2017年湖南省高考理科数学试题及答案.pdf

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1、绝密绝密启用前启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答

2、案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=x|x1000 的最小偶数 n，那么在和两个空白框中，可以分别填入AA1 000 和 n=n+1BA1 000 和 n=n+2CA1 000 和 n=n+1DA1 000 和 n=n+29已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin(2x+23)，则下面结论正确的是A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位

3、长度，得到曲线 C2B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C2C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C210已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16B14C12D1011设 xyz 为正数，且235xy

4、z，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是A440B330C220D110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|=2，|b|=1，则|a+2 b|=.14设 x，y 满足约束条件21210 xyxyxy，则32zxy的最小值为.15已知双曲线 C：22221xyab（a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若MAN=60，则C的离心率为_。16如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为

5、5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知A

6、BC 的面积为23sinaA（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC 的周长.18.（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且90BAPCDP.（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角 A-PB-C 的余弦值.19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,

7、3)之外的零件数，求(1)P X 及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716iixx，161622221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,16i 用样本平均

8、数x作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到 0.01）附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则(33)0.997 4PZ，160.997 40.959 2，0.0080.0920.（12 分）已知椭圆 C：2222=1xyab（ab0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆 C 上.（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.21.（

9、12 分）已知函数)f x（ae2x+(a2)exx.（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求 a 的取值范围.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为3cos,sin,xy（为参数），直线 l 的参数方程为4,1,xattyt（为参数）.（1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为17，求 a.23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数 f（x）=x2+ax+4，g(x

10、)=x+1+x1.（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围.2017 年新课标年新课标 1 理数答案理数答案1.A2.B3.B4.C5.D6.C7.B8.D9.D10.A11.D12.A13.2 314.515.2 3316.4 1517.解：（1）由题设得21sin23sinaacBA，即1sin23sinacBA.由正弦定理得1sinsinsin23sinACBA.故2sinsin3BC.（2）由题设及（1）得1coscossinsin,2BCBC，即1cos()2BC.所以23BC，故3A.由题设得21s

11、in23sinabcAA，即8bc.由余弦定理得229bcbc，即2()39bcbc，得33bc.故ABC的周长为333.18.解：（1）由已知90BAPCDP，得 ABAP，CDPD.由于 ABCD，故 ABPD，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.（2）在平面PAD内做PFAD，垂足为F，由（1）可知，AB 平面PAD，故ABPF，可得PF 平面ABCD.以F为坐标原点，FA 的方向为x轴正方向，|AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由（1）及已知可得2(,0,0)2A，2(0,0,)2P，2(,1,0)2B，2(,1,0)2C.所

12、以22(,1,)22PC ，(2,0,0)CB ，22(,0,)22PA ，(0,1,0)AB .设(,)x y zn是平面PCB的法向量，则00PCCB nn，即2202220 xyzx，可取(0,1,2)n.设(,)x y zm是平面PAB的法向量，则00PAAB mm，即220220 xzy，可取(1,0,1)n.则3cos,|3 n mn mn m，所以二面角APBC的余弦值为33.19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为 0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为 0.0026，故(16,0.0026)X B.因此(1)1(0)1 0.99740.04

13、08P XP X .X的数学期望为16 0.00260.0416EX.（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有 0.0026，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有 0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii）由9.97,0.212xs，得的估计值为9.97，的估计值为0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3,3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(3,3)之外的数据9.22，

14、剩下数据的平均数为1(16 9.979.22)10.0215，因此的估计值为 10.02.16222116 0.21216 9.971591.134iix，剔除(3,3)之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.2215 10.02)0.00815，因此的估计值为0.0080.09.20.（12 分）解：（1）由于3P，4P两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过3P，4P两点.又由222211134abab知，C 不经过点 P1，所以点 P2在 C 上.因此222111314bab，解得2241ab.故 C 的方程为2214xy.（2）设直线 P2A 与直线 P

15、2B 的斜率分别为 k1，k2，如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知0t，且|2t，可得 A，B 的坐标分别为（t，242t），（t，242t）.则22124242122ttkktt，得2t，不符合题设.从而可设 l：ykxm（1m）.将ykxm代入2214xy得222(41)8440kxkmxm由题设可知22=16(41)0km.设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=2841kmk，x1x2=224441mk.而12121211yykkxx121211kxmkxmxx1212122(1)()kx xmxxx x.由题设121kk，故1212(21)(1)()0

16、kx xmxx.即222448(21)(1)04141mkmkmkk.解得12mk.当且仅当1m 时，0，欲使 l：12myxm，即11(2)2myx ，所以 l 过定点（2，1）21.解：（1）()f x的定义域为(,)，2()2(2)1(1)(21)xxxxfxaeaeaee，（）若0a，则()0fx，所以()f x在(,)单调递减.（）若0a，则由()0fx得lnxa.当(,ln)xa 时，()0fx；当(ln,)xa 时，()0fx，所以()f x在(,ln)a 单调递减，在(ln,)a单调递增.（2）（）若0a，由（1）知，()f x至多有一个零点.（）若0a，由（1）知，当lnxa

17、 时，()f x取 得 最 小 值，最 小 值 为1(ln)1lnfaaa.当1a 时，由于(ln)0fa，故()f x只有一个零点；当(1,)a时，由于11ln0aa，即(ln)0fa，故()f x没有零点；当(0,1)a时，11ln0aa，即(ln)0fa.又422(2)e(2)e22e20faa，故()f x在(,ln)a 有一个零点.设正整数0n满足03ln(1)na，则00000000()e(e2)e20nnnnf naannn.由于3ln(1)lnaa，因此()f x在(ln,)a有一个零点.综上，a的取值范围为(0,1).22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）解：（1）

18、曲线C的普通方程为2219xy.当1a 时，直线l的普通方程为430 xy.由2243019xyxy解得30 xy或21252425xy.从而C与l的交点坐标为(3,0)，21 24(,)25 25.（2）直线l的普通方程为440 xya，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为|3cos4sin4|17ad.当4a 时，d的最大值为917a.由题设得91717a，所以8a；当4a 时，d的最大值为117a.由题设得11717a，所以16a .综上，8a 或16a .、23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）解：（1）当1a 时，不等式()()f xg x等价于2|1|1|40 xxxx .当1x 时，式化为2340 xx，无解；当11x 时，式化为220 xx，从而11x；当1x 时，式化为240 xx，从而11712x.所以()()f xg x的解集为117|12xx .（2）当 1,1x 时，()2g x.所以()()f xg x的解集包含 1,1，等价于当 1,1x 时()2f x.又()f x在 1,1的最小值必为(1)f 与(1)f之一，所以(1)2f 且(1)2f，得11a.所以a的取值范围为 1,1.