圆的问题综合（解析版）-北师大版2022年初三数学期末压轴题精选汇编30题.pdf

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1、【玩转压轴题】考题7：圆的问题综合(解析版)一、单选题1.(2021四川江油九年级期末)如图，圆与坐标轴分别交于原点O,点 A(6,0)和 W,2),点。是圆上一个动点，点。0,-3),则 PC长度的最小值为()A+472-VK)B,872-VW C,2在-V10 D.5-VW【答案】D【分析】连接A 8,取 A 8 的中点丁，连接C T,根据NA8O90。,可知A 8为圆的直径，T为圆心，。的最小长度即为点C 到圆了 I二一点的最短距离.【详解】解：连接取A 8的中点了，连接CT,PT.VA(6,0),B(0,2),：.OA=6,OB=2,7 ZABO=90Q,*-AB=JoN +Q6?=2

2、 M，A笈为圆的直径，/.TB=AT=PT=VK)，VC(0,-3),/.C T=(3-0)2+l-(-3)2=5 A PCCT-PT=5-两，PC的最小值为5-J 而.故 选D.【点 睛】本题主要考查了两点中点坐标公式，两点距离公式，勾股定理，直径所对的圆周角是直 角，圆外一点到圆的最短距离等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.2.（2021广东深圳九年级专题练习）已知正方形ABC。的 边 长 为1,点P为正方形内 一动点，若 点M在A B上,且满足 PB C PA M,延 长B P交AI）于 点N,连 接CM.分 析下列结论：A P B N；朋U=ON；点 尸 一 定 在 以C

3、M为直径的圆上；当 A N=g时，尸。=亮配 其 中 结 论 正 确 的 个 数 是（）0A M BA.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答 案】D【分 析】由 P 8 C s抬M,得 出/办M=NPBC,再由 NPB C+NPB A =90。,即可推出 AP一 BN,P A A N A P A M故可判断；易证 得 出 =，由=，得出即P B A B P B B C可 得 出8M=DV,故可判断：由PB C s心M,得 出NAPM=N8PC,推出ZCPM=ZAPB=90,即 可 得 出 点P一 定 在 以CM为直径的圆上，故可判断；过点尸 作EF A 8,可 证 明tan/乂4尸=tanN

4、ABN=；,在心8中运用勾股定理求出PA、,，1 4在心E中运用勾股定理求 出 依=2，A E 号,进 而 求 出 尸产和C F,再运用勾股定 理 求 出PC的 长，从而可判断.【详 解】试卷第2页，共65页解：四边形ABC。是正方形，：.AB=BC=CD=AD=l1 N DAB=N ABC=N BCD=N D=9。,:X P B C sX P M,：.ZPAM=ZPBC,乂 NP3C+NP84=90。；NMM+NPBA=90,，NAPB=90。,AP，5 M故正确；:NABP=/ABN,/APB=/BAN=9伊,:.X B A P sX B N A,.PA AN 访 一 瓦 又:Z B C

5、s/P A M.AP AM =,PB BC9：AB=BC,：.AM=ANf：.AB-AM=AD-AN,:BM=DN,故正确；VAPBCAMM,NAPM=NBPC,：.ZCPM=ZAPB=90f 点户一定在以CM为直径的圆上，故正确；过点尸作ER/A&交AD于E点 交B C于F点、,如图,YAPIBV：.ZPBA+ZPAB=90又 ND4B=90 ZPAE ZPAB=9QJ ZPBA=/PAE.*AN=-,A B =i4tan Z.NAP=tan ZABN=4PA PF 1.=C=gn PB=4PA,AE=4PEPB AE 4在&PAB 中，PA2+PB2=AB2，即 PA2+6PA2=1 PA

6、2=17在 R/附E 中，PE2+AE2=PE2+(4PE)2=PA2=-解 得，PE泮,(负值舍去)，AE=,174BF=17.“13”16.CF=,PF=17 17在mb中，=脩+甘=岑，故正确 所 以，正 确 的结论共有4个,故选：D.【点 睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质、勾股定理等知识;熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.3.（2021山东青岛西海岸新区实验初级中学（青岛市黄岛区实验初级中学）模拟预测）如 图，。中，AB=AC ZACB=75,BC=4,阴 影 部 分 的 面 积 是（）34 6 +944C.8H-38乃3【答 案】A【分 析】连

7、 接OB、O C,先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的 一 半，求出扇形的圆心角为60度，即可求出半径的长4,利用三角形和扇形的面积公式即可求解;试卷第4 页，共 65页【详解】解：作 O D J_B C,则 BD=CD,连接 OB,OC,.OD是 B C的垂直平分线，；AB=ACAB=AC,A 在 BC的垂直平分线上，:4、O、D 共线，VZACB=75,AB二 AC,AZABC=ZACB=75,AZBAC=30,ZBOC=60,VOB=OC,ABOC是等边三角形，.*.OA=OB=OC=BC=4,VADXBC,AB=AC,ABD=CD,*.OD=2/3，AD=4+2 5/3，S A A

8、BC=g BO AD X 4 X (4+2扬=8+4省,2 2SA B O C 吴 BC O D=X4X26 二 4百，2 2二 S f影 二SA ABC+S,i BOC-SA BOC=8+4A/3+60 x4 4 G360T+8故 选:A.【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确S 即 行SAABC+S碳 彩BOC-SA BOC是解题的关键.4.（2021四川成都三模）如图，将边长为6 的正六边形A8CDE尸沿”G 折叠，点 8 恰好落在边A厂的中点上，延长8 C 交 E F于点则C M 的 长 为（）【答案】A【分析】过点H 作 E 4延 长 的 垂 线 设 A

9、H=x,可得AQ=；x,QH=袅x，可得=由 4B=gAB=3,可得 BQ=BA+4Q=3+g x,在 Rr 8。中，根据勾股定理即可得X的值，再证明A A 8例sA/加出，对应边成比例即可 求出结果.【详解】解：如图，过点”作 E 4延长的垂线”。，尸=120,:.ZHAQ=60,NQA=90,，/AHQ=30,试卷第6页，共6 5页I设 A/=x,AQ=-x ,QH=-x2 2.BH=BH=AB-AH=6 X,AB=-A B =3，2BQ=BA+AQ=3+x,在 心 夕”。中，根据勾股定理，得BH2 BQ2+QH2,i 3(6 x)2=(3+x)2+x2,9解得x/.BfH=6-x=-t

10、6 ZHABf=ZF=/H B M =120,:.ZAHB,+ZAB,H=6,ZFRM +ZARH =60,;.ZAHB=ZF B M,A B H s.M B,.BrH AH.BM-，21 9彳 二，BrM-3解得8 M=7,:C M =BM B C=7 6=1.故选：A.【点睛】本题考查了正多边形和圆，翻折变换，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌 握正多边形和圆的关系.5.(2021四川江油市小溪坝初级中学校一模)如图，已知4 B 两点的坐标分别为(8,0)、(0,8),点C、尸分别是直线x=-5 和 x 轴上的动点，C R=/。，点。是线段C F的中点，连接/!交 轴 于 点 E,

11、当 面 积 取 得 最 小 值 时，E 点的坐标是()吟C.(0,2)【答案】A【分析】如图(见解析)，先利用直角三角形的性质可得。M=；CF=5,从而可得点。的运动 轨迹是以点M为圆心、Z5M长为半径的圆，再根据圆的性质可得当AO与。M相切，且点E位于y轴的正半轴上时，班取最小值，然后利用相似三角形的判定与性质求出 OE的长，由此即可得出答案.【详解】如图,设直线 =-5与无轴的交点为点“，则”(-5,0),C_Lx轴，点。是线段CF的中点，且C尸=/0,D M =-C F =5,2 点。的运动轨迹是以点M为圆心、0M长为半径的圆,.A(8,0),B(0,8),.3=8,./WE 面积为 O

12、 A BE=4BE,则当ABE面积取得最小值时，B E 应最小,由圆的性质可知，当与0M相切，旦点E位于轴的正半轴上时，BE取最小值,试卷第8页，共65页:.A D D M，又 A(8,(),加(5,0),:.AM=3,A D =y AM?-D M?二在 A O E和 A D W中,Z O A E =Z D A MZ A O E =Z A D M=9 0.AO E A D M ,O E O A ni I O E 8：.-=,即一=，D M A D 5 12解 得O E =与，则 当 A 8 面积取得最小值时，点E的坐标 为E（0,y）,故选：A.【点 睛】本题考查了直角三角形的性质、圆的切线的

13、性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正 确 得 出 点。的运动轨迹是解题关键.6.（2021 广东华侨中学二模）如 图，已知O。的 半 径 为3,弦 8 =4,A为 上 一 动 点（点A与 点C、。不 重 合），连 接AO并 延 长 交C O于 点E,交OO于 点8,P为 C D 上 一 点，当N A P 5=1 2 0。时，则AP6尸 的 最 大 值 为（）A.4C.8【答 案】C 【分 析】如 图（见 解 析），先利用解直角三角形可得尸P =；AP,再根据圆周角定理可得N C =N P B D,然后根据相似三角形的判定与性质可 得 加=而，从而可得FP BP=CP D P,设 CP=x,

14、从而可得Q P=4-x,最后利用二次函数的性质求解即可得.【详解】解：如图，延长8 P 交。于点F,连接AF,CF,5D,QA8为。的半径,ZAFB=90,.-Z4PB=120,/.ZAPF=180-ZAPB=60,在心/!中，FPAP-cosZAPF=-A P ,即=2A P B P=2 F P B P,由圆周角定理得：N C =NPBD,在ACRP和 双)P 中,N C =Z P B DN C P F =Z B P D:.FP AB)P,CP FP/.=,即 FP BP=CP DP,BP D P 设 FP-BP=y,CP=x,则。尸=4-x,且 0 c x 4,y=x(4 x)(x 2)+

15、4,由二次函数的性质可知，在0 取最大值，最大值为4,即尸P 6尸的最大值为4,则AP-B P的最大值为2x4=8,故选：C.【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的儿何应用等知识点，通 过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键.试卷第1()页，共6 5页7.(2021广东深圳市宝安中学(集团)九年级月考)如图，在正方形4 5 C。中，以 8 c 为直径作半圆O,以。为圆心，为半径作4 C，与半圆。交于点P,我们称:点 P 为正方形A B C D的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形A B C D无论是位 置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究.

16、连接如、P B、P C、P D,并延长P D 交A 3 于点F.下列结论中：广。=尸5+8 G N A P C=135。；SA PBC=A P2；【答案】AD.1 个【分析】连结P。，根据等腰三角形的性质和正方形的性质证明NOPO=N8CZ90。，从而证明 所 是。O 的切线，再证明4 8、CD都是。的切线，用切线长定理即可证明尸D=FB+8C,所以正确；。以 fIIA OPC都是等腰三角形，根据三角形内角和定理可证得ZAPC=ZDf+ZDPC=(360-ZADC)=135,所以正确；设正方形的边长为“，连结。力，过点P 作 P E L 8 c 于点E,PG L 4B 于点G,根据RF PP

17、c r 1 1正切定义可得警=m=*=tan NCDO=(用含的代数式表示SA咏和千小，它 们 均 为 所 以 正 确；1 3 I由前面得到的结论，可得PG=M，A G=V，求得5所以正确.【详解】如图1,连结O P,则 OP=OC.：.ZOPC=ZOCPf;PD=CD,：.ZDPC=ZDCP,：.NDPO=ZOPC+ZDPC=/O C P+/D CP=/BCD,四边形A/JCQ是正方形，NDPO=NBCD=90,尸是。的半径,DEA.OP,是。的切线；：ABLOB,CDLOC.：.AB,CO都是。的切线，:.PF=FB,PD=CD=BC=AD,，FD=PF+PD=FB+BC.故正确：图1：P

18、D=AD=CD,：.ZDPAZDAP y (1 8 0 0 -A PDA),ZDPC ZDCP=-(1 8 0 0 -ZPDC),.ZAPC=ZDB4+Z)PC=1360o-(ZPDA+ZPDC)|=|(3 6 0 0 -ZADC)=J(360-90)=135.故正确；如图，设正方形ABC。的边长为a,连结OQ交/,C于点”；作 PE_L8c 于点 E,PG_L48 于点 G,则 NPEC=NPE8=/尸G8=90。，四边形 PG8E为矩形.OP=OC,PD=CD,垂直平分PC,：.ZDHC=90,试卷第12页，共65页A ZBPE=900-NEPC=NECP=900-/D C H=/C D

19、O,I BE PE OC f/2a 1，=tan Z.CDO=一PE CE CD a 2“E,BE=PE=CE,1 4：.C E -C E=a,整理，得 CE=a,4 51 4 2 1 4 1/.BG=PE=-x a=af PG=BE=x a=-a,2 5 5 4 5 52 3，AG=。-a=-a5 5VPHC a a=a2t；4产=；(|)2+(7)2=2,z 5 5 z 2 5 5 5SA PI3C=A P2.故正确;I 3如图 2,：ZAGP=90,P G=-,A G=-,故正确.故选；A.【点睛】此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质、圆的 切线的判定、

20、切线长定理、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，解题的关键是正确地 作出所需要的辅助线，设正方形的边长为“，将有关线段用含。的代数式表示.8.（2021广东深圳实验学校中学部九年级月考）如图，在AABC中，4ZC=90,AB=5cm,cosB=-,动点。从点A 出发沿着射线A C 的方向以每秒1 c m 的速度移动，动点E 从点8 出发沿着射线弦的方向以每秒2 c m 的速度移动.已知点。和点E 同时出发，设它们运动的时间为f秒.连 接 8 0.下列结论正确的有()个 8 c =4；当=时，tanZABZ)=2；7S以点8 为圆心、8E为半径画当r=三 时，与。5 相切；当NC3=NAZ)E 时

21、，/=A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】利用锐角三角函数求出8 c 可判断，利用勾股定理求4C,BD,A G,再用正切锐角三 角函数定义求值可判断，利用相似三角形判定与性质，可判断，利用相似三角形判 定与性质建构方程，解方程求解可判断【详解】4 4解：在 AABC中，NC=90o,AB=5cm,cosB=g.BC=AB cosB=5x1=4,故BC=4 正确；作 AG_L8O 于 G,在 Rt/48C 中，AC=yjAB2-S C =/52-42=3-：AD=AB=5,AG1BD：.CD=AD-AC=5-3=2,DG=BG,在 RtACCB 中，8D=JCD2+BC?=也 +4?

22、=2 6，:.DG=BG=后,在 RtZiBGA 中，AG=dAB，-BG2=卜。-卜 石 丫 =2旧,tanZABD=AG 2石=2,故当AD=A8时，tanNA3D=2 正确;试卷第14页，共6 5页A1i111AD=t,BE=2t25当看 哈 时，:.AE=A B-.159A AC 3,8 s 4=茄=丁.八 25 3 c c 25 50A.D=t=,BE=2t=2 x =,1313 13BE=5-2r=5-=,13 13.茄一五一片13AE AC/.cosA=-=-,ZDAE=ZBAC,AD ABJ A O E s/W C,，ZAED=ZACB=9O%ZDEB=90,与。8 相切,25

23、故以点8 为圆心、4石为半径画0 8,当，=看时，与 相 切 正 确;过上作EH_LAC于,当 NC8D=ZADE 时,NEHA/DCB=90,:A E H D s A D C B,H E P HVA=5-2z,3 4*,E H=w（5-2f）,C D =3-t,H D =A D-A H =t-3+-t =t-3,5 5.A）g-33-t 4整理得ll-8 0 f+125=0,因式分解得(lh 25)(7 5)=0,或f=5(舍去)，oc故当N C B D =Z A D E时，r=正确;正确的结论有4个.故选择D.【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定

24、，一 元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似二角形判定与性质，圆 的切线判定，一元二次方程的解法是解题关键.9.(2021山东崂山 二模)如图，在矩形 8 中，AC为对角线，AB =2,ZACB=30,以8 为圆心，4 8 长为半径画弧，交 AC于点M,交 8C于点N,则阴影部分的面积为()试卷第16页，共6 5页A.0+1 B.6 C.j D.V3-1【答案】D【分析】如图，连接BM，过M作M_LBC于点H,此时根据直角三角形的性质求得4 c =4,BC=2。再根据等边三角形判定得出AABM为等边三角形，进而将问题转化到新的 三角形之中，利用勾股定理求得M =l,最终求阴影

25、部分的面积转化为 5阴 窈=5/!址-S助 彩B M S求解即可.【详解】如下图，连接B M,过M作A/_L8C于点H,在矩形ABC。中，V ZABC=90,AB=2,ZACB=30,/.AC=4,BC=AC2-AB。=2-2?=2月,又；Zfi4c=60,AB=BM，二AABM为等边三角形，A ZABM=60.NMBH=30,：.MH=1,2S阴影-S向 形HM1 30-n.22=-B C M H-2-x 2 /3 x l-36027H故选：D.【点睛】本题考察了直角三角形的性质、勾股定理的应用、等边三角形的判定、割补法求面积、扇形面积计算等知识点，综合性较强，属于选择题中的压轴题，灵活运用

26、相关定理和性 质是解题的关键.10.（2021山东日照中考真题）如图，平面图形曲由直角边长为1 的等腰直角从“和扇形8 0。组成，点尸在线段AB上，P Q 1.A B,且 PQ交 AO或交OB于点。.设AP=x（O xD A .;DF=yjAF2+AD2=5 -AH=,5:四边形A 8C。是LE方形，MN/AB,：.2DAB=ZABC=ZAMN=9 0 .试卷第2 2 页，共 6 5 页 四边形48NM 是矩形.MN=A8=4,AM=B N.,:AG=BE,：.AG-A M =BEB N.即 MG=NE./AD/BC.J /M AH =ZAEB.丁 ZABE=ZAMN=90。,，JVIAH A

27、BE4.AH MH 次一方.12即5二 也.5 解得52贝|JN”=4_M”=会 tanNMG=也，tanZHE7V=.MG NE:MG=NE,MH 手 NH,.MG_ NE 丽丽，：.ZM G H ZH E N.J /D G H 于 NCEH.”GO与HEC不全等，故 结 论（2）错误；（3）:&MAH fB E A,.AH AM，AE-BE*12即 _ AM.5 解得4M=!|.由（2）得LHG=3M AG,SOWC=|DC.（AD-AM）.48S.HC MH AG 王 XJ 9 端=Q C.（3 A M）=；gJ=W故 结 论 正 确;(4)由(1)得，”是尸K 的中点,:.D K =D

28、 F-2 FH.由勾股定理得 F H =A F2-A H2=32-(y)2=1.9 7A D/f=5-2 x|=1；故 结 论(4)正确.故答案为：(1)(3)(4).【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角 形的性质是解题的关键.1 3.(2 0 2 1 山东青岛九年级单元测试)如图，在矩形ABC O中，A B =K +2,A D =g,把AE AO沿 AE 折叠，使点。恰好落在A5边上的W处，再将A ED 绕点E 顺时针 旋转a,得到 H ED ,使得可恰好经过8 D的 中 点 足 A T T 交 AB于点G,连接A 4,有如下结论:A F的长度

29、是V 6-2;弧D D的 长 度 是 地 万;ZN A A 尸mA H E G；1 2 AA4fF AE G F.上述结论中，所 有 正 确 的 序 号 是.DEC【答案】【分析】先根据图形翻折变换的性质以及勾股定理得出A E=AE 的长，再根据勾股定理求出E F 的长，即可求解；利用特殊角的三角函数求得/。EF =3()。，从而求得 HZ T=7 5。，根据弧长公式即 可求解；由于Ag不是等边三角形，得出EAHA A,从而说明A A 尸和 A EG不是全等 三角形；先利用 H L”证得RMZ/E G,求得N F E G =7.5。，再求得N A A F =7.5。，从而推出/XAA F SE

30、GF.【详解】在矩形 A BCD 中，Z A D E =N D 4。=9 0。，V AADE 翻折后与4 A D E 重:合,试卷第24页，共 65页.AD=AD,DE=DE,ZDAE=ZEAJy=45,四边形ADED，是正方形，AD,-A D=D E=D E=,.*.AE=J AD，+DE?=J(可+阴，=s/6,将 4 E O 绕点E 顺时针旋转 ,得到Z V lm ,；.AE=A，E=巫,EDED=y/3,ZAEA=ZDED=a,:点 F 是瓦7 的中点，DF=-D B =-(A B-A D)-(y/3 +2-4 3),2 2 2EF=-JDE2+DF2=7(A/3)2+12=2，A A

31、F=AE-EF=/6-2,故正确;由得NAE=45。，在心 )斯 中，NE。尸=90,DFDE G 3，EF=30。，：.a=ZAEA=NDE。=ZAED+ADEF=450+30=75,.弧QTT的长度是 现 史=述 乃，故正确；180 12在 AAE4中，ZA4=75,AE=AE,AE4不是等边三角形，/.EAWAA，/.A M/F和AEG不是全等三角形，故错误：在用 ADEG 和 R/AZTEG 中，DE=iy E,GE 公共，RtDEG=RsDEG(HL),：.NDEG=4DEG=x 75=37.5,2AFEG=NDEG-ADEF=37.5-30=7.5,在 中，NAE4=75,A=AE

32、,ZAAF=ZAAE-ZDAE=(180-ZAEA)-45=1(180-75)-45=7.5,ZAAF=ZFEG,又 ZAFA=ZEFG,A 故正确；综上，正确，故答案为：.【点睛】本题考查了图形的翻折变换，特殊角的三角函数，正方形的判定和性质，相似三角形的 判定和性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式的应用，勾股定理的应用，熟知图形 翻折不变性的性质是解答此题的关键.14.(2021山东日照一模)如图，已知。的半径为2,弦 A5=2 6,点 P 为优弧APB 上动点，点/为 PAB的内心，当点尸从点A 向点8 运动时，点/移动的路径长为4【答案】台【分析】连 接 02,OA,过。作 根 据

33、垂 径 定 理 可 得 4。=3 “3=石，根据余弦的 定义、特殊角的三角函数值及圆周角定理可得/P=*/A O B=60。，连接/A,加，根据 角平分线的定义得到ZIBA=Z P B A,根据三角形的内角和得到 Z180-1(ZP AB+ZP BA)=120,设A,B,I三点所在的圆的圆心为O,连接O A,OB，得到NAO8=120。，根据等腰三角形的性质得到NOA8=NO8A=30。，连接O，可得O O J.A 8,解直角三角形可求出O A的长，根据弧长公式即可得到结论.【详解】连接。8,O A,过。作二 AD=BD=LAB=6 2O A=O B=2,./a c c AO 3.sinZ A

34、OD=,O A 2：.Z A O D =B O D =a),ZAOB=nO0,试卷第26页，共65页 .ZP=-ZAOB=60,2：.ZPAB+ZPBA=nO0,连接I A,IB,.点/为AFAB的内心,A ZIAB=-ZPAB,Z1BA=-ZPBA,2 2NA/B=180-(/PAB+NPBA)=120,2 ,点P为优弧APB上动点，NP始终等于60。,点/在以AB为弦，并且所对的圆周角为120。的一段劣弧上运动,设A,B,/三 点所在的圆的圆心为(7,连接 OA,O B,则 ZAO4=120,/0fA=OB,NOA5=NO胡=30。,连接。，:AD=BD,0rD上AB,A。cos30=2,

35、AO=4故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、解直角三角形及弧长公式，垂直于弦点直径平分弦，且平分这条弦所对点两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对点圆心角点一半；熟练掌握相关定理并熟记特殊角的三角函数值及弧长公式 是解题关键.15.（2021山东河东二模）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在一次函数），=G x 位于 第一象限的图象上运动,点8 在 x 轴正半轴上运动,在A B 右侧以它为边作矩形A8。，且 45=2。，4）=1,则 0。的 最 大 值 是.【答案】2+4【分析】作AAOB的外接圆。P,连接。P、PA.PB、P D,作 P G _ L

36、8,交AB于H,垂足为G,易得ZAPH=Z 4O B,解直角三角形求得P 4=l，然后根据三角形三边关系得出0。取最 大值时，OD=O P+P D,据此即可求得.【详解】解：点A 在一次函数），=瓜图象匕/.tan Z.AOB=G ,作 AAOB的外接圆。尸，连接。P、PA.PB、P O,作 PG1.CQ,交 AB于H,垂足为G,.四边形A8CO是矩形，A B/C D,四边形AHGD是矩形，:.PGAB,GH=AD=1,.ZAPB=2ZAOB,ZAPG=-ZAPB,AH=-AB=/3=DG,2 2:.ZAPH=ZAOB,tan ZAPH=tan ZAOB=6 PH：.PH=1,:.PG=PH+

37、HG=1 +1 =2,：.PD=-JPG2+DG2=亚元耳7 =不，试卷第28页，共 65页OP=PA=lAH2+PH2=7（/3）2+l2=2，在A O P O中，OP+PD.OD,：.O D的最大值为O P+P D =2+出,故答案为：2+&.【点睛】本题考查了 次函数图象匕点的坐标特征，圆心角和圆周角的关系，垂往定理以及勾股 定理的应用，二角形三边关系等，作出辅助线是解题的关键.16.(2021山东日照港中学三模)在直角坐标系中，给定两点M(l,4),N(-1,2),在 x 轴的正半轴上，求一点尸，使 ZMPN最大，则 P 点的坐标为.【答案】(1,0)【分析】作AA/NP的外接圆E,则

38、/M P N为弦M/V所对的圆周角，推出当圆E和x轴相切时，N M/W最大，设E(x,y),则P(x,0),根据圆半径相等得到关于x和)，的方程，解 之即可.【详解】解：.,点尸在x轴正半轴上，作 M N P的外接圆E,则N M P N为弦M N所对的圆周角，当圆的半径最小时，4 M P N最大，二当圆E和x轴相切时，N M P N豉 大,设 E (x,y).则 P(x,0),又 例(1,4),N(-1,2),根据 EM=EN=P E,贝+(y -4 =(x +l)2+(y-2)2=y2,由 口-)2+6-4)2=(、+1 +(丫 一2 化简可得：x+y=3,由(x-l)+(y-4 =化简可得

39、：A2-2 x +1 7-8 y =0,将 y=3-x 代入x2-2 x+1 7-8 y =0中，解得：x=l或X=-7 (舍)，：.P(1,0),故答案为：(1,0).【点睛】本题考查了圆的性质，切线的性质，圆周角，根据夹角转化为圆的半径最小是解题的关 键，有一定难度.17.（2021四川温江二模）如图，在矩形ABC。中，A B=V 3+2,A D=6.把4 0沿A E折叠，使点。恰好落在A 8边上的沙处，再将AAE沙绕点E顺时针旋转a,得 到使得EA,恰 好 经 过 的 中 点 交A 8于点G,连接A/T.有如下结2 5论：人工尸出/TEG；扇 形 围 成 的 圆 锥 底 面 积 为 最

40、广 4,厂的长度是几试卷第30页，共 6 5 页【答案】【分析】判 断 可 得 结 论.求 出47E ZT =75。，利用弧长公式，圆的周长公式,圆 的 面 积 公 式 即 可 得 出 结 论.求 出E 4,可得结论.证明A A E 4 的6,可得 生=空=殍1.AA AF【详解】解：,把A D沿A E折叠，使点。恰好 落 在 边 上 的 处，:.D=ZAi y E=90=/T AD,A)=A )，四边形A)。是矩形，又AD=AD =j 3,四边形A D E D是正方形，AD=AD =D E=DE=/3,AE=叵AD=,ZEAI7=ZAE17=45 ,:.i y B=AB-Ai y=2,点F是

41、5。中点，尸=1,EF=JoE?+尸=V3+T=2，将ME D绕点E顺时针旋转 ,AE=A E=/6,ZD ED=a,N E A T/=ZE4Z7=45。，:.A F =4 6-2,故正确；,tanZFED=,DfE 3.-.ZFED=30,j.a =30+45=75,弧力7 r的长度=75里&=在*180 12设扇形E D D 围成的圆锥底面圆的半径为，则有2r=B兀,125 G /.r-,24，圆锥的底面枳=(挈=备，故正确，-.A E A E,ZA E 4=7 5,.NE4A=N4A=52.5。，:.ZA AF=1.5,：D E=E,E G=E G,Ri EU G R t EDG(HL)

42、,:.力GE=R G E,ZAGZT=ZAAG+NAAG=105,3 G E =52.5=ZAAF,又FA，=NEFG,/.AAEAAER；,葛=等=浣?=-1故正确，.Z4O=45,ZA4FN45,.NM FNNEAG,.A WA尸与 A E G不全等，故错误所以所有正确的序号为：.故答案为：.A【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函 数，弧长公式，等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵 活运用这些性质进行推理证明是本题的关键.18.（2021四川青白江二模）如图，A,C是双曲线y 上关于原点对称的点，B,DX是双曲线y=

43、-3上关于原点对称的点，圆弧8 A o与8 c o围成了一个封闭图形，当线段 XA C与 都 最 短 时，图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为.试卷第32页，共 65页【答 案】*8百【分 析】设 点 从卜，：要使当线段A C与8 D都最短，就 是 使。4最短，利用勾股定理表示出与x的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出0A 的最小值，即可求出A C的值；再利用同样的方法可求出6 c的长；再证明 ABC1是等边二角形，然后利用扇形的面积公式和二角形的面积公式可求出阴影部分的面积.【详 解】，当 一 _1=。时，的最小值为,X.户1 （负 值 舍 去），二点 4（1

44、,1）,点。（1,一I）；J4C25/2，设点如-,要 使 当 线 段8。都最短，就 是 使O B最短,，当X 二=。时，Q B的最小值为几，X：.x=N（负值 舍 去），二 点 川-后 石），点。（百，一 G）；二点8和 点D,点A和 点C关于原点对称,BC=ABCDAD,BC=J（电+（V 6）2=272,，月 是 等 边 三 角 形，二 BC二AC=AB,r 2-*/2，S 阴影部分-x 2V2 x 6=8石.故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数，线段最值，二次函数求最值，等边三角形，弓形面积的计算，解题关键在于求出线段的最值.1 9.（2 0 2 1 四川达州中考真题）如图，在边长为

45、6的等边43c 中，点E,尸分别是边 AC,8 c 上的动点，且 A E =CF,连接8 E,AF交于点P,连接CP,则 C P 的最小值 为.【答案】2 G.【分析】首先证明N A P B =1 2 0。，推出点P的运动轨迹是以。为圆心，04为半径的弧.连接C。交。于 P，当点P运动到尸时，CP取到最小值.【详解】如图所示，边长为6的等边A 4 B C,、。：%，、，、.一 A AC=AB=6,ZACB=ACAB=O）Q又 A E =C F .A C GA8A（SA5）ZCAP=ZPBA：.ZEPA=ZPBA+ZPAB=ZCAP+ZPAB=ZCAB=60试卷第34页，共65页，ZAPS=12

46、0.点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧此时/4。8=120。连接CO交。于P，当点P运动到P时，CP取到最小值V CA=CB,CO=CO,OA=OBAACO*BCO（SSS），ZACO=NBCO=30,ZAOC=ZBOC=60：.NC4O=NC8O=90又；AC=6&厂 OC=A B-=A =4A/3/.OP=OA=AB tan300=6x =243,cos30 也3 2CP,=OC-OP=4y/3-2y/3=2y/3即 n=26故答案为：2 6【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关 知识.关键是学会添加辅助线，该题综合性较强.20.（20

47、21四川广元中考真题）如图，在正方形ABC。中，点。是对角线8。的中点,点尸在线段0。上，连接AP并延长交CO于点E,过点尸作PFLAP交8 c于点尸，连 接A尸、EF,A F交BD于G,现有以下结论：AP=P F；DE+BF=E F,PB PD yflBF t SAF为定值；S四 边 彩P E M；=.以上结论正确的有（填入正确的序号即可）.【答案】【分析】由题意易得/APF=/A8C=/AOE=NC=90。，乙48Q=45。，对于：易知点 4、B、F、P 四点共圆，然后可得NAFP=/A3D=45。，则问题可判定；对于：把绕点A 顺时针旋转90。得到48”,则有E=8，N D A E=N

48、B A H,然后易得 AEF注A A H F,则有印三 尸，则可判定；对于：连接A C,在 8 P 上截取8M=P,连接A M,易得OB=OD,O P=O M,然后易证 AOPSA B F,进而问题可求解；对于：过点4 作于点N,则由题意可得4V=AB,若A E F 的面积为定值，则 EF 为定值，进而问题可求解；对于由可 得 理=也，进而可得 G s/v i F E,然后AF 2可得相似比 为 竺=巫，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解.AF 2【详解】解：；四边形ABCO是正方形，PFA.AP,：.ZAPF=ZABC=ZADE=ZC=90,AD=AB,ZABD=45,/Z A

49、B C+Z APF=180,由四边形内角和可得N84P+N3FP=180。，.点A、B、F、P 四点共圆，ZAFPZABD=45,.APF是等腰直角三角形，A AP =P F,故正确；把 A E D绕点A 顺时针旋转90。得到 A B H,如图所示：:.DE=BH*N D AE=NBAH,NaAE=90,AHAE,：.Z H A F =Z E A F =45,：AF=AF,:.A A E F S A H F (SAS),HF=EF,：H F =B H +B F，试卷第36页，共65页:.DE+BF=E F，故正确；连接A C,在 8P上截取8M=DP,连接A M,如图所示:,/点 0 是对角线

50、BD的中点，：.OB=OD,B D 1A C,：.OP=OM,A AOB是等腰直角三角形,AB=&A O，由可得点A、B、F、尸四点共圆，ZAPO=ZAFB,：AABF=ZAOP=9Q),.O P O A A P =4 2丽一而一萧一彳OP=BF,2：BP-DP=BP-BM =PM=2OP,:PB-PD=6BF，故正确；过点A 作 ANA.EF 丁点N,如图所示:由可得NAM?=/ASV,V ZABF=ZANF=9()%AF=AF,:.ABF 9XAN F(AAS),:.AN=AB,若A A E F的面积为定值，则E F为定值，.点P在线段O O上，的长不可能为定值，故错误：由可得丝=也，AF