长沙市2023 年新高考适应性考试数学参考答案.pdf

《长沙市2023 年新高考适应性考试数学参考答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《长沙市2023 年新高考适应性考试数学参考答案.pdf（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、长沙市2023年新高考适应性考试数学参考答案一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B解析；由 2 =必=(3+，)(1+，)=1 +2 ,可得|z|=否.1-/(l-z)(l+02 .【答案】C解析：联立解得卜 ,或 尸,或 L，y=x V =0 y=V =-i即/n 8 =(0,0),(1,1),(-1,-1),共有 3 个元素.3 .【答案】C解析：由3 =1。82 应 10 82 1.8=1。82 /53 10 82 =1。84 3.6,可得c a 6.4.【答案】D解析：(l-2 x)4的展开式的通项为看

2、旬=C：(-2 x)=(-2)C：x*,M(-2)(l-2 x)4的展开X式中的常数项为(-2)1 C-2 x(-2)=-10.5.【答案】A解析；观察图象，可 知 西=-而+N 彳+而，A C =AB+AD,贝 1 近.西=-存 2+羽.而 +而 2+丽.而=-16 +10 +9+7.5=10.5.6 .【答案】A11 -ta n(a-)ta n -ta n(a-)i解析：由-=-=ta n(-a-)=ta n(-a)=-,I +ta n(a-)1 +ta n ta n(a-)，ta n。4 4 4-r 4s c m.i c c o s2 a 一 s i n2 a 1 -ta n2 a 3可

3、得 ta n a =2,M O c o s 2 a =-=-=c o s a +s i n a 1 +ta r r a 57.【答案】C解析：由2二%柒=二。2柒，解得/任小+,叱4 一 工023+尸 2 02 5 一 2 02 3+2024-*2023+鸟022 5 58.【答案】D解析：设点尸坐标为(x j),由|尸川2+2|p o 2=2,可得(-3)2+理+2(f+/)=12,化简得(X-1)2+/=2,即点P的轨迹为以(1,0)为圆心，血为半径的圆；又由|2 0=正|尸8|,可得旧+V =可x2+3)2 ,化简得f+3-2/)2 =2 5,即点P的轨迹为以(0,2。为圆心，应 t为半

4、径的圆.由题意，结合图形可知，两圆外离或内含.当两圆外离时，J 1+4f 2 +4,解得/逅+1；2当两圆内含时，,1+4融 诉-夜 解 得0 f 逅-1.综上，可知,的取值范围是(0,乎-1)11(乎+1,+8).二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.【答案】B C解析：易知。=8,6 =4,c =4石，则渐近线方程为夕=2 X，即A错误；焦距为2 c =8 6，即B正确；离心率e =无，即C正确；a 2可求得焦点到渐近线的距离d =4 ,即D错误.10 .【答案】A

5、C D解析：观察散点图，便知大气压强与海拔高度负相关，即A正确.2通过经验回归方程必=-4.0 x+68.5,可知海拔每升高1千米，大气压强降低约为4.0kPa,即 B 错误；当x=l l 时，代入方程计算可得预测值y=24.5,则残差e=22.6-y=-1.9,即 C 正确.随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此，选择方程%更合适，即 D 正确.1 1.【答案】ABD解析：对于A选项，由函数了 =6 与卜=驾满足性质-x)=V w，则不与-占都为函数歹+；的零点,有工2=-不，即A正确；对于B选项，由函数y=ln x 与、=工斗都满足性质/(L)=-/(x),则与与，都为

6、x-I x 七函数y=l n x-T 的零点，有 为=工，即B正确；X -x3对于C 选项，可得西=In必，有 岫=1,即 C 错误;X 对于D 选项，同上,由X i+=0 _ 可得 +In%4=0，x2=In x4有即D 正确.1 2.【答案】ACD解析：对于A 选项，当平面尸。E_L平面8CE。时，四棱锥尸-8C E。的体积最大，此时3体积夕=X 包%3 x 6 =3,即 A 正确.3 2如上左图，设M,N 分 别 为 的 中 点,对于B 选项，设平面PDETl平面尸8C=/,则/8 C,有1LMN ,I V P M ,可得/_L平面P M N,即NNPM为平面POE与平面尸8 c 所成的

7、二面角，由PN=NW 可知，A N P M 90,即 B 错误.对于C 选项，过 尸 作 的 垂 线，垂足为H,则 P4 _L平面8CEO,则 N P B H 为直线尸8 与平面8CE。的所成角.依题意可知，PB=P C =14 1,P M =2,P N =N M=6，在 PM V中，由余弦定理可得cos/PAW=正，有si n N P M N =显;3 3?r在中，P H =P M s E/P M N =从而直线P 8与平面8CE。所成角的正弦值3u P H V3 日 n c TT岳为=，即 C 正确.PB 3对于D 选项，当=时，由B N =币,可 知 P N B N P B?,即PN _

8、L5N,又 P N 工D E ,且 B N R D E =N ,则 PN JL平面8CED,又 P N u 平面P O E,则平面P D E 工平面BCE D.设四棱锥尸-8 C E O 的外接球球心为。，POE的外心为G,如上右图，易知点M 为等腰梯形8CE。的外心，则四边形OGNM 为矩形，且O M=G N =-P N =,nT#R2=O B2=O M2+M B2=,从而所求外接球的表面积为3 3 35?即 D 正确.3三.填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.3【答案】|解析：由 Q+2否=（5,2）,可得（:（4+25）=5 2/1=0,解得 4=1 4.【答案】34解析：依题

9、意，/()=2s i n(o+)=0 ,解得工G+%勺肛匕wZ；6 6 6/(y)=2s i n(y y +)=l,解得。0 +夕=1+%2肛 左 2 e Z、将式两边同时相减，解得3=3 +6(0-尤),勺Z,玲 Z,当占=总 时，/取最小值为 3.15 .【答案】16解析：如图，根据抛物线的定义，M尸|=x*+5,而x =5 +|/尸|c o s 6 0。，W O IAF|=2 =2 p,x“=红.同理|8 尸|=2=女，XB=81-c o s 6 0 2 1 +c o s 600 3 6法 h由器+且禺=七十即篇=需可得则 Z O A s 力 从 而 8=(应3=2.S AB 16法 2

10、：求得y尸6 p，几=%=-理 ，则E =g|。尸乩,S2=-DB-(yA-yB)=-p2,可 得 今=1zyd2 i o16 .【答案】-I-)l n 2解 析 法 1：令 f =/(x),画出函数x)的图象，由f(/)=a,可知:5当。0 时，方程/(。=。只有一个实根f=则方程，(x)=f 也只有一个实根，不合题意.当。=00寸，方程/(f)=a 有两个实根，G=-l,t2=0,则 方 程 有 一 个 实根，方程/(x)=G有两个实根，不合题意.当 0aln2 时，方程/)=a 有两个实根，=a-1 0,r2=-1 e(0,1),则方程x)=4 有一个实根，方程/(x)=G有两个实根，不

11、合题意.当In 2 4 ag(ln2)=2-1-0,则 g(a)单调递增,W g(a)el-ln(ln2),e-l),m2即土土I 上,广).国+2 ln2当时，方程/)=a 有一个实根f=,方程/(x)=f 只有一个实根，不合题意.综上可知,X2+1 er e%+2 In 2x+2,x-1法 2：设g(x)=/(/(x),则 g(x)=ln(x+2),-l x 0a Gln 2,1).6y由再+2=，l n(l n(x2+1)+1)=Q,即/+1 =屋 t，可得2-=-.x,+2 a设0()=史 M l n 2,l),则 0(。)二 三二绊二D0,可得函数以。)单调递增，有a a(p(a)e

12、-9ee),即 七+1 w _ g _ .I n 2 芭+2 l n 2四.解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.(本题满分10分)解 析(1)设 册 的公差为由 的公比为夕,依题意可知。1=1,=2,且1 一、，消去g 化简得d+4 d=5.X+ld +lq1=又函数/(x)=x +4 x 在(-o o,*)单调递增的函数，且/=5,贝 U d=l,4 =2.因此，%=l +(一 l)x l =，6“=2-2T=2”.5 分(2)依题意，S =1x 2 +2X22+-+M X2,两边同时乘以公比2,得 2s =1 x 2?+2 x 23-1)x

13、2+x 2,+1，将，两边同时相减得-5 =2+22+23+-+2n-nx 2f l+l=-(1-2)-wx 2+l=(-n)2n+-2 ，1-2故 5“=(-1)2叫2.10 分1 8.(本题满分12分)解 析(1)由正弦定理，可 得 卢 丝=,整 理 得/+。2一/=百 起.由 余 弦 定 理，J3 a-c a +b可得co s8=d+c2-2=且,解 得 8=2.5 分2 a c 2 67(2)法 1：由 正 弦 定 理 =-=上，即 二-=-=3,可得sin/sin 8 sinC sin J s in sinC sinZ62sinC 2sin(6-)百 sin 力+cos4 片 cos

14、 Jsin 4 sin 4 sin J sinZ1,A 2 cos2 1在锐角/8 C 中，由 2，解得王/工门 厂)冗 A n 3 20C=-A=2sin(30-a)；在 RtA4B。中,AB=2 cos(3()-,AD=BD-tan NABD=2cos(300-a)tan a.cos Z.ABD cos a从而，b+c=2 sin(30-a)+2 cos(30-a)tan a+(即 cos a2 cos(30-a)+2 sin 30cos a.a a_ 2cos(30-a)+2sin300 _ VJcosa+sina+l 6+1 +sina 一 6 +小 2+CS 2cos a cos a

15、 cos a c o s _sjn2-2.a a 1a asin +cos-1 +tan-tan 45+tan=V3+-=V3+-=V3+-=百 +tan(45+).a.a、a a 2cos-sm 1-ta n-tan45-tan2 2 2 28又0 a 3 0。，则4 5。4 5。+区 6 0。，可得6 +cw(J5 +l,2j j),故/8C 的周长的取值范围(6+3,26 +2).法3：如图所示，点工从点尸移向点。时，6 +c单调递增，且6 +CG(G+1,2V 5)，故 N B C的周长的取值范围(G+3,2G +2).1 9.(本题满分12分)解 析(1)证明：连接/C,与8。交于点

16、。，则N CL 8 O.又 75 _ L 平面/8 C D ,则 E D _L Z C,且 7)08。=。，可得/C J_ 平面 E D B .连接由BF =F E ,可知F M L E B .又平面F EB _ L平面E 0 8 ,且平面FE 8 n平面E DB=E B,则F/W _ L平面E O 8,从而F M A C,即4C,M四点共面.5分(2)连接Q M,注 意 到 为 /必的中位线，有 O M E D,且O M u平面O C F M,则 平 面O C F M,又平面D C F E D平面O C F M =F C,则E D/F C.结合(1)中的尸A/C,可知四边形O CFM为矩形，

17、则F C =O M=E D =1 .2法1：如下图，以。为坐标原点，D4,OC,E所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,则力(1,0,0),5(1,1,0),尸(0,1,1),(0,0,2),有 方=(0,1,0),砺=(-1,-1,2),5?=(-1,0,1).9设平面FE B的法向量前=(X ,必,Z),则，m*BF=-X|+Z =0mBE=-X 1 一 必 +2Z=0令玉=1,解得其中一个法向量加=(1,1,1);.!设平面48的法向量3=(和必用)，贝叫_ _ _ _/，令 =2，解nBE =-x2-y2+2z2=0得其中一个法向量3=(2,0,1).3从u血右 co s=一

18、 二=f=m n V 3x V 55即平面F E B与平面E A B的夹角的余弦值为巫.12分5法2：如下图，在 平 面E/8中，过 点 初 作E 8的 垂 线 与E 4相 交 于 点N ,则/N MF为二面角F -E B-A的平面角.由 EN Ms.B A,可得酱=鬻=绪.乂 Bi E B=g ME 吗AE =后,解 得 可=可 ,MN=-.过点N作N P，于点尸，过点尸作P。_ L kC于点0 ,10可求得 N?=告，P Q =,Q F =,则 NF?=N P2+PQ?+QF?=.又MFE F-BM?=痔，在 川尸中，由余弦定理可求得cos Z.NM F =MN2+MF1-N F22 M

19、N-M F即平面F E B 与平面 8 的夹角的余弦值为巫.12分52 0.(本题满分12分)2 4a解 析(1)由题意可知，甲组获得决赛资格的的概率为P 1乙组获得决赛资格的概率为P 2 =(x；=；.X 的可能取值为 0,1,2,则P(X =O)=(1-P 1)(1-P 2)=(1 -$x(l-$=*P(2r=l)=(l-jp1)-p2+p|-(l-jp2)=(l-1)x +|x(l-|)=|,PX =2)=p p2=-,J J J J 乙J 乙JA 1 2 女m=0 x +1 X +2 x =12 5 2 5 2 5(2)设 8表示事件“该单位的某小组对最后一道题回答正确”，4表示事件“

20、甲小组抢到最后一道题”，沟表示事件“乙小组抢到最后一道题”，9 1 1 3 2贝UP(4)=五，0(4)=布，尸(例4)二三，P(BA2)=-.o 117 4 9根据全概率公式，可得尸(8)=尸(4)尸(8|4)+P(4)P(8|4)=去 x g +茄 x 1=志,9 3从而p(4 网=型型=哈金，1 P(8)P(B)4 9 4 91 00即该题是甲组答对的概率为卫.1 2 分4 911备用：设 4表示事件“甲小组抢到最后一道题”，4表示事件“乙小组抢到最后一道题”，片表示事件“甲小组对最后一道题回答正确”，约表示事件“乙小组对最后一道题回答正确”，8表示事件”该单位的某小组对最后一道题回答正

21、确”，9 1 1 3 2则尸(4)=痴,p=/P W=,P(B.o 3 112 4 9可得尸（B）=P（4 4）+尸（4层）=尸（4）P（A）+P（4）P（%）=犷 x 三 +万 x 丁 同,/U J J I JJ9 3P(4 B&)尸(幻 P(4)P(8 J 2 0 T =2 7从而 P(AtBt|B)=P(B)P(B)P(B)驾 4 91 002 7即该题是甲组答对的概率为幺.4 91 2 分21.（本题满分1 2 分）解 析（1）设直线=去，两点4 8的坐标分别为（X”,心）,（xB,yB）,将直线与椭圆的方程联立，可得（2/+1）/-2 =0,则 X，+XE=0,X/B 二品/+.从而

22、kAP+kBP=区二L+&二1 =二 1+屋 二 1 =2米/厂(猫+/)=2k,X”xB xA XB X/B即直线P/,A B,尸 8的斜率成等差数列.5 分（2）法 1：点 P（0,l）到直线y =-x +2的距离d=竽，为定值，直线产/的方程为夕=匕二 +1,与直线方程y =-x +2 联立,xA可解得X c=之 一=之一；同理可得X。=一建一X 力 +X 4 -1 （+1）X 力_ 1 （左+1）X 8 1CD=y25f(k+)1xAxB-(k+)xA+xg)+l12令/=4+(,贝!j%=z 可得打p c D =3|(l-4)2 +1 2 8 3x8 V2=V2P C D 8 F Z

23、 9 8 1 8 9 3当且仅当A =2 时取等号，故P C。面积的最小值为变.1 2 分3法 2：根据题意可知k.k=”T 券-1 ”券一(”+为)+1 yQ(乃一”)+l _T _ 只-1 =1XA XB XAXB XA(XA)XA 2-2 月 2由w=：/+2，解得%=；同理可得和=L _.yc=kA Pxc+1 1 +%力 尸 1 +%8 P直线y =r +2 与y轴相交于点E(0,2),贝 ljS a p c d =|S 血-S C =-PE-XC-XD=h 十 1 3 J女 工 种)+1=_ L|+%)2-4%J _ j 4k j x(T 2 A PB P+(无+怎p)+1 2 -

24、十+2 左 +1 2 V(4 +_)2后续过程，类似于解法1.1 2 分22.(本题满分1 2 分)解 析(1)依题意，f(x)=(4 x -3 x2-lx2+x3)e-x=x(x -l)(x -4)e x,则/(无)在(0,1)单调递增，在(1,4)单调递减，在(4,茁)单调递增.当x 2 2时，/(x)0.方法1 (先对参数分类讨论，再对自变量分段讨论)当。=0时，g(x)=|l nx|0 ,符合题意.当a 0时，注意到g =0.(i)当 0 x l 时，g(x)=a x2ex-I n x -a,且g(x)=a(2 x-x2)e-x-f x)-.由(1)知，f(x)在(0,1)单调递增,且

25、x x a/(x)e(0,l).13若,2 1,即 0 “Wl 时，g(x)g =0,a符合题意.若 0 工0,则g(x)单调递增，可得g(x)g =0,不合题意.因此，当0 X 0 ,即一l)+l nx 20 (*).当 xNe时，g(x)I nx-6/I nx-1 0 ；当 时，设/z(x)=一 1 ,贝ljh x)=x(2-x)e-x,可得(x)在(1,2)单调递增，在(2,e)单调递减,有h(x)min A (1),/t(e)=min 0,e3-e-1 =0 从而 g(x)=a-h(x)+I nx 0 .符合题意.8分当Q 0 时，注意到g =0.(i)当 0 x l 时，g(x)=a

26、 x2ex-nx-a,且8口)=4(2工 一 工2)0 1一2 _ g =0,符合题意.(ii)当时，g(x)=a x2e-x+nx-a9 且g V)=a(2 x-x2)e-+-f(x)+口.x x a若即。0,且 g x)0,则 g(x)单a a调递减，可得g(x)g =0，不合题意.若，4一1,即一10 ,则 g(x)在 1,+8)单调递增，有ag(x)g(l)=0 ,符合题意.综上可知，。一1刀符合题意.12分方法2(先对自变量分段讨论，再对参数分类讨论)当x =l时，g(l)=0,符合题意.当 0 工1 时，g(x)=a x2elx-nx-a 9 且g x)=a(2 x-x2)e-x-

27、=f(x)-.由(1)知，/(x)在(0,1)单调递增,且x x a/(x)e(0,l).若a 0 时,g(x)g(l)=0,符合题意.若。=0 时，g(x)=-ln x 0 ,符合题意.若1 2 1,即0 “41时，g(x)g=0,a符合题意.0 -l 时，存在 与(0,1),使得/(x(,)=L 当 xe(Xo，l)时，a a/(x),且 gx)0,则g(x)单调递增，可得g(x)g(l)=0,不合题意.a因此，当0 x 1 时，g(x)=ax2e,-Y+l n x-,且 g x)=Qx V)*、+工=/(幻+.x x a若4 -1,即。0,且 g，(x)0,则 g(x)单a a调递减，可

28、得g(x)0,则g(x)在(l,+oo)单调递增，有ag(x)g=0，符合题意若=0 时，g(x)=Inx 0,符合题意.若0 ln x-a ln x-l 0：当 1c时，设h(x)=x2el-x-1,则(x)=x(2-x)Jr,可得/?(x)在(1,2)单调递增，在(2,e)单调递减,有 h(x)minA(l),A(e)=min0,e3-e-1)=0,从而 g(x)=a h(x)+Inx 0.符合题意.若。1时，结合情况，无需再讨论.综上可知，。一1刀符合题意.12分说明注意到g=0,则g(x)2 0 恒成立的必要条件为：g*(l)0(0 x 0(x l).当0 x4 1 时，g(x)=a x2elx-nx-a,且短(工)=4(2%一 工 2)3-,则x15g,(l)=tz-l 0 ,解得 al；当 xNl 时,g(x)=ax2ex+In x-a,且gx)=a(2x-x2)e-x+-,则 g )=a+1 2 0,解得 a 2-l.从而，函数 g(x)20 恒成立X只需限制参数a e -1,1中讨论.16