2021年辽宁省锦州市中考真题数学试卷(解析版).pdf

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1、辽宁省锦州市辽宁省锦州市 2021 年中考真题数学试卷年中考真题数学试卷一一、选择题选择题（本大题共本大题共 8 道小题道小题，每小题每小题 2 分分，共共 16 分分在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）选项中，只有一项是符合题目要求的）1.2 的相反数是（）A.12B.12C.2D.2【答案】C【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数【详解】解：2的相反数是 2，故选：C【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键2.据相关研究，经过 40min 完全黑暗后，人眼对光的敏感性达到最高点，比黑暗前增加 250

2、00倍，将数据 25000 用科学记数法表示为（）A.25103B.2.5104C.0.25105D.0.25106【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于或等于 10 时，n 是正整数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负整数【详解】解：将数据 25000 用科学记数法表示为 2.5104，故选：B【点睛】此题考查科学计数法，科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数3.如图所示的几何体是由 5 个完

3、全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案【详解】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故选：A【点睛】本题考查几何体的左视图，关键在于牢记左视图的定义4.某班 50 名学生一周阅读课外书籍时间如下表所示：时间/h6789人数7181510那么该班 50 名学生一周阅读课外书籍时间的众数、中位数分别是（）A.18，16.5B.18，7.5C.7，8D.7，7.5【答案】D【解析】【分析】根据众数、中位数的定义，结合表格数据进行判断即可【详解】解：由统计表给出的数据可知阅读课外书籍的时间

4、为 7 小时的有 18 人，出现的次数最多，所以众数是 7，因为有 50 个学生，所以第 25、26 个数的和的平均数是中位数，又因为 25、26 个数分别是7，8，所以中位数是 7.5故选：D【点睛】此题考查数据中关于众数，中位数的知识，根据题意解题即可5.如图，AMBN，ACB90，MAC35，则CBN的度数是（）A.35B.45C.55D.65【答案】C【解析】【分析】过 C 点作 CFAM，利用平行线的性质解答即可【详解】解：过 C 点作 CFAM，AMBN，AMCFBN，MACACF，CBNFCB，ACB90，MAC35，CBNFCBACBACFACBMAC903555，故选：C【点

5、睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，根据题意构造平行线，并熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键6.二元一次方程组2102xyxy的解是（）A.21xyB.12xyC.42xyD.24xy【答案】C【解析】【分析】方程组利用代入消元法求出解即可【详解】解：2102xyxy，把代入得：4yy10，解得：y2，把 y2 代入得：x4，则方程组的解集为42xy故选：C【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法7.如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，D 为O 上一点（位于 AB 下方），CD 交AB 于点 E，若BDC45，BC62，CE2DE，

6、则 CE 的长为（）A.26B.42C.35D.43【答案】D【解析】【分析】连接CO，过点D作 DGAB 于点 G，连接 AD，因为CE2DE，构造DGECOE，求出 DG3，设 GEx，则 OE2x，DG3，则 AG63x，BG63x，再利用AGDADB，列出方程即可解决【详解】解：连接 CO，过点 D 作 DGAB 于点 G，连接 AD，BDC45，CAOCDB45，AB 为O 的直径，ACBADB90，CABCBA45，BC62，AB2BC12，OAOB，COAB，COADGE90，DEGCEO，DGECOE，12DEGECEOEDGCO，CE2DE，设 GEx，则 OE2x，DG3，

7、AG63x，BG63x，ADBAGD90，DAGBAD，AGDADB，DG2AGBG，9（63x）（63x），x0，x3，OE23，在 RtOCE 中，由勾股定理得：CE2212364 3OEOC，故选：D【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出DGECOE 是解题关键8.如图，在四边形 DEFG 中，EF90，DGF45，DE1，FG3，RtABC的直角顶点 C 与点 G 重合，另一个顶点 B（在点 C 左侧）在射线 FG 上，且 BC1，AC2，将ABC 沿 GF 方向平移，点 C 与点 F 重合时停止设 CG 的长为 x，ABC 在平移过程

8、中与四边形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象能正确反映y与x函数关系的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点 B 到达点 G 之前，即 0 x1 时，求出 y 和 x 的关系式，确定图象，第二个是点 C 到达点 H 之前，即 1x2 时，求出 y 和 x的关系式，确定图象，第三个是点 C 到达点 F 之前，即 2x3 时，求出 y 和 x 的关系式，确定图象，即可确定选项【详解】解：过点 D 作 DHEF，DGF45，DE1，FG3，EH2，DHEF2，当 0 x1 时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为 x，y212x，102，该部分图

9、象开口向上，当 1x2 时，如图，设 AB与 DG 交与点 N，AC与 DG 交与点 M，则 S 重叠SGMCSGNB，设 BKa，则 NK2a，GCx，BC1，GBx1，GKN 是等腰直角三角形，GKNK，x1a2a，ax1，NK2x2，21(1)(22)212GNBSxxxx，212GMCSx，S重叠212x（x22x1）21212xx，102，该部分图象开口向下，当 2x3 时，重叠部分的面积为 SABC，是固定值，该部分图象是平行 x 轴的线段，故选：B【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要把移动过程分成几个阶段，然后根据每个阶段的情况单独讨论，确定 y 和 x 之间的函数关

10、系式，从而确定图象二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分）9.若二次根式2x-3有意义，则 x 的取值范围是_【答案】x32【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数列式求值【详解】二次根式2x-3有意义，2x-30,x32.故答案是：x32.【点睛】考查二次根式有意义的条件；解题关键是运用了二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数10.甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人 10 次射击成绩的平均数都是 9 环，方差分别是 s2甲1.2，s2乙2.4，如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选_（填“甲”或“

11、乙”）【答案】甲【解析】【分析】根据方差的意义求解即可【详解】解：s2甲1.2，s2乙2.4，s2甲s2乙，则甲的成绩比较稳定，故答案为：甲【点睛】此题考查方差的实际应用，掌握方差的大小对数据稳定性的决定性作用是解题的关键11.一个口袋中有红球、白球共 20 个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了 300 次球，发现有 120 次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为_【答案】8【解析】【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为 0.4，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量【详解】解：因为共摸了 300 次

12、球，发现有 120 次摸到红球，所以估计摸到红球的概率为 0.4，所以估计这个口袋中红球的数量为 200.48（个）故答案为：8【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确12.关于 x 的一元二次方程 x22xk0 有两个实数根，则 k 的取值范围是_【答案】k1【解析】【分析】利用判别式的意义得到224（k）0，然后解不等式即可【详解】解：根据题意得224（k）0，解得

13、k1故答案为 k1【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根13.如图，在ABC 中，AC4，A60，B45，BC 边的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，连接 CD，则 AB 的长为_【答案】223【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DBDC，根据三角形的外角性质得到ADC90，根据含 30角的直角三角形的性质求出 AD，根据勾股定理求出 DC，进而求出 AB【详解】解：DE 是 BC 的垂直平分线，DBDC，DCBB45，

14、ADCDCBB90，A60，ACD30，AD12AC2，由勾股定理得：DC22ACAD224223，DBDC23，ABADDB223，故答案为：223【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键14.如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC10，以点 B 为圆心、BC 的长为半径画弧交 AD于点 E，再分别以点 C，E 为圆心、大于12CE 的长为半径画弧，两弧交于点 F，作射线 BF交 CD 于点 G，则 CG 的长为_【答案】103【解析】【分析】根据作图过程可得 BF 是EBC 的平分线，然后证明EBGCBG，再利

15、用勾股定理即可求出 CG 的长【详解】解：如图，连接 EG，根据作图过程可知：BF 是EBC 的平分线，EBGCBG，在EBG 和CBG 中，EBCBEBGCBGBGBG，EBGCBG（SAS），GEGC，BEG=C=90，在 RtABE 中，AB6，BEBC10，AE22BEAB8，DEADAE1082，在RtDGE 中，DE2，DGDCCG6CG，EGCG，EG2DE2DG2CG222（6CG）2，解得 CG103故答案为：103【点睛】本题考查了矩形的性质，作图-基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质15.如图，在平面直角坐标系中，OABC 的顶点 A，B 在第一象限内，顶点 C 在

16、y 轴上，经过点 A 的反比例函数 ykx（x0）的图象交 BC 于点 D若 CD2BD，OABC 的面积为 15，则 k 的值为_【答案】18【解析】【分析】过点 D 作 DNy 轴于 N，过点 B 作 BMy 轴于 M，可得2CNMN，设 OCa，CN2b，则 MNb，根据OABC 的面积为 15 表示出 BM 的长度，根据 CD2BD 求出 ND的长，进而表示出 A，D 两点的坐标，根据反比例函数系数 k 的几何意义即可求出【详解】解：过点 D 作 DNy 轴于 N，过点 B 作 BMy 轴于 M，/DNBM，CNCDMNBD，CD2BD，2CNCDMNBD，即2CNMN，设 OCa，C

17、N2b，则 MNb，OABC 的面积为 15，BM15a，/DNBM，CDNCBM，DNCDBMCB，CD2BD，23CDCB，ND23BM10a，A，D 点坐标分别为（15a，3b），（10a，a2b），15a3b10a（a2b），b25a，k15a3b15a325a18，故答案为：18【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和反比例函数的几何意义，相似三角形的性质和判定，利用数形结合思想是解题的关键16.如图，MON30，点 A1在射线 OM 上，过点 A1作 A1B1OM 交射线 ON 于点 B1，将A1OB1沿 A1B1折叠得到A1A2B1，点 A2落在射线 OM 上；过点 A2作 A2

18、B2OM 交射线ON 于点 B2，将A2OB2沿 A2B2折叠得到A2A3B2，点 A2落在射线 OM 上；按此作法进行下去，在MON 内部作射线 OH，分别与 A1B1，A2B2，A3B3，AnBn交于点 P1，P2，P3，Pn，又分别与 A2B1，A3B2，A4B3，An1Bn，交于点 Q1，Q2，Q3，Qn若点P1为线段 A1B1的中点，OA13，则四边形 AnPnQnAn1的面积为_（用含有 n 的式子表示）【答案】25 3 43n【解析】【分析】先证明OA1P1OA2P2，OP1B1OP2B2，又点 P1为线段 A1B1的中点，从而可得 P2为线段 A2B2的中点，同理可证 P3、P

19、4、Pn依次为线段 A3B3、A4B4、AnBn的中点 结合相似三角形的性质可得P1B1Q1的 P1B1上的高与P2A2O1的 A2P2上的高之比为 12，所以P1B1Q1的 P1B1上的高为1213A A，同理可得P2B2Q2的 P2B2上的高为2313A A，从而1 121PQ AAS四边形1 12A B AS1 11PB QS，以此类推来求2232P Q AAS四边形，从而找到四边形PAn nQnAnS的面积规律【详解】解：由折叠可知，OA1A1A23，由题意得：A1B1/A2B2，OA1P1OA2P2，OP1B1OP2B2，1 11222APOAA POA12OPOP1122PBP B

20、33312，又点 P1为线段 A1B1的中点，A1P1P1B1，A2P2P2B2，则点 P2为线段 A2B2的中点，同理可证，P3、P4、Pn依次为线段 A3B3、A4B4、AnBn的中点A1B1/A2B2，P1B1Q1P2A2O1，1122PBP A1 122APP A12，则P1B1Q1的 P1B1上的高与P2A2O1的 A2P2上的高之比为 12，P1B1Q1的 P1B1上的高为1213A A，同理可得P2B2Q2的 P2B2上的高为2313A A，由折叠可知 A2A32 3，A3A44 3，MON30，A1B1tan30OA11，A2B22，A3B34，1 121PQ AAS四边形1

21、12A B AS1 11PB QS121112A AAB1 1121123APA A11113 132223，同理，2232P Q AAS四边形223A B AS222P B QS232212A AA B22231123A PA A1112 3212 3223，1n nnnA P Q AS四边形1nnnA B ASnnnP B QS11111121232232223nnnn22123 2(2)3nnn25 3 43n故答案为：25 3 43n【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识，解决本题的关键在根据图形的变化找到规律三、解答题三、解答题

22、17.先化简，再求值：（x131x）22xxx，其中 x32【答案】x（x2），323【解析】【分析】先把括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，把各分子和分母因式分解，然后进行约分化简，最后代入求值【详解】解：原式21 31xx(1)2x xx(2)(2)1xxx(1)2x xxx（x2）把 x32 代入，原式（32）（322）323【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键18.教育部下发的关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知要求，初中生每天睡眠时间应达到 9h某初中为了解学生每天的睡眠时间，随机调查了部分学生，将学生睡眠时间分为 A，B，C，D 四组（每名学生必须

23、选择且只能选择一种情况）：A 组：睡眠时间8hB 组：8h睡眠时间9hC 组：9h睡眠时间10hD 组：睡眠时间10h如图 1 和图 2 是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）被调查的学生有人；（2）通过计算补全条形统计图；（3）请估计全校 1200 名学生中睡眠时间不足 9h 的人数【答案】（1）200；（2）见解析；（3）480【解析】【分析】（1）根据 C 组的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查了多少名学生；（2）根据（1）中的结果可以计算出 B 组的人数，然后即可补全条形统计图；（3）根据统计图图中的数据，可以计算出该校学生平均每天睡眠时间

24、不足 9h 的人数【详解】解：（1）本次共调查了 9045%200（人），故答案为：200；（2）B 组学生有：20020903060（人），补全的条形统计图如图 2 所示：（3）12002060200480（人），即估计该校学生平均每天睡眠时间不足 9h 的有 480 人【点睛】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，会计算部分的数量，根据部分的百分比求总体的数量，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.19.为庆祝建党 100 周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动规律是：将编号为 A，B，C 的 3 张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，

25、参加活动的班级从中随机抽取 1 张，按照卡片上的曲目演唱（1）七年一班从 3 张卡片中随机抽取 1 张，抽到 C 卡片的概率为；（2）七年一班从 3 张卡片中随机抽取 1 张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取 1 张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率【答案】（1）13；（2）图表见解析，13【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得【详解】解：（1）小明随机抽取 1 张卡片，抽到卡片编号为 C 的概率为13，故答案为：13；（2）画树状图如下：共有 9 种等可能的结果数，其中两个班

26、恰好选择一首歌曲的有 3 种结果，所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为3913【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法，解题的关键是理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件20.小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完 600 本图书比小杰清点完540 本图书少用了 5min已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的 1.25 倍，求两名同学平均每分钟清点图书各多少本【答案】小杰平均每分钟清点图书 12 本，小江平均每分钟清点图书 15 本【解析】【分析】设小杰平均每分钟清点图书 x 本，则小江平均每分钟清点图书

27、1.25x 本，利用时间清点图书的总数平均每分钟清点图书的数量，结合小江清点完 600 本图书比小杰清点完540 本图书少用了 5min，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验即可得出小杰平均每分钟清点图书数量，再将其代入 1.25x 中可求出小江平均每分钟清点图书数量【详解】解：设小杰平均每分钟清点图书 x 本，则小江平均每分钟清点图书 1.25x 本，依题意得：540 x6001.25x5，解得：x12，经检验，x12 是原方程的解，且符合题意，1.25x1.251215答：小杰平均每分钟清点图书 12 本，小江平均每分钟清点图书 15 本【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，

28、正确列出分式方程是解题的关键21.如图，山坡上有一棵竖直的树 AB，坡面上点 D 处放置高度为 1.6m 的测倾器 CD，测倾器的顶部 C 与树底部 B 恰好在同一水平线上（即 BC/MN），此时测得树顶部 A 的仰角为50已知山坡的坡度 i13（即坡面上点 B 处的铅直高度 BN 与水平宽度 MN 的比），求树 AB 的高度（结果精确到 0.1m参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19）【答案】约为 5.7m【解析】【分析】先求出 BC4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解【详解】解：山坡 BM 的坡度 i13，i13tanM，BC/MN，CBDM，tanCBDC

29、DBCtanM13，BC3CD4.8（m），在 RtABC 中，tanACBABBCtan501.19，AB1.19BC1.194.85.7（m），即树 AB 的高度约为 5.7m【点睛】此题考查解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识正确掌握解直角三角形的应用坡度坡角问题、仰角俯角问题是解题的关键22.如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 为O 的直径，过点 C 作 CEAD 交 AD 的延长线于点 E，延长 EC，AB 交于点 F，ECDBCF（1）求证：CE 为O 的切线；（2）若 DE1，CD3，求O 的半径【答案】（1）见解析；（2）O 的半径是 4.5【解析】【分析】（

30、1）如图 1，连接 OC，先根据四边形 ABCD 内接于O，得CDEOBC，再根据等量代换和直角三角形的性质可得90OCE，由切线的判定可得结论；（2）如图 2，过点 O 作OGAE于 G，连接 OC，OD，则90OGE，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形 OGEC 是矩形，设O 的半径为 x，根据勾股定理列方程可得结论【详解】（1）证明：如图 1，连接 OC，OBOC，OCBOBC，四边形 ABCD 内接于O，180CDAABC又180CDECDACDEOBC，CEAD，90ECDEECD，ECDBCF，90OCBBCF，90OCE，OC 是O 的半径，CE 为O 的切线；（2）解：如

31、图 2，过点 O 作OGAE于 G，连接 OC，OD，则90OGE，90EOCE，四边形 OGEC 是矩形，OCEGOGEC，设O 的半径为 x，RtCDE 中，31CDDE，22312 2EC，2 2OG，1GDxODx，由勾股定理得222ODOGDG：，222(2 2)(1)xx，解得：4.5x，O 的半径是 4.5【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键23.某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为 6.2 万元/t，加工过程中原料的质量有 20%的损耗，加工费 m（万元）与原料的质量 x（t）之间的关系为 m

32、500.2x，销售价 y（万元/t）与原料的质量 x（t）之间的关系如图所示（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）设销售收入为 P（万元），求 P 与 x 之间的函数关系式；（3）原料的质量 x 为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润销售收入总支出）【答案】（1）1y204x；（2）21165Pxx；（3）原料的质量为 24 吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是3265万元【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式；（2）根据销售收入销售价销售量列出函数关系式；（3）设销售总利润为 W，根据销售利润销售收入原料成本加工费列出函数关系式，然后根据二次函数

33、的性质分析其最值【详解】解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为ykxb，将（20，15），（30，12.5）代入，可得：20153012.5kbkb，解得：1420kb，y 与 x 之间的函数关系式为1y204x；（2）设销售收入为 P（万元），24111 20%2016545Pxyxxxx ，P 与 x 之间的函数关系式为21165Pxx；（3）设销售总利润为 W，216.2166.2500.25WPxmxxxx，整理，可得：22148132650245555Wxxx ，150，当24x时，W 有最大值为3265，原料的质量为 24 吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是3265万元【

34、点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及了数形结合的数学思想，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键24.在ABC 中，ACAB，BAC，D 为线段 AB 上的动点，连接 DC，将 DC 绕点 D顺时针旋转得到 DE，连接 CE，BE（1）如图 1，当60时，求证：CADCBE；（2）如图 2，当 tan34时，探究 AD 和 BE 之间的数量关系，并说明理由；若 AC5，H 是 BC 上一点，在点 D 移动过程中，CEEH 是否存在最小值？若存在，请直接写出 CEEH 的最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）ADBE102，理由见解析；存在，24 1025【解析】【分析

35、】（1）首先证明ACB，CDE 都是等边三角形，再根据 SAS 证明三角形全等即可（2）结论：ADBE102利用相似三角形的性质解决问题即可如图 2 中，过点 C 作 CJBE 交 BE 的延长线于 J作点 C 关于 BE 的对称点 R，连接 BR，ER，过点 R 作 RTBC 于 T利用相似三角形的性质求出 CJ3 105，推出点 E 的运动轨迹是射线 BE，利用面积法求出 RT，可得结论【详解】（1）证明：如图 1 中，60，ACAB，ABC 是等边三角形，CACB，ACB60，将 DC 绕点 D 顺时针旋转得到 DE，DCDE，CDE60，CDE 是等边三角形，CDCE，DCEACB60

36、，ACDBCE，CADCBE（SAS）（2）解：结论：ADBE102如图 2 中，过点 C 作 CKAB 于 KtanCAKCKAK34，可以假设 CK3k，AK4k，则 AC=AB5k，BKABAKk，BC22BKCK10k，ACDE，ACAB，CDDE，ACBABCDCEDEC，ACBDCE，ACCDCBCE，ACCBCDCE，ACBDCE，ACDBCE，ACDBCE，ADBEACBC510kk102如图 2 中，过点 C 作 CJBE 交 BE 的延长线于 J作点 C 关于 BE 的对称点 R，连接 BR，ER，过点 R 作 RTBC 于 TAC5，由可知，AK4，CK3，BC10，CA

37、DBCE，CKAD，CJBE，CKCJACBC102（全等三角形对应边上的高的比等于相似比），CJ3 105，点 E 的运动轨迹是射线 BE，C，R 关于 BE 对称，CR2CJ6 105，BJ22BCCJ223 10(10)()54 105，SCBR12CRBJ12CBRT，RT6 104 10551024 1025，ECEHEREHRT，ECEH24 1025，ECEH 的最小值为24 1025【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，确定点 E 的运动轨迹是最后一个问题的突破

38、点，属于中考压轴题25.如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y34x1 分别与 x 轴、y 轴交于点 A，C，经过点C 的抛物线 y14x2bxc 与直线 y34x1 的另一个交点为点 D，点 D 的横坐标为 6（1）求抛物线的表达式（2）M 为抛物线上的动点N 为 x 轴上一点，当四边形 CDMN 为平行四边形时，求点 M 的坐标；如图 2，点 M 在直线 CD 下方，直线 OM（OMCD 的情况除外）交直线 CD 于点 B，作直线 BD 关于直线 OM 对称的直线 BD，当直线 BD与坐标轴平行时，直接写出点 M 的横坐标【答案】（1）y213144xx；（2）点 M 的坐标为（3652，

39、92）或（3652，92）；点 M 的横坐标为 3 或43或111052【解析】【分析】（1）先由直线解析式求出 A，C，D 的坐标，再由 C，D 坐标求出抛物线解析式；（2）设 N（n，0），由平移与坐标关系可得点 M 的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可；因为直线 BD与坐标轴平行，所以 BDx 轴和 BDy 轴分类讨论，以 BDx轴为例，画出草图，由于 BM 平分DBD，又AOBDBM，等量代换，可以证得AOB是等腰三角形，求出 AB 的长度，并且有 A 和 D 点坐标，求出DAO 的三角函数值，过 B作 BHx 轴于 H，在直角ABH 中，利用 AB 的长度，和BAH 的三角函数值，

40、求出 AH和 BH 的长度，得到 B 点坐标，进一步得到直线 OB 的解析式，联立直线 OB 和抛物线解析式，求得交点 M 点坐标，当 BDy 轴，用同样的方法解决【详解】解：（1）令 x0，则 y34x11，C 点坐标为（0，1），令 y0，则3104x ，43x ，A 点坐标为（43，0），令 x6，则 y311142x，D 点坐标为（116,2），将 C，D 两点坐标代入到抛物线解析式中得，111962cbc，解得341bc，抛物线的表达式为：y213144xx；（2）设 N（n，0），四边形 CDMN 为平行四边形，/MNCD，由平移与坐标关系可得 M（n6，92），点 M 在抛物线上

41、，213(6)(6)14492 nn，n29n+40，9652n，点 M 的坐标为（3652，92）或（3652，92）；第一种情况：如图 1，当 BDx 轴时，分别过 B，D 作 x 轴的垂线，垂足分别为 H，Q，在直角ADQ 中，AQ643223，DQ112，由勾股定理得：556AD，tanDAQDQAQ34，cosDAQ45，BAHDAQ，cosBAH45AHAB，直线 BD 与直线 BD关于直线 OM 对称，DBMDBM，BDx 轴，HOBDBMDBM，ABAO43，4453AH，AH1615，OHAHAO125，令 x125，则 y314x45，B 点坐标为（125，45），设直线

42、OB 的解析式为 ykx，代入点 B 得，k13，直线 OB 的解析式为 y13x，联立21313144yxyxx，解得114349xy，2231xy，点 M 的横坐标为 3 或43，第二种情况，如图 2，当 BDy 轴时，设 BD交 x 轴于 G，COBOBG，直线 BD 与直线 BD关于直线 OM 对称，CBOOBGCOB，CBCO1，过 C 作 CEBG 于 E，CE/x 轴，BCECAO，tanCAOCOAO34，cosCAO45，cosBCECEBC45，CE45BC45，22BEBCCE35，CEBG，BGx 轴，CEGBGOCOG90，四边形 CEGO 为矩形，EGCO1，CEOG45，BGBEEG85，点 B 的坐标为（4 8,5 5），直线 OB 的解析式为 y2x，联立2213144yxyxx，化简得，x211x40，111052x，点 M 在直线 CD 下方，x6，x111052，点 M 的横坐标为111052，即点 M 的横坐标为 3 或43或111052【点睛】本题是一道二次函数综合题，数形结合是本题的解题的突破口，同时，对于“平行线十角平分线”这种条件，要联想到等腰三角形，是此题的解题关键，此题对学生解直角三角形的能力也有一定要求