2023届福建省南安市南安高考仿真模拟数学试卷含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集。=R,集合A =x|y=l g(l-x),B=()A.（l,4w）B.（0

2、,1）C.（0,+oo）D.l,+oo）2.古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6 和 28,进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496,8128,33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2 个，另一组3 个，则 6 和 28恰好在同一组的概率为（）12 3 1A.-B.C.-D.5 5 5 103.过抛物线C：V=4 x的焦点F,且斜率为目的直线交C于点在x轴的上方），/为 C的准线，点 N在/上且MNA.I,则M到直线N F的距离为（）A.旧 B.2&C.273 D.3734.已知复数二满足z（l-i）=2,其中i为虚数单位，贝 Uz 1=（）.

3、A.i B.-i C.1 +z D.l-5.已知s in（万+a）=,且 s in 2a/3 1.732,s in l 5 0.2588,s in 75 0.9659）=6 IVItt*A.48 B.36 C.24 D.12.(x-l)cs in -x 37.已知函数/(x)=J 2，一 一 ，若函数/(x)的 极 大 值 点 从 小 到 大 依 次 记 为 并 记 相 应 的 极2/(x-2),3 x 6 9 S =B.6 S =7 7C.i6 9 S =IS D.i.6 9 S =7S10.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上

4、的点N在左视图上的对应点为6,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）一 口BA.2V 17 B.2亚 C.3D.27X11.设椭圆E：1（。人0）的右顶点为4右焦点为尸，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线8厂交直线A C于M,且M为4 C的中点，则椭圆E的离心率是（）2 111A.-B.C.-D.一3 2 3 412.在A A B C中，出 皿 母 皿。1”是“2 45。为钝角三角形”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.如图aABC是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三

5、角形拼成的一个大等边三角形，设=户,A B =A，则.田 产 的 面 积 为.c1 4.设数列 4 的前项和为S“，且 2 s“=3(%+1),若 o =版8,贝!U =.1 5.A A BC 中，角 A的对边分别为a,4 c,且 A B,C 成等差数列，若/,=6,c=l,则 A 4 BC 的面积为1 6.若复数z=l-3i(i是虚数单位)，贝|z丘-1 0)=三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 2 分)已知函数/(X)=co s x-s in(x+1)-g e o s?x+V，x e R.(I)求 J(x)的最小正周期；(H)求/(%)在 一

6、7,7上的最小值和最大值.2 2 o1 8.(1 2 分)已知正数*,y,z满足x+y+z=f(t 为常数)，且 土 +匕+z?的最小值为一，求实数f的值.4 9 71 9.(1 2 分)已知椭圆C：千+方=1(。方0)过 点 过 坐 标 原 点。作两条互相垂直的射线与椭圆。分别交于 A/,N 两点.(1)证明：当/+9 取得最小值时，椭圆C 的离心率为之.2(2)若椭圆C 的焦距为2,是否存在定圆与直线MN总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.2 0.(1 2 分)如 图，在四棱锥P4 BC D中，底面A BC D是矩形，M 是 的 中 点，平面A BC D,且PD =C D

7、=4,A D =2.(1)求 A P与平面C MB所成角的正弦.(2)求二面角M C 3-P的余弦值.2 1.(1 2 分)已知函数/(x)=2 1 n(x+l)+s in x+l,函数g(x)=av-l-M n x (a,b w R,ab工 0).(1)讨论g(x)的单调性；(2)证明：当x 2()时，/(x)-l时,/(x)O=(-O O,I),6=(0,”)，.y,”)，8 =1,同.故选：D.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.2.B【解析】推导出基本事件总数，6 和 28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6 和 28恰好在同一组

8、的概率.【详解】解：将五个“完全数”6,28,496,8128,33550336,随机分为两组，一组2 个，另一组3 个，基本事件总数 =C；C；=10,6 和 28恰好在同一组包含的基本事件个数m=C；Cf+C；C；=4,4 2.6和 28恰好在同一组的概率p=-.n 1()5故 选:B.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.3.C【解析】联立方程解得M(3,2A/3),根 据 加，/得 附/=附 川=4,得到A MNF1是边长为4 的等边三角形，计算距离得到答案.【详解】依题意得尸(1,0),则直线尸M 的方程是 7=百(*一 1).由

9、二 一 一 得 x=或 x=3.y=4 x 3由 M 在 x 轴的上方得M(3,2 6),由知、_ 1_/得 附/=附 川=3+1=4又NNMf1等于直线/M 的倾斜角，即NN M f=60。，因此 MNf是边长为4 的等边三角形点M到直线N F的距离为4 x 3 =2732故 选：C.【点 睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.4.A【解 析】先 化 简 求 出z,即可求得答案.【详 解】因为 z(l-i)=2,所 以z2,2(1+1)_ 2(1+1)1-z(l-z)(l+z)2所以 z-l=l+i-l=i故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算，注意计算的准

10、确度，属于简单题目.5.A【解 析】4由5皿(7+&)=1及5由2夕()得到411。、cos a,进 一 步 得 到tan a,再利用两角差的正切公式计算即可.【详 解】4 4 3因 为sin(万+a)=不，所 以sina=-g,又sin2a=2sinacosavO,所 以cosa=jtana=4所 以tan-1tan tz-1 3 1 +tan a j _ 4-3故选：A.【点 睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.6.C【解 析】由=6开 始，按照框图，依 次 求 出s,进 行 判 断。1-2=6S=X 6sin60 2.

11、598,n=12=sxl2sin30=3,2n=2 4 n s =x2 4 sinl5 3.1 0 5 8,故选 C.2【点睛】框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。7.C【解析】对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当x=2时有极大值/(2)=1,而后一部分是前一部分的定义域的循环,而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点an的通项公式q =2，且相应极大值 =2 T,分组求和即得【详解】当 时，/(x)=c os(方 芝)，显然当x=2时有，/(x)=0,.经单调性分析知x=2为/(x)的第一个极值点又,3 x4 1 0 0时，f(x

12、)=2f(x-2)，x=4,x=6 9 x=8,，均为其极值点 函数不能在端点处取得极值an=2n,1 n 4 9,HGZ 对应极值或=2 L 1 n 0,故错误；故正确.故选：A【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题.9.A【解析】依题意问题是S=(%一 20)2+(x2-20)2+(七 2 0),然后按直到型验证即可.【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的S=；(西-20)2+(%20+(与20)2,观察程序框图可知，应填入i 6,S=,7故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.10.B【解析】首

13、先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺，可以确定点M和 点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处,所 以 所 求 的 最 短 路 径 的 长 度 为 店 方=26，故选以点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利

14、用平面图形的相关特征求得结果.1 1.C【解析】连接O M,OM为A 4 3 c的中位线，从而A O E W AAFB,且率.【详解】如图，连接。例，2 2椭 圆E：，+2r=1（。方0）的右顶点为A,右焦点为凡8、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设8在第二象限，直 线8尸交直线A C于且M为AC的中点OM为A A 8 C的中位线，:.N O F M A A F 6,且瑞二g,a-c 2局O F=于1 进 而 c=51,由此能求出椭圆的离心解得椭圆E的离心率e=二a 3故选：C【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.【解析】分析：从两个方向去判断，先看tan A t

15、an3l能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tanA tan3l成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结详解：由题意可得，在A48c中，因为tanAtan5l,所以2-:-1,因为0(),cosAcosfi0,结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为sin Asin 3 cos Acos 3,兀因此0。l,故必要性不成立，所以为既不充分也不必要条件，故选D.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式,诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对

16、应的特征.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.【解析】根据3个全等的三角形，得到=设A/=x=O B,求得AO=3 x,利用余弦定理求得x,再利用三角形的面积公式，求得三角形瓦加的面积.【详解】由于三角形A B C是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，所以AE=.在三角形 他。中，=180-60=120.设 AE=x=8,贝I AD=3x.由余弦定理得 13=f+9 f -6/cosl20,解得x=l.所以三角形互下边长为2,面积为L x2 x2 xsin6 0 =6.2故答案为：石【点睛】本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形

17、的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.1 4 .9【解析】用九一 1换2 s.=3(4 +1)中的，得2 s,T=3/T+3(N 2),作差可得勺=3a？2),从而数列 4是等比数列，再 由 左=%=夕2即可得到答案.as【详解】由 2S,=3%+3 ,得 2 S.,=3 a M +3(2),两式相减，得 2an=3an-3 a,一，即a=3%一|(？2)；又2 =3%+3 ,解得q=-3,所以数列 4为首项为-3、公比为3的等比数列，所以=9.故答案为：9.【点睛】本题考查已知与s”的关系求数列通项的问题，要注意的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题.1 5 .叵2【解析】1 T

18、由A,B,C成等差数列得出5=6 0。，利用正弦定理得。进而得4 =二代入三角形的面积公式即可得出.2【详解】V A,B,C成等差数列，；.4+。=2 8,又A+3+C=1 8 0。，.3 3=1 8 0。，B=6 0.c h 1 7T 7 T故由正弦定理；=二 一.sinC =c=二Lz =r时，上述等号成立,4 9 1 4 7.1 4 1 41 ,8所 以 一f=,即/=6，又x,y,z 0,所以 x+y+z=Z=l.1 4 7【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立,侧重考查数学运算的核心素养.1 21 9.(1)证明见

19、解析；(2)存在，x2+y2=【解析】(1)将 点 代 入 椭 圆 方 程 得 到5+白=1，结合基本不等式，求得片+奶?取得最小值时=2，进而证得椭圆的离心率为巫.2(2)当直线M N的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得。到直线M N的距离.当直线M N的斜率存在时，联立直线 的 方 程 和 椭 圆 方 程，写出韦达定理，利用Q M _ L O N,则 内 +%必=0列方程，求得，的关系式，进而求得。到直线MN的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.【详解】.1 9（1）证明：.椭圆C经过点9b 9a2当 且 仅 当 第=丝 入 即时，等号成立,a2 4从此时椭圆。的离

20、心率e也2（2）解:1 0.椭圆。的焦距为 2,又/+/=1,.a 2=4,=3.当直线M N的斜率不存在时，由对称性，设/（%0，/），N（毛,一毛）.M，N在椭圆。上,%）上X。_ -1-14 31 2一，0到直线M N的距离d72 V2 T7当直线M N的斜率存在时，设M N的方程为），=丘+，.由，y=kx-mx 2 y2 1+=14 3,得（3+4%2卜2+8/7 nx+4，-1 2 =0 ,A =（8 版-4（3 +4 j t2）（W-12）0.设 （斗 乂），N（x2,y2）,则x+x 2=_ y,x,x2=-3+QK J+4KOM1 ON,J 须%2+）,1%=0，:.xx2+

21、（A x j +z）（仇 +m）=（女2+1）%2 +kmx+x2）+IYT=0,:.伊 +1）.4一 产一 加2=0,即7加2=1 2俨+1）,）3+4公 3+4公 7二0到直线MN的距离d=同=户=宏 史.V 1 7 F V 7 7综上，。到直线MN的距离为定值，且定值为2叵，故存在定圆。：x2+/=,使得圆。与直线肠V总相切.7 7【点睛】本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.420.（1）y.（2）通,10【解析】分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的

22、法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.详解：（I）.ABC。是矩形，A A D LC D,又,夫），平面 ABCD,A PD Y A D,PD C D,即 P,A D,CD两两垂直，.以。为原点，DA,D C,。尸分别为工轴，丁轴，z轴建立如图空间直角坐标系，由 P 0=cr=4,A D =2,得A（2,0,0）,B（2,4,0）,C（0,4,0）,D（0,0,0）,P（0,0,4）,M（l,0,2）,则 AP=（-2,0,4）,BC=（-2,0,0）,MB=（1,4,-2）,设平面CMS的一个法向量为勺=（%,y,z

23、 j,B C -n.=0 -2x.=0则L n Z 即 A o n,令M=l，得、=0，Z=2,MB 4=0 玉 +4y 24=0:.%=（0,1,2）,川=瑞=蜡4故A P与平面C MB所成角的正弦值为j.(2)由(1)可得PC=(O,4,T),设平面P 8 C的一个法向量为%=(毛,%2)，则-C，即 L 令%=1，得工2=0，Z2=1P C-n2=0 4%-4Z2=0:.%=(0,1,1),./_ 3 3 V 1 0/V 5-V 2 1 0故二面角M-C B-P的 余弦值为独.1 0点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标的正

24、确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.2 1.(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】(1)求出g(X)的定义域，导函数，对参数。、b分类讨论得到答案.(2)设函数(x)=/(x)-(3 x+l),求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.(3)由(1)可知x N l +l n x,可得(x +l)2 e s m N l +l n (x+l)2 e s m 1,即(x+l p e s m*2 2 1 n(x+l)+s i n x +l又卜2+2 x +2)e S i n x (%+l)2es i n v 即可得证.【详解】解:8(灯的定义域为(0,+

25、8),g x)=、b,当a (),/0,则g(x)在(0,+”)上单调递增；当a0,力 0时，令g(x)0,得x2,令g，(x)0,得0 x 0时,g(x)0,则g(x)在(0,+巧上单调递减；当a 0,0,得0 x3,令g x)3,则g(x)在(o,|上单调递增，在上单调递减;、/、2(2)证明：设函数A(x)=f(x)-(3 x+l),则(x)=+cosx-3.2因为x 0,所以-6(0,2,COSXG-1,1,X+1则hx)0,从而(x)在0,+co)上单调递减，所以=f(x)(3x+l)W/i(0)=0,即f(x)1 时，(x+l)2O,(%+1)2esinx0,则(x+1 y esi

26、n*l+ln(x+l)2esin,即(x+1 丫21n(x+l)+sin%+l,又(f +2x+21 (x+Ip|，所以(X?+2x+2)esnA 21n(x+l)+sinx+l,即/(力,得 S0 L C D.进而 CO_L平面SUM,进而结论可得证(2)(方 法 一)过，点作CO的平行线G 交BC于点G,以点”为坐标原点，所在直线分别为x轴、轴、二轴建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,求得平面S8C,平面SBE的法向量，由二面角公式求解 即 可(方法二)取3S的中点N,3C上的点P,使 B P =2 PC,连接H N、P N,P H ,得H N LB S,H P工B E,得二面角C S

27、3 的平面角为N PN H,再求解即可【详解】(D证明：取CO的中点/，连接M,SM,由已知得AE=A6=2,所以SE=S6=2,又 点 是 的 中点，所以S H L B E.因为S C =SD,点/是 线 段CO的中点，所以S M L C D.又因为“M_L6C,所以H M L C D,从而C D _ L平面,所以C 0 J_ S”，又C D,B E不平行，所以S/L平面B C D E.（2）（方法一）由（1）知，过，点 作 的 平 行 线G”交3C于点G,以点，为坐标原点，所在直线分别为x轴、丁轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系H-型，则点3。,一1,0）,C（l,2,0）,（-1,1,

28、0）,S（0,0,7 2）,所以8 C =（O,3,O）,B E =（-2,2,0）,B S =（-1,1,血）.设平面5 8 的法向量为?=（4,丁|乡），由，m-B E=0,得m-B S=0，令y=i,得加=（1,1,0）.玉 +乂 +A/2ZJ 0同理，设平面S B C的法向量为 =（w，y2，z2），由，n-B C O，得n-BS-0%=0-%2 +%+V2Z9 0令Z 2=l,得=（虚,0,1）.所以二面角。5 6-的余弦值为以光 的,八 =r=-r=mn V 2 xV 3 3（方法二）取BS的中点N,BC上的点P,使3P=2 P C,连接H N,P N,P H ,易知H N 1 B S,H P上BE.由（1）得S H L H P,所以“平面8 S E,所以H P上SB,又H N L B S ,所以8SL平面P”N,所以二面角C S3 E的平面角为N P N H.又计算得M7=l,P H =五，P N =，所以 c o s/P N H_L_373-T【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查空间向量求二面角，考查空间想象及计算能力，是中档题