2023届北京一六一高三二诊模拟考试数学试卷含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷考生须知：1 .全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2 B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2 .请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3 .保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知复数二满足z（l +D=4-3其中i是虚数单位，则复数z在复平面中对应的点到原点的距离为（）A.B.C.-D.-2 2 2 42 .（x-l）3（y-2）

2、5的展开式中，满足加+=2的 的 系 数 之 和 为（）A.6 4 0 B.4 1 6 C.4 0 6 D.-2 3 63 .已知点（叫8）在 幕 函 数=的图象上，设。=/（，）。=/（1 1 1万）,。=/（），则（）A.b a c B.a b c C.b c a D.a cx B.Bxoe D ,/(x0)x D.Bx0 G D,fx0)x08.如图，在AABC中，点。是8 C的中点，过点。的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若 而=相 说,A C -n A N.则加+=()3A.1 B.-C.2 D.329.若i为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点Z表示复数

3、二，则表示复数 的 点 是(A.E B.F C.G D.H1 0.己知集合加=y|-l y 0/0）的离心率为e,抛 物 线 丁=2 内 50）的焦点坐标为（1,0）,若 6=，则双a b曲线C的渐近线方程为（）A.y=/3 x B.y 2y/2xcC y，=一 i班 n 一五x D y =x2 2二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3.如图，在体积为V的圆柱口。2 中，以线段O Q 上的点。为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为匕，v +VV2,则，的值是.1 4 .春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士

4、到湖北A、8两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有 种选派方法.1 5 .（3/-2了-1）的展开式中，/的系数是.（用数字填写答案）1 6 .函数/。）=1 一4 2%-1|在（0,1）内有两个零点，则 实 数 匕 的 取 值 范 围 是.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .（1 2 分）如图，在三棱锥P-A 8C 中，P A =P B A B =2,B C =3,=，平面平面 A B C,D、E分别为43、A C中点.（1）求证：A B L P E;（2）求二面角A 必一后的大小.11 8.(1 2 分)已

5、知 矩 阵 知=一2101,MN=0(1)求矩阵N；(2)求矩阵N 的特征值.1 9.(1 2 分)已知函数/(%)=|2%-。|(1)若。=1,不等式/(2 x)/(x+l)N 2 的解集；(2)若 V x e R,/(2 x)-xN2,求实数。的取值范围.2 0.(1 2 分)如图为某大江的一段支流，岸线4 与 4近似满足4 4,宽度为7A m.圆。为江中的一个半径为2 初?的小岛，小镇A 位于岸线4 上，且满足岸线O A =3 k m.现计划建造一条自小镇A 经小岛。至对岸的水上通道A B C (图中粗线部分折线段，3在 A 右侧)，为保护小岛，8C段设计成与圆。相切.设(1)试将通道A

6、 B C的长L表示成。的函数，并指出定义域；(2)若建造通道的费用是每公里1 0 0 万元，则建造此通道最少需要多少万元？2 1.(1 2 分)已知在四棱锥 P A B C。中，B4 _ L 平面 A B C。，Q 4 =A B,在四边形 A B C。中，D A A.A B,AD/BC,A B =A D =2 B C =2,E 为 P B 的中点,连接DE,尸 为 的 中 点，连接A E.(1)求证：AFA.PB.(2)求二面角A-瓦:一。的余弦值.2 2.(1 0分)设 函 数f(x)=|尤+a|+|x-a2-a|(a+R).(1)当。=1时，求不等式/(x)5的解集；(2)若存在使得不等式

7、对一切xeR恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】利用复数的除法运算化简z,复数z在复平面中对应的点到原点的距离为|z|,利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数-在复平面中对应的点到原点的距离为I Z I,4-3/(4-3/)(1-/)Z =-=-【点睛】l-7 z 1 7 .-=-1.2 2 2本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.2.B【解析】|m =0|m =1“+=2,有 c，1n=2=I m=c2 三种

8、情形，用(8-1),3=(-1 +幻3中d的系数乘以(y一2)c5=(-2 +)0 5中r t =0的系数，然后相加可得.【详解】当根+=2时，。一 l)3(y -2)5的 展 开 式 中 的 系 数 为C；xm(-1)3-M.qy(-2广=C；.C；.(-l)8-(m+n)-25-nx yn=25-当加=0，=2时，系数为23x l x l 0 =8 0;当m=1，=1 时，系数为 2 4 x 3 x 5 =2 4();当加=2,=0 时，系数为 2,x 3 x l =9 6 ;故满足加+=2的 的 系 数 之 和 为8 0+2 4 0+9 6 =4 1 6.故 选:B.【点睛】本题考查二项

9、式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键.3.B【解析】先利用塞函数的定义求出，”的值，得到幕函数解析式为/(，)=*3,在R上单调递增，再利用嘉函数/(X)的单调性,即可得到a,b,c的大小关系.【详解】由幕函数的定义可知，力-1 =1,.,.m=2,.点(2,8)在塞函数/(x)=x上，.2=8,.”=3,.塞函数解析式为/(x)=/,在R上单调递增，m 2,:=,KZ/m O,=3,n 3in一Vin兀n,nJ.a b,/（x）Wx是全称命题，所以其否定是特称命题，即马,e。，/伍）/.故选：D【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8.C【解析】连接4。

10、，因为。为 8 C 中点，可由平行四边形法则得不(5=；(通+恁)，再 将 其 用 谢，丽 表 示.由 M、0、Nm n三点共线可知，其表达式中的系数和+=1,即可求出现+的值.2 2【详解】连接A。，由。为 8 c 中点可得，A O=-(Afi+AC)=A M +-A N ,2 2 2-.M.。、N 三点共线，m n,=1,2 2:.m+n=2.故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.9.C【解析】由于在复平面内点Z的 坐 标 为 所 以z=-l+i,然后将z=-l+i代入 化简后可找到其对应的点.Z【详解】由z=-l+i,所

11、以=一=i(-l =对应点G.z 1 +z故选：C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.10.c【解析】先化简 N=X|X(2X-7)/0 =X|O x?,再求M u N.【详解】因为N=尤|x(2x 7)知0=尤|0 A?又因为 M=y l y 0)的焦点坐标为(1,0),则p=2,又 e=p,所以e=2,可得,2=4。2=/+炉，可得：b =yfja,所以双曲线的渐近线方程为：产 土 底.a故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。11 3.3【解析】根

12、据圆柱。Q的体积为V,以及圆锥的体积公式，计算即得.【详解】1 1 1 1 V+V 1由题得，+V/=-sOOi-00,+-SOO2 o o2=-5 o,a =-v,得 =1故答案为：3【点睛】本题主要考查圆锥体的体积，是基础题.1 4.2 4【解析】先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.【详解】解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有C；C；=4 0,若甲乙两名护士到同一地的种数有C；C：C；=1 6,则甲乙两名护士不到同一地的种数有4 0-1 6 =2 4.故答案为：2 4.【点睛】本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.1

13、5,-2 5【解析】根据组合的知识，结合组合数的公式，可得结果.【详解】由题可知：V项来源可以是：(1)取1个3/，4个 1(2)取2个一2%，3个 1X2 的系数为：C x 3 x (1)4 +cj(2)2 C(1)3 =-2 5故答案为：-2 5【点睛】本题主要考查组合的知识，熟悉二项式定理展开式中每一项的来源，实质上每个因式中各取一项的乘积，转化为组合的知识，属中档题.1 6.(1 e,1)【解析】i(11)1 1 1 I设/=无 _5，/一耳，5),设函数为奇函数，g(r)=er，+er，0,函数单调递增,g(O)=2&2(e -l),画出简图，如图所示，根据2G(力2(e-l),解得

14、答案.【详解】/(x)=ee-x-b2x-=exe-2b X-,设 e l 则 X u f+g.1I 1 1原函数等价于函数y =/+_/T 川，即/+_/-=2bt有两个解11 1 1设 g(r)=e”_/T,则 g(T)=e 2 T _ e”=_ g ),函数为奇函数.g(f)=e$+，T0,函数单调递增,g(0)=0,g)=eT，=当。=0时，易知不成立；当。0时，根据对称性，考虑xiO时的情况，g(0)=2 2(e 1),画出简图，如图所示，根据图像知：故2及2人2(e 1),即0 e-l，根据对称性知：故答案为：本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题

15、的关键.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.证明见解析；(2)6 0。.【解析】试题分析：(1)连结尸。，由题意可得厕AB _ L 平面尸O E,A B L P E x(2)法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为百，故二面角的A-廷-石 大 小 为 6 0。；法二：以。为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面尸8E的法向量，=(3,2,6).平面A 4 3 的法向量为后=(0,1,0).据此计算可得二面角的 A P B E大小为6 0.试题解析：(1)连结产，PA=PB,j.PDAB.v D E I IBC,BC_AB,DEJAB.又“：P

16、 D c D E =D,二 A 3 _ _ 平面 PDE,:P E u 平面 PDE,：.AB_PE.(2)法一:：平面 R 1 5 J L 平面 A 8 C，平面 R l B p I 平面 A5 C=4 3,PD_AB,P D J L 平面 AB C.贝！又 E O J _ A8,P L n 平面 A8=。，O E J _ 平面 A4 8,过。做。尸垂直尸8与人 连接E F,则4 F E为所求二面角的平面角,则；D E=,D F=B,则柩/。庄=6,故二面角的A 必 一E大小为6 0 2 2 D F法二：.平面 R I B j L平面 AB C,Y Y ABC=AB,PDJAB,P Z)J

17、_平面 AB C.如图，以。为原点建立空间直角坐标系，匚 3二8(1,0,0),P(0,0,6),E(0,0),3二 月=(1，0，-拒),星=(o,彳，一 6).设平面P B E的法向量1=(x,X z),x-G z=0,喟y-G z=o,令z =G得e3,2时.O E L平 面R 1 8,.平面P A B的法向量为区=(0,1,0)./-|小|1设二面角的A-P3E大小为。，由图知，cos。=c o s(,)=J =彳，|闻 同2所以。=6 0,即二面角的A P B E大小为6 0 .【解析】(1)由题意，可 得N=bd,利用矩阵的知识求解即可.(2)矩 阵N的特征多项式为了(4)=(；1

18、 +；)令/(2)=0,求 出 矩 阵N的特征值.【详 解】(1)设 矩 阵N=b Fl,则 M N=一a22 a b a+2c b+2d 11 c d 2a+c 2b-vd_ 0o-1Q +2c=1所以b+2d=02a+c=0.,1 2 2解得 a=,b=9 c=,d3 3 332 +d=l_L 1所 以 矩 阵 =23 ;3_ 3-3.(2)矩 阵N的 特 征 多 项 式 为=+令/(刃=0,解 得4=；，4=-1，即 矩 阵N的两个特征值为4=g，%=T.【点 睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题.1 9.(1)(-o o,-u 2,+0 0)(2)(-o o,-8【解 析】(1)依 题

19、 意 可 得|4%-1|一|2%+1e2,再用零点分段法分类讨论可得；(2)依 题 意 可 得|4x-a|2x+2对VxwR恒 成 立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的 并 集 为R，得到不等式即可解得；【详 解】解：(1)若。=1,/(x)=|2x 1|,则/(2x)/(x+l)2 2,即一|2x+l|2 2,当时，原不等式等价于1一4 x+2 x+1 2 2,解得,2 2当 _ L x !时，原不等式等价于l-4 x 2 x-l W 2,解得龙4一，所以一，x+2.4x-a-x-2,由4 x-N x+2解得工之区1,/7 2由4无一。一方一2解得x ,要使得/(2

20、 x)x N 2的解集为R,则0 2卓5 3解得a 4 8,故。的取值范围是(一8,-8 .【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题.9 3 c o s 0(兀、2 0.(1)。)=,定义域是 必,彳.(2)6 0 百万s i n 6 0),则 B(a,O),0(0,3),l2：y=7.因为 Z.ABC=7 T -00 0 ,所以直线8 c的方程为丁=121!3（X -a）,即 x-tan 0-y-a tan 0=0,-3-a tan 6 _因为圆。与BC相切，所以/,=2,Vl+tan2w 3cos6+asine 2”一“，2-3cos6即

21、-=-T.从而得a=cos 0 cos 0 sin 07 7cos9在直线BC的方程中，令y=7,得 =+=。+,tan 0 sin 0所以 8C Jl+ta ire l/xc|-.cos 夕 sin，sinn一 7 9-3cos夕所以 L=AB+BC=a 4-=-sin 0 sin 02 2 7i当a=0时，cos0=-,设 锐 角/满 足c o s 4=,则0 3 cos ff(乃、所以L关于。的函数是e)=.定 义 域 是 为，彳.(2)要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即L最小.3sin?。一(9一3cos6)cos3 3-9cosf _ _ TIL(0=-；-=-；0.,0 si

22、n 0 sirr。(2)令z/(e)=o,得cose=；,设锐角q,满足c o s q=g|,得列表：e（%，a）q（呜）L(0)0+L(0)减极小值增r r/9-3cos4 3.nr所以。=时，L（e）min=-F=立=6.2,所以建造此通道的最少费用至少为6近百万元.sin4 3 zF【点睛】本题考查三角函数模型的实际应用、利用导数求函数的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.21.（1）见解析；（2）叵7【解析】（1）连接证明依，AD,A E L依 得 到 依，面 小 归，得到证明.（2）以Q 4，A B，AO所在直线分别为x,九z轴建立空间直角坐标

23、系A-xyz,力=（1,一 1,2）为平面AC的法向量，平面DEC的一个法向量为而=（3,1,2）,计算夹角得到答案.【详解】（1）连接A E,在 四 边 形 中，D A 1A B,2 4,平面ABCO,A D u面ABCD,./!，以，曰DAB=A,.?!），面/VLB,又.P B u面Q4B,.PBLAD,又在直角三角形A钻 中，P A A B,为03的中点，AZ）cA E =A,.P 8,面ADE,AFcz面AOE,.,.AF_LP8.设3=(x,y,z)为平面 AEC 的法向量，AC=(0,2,1),AE=(1,1,0),（2）以PA，A B，AO所在直线分别为x,九z轴建立空间直角坐

24、标系A-xyz,P（2,0,0）,8（0,2,0）,（1,1,0）,C（0,2,l）,A（0,0,0）,0（0,0,2）,2y+z=0八，令x=l,则x+y=0n-AC=0n-AE=Q，y=-l,z=2,/.H=(1,-1,2),同理可得平面D E C的一个法向量为m=(3,1,2).设向量而与力的所成的角为 cos 0=3-1 +47 6 x 7 1 4 -75 7由图形知，二面角AEC-。为锐二面角，所 以 余 弦 值 为 卫.7本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.2 2.(I)%|-2 x 3 .(n)(-o o,0.【解析】(I)a =1 时，根据绝对值不

25、等式的定义去掉绝对值,求不等式/(x)b的解集为R,等 价 于/(力 而N b,求出/(x)在 aG -1,0 的最小值即可.【详解】2 x+1,x 1(I)当a =l 时，/(x)=|x+l|+|x-2|=3,-l x 2xW 1 时，不等式/(x)5 化为一2x+l W 5,解得xN 2,即一lx2时,不等式/(x)W 5 化为3K5,不等式恒成立，即一l x b,.,/(x)=|x+a|+|x-a2-|(x+a)-(x-2-a)|=|o2+2 a|f(x)m j n=+2 4 N Z?对任意 a -l,0 恒成立/a2+2 t z|=|(a +l)-1，当。=0时，,2+2 4取得最小值为o实数匕的取值范围是(00,0【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.