直线的参数方程的几何意义_中学教育-高考.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 乐恩特教育个性化教学辅导教案 课 题 直线的参数方程的几何意义 教学目标 要 求 与直线的参数方程有关的典型例题 教学重难点 分 析 与直线的参数方程有关的典型例题 教 学 过 程 知识要点概述 过定点),(0 0 0y x M、倾斜角为的直线l的参数方程为 sincos00t y yt x x（t 为参数），其中 t 表示直线l上以定点0M为起点，任意一点 M（x，y）为终点的有向线段M M0的数量，的几何意义是直线上点到 M 的距离.此时,若 t0,则 的方向向上;若 t0,则的方向向下;若 t=0,则点 与点 M重合.由此，易得参数 t 具有如下 的性质：若直线l上两

2、点 A、B 所对应的参数分别为 B At t,，则 性质一：A、B 两点之间的距离为|B At t AB，特别地，A、B 两点到0M的距离分别为.|,|B At t 性质二：A、B 两点的中点所对应的参数为2B At t，若0M是线段 AB 的中点，则 0 B At t，反之亦然。精编例题讲练 一、求直线上点的坐标 精品资料 欢迎下载 例 1 一个小虫从 P（1，2）出发，已知它在 x 轴方向的分速度是 3，在 y 轴方向的分速度是 4，问小虫 3s 后的位置 Q。分析：考虑 t 的实际意义，可用直线的参数方程x=x0+at，y=y0+bt(t 是参数)。解：由题意知则直线 PQ 的方程是x=

3、1 3 t，y=2+4 t，其中时间 t 是参数，将 t=3s 代入得 Q（8，12）。例 2 求点 A（1，2）关于直线 l：2x 3y+1=0 的对称点 A 的坐标。解：由条件，设直线 AA 的参数方程为 x=1 213 t，y=2+313 t(t 是参数)，A 到直线 l 的距离 d=513，t=AA=1013，代入直线的参数方程得 A(3313，413)。点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离 例 1.设直线 经过点(1,5),倾斜角为,1)求直线 和直线 的交点到

4、点 的距离;2)求直线 和圆 的两个交点到点 的距离的和与积.解:直线 的参数方程为(t 为参数)1)将直线 的参数方程中的 x,y 代入,得 t=.所以,直线和直线 的交点到点 的距离为 2)将直线 的方程中的 x,y 代入,得 设此方程的两 根 为,则=10.可 知 均 为 负 值,所 以=程的几何意义与直线的参数方程有关的典型例题与直线的参数方程有关的典型例题教学过程过定点倾斜角为的直线的参数方程为为参数其中表示直线上以定点量为起点任意一点为终点的有向线段的数的几何意义是直线上点到的距离 别为则性质一两点之间的距离为特别地两点到的距离分别为性质二两点的中点所对应的参数为若是线段的中点则反

5、之亦然精编例题讲练一求直线上点的坐标精品资料欢迎下载例一个小虫从出发已知它在轴方向的分速度是在轴方向的 参数将代入得例求点关于直线的对称点的坐标解由条件设直线的参数方程为是参数到直线的距离代入直线的参数方程得点评求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线求出交点再用中点公式而此处则是充分利用了参数的几何意义精品资料 欢迎下载 点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。三 求直线与曲线相交的弦长 例 1 过抛物线 的焦点作斜角为 的直线与抛物线交于 A、B 两点，求|AB|.解 因直线的倾角为，则斜率为 1，又抛物线的焦点为 F(1，0)，则可设 AB的方程

6、为(为参数)代入 整理得 由韦达定理得 t1 t2=，t1t2=16。=.例 2 已知直线 L:x+y-1=0 与抛物线 y=交于 A,B 两点,求线段 AB 的长和点 M(-1,2)到A,B 两点的距离之积.解:因 为 直 线 L 过 定 点 M,且 L 的 倾 斜 角 为,所 以 它 的 参 数 方 程 是(t 为参数)即(t 为参数)程的几何意义与直线的参数方程有关的典型例题与直线的参数方程有关的典型例题教学过程过定点倾斜角为的直线的参数方程为为参数其中表示直线上以定点量为起点任意一点为终点的有向线段的数的几何意义是直线上点到的距离 别为则性质一两点之间的距离为特别地两点到的距离分别为性

7、质二两点的中点所对应的参数为若是线段的中点则反之亦然精编例题讲练一求直线上点的坐标精品资料欢迎下载例一个小虫从出发已知它在轴方向的分速度是在轴方向的 参数将代入得例求点关于直线的对称点的坐标解由条件设直线的参数方程为是参数到直线的距离代入直线的参数方程得点评求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线求出交点再用中点公式而此处则是充分利用了参数的几何意义精品资料 欢迎下载 把它代入抛物线的方程,得 解得 由参数 t 的几何意义得 点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点 M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数 t 的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求

8、出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.四、求解中点问题 例 1,已知经过点 P(2,0),斜率为 的直线和抛物线 相交于 A,B 两点,设线段 AB的中点为 M,求点 M 的坐标.解:设过点 P(2,0)的直线 AB 的倾斜角为,由已知可得:cos,所以,直线的参数方程为(t 为参数)代入,整理得 中点 M 的相应的参数是=所以点 M 的坐标为 点评:在直线的参数方程中,当 t0,则 的方向向上;当 t0,则 的方向向下,所以 A,B中点的 M 所对应的 t 的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同.例 2 已知双曲线 x2 y22=1，过点 P（2，1）的直线交双曲线于 P1，P2，求

9、线段 P1P2程的几何意义与直线的参数方程有关的典型例题与直线的参数方程有关的典型例题教学过程过定点倾斜角为的直线的参数方程为为参数其中表示直线上以定点量为起点任意一点为终点的有向线段的数的几何意义是直线上点到的距离 别为则性质一两点之间的距离为特别地两点到的距离分别为性质二两点的中点所对应的参数为若是线段的中点则反之亦然精编例题讲练一求直线上点的坐标精品资料欢迎下载例一个小虫从出发已知它在轴方向的分速度是在轴方向的 参数将代入得例求点关于直线的对称点的坐标解由条件设直线的参数方程为是参数到直线的距离代入直线的参数方程得点评求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线求出交点再用中点公式而此处则是

10、充分利用了参数的几何意义精品资料 欢迎下载 的中点 M 的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有 t1+t2=0。解：设 M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线 P1P2的方程是x=x0+t cos，y=y0+t sin(t 是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2 sin2)t2+2(2x0cos y0sin)t+(2x02 y02 2)=0，由题意 t1+t2=0，即 2x0cos y0sin=0，得 tan=2x0y0。又直线 P1P2的斜率 k=tan=y y0 x x0，点 P（2，1）在直线 P1P2上，1 y02 x0=2x0y0，即 2x2 y2 4

11、x+y=0 为所求的轨迹的方程。五,求点的轨迹问题 例 1 已知双曲线，过点 P（2，1）的直线交双曲线于 P1，P2，求线段 P1P2的中点 M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有 t1+t2=0。解：设 M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线 P1P2的方程是(t 是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2 sin2)t2+2(2x0cos y0sin)t+(2x02 y02 2)=0，由题意 t1+t2=0，即 2x0cos y0sin=0，得。又直线 P1P2的斜率，点 P（2，1）在直线 P1P2上，即 2x2 y2 4x+y=0 为所求的轨迹的方程。六

12、、求定点到动点的距离 例 1 直线 l 过点 P(1，2)，其参数方程为x=1 t，y=2+t(t 是参数)，直线 l 与直线 2x+y 2=0 交于点 Q，求 PQ。解：将直线 l 的方程化为标准形式x=1 22t，y=2+22t，代入 2x+y 2=0 得 t=3 22，PQ=|t|=3 22。点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。程的几何意义与直线的参数方程有关的典型例题与直线的参数方程有关的典型例题教学过程过定点倾斜角为的直线的参数方程为为参数其中表示直线上以定点量为起点任意一点为终点的有向线段的数的几何意义是直线上点到的距离

13、别为则性质一两点之间的距离为特别地两点到的距离分别为性质二两点的中点所对应的参数为若是线段的中点则反之亦然精编例题讲练一求直线上点的坐标精品资料欢迎下载例一个小虫从出发已知它在轴方向的分速度是在轴方向的 参数将代入得例求点关于直线的对称点的坐标解由条件设直线的参数方程为是参数到直线的距离代入直线的参数方程得点评求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线求出交点再用中点公式而此处则是充分利用了参数的几何意义精品资料 欢迎下载 例 2 经过点 P(1，2)，倾斜角为 4 的直线 l 与圆 x2+y2=9 相交于 A，B 两点，求PA+PB 和 PA PB 的值。解：直线 l 的方程可写成x=1+22

14、 t，y=2+22 t，代入圆的方程整理得：t2+2t 4=0，设点 A，B 对应的参数分别是 t1，t2，则 t1+t2=2，t1 t2=4，由 t1 与 t2的符号相反知 PA+PB=|t1|+|t2|=|t1 t2|=(t1+t2)2 4 t1 t2=3 2，PA PB=|t1 t2|=4。点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。七、求直线与曲线相交弦的长 例 1 已知抛物线 y2=2px，过焦点 F 作倾斜角为 的直线交抛物线于 A，B 两点，求证：AB=2psin2。分析：弦长 AB=|t1 t2|。解：由条件可设 AB 的方程为x=p2+t

15、 cos，y=t sin(t 是参数)，代入抛物线方程，得 t2 sin2 2pt cos p2=0，由韦达定理：t1+t2=2pcos sin2，t1 t2=p2sin2，AB=|t1 t2|=(t1 t2)2 4 t1 t2=4p2cos2sin4+4p2sin2=2psin2。例 2 已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60 的直线交椭圆于 A，B 两点，若 FA=2FB，求则椭圆的离心率。分析：FA=2FB 转化成直线参数方程中的 t1=2t2或|t1|=2|t2|。解：设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1，左焦点 F1（c，0），直线 AB 的方程为

16、x=c+12 t，y=32t，代入椭圆整理可得：(14b2+34a2)t2 b2ct b4=0，由于 t1=2t2，则 程的几何意义与直线的参数方程有关的典型例题与直线的参数方程有关的典型例题教学过程过定点倾斜角为的直线的参数方程为为参数其中表示直线上以定点量为起点任意一点为终点的有向线段的数的几何意义是直线上点到的距离 别为则性质一两点之间的距离为特别地两点到的距离分别为性质二两点的中点所对应的参数为若是线段的中点则反之亦然精编例题讲练一求直线上点的坐标精品资料欢迎下载例一个小虫从出发已知它在轴方向的分速度是在轴方向的 参数将代入得例求点关于直线的对称点的坐标解由条件设直线的参数方程为是参数

17、到直线的距离代入直线的参数方程得点评求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线求出交点再用中点公式而此处则是充分利用了参数的几何意义精品资料 欢迎下载 t1+t2=b2c14b2+34a2=t2，t1 t2=b414b2+34a2=2 t22，2 2+得：2c2=14b2+34 a2，将 b2=a2 c2代入，8 c2=3 a2+a2 c2，得 e2=c2a2=49，故 e=23。在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用 t 的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量 t 来表示，可以将二元问

18、题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。知识巩固训练 应用一：求距离 例 1、直线l过点)0,4(0 P，倾斜角为6，且与圆72 2 y x相交于 A、B 两点。（1）求弦长 AB.（2）求A P0和B P0的长。应用二：求点的坐标 例 2、直线l过点)4,2(0P，倾斜角为6，求出直线l上与点)4,2(0P相距为 4 的点的坐标。程的几何意义与直线的参数方程有关的典型例题与直线的参数方程有关的典型例题教学过程过定点倾斜角为的直线的参数方程为为参数其中表示直线上以定点量为起点任意一点为终点的有向线段的数的几何意义是直线上点到的距离 别为则性质一两点之间的距离为特别地两点到的

19、距离分别为性质二两点的中点所对应的参数为若是线段的中点则反之亦然精编例题讲练一求直线上点的坐标精品资料欢迎下载例一个小虫从出发已知它在轴方向的分速度是在轴方向的 参数将代入得例求点关于直线的对称点的坐标解由条件设直线的参数方程为是参数到直线的距离代入直线的参数方程得点评求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线求出交点再用中点公式而此处则是充分利用了参数的几何意义精品资料 欢迎下载 应用三：解决有关弦的中点问题 例 3、过点)0,1(0P，倾斜角为4的直线l和抛物线x y 22相交于 A、B 两点，求线段AB 的中点 M 点的坐标。教师课 后小结 签字 教学主任：教学组长：学生/家长：解：因为直

20、线l过点)0,4(0 P，倾斜角为6，所以直线l的参数方程为 6sin 06cos 4t yt x，即 t yt x21234，（t 为参数），代入圆方程，得 7)21()234(2 2 t t，整理得0 9 3 42 t t（1）设 A、B 所对应的参数分别为2 1,t t，所以3 42 1 t t，92 1 t t，所以|2 1t t AB.3 2 4)(2 122 1 t t t t（2）解方程0 9 3 42 t t得，3,3 32 1 t t，所以A P03 3|1 t，B P0.3|2 t 程的几何意义与直线的参数方程有关的典型例题与直线的参数方程有关的典型例题教学过程过定点倾斜角

21、为的直线的参数方程为为参数其中表示直线上以定点量为起点任意一点为终点的有向线段的数的几何意义是直线上点到的距离 别为则性质一两点之间的距离为特别地两点到的距离分别为性质二两点的中点所对应的参数为若是线段的中点则反之亦然精编例题讲练一求直线上点的坐标精品资料欢迎下载例一个小虫从出发已知它在轴方向的分速度是在轴方向的 参数将代入得例求点关于直线的对称点的坐标解由条件设直线的参数方程为是参数到直线的距离代入直线的参数方程得点评求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线求出交点再用中点公式而此处则是充分利用了参数的几何意义精品资料 欢迎下载 解：因为直线l过点)4,2(0P，倾斜角为6，所以直线l的参数

22、方程为 6sin 46cos 2t yt x，即 t yt x214232，（t 为参数），（1）设直线l上与已知点)4,2(0P相距为 4 的点为 M 点，且 M 点对应的参数为 t，则|0M P 4|t，所以4 t，将 t 的值代入（1）式，当 t 4 时，M 点的坐标为)6,3 2 2(；当 t 4 时，M 点的坐标为)2,3 2 2(，综上，所求 M 点的坐标为)6,3 2 2(或)2,3 2 2(.点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求 M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数 t 的几何意义求 M 点的坐标较容易。解：直线l过点)0,1(0P，倾斜角为4，

23、所以直线l的参数方程为 t yt x22221，（t 为参数），因为直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 x y 22中，得：)221(2)22(2t t，整理得0 2 2212 t t，0 6)2(214)2(2，设这个二次方程的两个根为2 1,t t，由韦达定理得2 22 1 t t，由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得 222 1 t ttM，易知中点 M 所对应的参数为2 Mt，将此值代入直线的参数方程得，M 点的坐标为（2，1）点评：对于上述直线l的参数方程，A、B 两点对应的参数为2 1,t t，则它们的中点所对应的参数为.22 1t t 程的几何意

24、义与直线的参数方程有关的典型例题与直线的参数方程有关的典型例题教学过程过定点倾斜角为的直线的参数方程为为参数其中表示直线上以定点量为起点任意一点为终点的有向线段的数的几何意义是直线上点到的距离 别为则性质一两点之间的距离为特别地两点到的距离分别为性质二两点的中点所对应的参数为若是线段的中点则反之亦然精编例题讲练一求直线上点的坐标精品资料欢迎下载例一个小虫从出发已知它在轴方向的分速度是在轴方向的 参数将代入得例求点关于直线的对称点的坐标解由条件设直线的参数方程为是参数到直线的距离代入直线的参数方程得点评求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线求出交点再用中点公式而此处则是充分利用了参数的几何意义