2016年上海市高考数学真题(文科)试卷(含解析).pdf

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1、绝密绝密启用前启用前2012016 6 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分 150 分，考试时间 120 分钟）考生注意考生注意1.1.本场考试时间本场考试时间 120120 分钟，试卷共分钟，试卷共 4 4 页，满分页，满分 150150 分，答题纸共分，答题纸共 2 2 页页.2.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置题纸指定位置.3.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号

2、对应的区域，不得错位不得错位.在试卷上作答一在试卷上作答一律不得分律不得分.4.4.用用 2B2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 1414 题，满分题，满分 5656 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得结果，每个空格填对得 4 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.1设xR，则不等式31x的解集为_.2设32iiz，其中i为虚数单位，则 z 的虚部等于_.3已知平行直线012:,012:21y

3、xlyxl，则12ll与的距离是_.来4某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是_（米）.5若函数()4sincosf xxax的最大值为 5，则常数a _.6已知点(3,9)在函数xaxf1)(的图像上，则_)()(1xfxf的反函数.7若,x y满足0,0,1,xyyx则2xy的最大值为_.8方程3sin1 cos2xx 在区间0,2 上的解为_.来9 在nxx23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于_.10已知ABC的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_.11某食堂规定

4、，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_.12如图，已知点 O(0,0),A(1.0),B(0,1),P 是曲线21yx=-上一个动点，则OP BAuuu r uur的取值范围是.13设 a0,b0.若关于 x,y 的方程组11axyxby，+=+=无解，则ab+的取值范围是.14无穷数列an由 k 个不同的数组成，Sn为an的前 n 项和.若对任意*n N，2 3nS，则 k 的最大值为.二、二、选择题选择题（本大题本大题共有共有 4 小题小题，满分满分 20 分分）每题有且只有一个正确答案每题有且只有一个正确答案，考生应在答题考生应在答题纸的相应编

5、号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.15设aR，则“1a”是“12a”的（）.（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件16如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 BC、BB1的中点，则下列直线中与直线 EF 相交的是（）.(A)直线 AA1(B)直线 A1B1(C)直线 A1D1(D)直线 B1C117设a R，0,2b.若对任意实数 x 都有sin(3)=sin()3xaxb-+，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）.(A)1(B)2(

6、C)3(D)418设()f x、()g x、()h x是定义域为R的三个函数对于命题：若()()f xg x、()()f xh x、()()g xh x均是增函数，则()f x、()g x、()h x均是增函数；若()()f xg x、()()f xh x、()()g xh x均是以T为周期的函数，则()f x、()g x、()h x均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）.(A)和均为真命题(B)和均为假命题(C)为真命题，为假命题(D)为假命题，为真命题三三、解答题解答题（本题共有本题共有 5 题题，满分满分 74 分分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域解答下列各题必须在答题纸

7、相应编号的规定区域内写出必要的步骤内写出必要的步骤.19（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 6 分.将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为56，11AB长为3，其中 B1与 C 在平面AA1O1O 的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线 O1B1与 OC 所成的角的大小.20（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 8 分.有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区

8、域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图.（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为38.设M是C上纵坐标为 1 的点，请计算以EH为一边、另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的“经验值”.21（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.双曲线2221(0)yxbb的

9、左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l 过 F2且与双曲线交于 A、B 两点.（1）若 l 的倾斜角为2，1F AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3b，若 l 的斜率存在，且|AB|=4，求 l 的斜率.22（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 6 分.对于无穷数列na与nb，记 A=x|x=na，*nN，B=x|x=nb，*nN，若同时满足条件：na，nb均单调递增；AB 且*AB N，则称na与nb是无穷互补数列.（1）若na=21n，nb=42n，判断na与nb是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若

10、na=2n且na与nb是无穷互补数列，求数列nb的前 16 项的和；（3）若na与nb是无穷互补数列，na为等差数列且16a=36，求na与nb的通项公式.23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分.已知aR，函数()f x=21log()ax.（1）当1a 时，解不等式()f x1；（2）若关于x的方程()f x+22log()x=0 的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a0，若对任意t1,12，函数()f x在区间,1t t 上的最大值与最小值的差不超过 1，求a的取值范围.考生注意：考生注意：1.1.本试

11、卷共本试卷共 4 4 页，页，2323 道试题，满分道试题，满分 150150 分分.考试时间考试时间 120120 分钟分钟.2.2.本考试分设试卷和答题纸本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求试卷包括试题与答题要求.作答必须涂作答必须涂（选择题选择题）或写或写（非选非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.3.答卷前答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地写姓名务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地写姓名、转考证号转考证号，并将核对后的条并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚

12、地填写姓名.一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 1414 题，满分题，满分 5656 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得结果，每个空格填对得 4 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.1设xR，则不等式31x的解集为_.【答案】(2 4)，【解析】试题分析：421311|3|xxx，故不等式1|3|x的解集为)4,2(.考点：绝对值不等式的基本解法.2设32iiz，其中i为虚数单位，则z的虚部等于_.【答案】3【解析】试题分析：32i23i,3.izz的虚部等于考点：1.复数的运算；2.复数的概念.3已知平行直

13、线012:,012:21yxlyxl，则12ll与的距离是_.【答案】2 55【解析】试题分析：利用两平行线间的距离公式得122222|cc|1 1|2 5d5ab21.考点：两平行线间距离公式.4某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是_（米）.【答案】1.76【解析】试题分析：将这 5 位同学的身高按照从低到高排列为：1.69,1.72,1.76,1.78,1.80，这五个数的中位数是 1.76.考点：中位数的概念.5若函数()4sincosf xxax的最大值为 5，则常数a _.【答案】3【解析】试题分析：)s

14、in(16)(2xaxf，其中4tana，故函数)(xf的最大值为216a，由已知得，5162a，解得3a.考点：三角函数sin()yAx的图象和性质.6已知点(3,9)在函数xaxf1)(的图像上，则_)()(1xfxf的反函数.【答案】2log(1)x考点：反函数的概念以及指、对数式的转化.7若,x y满足0,0,1,xyyx则2xy的最大值为_.【答案】2【解析】试题分析：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令yxz2，当直线zxy2121经过点)1,0(P时，z取得最大值2.xOP考点：线性规划及其图解法.8方程3sin1 cos2xx 在区间0,2 上的解为_.【答案】566，【

15、解析】试题分析：化简3sinx1 cos 2x 得：23sinx22sin x，所以22sin x3sinx20，解得1sinx2或sinx2（舍去），又0,2 x，所以566x或.考点：二倍角公式及三角函数求值.9在nxx23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于_.【答案】112【解析】试题分析：由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为n2，即n2256，所以n8，又二项展开式的通项为8 4rr8 rrrr33 3r 1882TC(x)()(2)C xx，令84r033，所以r2，所以3T112，即常数项为 112.考点：二项式定理.10已知ABC的三边长分别为 3

16、,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_.【答案】7 33【解析】试题分析：利用余弦定理可求得最大边 7 所对应角的余弦值为22235712 3 52 ，所以此角的正弦值y为32，由正弦定理得72R32,所以7 3R3.考点：正弦、余弦定理.11某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_.【答案】16【解析】试题分析：将 4 种水果每两种分为一组，有24C6种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为16.考点：古典概型12如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,1),P是曲线21yx=-上一个动点，则OP BAuuu r uu

17、r的取值范围是.【答案】1,2【解析】试题分析：由题意，设(cos,sin)P,0,，则(cos,sin)OP，又(1,1)BA ,所以cossin2sin()1,24OP BA .考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.13设a0,b0.若关于x,y的方程组11axyxby，+=+=无解，则ab+的 取值范围是.【答案】(2,)【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1axy与直线1xby平行，所以1ab 且1ab.又a，b为正数，所以22abab（1ab），即ab的取值范围是(2,).考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.14无穷数列an由k个不同的数组成，Sn为an的前n项和.若对任

18、意*n N，2 3nS，则k的最大值为.【答案】4考点：数列的项与和.三、三、选择题选择题（本大题本大题共有共有 4 4 小题小题，满分满分 2020 分分）每题有且只有一个正确答案每题有且只有一个正确答案，考生应在答题考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.15设aR，则“1a”是“12a”的（）.（B）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：2211,111aaaaa 或，所以“1a”是“12a”的充分非必要条件，选A

19、.考点：充要条件16如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）.(A)直线AA1(B)直线A1B1(C)直线A1D1(D)直线B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有11BC与EF在同一平面内，是相交的，其他 A，B，C 中的直线与EF都是异面直线，故选 D考点：异面直线17设a R，0,2b.若对任意实数x都有sin(3)=sin()3xaxb-+，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）.(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】B【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333xxx，5(,)(3,)3a

20、 b，又4sin(3)sin(3)sin(3)333xxx，4(,)(3,)3a b ，注意到0,2)b，只有这两组故选 B考点：三角函数18设()f x、()g x、()h x是定义域为R的三个函数对于命题：若()()f xg x、()()f xh x、()()g xh x均是增函数，则()f x、()g x、()h x均是增函数；若()()f xg x、()()f xh x、()()g xh x均是以T为周期的函数，则()f x、()g x、()h x均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）.(A)和均为真命题(B)和均为假命题(C)为真命题，为假命题(D)为假命题，为真命题【答案】D【

21、解析】试题分析：考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.三、解答题（本题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 6 分.将边长为 1 的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为56，11AB长为3，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.【答案】（1）V ，2S ；（2）2【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h，底面半径1r

22、 由此计算即得.（2）由11/得C 或其补角为11 与C所成的角，再结合题设条件计算即得试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长1l，底面半径1r 圆柱的体积2211Vr l ，圆柱的侧面积221 12Srl （2）设过点B1的母线与下底面交于点B，则11/O BOB，所以COB或其补角为11O B与OC所成的角由11AB长为3，可知1113AOBAO B，由AC长为56，可知56AOC，2COBAOCAOB，所以异面直线11O B与OC所成的角的大小为2考点：1.几何体的体积；2.空间角.20（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 8 分.

23、有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图.（3）求菜地内的分界线C的方程；（4）菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为38.设M是C上纵坐标为 1 的点，请计算以EH为一边、另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的“经验值”.【答案】（1）24yx（02

24、y）；（2）矩形面积为52，五边形面积为114，五边形面积更接近于1S面积的“经验值”【解析】所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为11814312，所以五边形面积更接近于1S面积的“经验值”考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算.21（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.双曲线2221(0)yxbb的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.（1）若l的倾斜角为2，1F AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方

25、程；（2）设3b，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率.【答案】（1）2yx；（2）155.【解析】试题分析：（1）设,AAA xy，根据题设条件可以得到244 13bb，从而解得2b的值（2）设11,A x y，22,B xy，直线:l2yk x与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l与双曲线交于两点，可得230k，且236 10k 由|AB|=4 构建关于k的方程进行求解试题解析：（1）设,AAA xy由题意，2,0F c，21cb，22241ybcb，因为1F AB是等边三角形，所以23cy，即244 13bb，解得22b 故双曲线的渐近线方程为2yx（2）由已知，22,0F设1

26、1,A x y，22,B xy，直线:l2yk x由22132yxyk x，得222234430kxk xk因为l与双曲线交于两点，所以230k，且236 10k 由212243kxxk，2122433kx xk，得2212223613kxxk，故2222121212261143kABxxyykxxk，解得235k，故l的斜率为155考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.弦长公式.22（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 6 分.对于无穷数列na与nb，记A=x|x=na，*nN，B=x|x=nb，

27、*nN，若同时满足条件：na，nb均单调递增；AB 且*AB N，则称na与nb是无穷互补数列.（1）若na=21n，nb=42n，判断na与nb是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若na=2n且na与nb是无穷互补数列，求数列nb的前 16 项的和；（3）若na与nb是无穷互补数列，na为等差数列且16a=36，求na与nb的通项公式.【答案】（1）na与 nb不是无穷互补数列，理由见解析；（2）180；（3）24nan，,525,5nn nbnn【解析】试题分析：（1）直接应用定义“无穷互补数列”的条件验证即得；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式进行求解；（3）先求等差数列na的通项

28、公式，再求nb的通项公式.试题解析：（1）因为4A，4B，所以4AB，从而 na与 nb不是无穷互补数列（2）因为416a，所以1616420b考点：等差数列、等比数列、新定义问题23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分.已知aR R，函数()f x=21log()ax.（1）当1a 时，解不等式()f x1；（2）若关于x的方程()f x+22log()x=0 的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a0，若对任意t1,12，函数()f x在区间,1t t 上的最大值与最小值的差不超过 1，求a的取值范围.【答

29、案】（1）(0,1)x；（2）0或14；（3）2,3【解析】试题分析：（1）由21log11x，得112x，从而得解（2）转化得到2221log()log()0axx，讨论当0a、0a 时的情况即可（3）讨论 f x在0,上的单调性，再确定函数 f x在区间,1t t 上的最大值与最小值之差，由此得到2110atat，对任意1,12t成立试题解析：（1）由21log11x，得112x，解得(0,1)x（2）2221loglog0axx有且仅有一解，函数 f x在区间,1t t 上的最大值与最小值分别为 f t，1f t 22111loglog11f tf taatt即2110atat，对 任 意1,12t成立因为0a，所以函数211yatat在区间1,12上单调递增，所以12t 时，y有最小值3142a，由31042a，得23a 故a的取值范围为2,3考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.