圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题（解析版）.pdf

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1、【2022版】典型高考数学试题解读与变式考点43 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题【考纲要求】应从“数，与“形，两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系.会判断已知直线与曲线的位置关系（或交点个数），会求有关定值、定点的问题.【命题规律】圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题一般在解答题中考查.难度较大.【典型高考试题变式】（-）定值问题例 1.2 0 2 1 新高考I 卷 2 1 改编】在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y中，已 知 点 耳 卜 万，0）,鸟（如，0）,点“满足|耳|一|用月|=2.记 M 的轨迹为C.（1）求 C 的方程；（2）设点T在直线x=L上，过 T的两条直线分别交C

2、 于 4,8两点和P,Q两点，且2|力 4 卜|工 8|=|7 7 1|7。，求证：直线A 6的斜率与直线P Q的斜率之和为定值.v2【答案】（1）x2-=l（x l）：（2）为定值0.1 6 1 ）【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点 ,鸟 为左、右焦点双曲线的右支,求 出 a,沙的值，即可得出轨迹C 的方程；（2）设点,设 直 线 A B 的方程为y f =设点4（石，弘），8（毛，力），联立直线A 5与曲线。的方程，列出韦达定理，求出|4 1|丁目的表达式，设直线P Q的斜率为2,同理可得比1 7 H|丁。|的表达式，由 画.|/=|阳.|四 化简可得k、+k2的值.【解析】

3、解：|叫|叫|=2/万，.轨迹C 是以点片、鸟为左、右2 2焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程 为:方=l（a0/0），则2 a =2,可得。=1,匕=1 1 7-/=4,2轨迹。的方程为f 2 1 =1（无2 1）.1 6 、(2)证明：设点若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线。无公共点，不妨直线A8的 方 程 为=即y=K无+t,联立，y kyx-t 2 k,消 去 y 并整理可得16x2-y2-16（一 16）j?+匕（2/_匕）+（/_9 +16=0 设点A(%,y)、3(/,必)，则%g且；由韦达定理可得玉+为2k1 2k、t甘 16 x2 卜-对+164-16网附=(1+

4、6八-斗 卜-；=(1 +。2-詈+|=(+：；：)，乙|乙 J A C i _ 10,(r +12)(1+代)设直线P Q的斜率为k2,同理可得|TP|.|T 9 =-二 ，k 1 1 6V T-TB=TP-T(,即(/+甲(1 +6)=(/+.)(1 +,整理可得片=片,.用一 16 片 16 即(匕一3(匕+&)=0,显然占 一%2-。，故,+%2=0.因此，直线A B与直线P Q的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【名师点睛】直线与圆综合问题的

5、常见类型及解题策略：处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式:I AB=J1+L|%|=/1+公 依+/)2-4工/2:圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.【变 式1】【改变条件】【2 02 2河南高三月考】已知抛物线。：/=2万（0）的焦点为厂，且点F与圆加：（了+4）2 +丫2 =1上点的距离的最大值为1万+1.（1 ）求。；（2）若0为坐标原点，直线/：y=+4与C相交于A,8两点，问：O&（。户-月户）是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由【答案】（1）2；

6、（2）方（丽-丽）的值为定值0.【分析】（I）根据圆上的点与定点之间距离的最大值等于圆心与定点的距离加半径得到等量关系，从而解方程即可求出结果；（2）联立直线的方程与抛物线，结合韦达定理化简整理即可求出结果.【解析】（1）由题得，圆M:（x+4 y+y2 =的圆心（-4,0）,抛物线C的焦点为尸忻划=J 16 +。，所以尸与圆M上点的距离的最大值为 16+1=J万+1，解得P =2.X 2 =4 V（2）设 A（x，y）,8（%,必），由，）工；4 得 f 一4丘-16 =0,所以 =16公+6 4 0，且再+=4%,xx2=-16,Q 4 =（x，yJ,（9 B =（x2,y2）,所 以 方

7、（而-旃）=砺 丽=2 +%=52+5=-1 6+*=0.所 以 丽 （而-丽）的值为定值（）.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式H8|=xi+x2+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2 2【变式2】已知椭圆C：=+与=1过点A （2,0）,B （0,1）两点.a b（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线P A与y轴交于点M,直线P B与x轴交于点N,求证：四边形A B N M的面积为定值.v-2

8、【解析】（I）由题意得，。=2,/?=1.所以椭圆C的方程 为 一+产=1.4 -又c a2-及=瓜所以离心率e =a 2（2）设 P（Xo，y（）（/0,%1）的左、右顶点，G为E的上顶点，XG GB=8 P为直线x=6上的动点，与E的另一交点为与 后的另一交点为。.（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.r2【答案】（1）+/=1;（2）证明详见解析.9-【思路导引】（I）由已知可得：A（-a,0）,B（iz,0）,G（0,l）,即可求 得 而.6分=/一 ,结合已知即可求得：4=9，问题得解；（2）设尸（6,%），可得直线AP的方程为：丫 =患（+3）,联立直线4 P的方程与椭圆方

9、 程 即 可 求 得 点。的 坐标为-3年 +27 6%I 城+9%2+9,同 理 可 得 点。的 坐 标 为3姬-3-2%)、虹 +1%2+1,即 可 表 示 出 直 线C D的 方 程，整 理 直 线C O的方程可得:y=4%3（3-2）x-/）,命题得证.【解析】（1）依据题意作出如下图像:2由椭圆方程E:，+y2=i（a i）可得：A（a,O）,aB（a,O）,G（O,1）,AG=GB=（a,1），AG GB=4 1 =8，a=9,2椭圆方程为：+/=1.9（2）证明：设P（6,%）,则直线A P的方程为:（九 一 士水（3），即：y6-（-3）联立直线AP的方程与椭圆方程可得：X2

10、2 1丁+y=1y,整理得:+3）（%2+9）/+6为2%+9%2 81=0,解得：=-3或x=坐二%+9整理可得：悬=若1X-口8%6（3-为2）x 3%2_3年+1、7整理得：4%户2 y0 卜4%一 J3 1 故直线。过 定 点，匕3 ，、【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了椭圆标准方程及其几何性质，考查直线与椭圆位置关系，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养.解题关键是韦达定理的应用.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关

11、系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化筒.【变 式I】【改变条件】【2 0 2 2湖北恩施.高三开学考试】已知抛物线C：V=2 p x （p 0）的顶点为A,直线 与抛物线C的 交 点（异于点A）到点A的距离为4近，（1）求C的标准方程；（2）过点A作斜率为4 （%0）的直线/与C交于点M （异于点A）,直线/关于直线V=x对称的直线4与C交于点N （异于点A）,求证：直线M N过定点.【答案】（1）/=4 x；（2）证明见解析.【分析】（1）求得交点坐

12、标为（2 p,2 p）,利用两点之间的距离公式即可得解；（2）由 直 线 与 抛 物 线 联 立 可 求 得（，），结合已知条件可知匕4 =1,利用k点斜式可知直线M N的方程为了=仁（工+4）,即可证得结论.【解析】（1）联立2 Px，得,I；，即交点坐标为（2 P 2），所以J（20）2 +（2J）2=4下,P=2 ,抛物线的标准方程为y 2=4 x.（2）证明：设N（孙 力），4 4将/：、=代入抛物线方程得小/一4=0,所以占=淳，yt=-.4 4设直线4：y =匕尤,同理*2=淳，=葭，因为/与直线4：y =%d关于直线y=x对称，由图形对称性，计算可得A#=I,所以=4犷，%=4k

13、,k.4,义 k 一 为 f 一 1 31 _ _乂输一 上 再 一 如 上 一 小-1 -1 +-k2所以直线M N的方程为4 ky一 厂 TTF化简有y=白(x+4),所以恒过定(-4,0).【点睛】思路点睛：解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件：(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.【变式2】【改编条件和结论】【2022河南高三月考】已知抛物线。f=2%，(2 0)的焦点为F,且点F 与圆加：(+4)2 +丫 2=1上点的距离的最大值为行+.(1

14、 )求。；(2)已知直线/：y=h +4 与c 相交于A,B两 点,过点8 作平行于y 轴的直线8 0 交直线/：y=Y 于点。.问：直线AO是否过y 轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由.【答案】(1)P=2；(2)直线AD恒过定点(0,0).【分析】(1)根据焦点F 与圆M 上的点的最大距离列方程，由此求得P.(2)联立直线/的方程和抛物线C 的方程，化简写出根与系数关系，求 得 直 线 的 方 程，令x=0求得y=0,从而判断直线AO过(0,0).【解析】抛 物 线 C 的焦点 为 小,|,上 叫=.6+,.F与圆加上点的距离的最大值为J16+工+1 =5/万

15、+1，解得P=2.x=4v（2）设 A（X,y J,网展,%），则。（孙-4）,由，得/一 46 一 16=0,y=kx+4,.A0,且+工2=4 左，XjX2=-16,.,.烟毛=T（玉+看），又直线AD 的方程为丫 +4=上上（一），Xl-X2令x=。，得 y+4=,”W+4,.y+4=f c L g LY（）+8X=4,%X2-Xx X2-Xy=,故直线AO恒过定点（0,0）.【点睛】直线与圆锥曲线位置关系的题目，可以考虑设而不求，整体代入来求解.（三）存在性问题例 3.1 2 0 2 1 高考上海卷2 0】（本题满分1 6 分，第 1 小题满分4分，第 2小题满分6 分，第2小题满分6

16、分）2己知椭圆r:+尸=1，6，K 分别为左右焦点，过点P（m,0）（/n -V 2）的直线I交椭圆于点A,8,且点在x轴上方，点 A在线段BP上.（1）若 8是上顶点，跖 =|西求加的值；（2）若可不事=！,且原点。到直线/的距离为千5,求直线/的方程；（3）对于任意点P,是否存在唯一直线/,使 得 用 可 成立，若存在，求出直线/的斜率，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在唯一的&=、一-.7 2 m2-4【解析】（1 ）利用 椭 圆 几何性质：.廓 卜 阀 卜”=技.W 卜冏+C=A/5+1,;./W=-1 _&.（2）（利用方程思想）设直线/方程为 丁=人 一机），

17、设 4（%,%）&0）,_ 1 r2 2则 14书 4 =（内+1）（工 1-1）+犬=5 2 _1 +犬=5 ,.-+y2 y；=1-,代入得用 可=x；l+y：=g,解得=_ 半,x邛,即直线/:半=_ 半 _ 加）由点到直线距离得：m=_a=坦 1=凶5,联立和得|3 故直线/的方程为V iT F 15,1r r（3）（联立方程消元法）设宜线/方程为y =上口一用）（斜率必存在），设A&,%）,B（&,%），则 耳A =（玉+1,y j,68=（%2 1,%），,丹，（，（百+1）%=（%1）乂，二（%1+1）（依2-1）（依i 一加），化 简 得W+X +m（x,一毛）一2加=0 y

18、=k（x-m）,联 立 V 7 消 去 y 得X2+2/=2,4mk?%+一 一 0/2，（1 +2公）/_ 4mEx+2女 2加2 一 2 =0,1 +2 Z回=2k1 +2m 22公-2，4mlc2 2代入得：-+m（x2-x,-2m =0,.x2-x,=-l+2k2 v-17-1 l+2k2-/2 z 2 .1 6 Sk/n+8又（了2 一%）=（内+）-4x/2=；-2（1 +2公）2 丫 _ 1662-8后“2+8=（1 +2公整 理 得2公一左2 s 2+=0 妤=1,对 于 任 意 一个机 2,在 平 面 直 角 坐 标 系x 0 y中，已 知 点F（2,0），直 线/：x =f

19、,曲线r：/=8 x（ox 0）./与X轴交于点A,与交于点8,P,Q分别是曲线与线段A 8上的动点.（1）用f为表示点B到点F的距离；（2）设r =3,|硝=2，线段O Q的中点在直线FP上，求A A Q?的面积：（3）设f =8,是否存在以E P,FQ为邻边的矩形P P E Q,使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）r +2；（2）W；（3）存在点尸2,竽）茜足题意.【解析】（1）由抛物线的几何性质可得点8到点尸的距离为f+2.（2）由已知Q（3,3 6）,直 线EP的方程为y =6（x 2）,联 立V=8x解得23又点 A(3,0),S&10 P（3）存在

20、.理山如下:，2、o A 2焦点为尸（2,0）,设P半，则须尸=黄尢，勺=与:，根 据 而+也=的得到4炉+6,竺 日、8 4 ,4 8 +、4 I金2、1=8U +6)，解得2 e 1=6_一 5满足题意.【考点分析】抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力【思路点睛】解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.【变 式1】【改变条件】【2 0 2 2浙

21、江模拟预测】已知椭圆/+/=l（a b 0）,过的直线/与椭圆交于A8两点，过 以/（闯 b o）可 得%2=6 1-%=/（a 2 _/2）,|M N=4%2 =4 尸(4/2)a2所 以|而3*2$,当 天=0 时，胃 总 券=得 成立，综上所述：当与=。时,4/_ 与 与 2 MN 1 6a詈F燃 为 常 数【变式2】【改变条件和结论】【2 0 2 2 全国高三月考】已知椭圆C:+g =l（a 6 0）的左、右焦点分别为6（-1，0）,玛（l,o）,且经过点A瓜（I）求椭圆C 的标准方程;（2）过椭圆P上点作一条切线/与直线x =l 相交于点M 与直线x=4 相交于点Q,证明尸心，心。并

22、 判 断 僧 是 否 为 定 值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.|明【答案】（1）+=1:（2）证明见解析；是定值；定值为4 3 2【分析】（1）由 已 知 列 出 方 程 求 得 即 可 求 出 椭 圆 C 的标准方程;（2）由题意，设点P（N，%）,联立直线/与椭圆C 的方程,根据A=0求得椭圆过点P（%,%）的切线/的方程 为 子+号=1，再分别和直线x =l 与x=4 联立，得到点N与点。的坐标后，即可证明P A F2Q并判断出局 NF2 为 定 吗1a2=h22 2【解析】（1）由 题 意 得 3 3，解得/=4万=3,椭圆C 的标准方程为三+乙=1 .匕+淳=1 4 3（2）

23、证明：局 为 定值，理由如下:设点尸（,%,%）,则 予+今，由题意知%*0,y-y0=k（x-x0）设直线/的方程为y-%=“了-与），联 立/+14 3消去V得（3+4 公/+弘（一线）x+4（y 乜丫12=0,依题意，直线/与椭圆C 相切,则 A=6 4 公(%-乜)2-4(3+4 4(%-4广 一 1 可=0,B|J(y0-f c c0)2-3-4 f c2=0 ,再整理可得(k -4)公-2xoyok+y-3=0,点尸在椭圆上，.4+丘=1,代入可得左=/，则切线/的方程为早+个=1,4 3 4 y o 4 3.直线/：乎+岑=1与直线x=1交于点Q4,3 d）,则 =,4 3 L

24、y J-x0-3（1。）k%Q=4T%QF=J（4-l）2+fT=3 卜:+（，/）=-，V I%J Y%-2%/,%=臀 =:，；尸玛，项2，瞥 为定值义.%T%|。6|2 QF2 2【数学思想与方法】数形结合思想；分类讨论思想；转化与化归思想.【温馨提示】解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确.【典例试

25、题演练】一、单选题1.（2022四川树德中学高三 月 考（理）双曲线C:，-=l（a 0,b 0）的左顶点为A,右焦点为F,离心率为2,焦距为4.设M 是双曲线C上任意一点，且加在第一象限，直线M 4与血尸的倾斜角分别为,a?，则2 q+%的 值 为（）A.-y B.等 C.7 1 D.与M 位置有关【答案】C【分析】由离心率以及双曲线的焦距列出关于。，c的方程求解可得求双曲线方程，由双曲线的性质得出4F的坐标，当改,=2 时易得结果，当x 0*2时，结合斜率计算公式可得ta n 2%和 ta n a 2,进而可得结果.【解析】2c=4 .=1由 =2，得 二，所以 2-/=3,所以双曲线C的

26、方程为炉 一 炉=1.3所以左顶点A（-1,0）,右焦点尸（2,0）.设（%，%）（%0，%。），则x：普=1.当%=2 时，%=3,此时=1,%=：,a,=|,所以 2a l +a2=n；当 与X 2,=ta n a,=-,=l a n a,=.%+1 XQ z因为 y；=3（x：1）,所以 ta n 2a,=2%X o+1 =2(%+1)%=2(%+1)%=-%j(y0 Y(xo+1)-3,o(xo+l)-3(Xo-l)-*0 -2 1又由点例在第一象限，易知名40,a%e（0,所以2a l +a,=n .综 上,2以+。2的值为兀.故选C.2.（2022全国高三专题练习）已知4、B是抛物

27、线）2=4 x 上异于原点。的两点，贝&.方=。是“直线4B恒过定点（4,0）”的（）A.充分非必要条件 B.充要条件C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件【答案】B【分析】设出A、B的坐标和直线A B的方程，将直线方程代入抛物线方程并化解，进而求出oA，oB，然 后 结 合 根 与 系 数 的 关 系 将 化 简，最后根据逻辑关系得到答案.【解析】根据题意，4、8是抛物线V=4x上异于原点。的两点，设 4 （x i,y i）,B（X 2,”），设直线A B方程为x=m y+b,将直线A B方程代入抛物线方程V=4 x,可得y2-4m y-4b=0,贝 lj yi+y2=4m,y i j 2

28、=-4 6,则 O A O B=触 2+丫 以 2=手.咚+防=（，6）+y y,=b2-4b=b（b-4）（b x 0）4 4 l o若oZo=0，贝 Ij b=4,则直线A8的方程为x=?y+4,直线AB恒过定点（4,0）；若直线A B恒过定点（4,0）,则 8=4,于是8.办=（）.所以6 1,由=0 是“直 线.恒 过 定 点（0）”的充要条件.故选B.二、多选题3.（2022江苏海安高级中学高三期中）已知中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线C过点（8,3 抬），顶点分别为A ,B,焦点分别为丐，人，一条渐近线方程为3 x-4 y =0,则下列说法正确的是（）A.该双曲线C的方程为鸟-4

29、=1或 工-工=11 6 9 1 6 99B.若点P为双曲线C上任意一点（顶点除外），则*松二；！1 6C.若直线/过点尸（4,1）且与双曲线C只有一个公共点，则这样的直线/只有2 条D.若点P为双曲线C右支上的任意一 点（顶点除外），则双曲线C在点尸处的切线P T 平分NF P FI【答案】B D【分析】根据给定条件求出双曲线C的方程，再逐项探讨各选项并判断作答.【解析】依题意，设双曲线C:（3 x-（4 y）2 =，因双曲线C过点（8,3 ）,则机=1 4 4,于是有双曲线C的方程为弓-4=1，其渐近线方程为版士纣=0,A不正确；16 9由双曲线对称性知，不妨设4-4,0）,8（4,0）,

30、令尸（%,%）（与#4）,9（_ nk k=_%_ _ _ _%=巾 1 6 =9 ,B 正确；M 处 一%+4%一 4 一片一1 6 一 -1 6 -1 6显然直线x=4 与双曲线C相切，过点P（4,l）平行于直线3 x-4 y =0的直线3 x-4 y-8 =0及过点P（4,l）平行于直线3 x+4 y =0的直线3 x +4 y-1 6 =0 与双曲线C都各有一个公共点，即这样的直线至少有3条，C不正确；令双曲线C上点尸（f,s）（r4）,显然切线尸T 的斜率存在，设其方程为卜=丘-（股-s）,由y =kx-(kt-s)c .r9，同 4 4 消去,得：(9 7 6 士+32.一)16

31、3)-+9=。,A =3 2?/(kt-s)2-6 4(1 6 公-9)(W-s)2 +9 =-6 4 1 4 4 f c2-9(j tr-5)2-8 1 =0 ,2 2 1(2 Q 2整理得(产 一 1 6)公 29+(1+9)=0,而二 三=1,即产一 1 6 =上 二，+9 =工，1 6 9 9 1 6则有5 欠-。2=0,解得左=与，切线P T 与 x 轴交于点Q(%,o),贝 i J A =h-s,于是得3 4 1 6 ss 1 6?1 6/$2 1 6 1 6x =t_ _ =t-=(-)=.即。(一,0),1 k 9 f f 1 6 9 f t不妨设点耳(T O),鸟(5,0),

32、f 4,则旧Q|=；+5,优Q|=5-f,圈=梳 岑，/P 用亚齐710周小(-5)2 +52，1 6 P F.山 Q|A身二点，则尸Q 是 的 内 角 平 分 线，即切线尸7平分/4尸工，口正确故选B D.I明传QI24.(2 0 2 2 全国高三专题练习(文)已知尸为双曲线上-V =l 上的动点，过点P 作双曲线3的两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B,设直线 以，P B的斜率分别为为，ki,线 段 南，尸 2的长分别为胴，则下列结论正确的是()2TT 1 3 9A.ZA PB=-B.k ki=-C.mn=D.AB 【答案】A C【分析】(r+5)2+9(-1)2 5 r2+1 6 0 r+

33、1 622 5 r2-1 6 0 r+1 62(5 r+1 6)2 _ 5 r+1 6(5/-I 6)2-5/-1 6先求出双曲线的渐近线方程，设点尸(%,%),利用点到直线的距离公式求出?，再利用直线之间的垂直关系求出直线24、尸 8的斜率，再运用余弦定理及基本不等式可确定I A 8 I 的范围.【解析】如卜图所示，设尸（%，%），则 由题设条件知：双曲线的两渐近线：），=立 x,/,:y=-立 x,所以可知NAO B=g,从而,3 3 32兀AAP B=,故 A 正确;由于小、PB分别垂直4、4，所以勺=一豆，&=6，因此纸?=-3,故 B 不正确;由点到直线的距离公式知：|出|=帆 岛1

34、 3yol 3扃;3%2V3 2V3所以 m n =13 x;一 9%21 =2 x 日 _ 21=3,故 c 正确;12 12 3 0 4在/AP B 中，因为 NAPB=,_ _ 3所以|AB|=V P A2+P B2-2P AP B-CO S Z AP S =yjn r+tr+m n，又因为，所以|4 例=/+3+3 2 之（加=时 等号成立），故 D 不正确.V 16/4 2 2故选AC.5.（2022江苏南京市中华中学高三月考）在平面直角坐标系x Oj中，过抛物线好=2的焦点的直线/与抛物线的两个交点A（xi，%）,8（X2,%）,则（）A.B.以4 B 为直径的圆与直线 =-；相切

35、C.O A+O B的最小值2应D.经过点B 与 x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上【答案】ABD【分析】对于选项A：联立直线/与抛物线的方程，利用根与系数之间的关系即可求解；对于选项B：利用抛物线定义求出线段AB的中点到准线距离与线段A 8 的倍数关系即可求解；对于选项C：由对称性关系，当直线斜率为0 时，求出04+08的值即可求解；对于选项D：根据已知条件求出交点即可求解.【解析】由题意可知，抛物线V=2 y 的焦点F（0,，准线为：y=且直线/斜率一定存在，不妨设直线/：y=kx+,x2=2y由 =x2-2 kx-=0,从而王+入2=2%，X,x2=-1,所以 X%=（3 +g）（

36、3 +g）=/玉入2 +；%（%+工2）+；=；，故 A 正确；因为 y+%=kX+kx-y+3=k（玉 +x,）4-1 =2k +1,所以由抛物线定义可知，9 例=乂+；+必+；=2（公+1）,且AB中点/伙,殳 士），2 2 2从而M到直线=-1 的距离为二+1 =g|AB|,从而以AB为直径的圆与直线y=相切，故 B 正确；因为当=0时，易得A（-l,g）,B（l,|）,故。4+OB的值 为 右 2 0,故 C 错误；由题意，易知直线0 4：%经过点8 与 x 轴垂直的直线为：x=x?,从而经过点B 与 x轴垂直的直线与直线OA的交点为出，空），王因为X：=2M，所 以 竽*=3X1X2

37、=-,所以经过点8 与 x 轴垂直的直线与直线OA的交点为区,-；），即（，一；）在宜线y=-g 上，故 D 正确.故 选 ABD.6.（2022全国高三专题练习）已知F 为抛物线C：y2=2px（。0）的焦点，下列结论正确 的 是（）A.抛物线 的的焦点到其准线的距离为B.已知抛物线C与直线/：4 x-3 y-2。=。在第一、四象限分别交于4,3两点，若|A F|=2|F B|,则2 =4.C.过F作两条互相垂直的直线乙，12,直线4与C交于A,B两点，直线4与C交于O,E两点，则四边形A Z W E面积的最小值为8/.D.若过焦点尸的直线/与抛物线C相交于M,N两点，过点M,N分别作抛物线

38、C的切线入，L切线4与4相交于点P,则点尸在定直线上.【答案】BCD【分析】A：根据焦点到准线的距离等于p（p 0）即可判断A选项；B：联立2,=,得玉=与,=2。，进而结合焦半径公式得到|而j 9|而|进而可以求出4的值，从而判断BO选项；C：由题意可知直线4，%的斜率均存在，且不为0,设直线4：x =m y +5,联立_,p_.x =m y+2,结合韦达定理表示出弦长|A 8|,同理口目，进而得到A O BE的面积，结合均y2=2px值不等式即可求出结果，进而判断C选项；D：设不妨设X 0,为 =公2的的焦点到其准线的距离为 白，故A错误；f 4 x-3 y-2 p =0 .nB：联乂（2

39、 c ，则 1 6 x-3 4 p x +4 p-=0,解得菁=（,工2 =2，y=2px 8由题意可知I而rw+KnZp+Ku2,I而|=X|+4=K+K=2,2 2 2 2 8 2 8故半=4 乎，所以几=4,故B正确；2 oc：山题意可知直线4，4的斜率均存在，且不为0，设直线2+与，联 立/+2 ,贝（j/一2 加）一 2 =0 ,y2=2 px设两交点为4（%,乂）,3（%,%），结合韦达定理凹+%=2m，所以|4叫=%+P=M x +必)+2p=2p(加2 +1)；同理|DE|=2 p(J +l),所以 SE=；|ABH。目=g x 2 p W +l)x 2 p(+l所以四边形AD

40、BE面积的最小值为8P2,故 C 正确;当且仅当加=1时，等号成立;不妨设y 。，%0),若 y 0,则 y=J2px,所以)=J 万1=P所以在点M 处的切线的斜率为“；序工因此在“处的切线方程为y x=,（x 即？=，尤+年，同理在N处的切线方程为y=x+与%乙y=x +2y=x+%2则解得*二 乎,%-0=必-0因为直线M/V过点尸，所 以 立 N 一 直 工，即%必=-/,所以工=一日,2P 2 2P 2 2故点P 在定直线x=-5 上，故 D 正确；故选BCD.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦

41、长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用过焦点的公式，若不过焦点，则必须用一 般弦长公式.三、填空题7.（2022上海市复兴高级中学高三期中）已知、用 是 椭 圆 三+亡=1的左、右焦点，点 P4 3是椭圆上任意一点，以尸K 为直径作圆M直线O N与圆N 交于点。（点 Q 不在椭圆内部），则 的 碇=.【答案】3【分析】利用向量的数量积运算可 得 画 斯=（丽）2-（国）1 利用IQOI=|QN|+|NO|，进一步利用椭圆的定义可转化为6-0 2,进而得解.【解析】连接尸入，设椭圆的基本量为a，b，c，西 西=（前+西）（加+西）=（加）L（国）2=（|例+|陷）=（

42、粤 1 +苧）_c2=a2_c2=b2=3故答案为：3.v28.（20 22西藏拉萨中学高三月考（理）双曲线d-匕=1 的左、右两支上各有一点A、B,3点 8在直线x 上的射影是点玄，若直线AB过右焦点，则直线A9必定经过的定点的坐标为【答案】信。）【分析】根据双曲线/-?=1 的右焦点为（2,0）,设A（x,y,）,f i（x2,y2），Bf-.y=k（X-2）,直线与双曲线方程联立，表示出直线A B 的方程,令 y=0,结合韦达定理求解.【解析】双曲线炉-1 =1 的右焦点为（2,0）,设A（X“X）,8（X 2，%）,B（；,%MB：），=&（X-2）,直线与双曲线方程联立得（3-k2）

43、x2+4k2x-4k2-3=0,则A,+&=5三小=4%,所以不丑+1 =京占4-X,）,，一为 f _爪 f）直线AB的斜率为卜 1 -1,所以直线AB的方程为5f 2-%-2）=牛）2勺X令y =0化简得，（A；-X,）x =X,%2-|+1=|（x2-X,）,即（天-芭）（了-刃=0,则x =1恒成立，所以直线A B 必定经过的定点的坐标为（*0）,故答案为：（3 0）.四、解答题9.（20 22广西南宁市东盟中学模拟预测（理）已 知 椭 圆 屈 兰+二=1的左右顶点分别为A,3 2B,点P为椭圆上异于A,8的任意一点.（1）证明：直 线用与直线P B的斜率乘积为定值；（2）设。过点。作

44、与x轴不重合的任意直线交椭圆E于 ，N两点.问：是否存在实数f，使得以MN为直径的圆恒过定点B?若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在；t =5【分析】（1）结合斜率的计算公式化简整理即可求出结果；（2）直 线 的 方 程 为x=，+f与椭圆联立，进而结合韦达定理即可求出结果.（1）A（-x/3,0）,8便,0）；设P（m,n）,且?+卷=1,贝 也 小 置，%=；万(2)设y j,N&,y2),直线MN的方程为x=阳+小联立上+匕=1 及x=m y +f ,得(2*+3y2+4m ty+2t2-6-0,所以x+/一3,y叱部若以MV为直径的圆过点8,则

45、的.丽=0,即-6）（W-6）+丫通=。将 X i +t,x2=m%+r 带入整理得（1 +%必+（W）（%+%）+/-26+3 =0；带 入（*）,化简整理得5/-6右+3 =0,解得r =3,或f =g（舍）t泻（）,故存在。（亭，o）,使得以MN为直径的圆过恒过定点B；【点睛】求定值、定点问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值、定点，再证明这个值、点与变量无关.（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值、定点.2 21 0.（2 02 2四川成都七中高三期中（文）已知椭圆C:+/=l（a 6 0）的短轴长为26，左顶点A到右焦点F的距离为3 .（1）求椭圆

46、C的方程及离心率；（2）设直线/与椭圆C交于不同两点M,N（不同于A）,且直线AM和4 V的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：/经过定点.【答案】（1）工+片=1,e=i4 3 2（2）证明见解析【分析】（1）依题意可得人=百、a+c=3,再根据/=储 一 从，即可求出。、c,从而求出椭圆方程、离心率；（2）设直线/为丫 =h+，N 5,y j,联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，依题意可得做“即可得到方程，整理得至U-4 Z 2+5 一8 5=0,即可得到加、上的关系，从而求出直线过定点；（1）解：依题意b =C、a+c=3,又。2=/一 从，解得。=2,c =l,所以椭圆方程为+二

47、=1 ,4 3离心率e =a 2(2)解：由（1）可知A（2,0）,当直线斜率存在时，设立线/为 =去+加，y=kx-rm联 立 方 程 得 丁 丁，消元y 整理得（3+4/）/+8切比+4田 12=0,设14 3z（山 8km 4/n2-127（,y2），所以不+赴=-互 而，=石 乐-；因为直线AM 和 AN的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所 以&怎N=-g；_ y%_ g +-g+m _/=%2+初2（一+%2）+苏 _AM 4V X j 4-2 x2 4-2 x+2 x2+2 x w+2（再+/）+4 2,o Am2-12.（8km）2所）k-3-+-4-+km-1-3-+-4-/

48、-tJ +/71 _ 1 -2 k,2+3m.2 _ 1“病 1 2 c 8km 一 5 *+4 m2-166T F+2C3Fj+42所以-4公+5m2一 8上 =0,所以机=2%或加=一1 左，当加=2%时，直线/：=履+2 3 恒过定点（2,0）,舍去；当机=-|%时，直线/：y=k x-k,恒过定点（|,0）；2当直线斜率不存在时，x=不符合题意；综上可得直线/恒过定点（|,0）.11.（2022四川双流中学高三月考（理）有一种画椭圆的工具如图1 所示，定点O是滑槽AB的中点，短杆OP绕。转动，长杆尸。通过尸处钱链与0 尸连接，尸。上的栓子。可沿滑槽A 8滑动，且 O P=QP=1,PQ

49、=2.当栓子O在滑槽A 8 内作往复运动时，带动P 绕。转动一周（。不动时，P 也不动），Q 处的笔尖画出的曲线记为C.以。为原点，4 8 所在的直线为x 轴，建立如图2 所示的平面直角坐标系.（1）求曲线C 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，过点M（l,0）的动直线/与曲线C 交于E、F 两点，是否存在异于点M的定点N,使得MN平分NENF?若存在,求点N坐标；若不存在，说明理由.【答案】(I)+/=19（2）存在N（9,0）,使得朋N平分Z E V F【分析】（1）利用待定系数法设C：，求出。力的值即可求解;（2）先猜出定点的坐标为N（,0）,当直线/斜率存在且不为0时，设直线方程/

50、为:x=m y+l,Eg,y j,尸（为,%），则L +L=。，求解即可（1）由题意可知：曲线C是中心在坐标原点，焦点在工 轴的椭圆,设C：2+2=(a b 0),则4=/。+2。=2 +1=3,/?=。=1 ,所以曲线C的方程为9+丁=1；(2)假设存在异于点用的定点N,使得MN平分N S V F；当直线/与y轴平行时，设直线与椭圆相交于两点为E（I,半）由对称性知：若定点N存在，则点N一定在X轴上，设N（%,0）,当直线/与x轴平行时，设直线与椭圆相交于两点为E（-3,0）,F（3,0）,MN平分N E N F也成,1.U；当直线/斜率存在且不为0时，设直线方程/为:x=m y+,E（xl