2018年陕西省高考理科数学试题及答案.pdf

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1、绝密绝密启用前启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。112i12iA43i55B43i55C34i55D34i552已知集合223Axy xyxyZZ，则A中元素的个数为A9B8C5D43函数 2eexxf xx的图像大致为4已知向量a，b满足|1a，1 a b，则(2)aabA4B3C2D05双曲线222

2、21(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为A2yx B3yx C22yx D32yx 6在ABC中，5cos25C，1BC，5AC，则AB A4 2B30C29D2 57为计算11111123499100S ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A1ii B2ii C3ii D4ii 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是A112B114C115D1189在长方体1111ABCDABC D中，1ABBC，13A

3、A，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为A15B56C55D2210若()cossinf xxx在,a a是减函数，则a的最大值是A4B2C34D11已知()f x是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffffA50B0C2D5012已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PFF为等腰三角形，12120FF P，则C的离心率为A23B12C13D14二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线2ln(1)yx在点(0,0)处的切线方程为

4、_14若,x y满足约束条件25023050 xyxyx，则zxy的最大值为_开始0,0NTSNTS输出1i 100i 1NNi11TTi结束是否15已知sincos1，cossin0，则sin()_16已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为 45，若SAB的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）记nS为等差数列na的前n项和，已知17a ，315S （1

5、）求na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值18（12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型 根据 2000年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1 217，）建立模型：30.413.5yt；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1 27，）建立模型：9917.5yt（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由学科*网19（12 分）

6、设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)k k 的直线l与C交于A，B两点，|8AB（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程20（12 分）如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点（1）证明：PO 平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值PAOCBM21（12 分）已知函数2()exf xax（1）若1a，证明：当0 x 时，()1f x；（2）若()f x在(0,)只有一个零点，求a（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

7、一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos4sinxy，（为参数），直线l的参数方程为1cos2sinxtyt，（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数()5|2|f xxax（1）当1a 时，求不等式()0f x 的解集；（2）若()1f x，求a的取值范围一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：根据复数除法

8、法则化简复数，即得结果.详解：选 D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2.已知集合，则 中元素的个数为A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有 9 个，选 A.点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.3.函数的图像大致为A.AB.BC.CD.D【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去 A,舍去 D;，所以舍去 C；因此选 B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由

9、函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复4.已知向量，满足，则A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选 B.点睛：向量加减乘：5.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：根据离心率得 a,c 关系，进而得 a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选 A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.6.在中，则A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余

10、弦公式求 cosC,再根据余弦定理求 AB.详解：因为所以，选 A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.7.为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选 B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数

11、、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先确定不超过 30 的素数，再确定两个不同的数的和等于 30 的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有

12、 3 种方法，故概率为，选 C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9.在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以 D 为坐标原点，DA,DC,DD1为 x,y,z

13、轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选 C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.10.若在是减函数，则的最大值是A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选 A.点睛：函数的性质：(1).(2)周期(3)由求对称轴，(4)由求增区间;由求减区间.11.已知是定义域为的奇函数，满足若，则A.B.0C.

14、2D.50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，从而，选 C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解12.已知，是椭圆的左，右焦点，是 的左顶点，点 在过 且斜率为的直线上，为等腰三角形，则 的离心率为A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：先根据条件得 PF2=2c,再利用正弦定理得 a,c 关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，所以 PF2=F1F2=2c,由斜率为得，由正

15、弦定理得,所以，选 D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉 得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.详解：点睛：求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点.14.若

16、满足约束条件则的最大值为_【答案】9【解析】分析：先作可行域，再平移直线，确定目标函数最大值的取法.详解：作可行域，则直线过点 A(5,4)时取最大值 9.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15.已知，则_【答案】【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为，所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化

17、为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.16.已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为 45，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_【答案】【解析】分析：先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.因为与圆锥底面所成角为 45，所以底面半径为因此圆锥的侧面积为点睛：本题考查线面角，圆锥的侧

18、面积，三角形面积等知识点，考查学生空间想象与运算能力三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.记为等差数列的前 项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前 n 项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设an的公差为

19、d，由题意得 3a1+3d=15由 a1=7 得 d=2所以an的通项公式为 an=2n9（2）由（1）得 Sn=n28n=（n4）216所以当 n=4 时，Sn取得最小值，最小值为16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量的两个线性回归模型根据 2000年至 2016 年的数据（时间变量的值依次为）建立模型：；根据 2010 年至 2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型：

20、（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由【答案】（1）利用模型预测值为 226.1，利用模型预测值为 256.5，（2）利用模型得到的预测值更可靠【解析】分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为 2018 时所对应的函数值，就得结果，（2）根据折线图知 2000 到 2009，与 2010 到 2016 是两个有明显区别的直线，且 2010 到 2016 的增幅明显高于 2000 到 2009，也高于模型 1 的增幅，因此所以用模型 2 更能较好得到 2018 的预测.详解：（1）利用模型

21、，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为=30.4+13.519=226.1（亿元）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.59=256.5（亿元）（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年

22、开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分点睛：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过点

23、求参数.19.设抛物线的焦点为，过 且斜率为的直线与 交于，两点，（1）求的方程；（2）求过点，且与 的准线相切的圆的方程【答案】(1)y=x1,(2)或【解析】分析：(1)根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程；（2）先求 AB 中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得 F（1，0），l 的方程为 y=k（x1）（k0）设 A（x1，y1），B（x2，y2）由得，故所以由题设知，解得 k=1（舍去），k=1因此 l 的方程为 y=x1（2）由（

24、1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值20.如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(1)根据等

25、腰三角形性质得 PO 垂直 AC，再通过计算，根据勾股定理得 PO 垂直 OB，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面 PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得 M 坐标，再利用向量数量积求得向量 PC 与平面 PAM 法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.详解：（1）因为，为的中点，所以，且.连结.因为，所以为等腰直角三角形，且，.由知.由知平面.（2）如图，以 为坐标原点，的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系.由已知得取平面的法向量.设，则.设平面的法向量为.

26、由得，可取，所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以.所以与平面所成角的正弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21.已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求【答案】（1）见解析（2）详解：（1）当时，等价于设函数，则当时，所以在单调递减而，故当时，即（2）设函数在只有一个零点当且仅当在只有一个零点（i）当时，没有零点；（ii）当时，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增故是在的最小值若，

27、即，在没有零点；若，即，在只有一个零点；若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，所以故在有一个零点，因此在有两个零点综上，在只有一个零点时，点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线 的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求 和的直角坐标方程；（2

28、）若曲线 截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为（2）【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线 的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线 的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率详解：（1）曲线 的直角坐标方程为当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为（2）将的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于的方程因为曲线 截直线所得线段的中点在 内，所以有两个解，设为，则又由得，故，于是直线的斜率点睛：直线的参数方程的标准形

29、式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为 0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0t1cos，y0t1sin)，(x0t2cos，y0t2sin).(2)|M1M2|t1t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t，中点M到定点M0的距离|MM0|t|.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1t20.23.选修 45：不等式选讲设函数【解析】（1）当1a 时，24,1,()2,12,26,2.xxf xxxx 可得()0f x 的解集为|23xx（2）()1f x 等价于|2|4xax而|2|2|xaxa，且当2x 时等号成立故()1f x 等价于|2|4a由|2|4a可得6a 或2a，所以a的取值范围是(,62,)