2021年辽宁省朝阳市中考数学真题试卷(解析版).pdf

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1、2021 年辽宁省朝阳市中考数学试卷年辽宁省朝阳市中考数学试卷一、选择题一、选择题1.在有理数 2，3，13，0 中，最小的数是（）A.2B.3C.13D.0【答案】B【解析】【分析】正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数依此即可求解【详解】解：30132，在有理数 2，3，13，0 中，最小的数是3故选：B【点睛】本题考查了有理数大小比较，有理数大小比较的法则：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小2.如图所示的几何体是由 6 个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】找到从左面看所得到的图形即可，

2、注意所有的看到的棱都应表现在左视图中【详解】从左面看易得第一层有 2 个正方形，第二层左边有 1 个正方形，如图所示：故选：B【点睛】此题考查几何体的三视图，解题关键在于掌握左视图是从物体的左面看得到的视图3.下列运算正确的是（）A.a3a3a6B.a2a3a6C.（ab）2ab2D.（a2）4a8【答案】D【解析】【分析】先根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方求出每个式子的值，再得出选项即可【详解】解：Aa3a32a3，故本选项不符合题意；Ba2a3a5，故本选项不符合题意；C（ab）2a2b2，故本选项不符合题意；D（a2）4a8，故本选项符合题意；故选：D【点睛】此题主

3、要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式的运用4.某校开展了以“爱我家乡”为主题的艺术活动，从九年级 5 个班收集到的艺术作品数量（单位：件）分别为 48，50，47，44，50，则这组数据的中位数是（）A.44B.47C.48D.50【答案】C【解析】【分析】根据中位数的意义，排序后处在中间位置的数即可【详解】解：将这五个数据从小到大排列后处在第 3 位的数是 48，因此中位数是 48；故选：C【点睛】本题考查中位数的意义，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数5.一个不透明的口袋中有 4 个红球，6 个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从口袋中随机摸出 1

4、个球，则摸到绿球的概率是（）A.110B.12C.25D.35【答案】D【解析】【分析】先求出总的球的个数，再根据概率公式即可得出摸到绿球的概率【详解】解：袋中装有 4 个红球，6 个绿球，共有 10 个球，摸到绿球的概率为：61035；故选：D【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）mn6.将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则1 的度数为（）A.45B.65C.75D.85【答案】C【解析】【分析】由平角等于 180结合三角板各角的度数，可求出2 的度数，由直尺的上下两边平行，利用

5、“两直线平行，同位角相等”可得出1 的度数【详解】解：26045180，275直尺的上下两边平行，1275故选：C【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键7.不等式4x12x1 的解集，在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】不等式移项，合并，把 x 系数化为 1，求出解集，表示在数轴上即可【详解】解：不等式4x12x1，移项得：4x2x11，合并得：2x2，解得：x1，数轴表示，如图所示：故选：D【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键8.如图，O 是坐标原点，点 B 在

6、x 轴上，在OAB 中，AOAB5，OB6，点 A 在反比例函数 ykx（k0）图象上，则 k 的值（）A.12B.15C.20D.30【答案】A【解析】【分析】过 A 点作 ACOB，利用等腰三角形的性质求出点 A 的坐标即可解决问题【详解】解：过 A 点作 ACOB，AOAB，ACOB，OB6，OCBC3，在 RtAOC 中，OA5，AC2222534OAOC，A（3，4），把 A（3，4）代入 ykx，可得 k12故选：A【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9.如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F

7、分别在 AB，CD 上，且 BE2AE，DF2CF，点 G，H 分别是 AC 的三等分点，则 S四边形EHFGS菱形ABCD的值为（）A.19B.16C.13D.29【答案】A【解析】【分析】由题意可证 EGBC，EG2，HFAD，HF2，可得四边形 EHFG 为平行四边形，即可求解【详解】解：BE2AE，DF2FC，12AEBC，12CFDFG、H 分别是 AC 的三等分点，12AGGC，12CHAH，AEAGBEGC，EGBC13EGAEBCAB，同理可得 HFAD，13HFAD，111339EHFGABCDSS四边形菱形，故选：A【点睛】本题考查了菱形的性质，由题意可证 EGBC，HFA

8、D 是本题的关键10.如图，在正方形 ABCD 中，AB4，动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 AB 运动，同时动点 N 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 ADDCCB运动，当点 N 运动到点 B 时，点 M，N 同时停止运动设AMN 的面积为 y，运动时间为 x（s），则下列图象能大致反映 y 与 x 之间函数关系的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据点 N 的运动情况，分点 N 在 AD，DC，CB 上三种情况讨论，分别写出每种情况 x 和 y 之间的函数关系式，即可确定图象【详解】解：当点 N 在 AD 上时，即 0 x2AMx

9、，AN2x，2122yxxx，此时二次项系数大于 0，该部分函数图象开口向上，当点 N 在 DC 上时，即 2x4，此时底边 AMx，高 AD4，y142x2x，该部分图象为直线段，当点 N 在 CB 上时，即 4x6 时，此时底边 AMx，高 BN122x，y21(122)62xxxx，10，该部分函数图象开口向下，故选：B【点睛】本题主要考查了函数图像综合，准确分析判断是解题的关键二、填空题二、填空题11.2020 年 9 月 1 日以来，教育部组织开展重点地区、重点行业、重点单位、重点群体“校园招聘服务”专场招聘活动，提供就业岗位 3420000 个，促就业资源精准对接 数据 34200

10、00用科学记数法表示为_【答案】3.42106【解析】【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于或等于 10 时，n 是正整数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负整数【详解】解：数据 3420000 用科学记数法表示为 3.42106故答案为：3.42106【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值12.因式分解：3am212an2_【

11、答案】3a（m2n）（m2n）【解析】【分析】直接提取公因式3a，再利用平方差公式分解因式得出答案【详解】解：原式3a（m24n2）3a（m2n）（m2n）故答案为：3a（m2n）（m2n）【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键13.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中黑色区域的概率是_【答案】13【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值【详解】解：总面积为 9 个小等边形的面积，其中阴影部分面积为 3 个小等边形的面积，飞

12、镖落在阴影部分的概率是3913，故答案为：13【点睛】本题主要考查了概率求解问题，准确分析计算是解题的关键14.已知O 的半径是 7，AB 是O 的弦，且 AB 的长为 73，则弦 AB 所对的圆周角的度数为_【答案】60或 120【解析】【分析】ACB 和ADB 为弦 AB 所对的圆周角，连接 OA、OB，如图，过 O 点作 OHAB于 H，根据垂径定理得到 AHBH7 32，则利用余弦的定义可求出OAH30，所以AOB120，然后根据圆周角定理得到ACB60，根据圆内接四边形的性质得到ADB120【详解】解：ACB 和ADB 为弦 AB 所对的圆周角，连接 OA、OB，如图，过 O 点作

13、OHAB 于 H，则 AHBH12AB7 32，在 RtOAH 中，cosOAHAHOA7 32732，OAH30，OAOB，OBHOAH30，AOB120，ACB12AOB60，ADBACB180，ADB18060120，即弦 AB 所对的圆周角的度数为 60或 120故答案为 60或 120【点睛】本题考查了圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了垂径定理15.如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(5，0)，点 M 的坐标为(0，4)，过点 M 作MN/x 轴，点 P 在射线 MN 上，若MAP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_【答案】(411

14、0，4)或(41，4)或(10，4)【解析】【分析】分三种情况：PMPA，MPMA，AMAP，分别画图，根据等腰三角形的性质和两点的距离公式，即可求解【详解】解：设点 P 的坐标为（x，4），分三种情况：PMPA，点 A 的坐标为（5，0），点 M 的坐标为（0，4），PMx，PA2245x，PMPA，x2245x，解得：x4110，点 P 的坐标为（4110，4）；MPMA，点 A 的坐标为（5，0），点 M 的坐标为（0，4），MPx，MA224541，MPMA，x41，点 P 的坐标为（41，4）；AMAP，点 A 的坐标为（5，0），点 M 的坐标为（0，4），AP2245x，MA22

15、4541，AMAP，2245x41，解得：x110，x20（舍去），点 P 的坐标为（10，4）；综上，点 P 的坐标为（4110，4）或（41，4）或（10，4）故答案为：(4110，4)或(41，4)或(10，4)【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，熟练掌握坐标与图形特征，利用坐标特征和勾股定理求线段的长是解题的关键16.如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BC2，连接 AC，过点 D 作 DC1AC 于点 C1，以C1A，C1D 为邻边作矩形 AA1DC1，连接 A1C1，交 AD 于点 O1，过点 D 作 DC2A1C1于点C2，交 AC 于点 M1，以 C2A1，C

16、2D 为邻边作矩形 A1A2DC2，连接 A2C2，交 A1D 于点 O2，过点 D 作 DC3A2C2于点 C3，交 A1C1于点 M2；以 C3A2，C3D 为邻边作矩形 A2A3DC3，连接A3C3，交 A2D 于点 O3，过点 D 作 DC4A3C3于点 C4，交 A2C2于点 M3若四边形 AO1C2M1的面积为 S1，四边形 A1O2C3M2的面积为 S2，四边形 A2O3C4M3的面积为 S3四边形 An1OnCn1Mn的面积为 Sn，则 Sn_（结果用含正整数 n 的式子表示）【答案】119 45nn【解析】【分析】根据四边形ABCD是矩形，可得AC5，运用面积法可得DC1AB

17、 BCAC2 55，进而得出 DCn2 55n，得出 S121920DC，Sn2920nDC92022 55n119 45nn【详解】解：四边形 ABCD 是矩形，B90，ADBC，ADBC2，CDAB1，AC22ABBC22125，DC1ACABBC，DC1AB BCAC1 252 55，同理，DC22 55DC1（2 55）2，DC3（2 55）3，DCn（2 55）n，11DCCCtanACDADCD2，CC112DC155，tanCAD11DCACCDAD12，A1DAC12DC14 55，AM1AC1C1M12DC112DC132DC13 55，同理，A1M232DC2，A2M332

18、DC3，An1Mn32DCn，四边形 AA1DC1是矩形，O1AO1DO1A1O1C11，同理DC2A1C1A1DDC1，DC21111AD DCAC4 52 555245，在 RtDO1C2中，O1C22212O DDC2241()53534DC2，同理，O2C334DC3，O3C434DC4，OnCn134DCn1，1121211ADMO DCAOC MSSSS四边形12AM1DC112O1C2DC2（34310）21DC21920DC925，同理，1223222920A DMO DCSSSDC92042 5()539 45，S392023DC92062 5()5249 45，Sn9202

19、nDC92022 55n119 45nn故答案为：119 45nn【点睛】本题考查了矩形性质，勾股定理，解直角三角形，三角形面积等，解题关键是通过计算找出规律三、解答题三、解答题17.先化简，再求值：（2xx1）22224xxx，其中 xtan60【答案】2xx，12 33【解析】【分析】先把括号内的分式通分，再把各分子和分母因式分解，然后进行约分化简，代入求值即可【详解】解：原式22xxx2(1)(2)(2)x xxx2(1)2xx222(1)xxx x2xxxtan603，代入得：原式3+2312 33【点睛】本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果

20、分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式18.为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进价多 25 元，用 2000 元购进篮球的数量是用 750 元购进足球数量的 2 倍，求：每个篮球和足球的进价各多少元？【答案】每个足球的进价是 75 元，每个篮球的进价是 100 元【解析】【分析】设每个足球的进价是 x 元，则每个篮球的进价是（x25）元，利用数量总价单价，结合用 2000 元购进篮球的数量是用 750 元购进足球数量的 2 倍，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出足球的单价，再将其代入（x25）中即可求出篮球的

21、单价【详解】解：设每个足球的进价是 x 元，则每个篮球的进价是（x25）元，依题意得：200025x2750 x，解得：x75，经检验，x75 是原方程的解，且符合题意，x257525100答：每个足球的进价是 75 元，每个篮球的进价是 100 元【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键19.“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，某校对全体学生进行了古诗词知识测试，将成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：（1）求本次抽样调查的人数；（2）在扇形统计图中，阴影部分

22、对应的扇形圆心角的度数是；（3）将条形统计图补充完整；（4）该校共有 1500 名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生人数【答案】（1）120 人；（2）90；（3）见解析；（4）500 人【解析】【分析】（1）由良好的人数除以占的百分比求本次抽样调查的人数；（2）根据一般的人数所占百分比即可求出圆心角的度数；（3）求出优秀的人数即可画出条形图；（4）求出优秀占的百分比，乘以 1500 即可得到结果【详解】解：（1）总人数50150360120（人）；（2）阴影部分扇形的圆心角3603012090，故答案为：90；（3）优秀的人数为：120305040（人），条形统计图如图

23、所示：（4）测试成绩达到优秀的学生人数有：150040120500（人），答：该校 1500 名学生中测试成绩达到优秀的学生有 500 人【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小20.为了迎接建党 100 周年，学校举办了“感党恩跟党走”主题社团活动，小颖喜欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字母 A，B，C，D 依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在

24、桌面上（1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团 D 的概率是；（2）小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团 C 的概率【答案】（1）14；（2）见解析，12【解析】【分析】（1）共有 4 种可能出现的结果，其中是舞蹈社团 D 的有一种，即可求出概率；（2）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出一张是演讲社团 C 的结果数，进而求出概率【详解】解：（1）共有 4 种可能出现的结果，其中是舞蹈社团 D 的有 1 种，小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团 D 的概率是

25、14，故答案为：14；（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：ABCDAABACADBBABCBDCCACBCDDDACBDC共有 12 种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一张是演讲社团 C 的有 6种，小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团 C 的概率是61212【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，正确画出树状图或表格是解决本题的关键21.一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在 G 处放置一个小平面镜，当一位同学站在 F 点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 A 的像，此时测得 FG3m，这位同学向古树方向前进了 9m 后到达点 D，在 D 处安置一

26、高度为 1m 的测角仪 CD，此时测得树顶 A 的仰角为 30，已知这位同学的眼睛与地面的距离 EF1.5m，点 B，D，G，F在同一水平直线上，且 AB，CD，EF 均垂直于 BF，求这棵古树 AB 的高（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【答案】（943）m【解析】【分析】过点 C 作 CHAB 于点 H，则 CHBD，BHCD1m，由锐角三角函数定义求出 BDCH3AH，再证EFGABG，得EFFGABBG，求出 AH（843）m，即可求解【详解】解：如图，过点 C 作 CHAB 于点 H，则 CHBD，BHCD1m，由题意得：DF9m，DGDFFG6（m），在 RtACH 中

27、，ACH30，tanACHAHCHtan3033，BDCH3AH，EFFB，ABFB，EFGABG90由反射角等于入射角得EGFAGB，EFGABG，EFFGABBG，即1.53136AHAH，解得：AH（843）m，ABAHBH（943）m，即这棵古树的高 AB 为（943）m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明EFGABG 是解题的关键22.如图，AB 是O 的直径，点 D 在O 上，且AOD90，点 C 是O 外一点，分别连接 CA，CB、CD，CA 交O 于点 M，交 OD 于点 N，CB 的延长线交O 于点 E，

28、连接 AD，ME，且ACDE（1）求证：CD 是O 的切线；（2）连接 DM，若O 的半径为 6，tanE13，求 DM 的长【答案】（1）见解析；（2）12 55【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和等量代换可得BACACD，进而得出 ABCD，由AOD90可得 ODCD，从而得出结论；（2）由 tanE13，可得 tanACDtanOANtanE13，在直角三角形中由锐角三角函数可求出 ON、DN、CD，由勾股定理求出 CN，由三角形的面积公式求出 DF，再根据圆周角定理可求出AMD45，进而根据等腰直角三角形的边角关系求出 DM 即可【详解】解：（1）ACDE，EBAC，BACACD，A

29、BCD，ODCAOD90，即 ODCD，CD 是O 的切线；（2）过点 D 作 DFAC 于 F，O 的半径为 6，tanE13tanACDtanOAN，ON13OA1362，DNODON624，CD3DN12，在 RtCDN 中，CN22DNCD22412410，由三角形的面积公式可得，CNDFDNCD，即 410DF412，DF6 105，又AMD12AOD129045，在 RtDFM 中，DM2DF26 10512 55【点睛】本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系，圆周角定理，掌握锐角三角函数以及勾股定理是解决问题的前提23.某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，规定这种商

30、品每件售价不低于进价，又不高于 38 元，经市场调查发现：该商品每天的销售量 y（件）与每件售价（元）之间符合一次函数关系，如图所示（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）该商场销售这种商品要想每天获得 600 元的利润，每件商品的售价应定为多少元？（3）设商场销售这种商品每天获利 w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y2x120；（2）30 元；（3）售价定为 40 元/件时，每天最大利润 800 元【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据“每件利润销售量总利润”列出一元二次方程，解之可得；（3）根据以上相等关系列出函

31、数解析式，配方成顶点式，利用二次函数性质求解可得【详解】解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykxb（k0），由所给函数图象可知：25703550kbkb，解得2120kb，故 y 与 x 的函数关系式为 y2x120；（2）根据题意，得：（x20）（2x120）600，整理，得：x280 x15000，解得：x30 或 x50（不合题意，舍去），答：每件商品的销售价应定为 30 元；（3）y2x120，w（x20）y（x20）（2x120）2x2160 x24002（x40）2800，当 x40 时，w最大800，售价定为 40 元/件时，每天最大利润 w800 元【点睛】本题主要

32、考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式24.如图，在 RtABC 中，ACBC，ACB90，点 O 在线段 AB 上（点 O 不与点 A，B重合），且 OBkOA，点 M 是 AC 延长线上的一点，作射线 OM，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转 90，交射线 CB 于点 N（1）如图 1，当 k1 时，判断线段 OM 与 ON 的数量关系，并说明理由；（2）如图 2，当 k1 时，判断线段 OM 与 ON 的数量关系（用含 k 的式子表示），并证明；（3）点 P 在射线 BC 上，若BON15，PNkAM（k1

33、），且CMAC312，请直接写出NCPC的值（用含 k 的式子表示）【答案】（1）OMON，见解析；（2）ONkOM，见解析；（3）131NCkPCk【解析】【分析】（1）作 ODAM，OEBC，证明DOMEON；（2）作 ODAM，OEBC，证明DOMEON；（3）设 ACBCa，解 RtEON 和斜AOM，用含,a k的代数式分别表示,NC PN再利用比例的性质可得答案【详解】解：（1）OMON，如图 1，作 ODAM 于 D，OECB 于 E，ADOMDOCEOOEN90，DOE90，ACBC，ACB90，AABC45，在 RtAOD 中，2sin2ODOAAOA，同理：OE22OB，O

34、AOB，ODOE，DOE90，DOMMOE90，MON90，EONMOE90，DOMEON，在 RtDOM 和 RtEON 中，MDONEOODOEDOMEON ，DOMEON（ASA），OMON（2）如图 2，作 ODAM 于 D，OEBC 于 E，由（1）知：OD22OA，OE22OB，1ODOAOEOBk，由（1）知：DOMEON，MDONEO90，DOMEON，1OMODONOEk，ONkOM（3）如图 3，设 ACBCa，AB2a，OBkOA，OB21kk a，OA211k a，OE22OB1kk a，NABCBON451530，ENtanOEN3OE31kk a，CEOD22OA1

35、1k a，NCCEEN11k a31kk a，由（2）知：1OMOAONOBk，DOMEON，AMON301AMPNk，OMAMONPN，PONAOM，PA45，PEOE1kk a，PNPEEN1kk a31kk a，设 ADODx，DM3x，由 ADDMACCM 得，（31）xACCM，x312（ACCM）312（AC312AC）12AC，k11313113311kaaNCkkkkkPNkkaakk，31,13PNPCNCPCkkNCNCNCk 1,13PCkNCk131NCkPCk【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作 ODAC，OEBC；本题的难点是条件

36、312CMAC得出 k125.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2bxc 与 x 轴分别交于点 A(1，0)和点B，与 y 轴交于点 C(0，3)（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图 1，点 D 与点 C 关于对称轴对称，点 P 在对称轴上，若BPD90，求点 P 的坐标；（3）点 M 是抛物线上位于对称轴右侧的点，点 N 在抛物线的对称轴上，当BMN 为等边三角形时，请直接写出点 M 的坐标【答案】（1）yx22x3，对称轴 x1；（2）P(1，1)或(2，1)；（3）M(933，4 313)或(13，2 333)【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可（2）如图 1 中，连接

37、 BD，设 BD 的中点 T，连接 PT，设 P（1，m）求出 PT 的长，构建方程求出 m 即可（3）分两种情形：当点 M 在第一象限时，BMN 是等边三角形，过点 B 作 BTBN 交 NM的延长线于 T，设 N（1，t），设抛物线的对称轴交 x 轴于 E如图 32 中，当点 M 在第四象限时，设 N（1，n），过点 B 作 BTBN 交 NM 的延长线于 T分别利用相似三角形的性质求出点 M 的坐标，再利用待定系数法求解【详解】解：（1）把 A（1，0），点 C（0，3）的坐标代入 yx2bxc，得到310cbc，解得23bc，抛物线的解析式为 yx22x3，对称轴 x221（2）如图

38、1 中，连接 BD，设 BD 的中点 T，连接 PT，设 P（1，m）点 D 与点 C 关于对称轴对称，C（0，3），D（2，3），B（3，0），T（52，32），BD2232310，NPD90，DTTB，PT12BD102，（152）2（m32）2（102）2，解得 m1 或 2，P（1，1），或（2，1）（3）当点 M 在第一象限时，BMN 是等边三角形，过点 B 作 BTBN 交 NM 的延长线于 T，设 N（1，t），作 TJx 轴于点 J，设抛物线的对称轴交 x 轴于 EBMN 是等边三角形，NMBNBM60，NBT90，MBT30，BT3BN，NMBMBTBTM60，MBTBTM3

39、0，MBMTMN，NBETBJ90，TBJBTJ90，NBEBTJ，BENTJB90，BENTJB，TJBJBTEBENBN3，BJ3t，TJ23，T（33t，23），NMMT，M（432t，2 32t），点 M 在 yx22x3 上，2 32t（432t）22432t3，整理得，3t2（432）t12430，解得 t23（舍弃）或2 323，M（933，4 313）如图 32 中，当点 M 在第四象限时，设 N（1，n），过点 B 作 BTBN 交 NM的延长线于 T同法可得 T（33n，23），M（432n，2 32n），则有2 32n（432n）22432n3，整理得，3n2（243）n12430，解得 n2 343（舍弃）或2 363，M（13，2 333），综上所述，满足条件的点 M 的坐标为（933，4 313）或（13，2 333）【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计算是解题的关键