,D 正确.故选：A B D.新增内容的针对训练7.已知向量2 =(1,2),/(6,4),5(4,3),B为向量几在向量彳上的投影向量，则=()A.学 B.1 C.V5 D.4【答案】A【解析】【分析】首 先 计 算 方，再根据投影公式计算投影向量的模.【详解】方=(2,1)由投影公式可知恸J 管卜 吨)=4故选：A【点睛】本题考查投影的计算，属于基础题型.8.已知同=2,问=1 0,己 =1 2 0。,则向量5在向量公方向上的投影是向量 在向量5方向上的投影是【答案】.-5 .-1【解 析】【分析】根据向量投影的定义，即可求解、【详

10、解】根据向量投影的定义，向量石在向量Z方向上的投影是|/j|cos-10 xcosl20=-5 ；向量在向量各方向上的投影是|7|COS=2XCOS120=-1.【点睛】本题主要考查向量投影的定义的应用.9.设向量6=(1,0),e2=(0,1).a =-2e+7e2,b=4ei+3e2,则,向量z在 向 量 加 上 的 投 影 向 量 为.5 2 39【答案】.13.e,+e2【解 析】【分 析】由向量的坐标运算求出向量、区的坐 标，由向量数量积的坐标运算即可求7 g的值，根据投影向量的计算公式即可求向量在向量5上的投影向量.【详解】因为向量3=(1,0)，3 =(0,1)，所以 =-2 录

11、+7 伺=-2(1,0)+7(0,1)=(-2,7),3=41+3.=4(1,0)+3(0,1)=(4,3),所 以U 2x4+7x3=13,由 2=(2,7),5 =(4,3)可得：同=-4+49=病,=716+9=5,所以 cos(Z,=，13缶a5 3向量在向量B上的投影向量为:13b 13-13x=b=75 3x5 5 -2525%+3e2)=|e1+|e252 39 故答案为：13；e -25 25io.已知向量 在向量B 上的投影向量的模为1,向量B 在向量Z 上的投影向量的模为；,且同=1,则.【答案】也 或#i【解析】【分析】根据向量投影的定义求出口、cos。的值，利用平面向量

12、数量积的运算性质可求得结果.问.|cose|=；【详 解】设 向 量 Z 与 向 量 否 的 夹 角 为 e,由 题 意 可 得 同|cosq=i,可得，=1同=2科=1 .cos。=I2当c o s；时，则a-B=kWcose=l,所以，,一 =Q(a-B)=la-2 a-b+b=A/3;当cose=-g 时，则4 f =卜卜 Mcos6=-1,所以，a-b=a-b =yla-2a-b+b2=41.故答案为：出 或#i.【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用/=问1勿忘记开方；(2)=/=时 或 同=用，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化；一些常见的等式应熟记：如土=a 2 a-h+b,a+-b=a-b等.1 1.已知问=2，W =1 0,Z与否的夹角为1 2 0,则向量B 在向量上的投影向量为【答案】j【解【分析】根据投影向量的定义即可求解.【详解】向量B 在向量上的投影向量为:5-a2 ，故答案为：与.