积分敛散性的判断_资格考试-公务员考试.pdf

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1、 -.-总结资料-目 录 摘要.2 引言.3 1无穷积分.5 1.1无穷积分的概念.5 1.2无穷积分敛散性的柯西准则.5 1.3无穷积分敛散性的比较判别法.6 1.4 无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.7 2瑕积分.8 2.1瑕积分的定义.9 2.2瑕积分的敛散性的比较判别 -.-总结资料-法.10 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法.10 2.4无 穷 积 分 的 敛 散 性 的 狄 利 克 雷 与 阿 贝 尔 判 别法.12 3瑕积分与无穷积分之间的关系.13 总 结.13 参考文献.14 性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕分瑕积分的义积定瑕积分的敛散性的比较判别总结资料法瑕积分敛散性的

2、柯西判别法无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕积分与无穷积分之间的关系总结参考文献总结资料判断反常积分敛的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子以及绝对收敛和条件收敛的概念等让读者能够用反常积分的柯西收敛原理非负函数反常积分的比较判别法柯西判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷阿贝尔判别法判别法判别基本的定积分有两个明显的缺陷其一积分区间必须是有限区间其二若则使得对于任意的即有界是可积的必要条件这两个缺陷限制了定积分的应用因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形也就 -.-总结资料-判断反常积分敛散性的方法 鹏 数学与计算机科学学院 摘 要：反常积分

3、的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法.关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法 On Convergence of The Method of Judging Abnormal Integral Name of student,School:XiePeng，School of Mathematics&Comp

4、uter Science Abstract:The convergence of improper integrals is one of the difficulties in mathematical analysis.This article describes the definition of convergence and divergence of improper integrals,examples of some important improper integrals convergence and divergence.Whats more,it also descri

5、bes the concept of absolute convergence and conditional convergence,etc.,which allows the reader to use the improper integrals of Cauchy convergence of the improper integral of the principle of non-negative function-comparison Tests,the law of Cauchy distinguish the improper integrals,and general fu

6、nction,性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕分瑕积分的义积定瑕积分的敛散性的比较判别总结资料法瑕积分敛散性的柯西判别法无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕积分与无穷积分之间的关系总结参考文献总结资料判断反常积分敛的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子以及绝对收敛和条件收敛的概念等让读者能够用反常积分的柯西收敛原理非负函数反常积分的比较判别法柯西判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷阿贝尔判别法判别法判别基本的定积分有两个明显的缺陷其一积分区间必须是有限区间其二若则使得对于任意的即有界是可积的必要条件这两个缺陷限制了定积分的应用因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函

7、数出现无界的情形也就 -.-总结资料-Dirichlet,Abel Discriminant discriminant method to distinguish the basic improper integral convergence and divergence,in order to grasp of the improper integrals convergence of the first judgment better.Key words:Infinite；Integral；Convergence discriminant；Method of flaw integral 1

8、 引言 定积分badx)x(f有两个明显的缺陷：其一,积分区间 b,a 必须是有限区间；其二,若 b,a Rf,则0M,使得对于任意的 b,a x,M)x(f（即有界是可积的必要条件）.这两个缺陷限制了定积分的应用,因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形.也就是在许多和实际中往往不能满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间上或者无界函数的积分问题.而将这两个约束条件取消.便得到定积分的两种形式推广；将函数的积分从积分区间有界扩展到无界的无穷积分和将被积函数有界扩展到无界函数的瑕积分.这两种积分就是通常所说的反常积分.反常积分是伴随者数学的发展而发展起来的

9、近代数学.作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决许多计算上的难题，也为其他学科的发展起了促进作用，并且在其它学科及科学领域中也有十分广泛的应用.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题.由于反常积分应用的重要性，所以，对反常积分敛散性的判断就显得十分必要了.反常积分的概述：例 1（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度0v至少多大？解 设地球半径为R，火箭质量为m，地面上的重力加速度为g，按万有引力定律，在距地心x处火箭受到的引力为 性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕分瑕积分的义积定瑕积分的敛散性的比较判别总结资料法

10、瑕积分敛散性的柯西判别法无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕积分与无穷积分之间的关系总结参考文献总结资料判断反常积分敛的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子以及绝对收敛和条件收敛的概念等让读者能够用反常积分的柯西收敛原理非负函数反常积分的比较判别法柯西判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷阿贝尔判别法判别法判别基本的定积分有两个明显的缺陷其一积分区间必须是有限区间其二若则使得对于任意的即有界是可积的必要条件这两个缺陷限制了定积分的应用因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形也就 -.-总结资料-22xmgR)x(F 于是火箭上升到距地心Rrr处需作

11、的功为 rRmgRdxxmgRrR11222.当r时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 mgRdxxmgRdxxmgRrRrR2222lim 再由能量守恒定律，可求得初速度0v至少应使 mgRmv 2021 skmgRv/2.1120.例 2 圆柱形桶的壁高为h,半径为R,桶底有一半径为r的小孔.试问从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为xh时，水从小孔里流出的速度为 )(2xhgv,其中g为重力加速度.设在很短一段时间dt，桶里水面降低的高度为dx，则有下面关系：dtrvdxR22 由此得 ,0,)(222hxd

12、xxhgrRdt 所以流完一桶水所需的时间在形式上亦可写成“积分”：性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕分瑕积分的义积定瑕积分的敛散性的比较判别总结资料法瑕积分敛散性的柯西判别法无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕积分与无穷积分之间的关系总结参考文献总结资料判断反常积分敛的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子以及绝对收敛和条件收敛的概念等让读者能够用反常积分的柯西收敛原理非负函数反常积分的比较判别法柯西判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷阿贝尔判别法判别法判别基本的定积分有两个明显的缺陷其一积分区间必须是有限区间其二若则使得对于任意的即有界是可积的必要条件这两个缺陷限制了定积分的应用因为在许

13、多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形也就 -.-总结资料-hfdxxhgrRt022)(2.但是，被积函数在),0h上是无界函数，所以它的确切含义应该是 uhufdxxhgrRt022)(2lim 222222limrRghuhhrRghu.相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分.1 无穷积分 1.1 无穷积分的概念 设函数)x(f在),a 上有定义.aA,RA 且)A,a(R)x(f,记 ,d)(limd)(AaAaxxfxxf 称之为)x(f在),a 上的无穷积分若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值即为无穷积分值；若式中的

14、极限不存在，则称该无穷积分发散 .类似地，可定义f在(b,上的无穷积分：.)(lim)(dxxfdxxfbuub 对 于f在(,)上的 无穷积 分，它 用前 面两种 无 穷积 分来 定义：,)()()(dxxfdxxfdxxfaa其中a为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 注 1 无穷积分dxxf)(的收敛性与收敛时的值,都和实数a的选取无关.注 2 由于无穷积分dxxf)(是由adxxf)(,adxxf)(来定义的,因此,)(xf在任何有限区间),(,uv上,首先必须是可积的.注 3 dxxfa)(收敛的几何意义是：若f在,a上为非负连续函数，则性的狄利克雷与阿贝尔判别法

15、瑕分瑕积分的义积定瑕积分的敛散性的比较判别总结资料法瑕积分敛散性的柯西判别法无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕积分与无穷积分之间的关系总结参考文献总结资料判断反常积分敛的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子以及绝对收敛和条件收敛的概念等让读者能够用反常积分的柯西收敛原理非负函数反常积分的比较判别法柯西判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷阿贝尔判别法判别法判别基本的定积分有两个明显的缺陷其一积分区间必须是有限区间其二若则使得对于任意的即有界是可积的必要条件这两个缺陷限制了定积分的应用因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形也就 -.-总结资料-介

16、于曲线)(xfy，直线ax 以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J 由定义知道，无穷积分adxxf)(收敛与否，取决于积分上限函数)(uFuadxxf)(在u时是否存在极限因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则 1.2 柯西准则 无穷积分adxxf)(收敛的充要条件是：任给0，存在 Ga，只要Guu21,，便有 2121)()()(uuuauadxxfdxxfdxxf 此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质；性质1 若dxxfa)(1与dxxfa)(2都收敛，1k,2k为任意常数，则 dxxfkxfka)()(2211 也收敛，且 dxx

17、fkdxxfkdxxfkxfkaaa)()()()(22112211 性质 2 若f在任何有限区间ua,)上可积，且有adxxf)(收敛，则adxxf)(亦必收敛，并有 aadxxfdxxf)()(证 adxxf)(由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给0，存在 Ga，当Guu12时，总有 2121)()(uuuudxxfdxxf.利用定积分的绝对值不等式，又有 性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕分瑕积分的义积定瑕积分的敛散性的比较判别总结资料法瑕积分敛散性的柯西判别法无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕积分与无穷积分之间的关系总结参考文献总结资料判断反常积分敛的定义和一些重要的反常积分收敛和发

18、散的例子以及绝对收敛和条件收敛的概念等让读者能够用反常积分的柯西收敛原理非负函数反常积分的比较判别法柯西判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷阿贝尔判别法判别法判别基本的定积分有两个明显的缺陷其一积分区间必须是有限区间其二若则使得对于任意的即有界是可积的必要条件这两个缺陷限制了定积分的应用因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形也就 -.-总结资料-21)(uudxxf21)(uudxxf.再由柯西准则(充分性)，证得adxxf)(收敛 又因 uadxxf)(uadxxf)(，令u 取极限，立刻得到不等式.当adxxf)(收敛时，称adxxf)(为绝对收敛性

19、质 2 指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛 但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛 1.3 比较判别法 首先给出无穷积分的绝对收敛判别法由于uadxxf)(关于上限u是单调递增的，因此adxxf)(收敛的充要条件是uadxxf)(存在上界根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：定理 1(比较法则)设定义在,a)上的两个函数f和g都在任何有限区间ua,上可积，且满足 ),),()(axxgxf 则当adxxg)(收敛时dxxfa)(必收敛(或当dxxfa)(发散时，adxxg)(必发散)例 3 讨论dxxx021sin的收敛性 解 由于,0,111sin22xxxx

20、，而2102xdx为收敛，故dxxx021sin为 绝对收敛 当选用1pxdx作为比较对象adxxg)(时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕分瑕积分的义积定瑕积分的敛散性的比较判别总结资料法瑕积分敛散性的柯西判别法无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕积分与无穷积分之间的关系总结参考文献总结资料判断反常积分敛的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子以及绝对收敛和条件收敛的概念等让读者能够用反常积分的柯西收敛原理非负函数反常积分的比较判别法柯西判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷阿贝尔判别法判别法判别基本的定积分有两个明显的缺陷其一积分区间必须是有限区间其二若

21、则使得对于任意的即有界是可积的必要条件这两个缺陷限制了定积分的应用因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形也就 -.-总结资料-判别法)推论 1 设f定义于,a(0a)，且在任何有限区间ua,上可积，则有：(i)当),1)(axxxfp,且1p时,dxxfa)(收敛;(ii)当),1)(axxxfp且1p时,dxxfa)(发散.推 论 2 设 定 义 于,a)，在 任 何 有 限区间 ua,.上 可 积，且)(limxfxpx则有：(i)当 0,1p时,dxxfa)(收敛;(ii)当 0,1p 时,dxxfa)(发散.推论 3 若f和g都在任何ua,)上可

22、积，0)(xg，且,)()(limcxgxfx则有 (i)当 c0时，由adxxg)(收敛可推知dxxfa)(也收敛；(ii)当 c0时，由adxxg)(发散可推知dxxfa)(也发散.1.4 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法 定理(狄利克雷判别法)若uadxxfuF)()(在,a)上有界，)(xg在,a)上当x时单调趋于0，则无穷积分adxxgxf)()(收敛 定理(阿贝尔(Abel)判别法)若adxxf)(收敛，)(xg在,a)上单调有界，则无穷积分adxxgxf)()(收敛 用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 例 4 讨论dxxx

23、p1sin与)0(cos1pdxxxp的收敛性 解 这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论下面分两种情形来讨论：性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕分瑕积分的义积定瑕积分的敛散性的比较判别总结资料法瑕积分敛散性的柯西判别法无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕积分与无穷积分之间的关系总结参考文献总结资料判断反常积分敛的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子以及绝对收敛和条件收敛的概念等让读者能够用反常积分的柯西收敛原理非负函数反常积分的比较判别法柯西判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷阿贝尔判别法判别法判别基本的定积分有两个明显的缺陷其一积分区间必须是有限区间其二若则使得对于任意的即有界

24、是可积的必要条件这两个缺陷限制了定积分的应用因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形也就 -.-总结资料-(i)当p1 时dxxxp1sin绝对收敛这是因为),1sinaxxxxpp 而1pxdx当p1 时收敛，故由比较法则推知dxxxp1sin收敛.(ii)当10p时dxxxp1sin条 件 收 敛 这 是 因 为 对 任 意u 1，有2cos1cossin1uxdxu，而px1当0p时单调趋于)(0 x，故由狄利克雷判别法推知dxxxp1sin工当0p时总是收敛的 另一方面，由于),1,22cos21sinsin2xxxxxxxxp，其中-dtttdx

25、xx21cos2122cos是收敛的，而12xdx是发散的，因此当10p时该无穷积分不是绝对收敛的所以它是条件收敛的 例 5 证明下列无穷积分都是条件收敛的,sin12dxx,cos12dxx dxxx14sin 证 前两个无穷积分经换元2xt 得到,2sinsin112dtttdxx.2coscos112dtttdxx 由例 4 知它们是条件收敛的对于第三个无穷积分，经换元2xt 而得1214sin21sindttdxxx，它也是条件收敛的从例 5 中三个无穷积分的收敛性可以看到，当x时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍 有可能收敛 2 瑕积分 2.1 瑕积分的定义 性的狄利克雷

26、与阿贝尔判别法瑕分瑕积分的义积定瑕积分的敛散性的比较判别总结资料法瑕积分敛散性的柯西判别法无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕积分与无穷积分之间的关系总结参考文献总结资料判断反常积分敛的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子以及绝对收敛和条件收敛的概念等让读者能够用反常积分的柯西收敛原理非负函数反常积分的比较判别法柯西判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷阿贝尔判别法判别法判别基本的定积分有两个明显的缺陷其一积分区间必须是有限区间其二若则使得对于任意的即有界是可积的必要条件这两个缺陷限制了定积分的应用因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形也就 -.

27、-总结资料-定义 设函数)(xf定义在区间,(ba上，在点a的任一右邻域无界，但在任何闭区间,(,babu上有界且可积.如果存在极限 Jdxxfbuau)(lim 则称此极限J为无界函数)(xf在区间,(ba上的反常积分，记作 badxxfJ)(.并称反常积分badxxf)(收敛.如果极限buaudxxf)(lim不存在,这时亦称 反常积分badxxf)(发散.在上述定义中，被积函数)(xf在点a的近旁是无界的，这时点a称为)(xf的瑕点，而无界函数反常积分badxxf)(又称为瑕积分.类似地,可定义瑕点为b时的瑕积分.badxxf)(uabudxxf)(lim.其中函数)(xf定义在区间),

28、ba上，在点b的任一左邻域无界，但在任何闭区间),baua上有界且可积.若函数)(xf的瑕点),(bac,则定义瑕积分 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(uacudxxf)(limbvcvdxxf)(lim.其中函数)(xf定义在区间,(),bcca上，在点c的任一邻域无界，但在任何闭区间),caua和,(,bcbv上都有界且可积.当且仅当右边两个瑕积性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕分瑕积分的义积定瑕积分的敛散性的比较判别总结资料法瑕积分敛散性的柯西判别法无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕积分与无穷积分之间的关系总结参考文献总结资料判断反常积分敛的定义和一些重要的反常积分收敛

29、和发散的例子以及绝对收敛和条件收敛的概念等让读者能够用反常积分的柯西收敛原理非负函数反常积分的比较判别法柯西判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷阿贝尔判别法判别法判别基本的定积分有两个明显的缺陷其一积分区间必须是有限区间其二若则使得对于任意的即有界是可积的必要条件这两个缺陷限制了定积分的应用因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形也就 -.-总结资料-分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若ba,两点都是)(xf的瑕点,而)(xf在任何),(,bavu有界且可积,这时定义瑕积分 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(cuaudxxf)(limvc

30、bvdxxf)(lim,其中c为),(ba任一实数.同样地,当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.瑕积分的收敛判别 2.2 比较判别法 定理 2 设 f(x),g(x)均为a,b)上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数 k,使 xxkgxf),()(0a,b),则 1）如badxxg)(收敛，则badxaf)(也收敛.2）如badxxf)(发散，则badxxg)(也发散 比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式 对以 b 为唯一瑕点的两个瑕积分badxxf)(与badxxg)(如果f(x),g(x)是非负函数，且,)()(limlxgxfbx 则（1）当

31、l0,且badxxg)(收敛时，则badxxf)(也收敛（2）当 l0，且badxxg)(发散时，则badxxf)(也发散 2.3 柯西判断法 设 x=a 是 f(x)在a,b)上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么 性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕分瑕积分的义积定瑕积分的敛散性的比较判别总结资料法瑕积分敛散性的柯西判别法无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕积分与无穷积分之间的关系总结参考文献总结资料判断反常积分敛的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子以及绝对收敛和条件收敛的概念等让读者能够用反常积分的柯西收敛原理非负函数反常积分的比较判别法柯西判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷阿贝

32、尔判别法判别法判别基本的定积分有两个明显的缺陷其一积分区间必须是有限区间其二若则使得对于任意的即有界是可积的必要条件这两个缺陷限制了定积分的应用因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形也就 -.-总结资料-（1）如 0f(x)paxc)(c0),p0),p1,则badxxf)(发散 瑕积分的Cauchy 判断法的极限形式为 定理 3 设k)x(f)ax(limpax 如 0k,1p,则badx)x(f收敛 如 0k,1p,那么badx)x(f发散 例 6 判别下列瑕积分的敛散性.(1)10222)xk1)(x1(dx )1k(2(2)20qpxcosxsi

33、ndx )0q,p(解：（1）1 是被积函数的唯一瑕点 因为 1limx)xk1)(x1(dx)x1(22221=)k1(212 由21p 知瑕积分收敛（2）0 与2都是被积函数的瑕点 先讨论,cossin40 xxdxqp 由0limx1xcosxsin1xqpp 知:当 p1 时,瑕积分40qpxcosxsindx收敛;当 p1 时,瑕积分40qpxcosxsindx发散 再讨论 24qpxcosxsindx 因2limx1xcosxsin1)x2(qpp 所以当 q1 时,瑕积分24qpxcosxsindx收敛，性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕分瑕积分的义积定瑕积分的敛散性的比较判别总结资料

34、法瑕积分敛散性的柯西判别法无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕积分与无穷积分之间的关系总结参考文献总结资料判断反常积分敛的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子以及绝对收敛和条件收敛的概念等让读者能够用反常积分的柯西收敛原理非负函数反常积分的比较判别法柯西判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷阿贝尔判别法判别法判别基本的定积分有两个明显的缺陷其一积分区间必须是有限区间其二若则使得对于任意的即有界是可积的必要条件这两个缺陷限制了定积分的应用因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形也就 -.-总结资料-当 q1 时，瑕积分24qpxcosxsindx发散

35、 综上所述，当 p1 且 q1 时,瑕积分20qpxcosxsindx收敛;其他情况发散 定理 4 若下列两个条件之一满足，则badxxgxf)()(收敛：（b 为唯一瑕点）2.4（1）（Abel 判别法）badx)x(f收敛,)x(g在)b,a 上单调有界(2)(Dirichlet判别法)(F=badx)x(f在a,b)上有界,g(x)在(,0ab上单调,且0)(limxgbx.例 7 讨论广义积分1dxxxcos的敛散性，解 令 f(x)=x1,g(x)=cos x 则当 x时，f(x)单调下降且趋于零，F(A)=Axdx1cos=1sinAsin在a,)上有界 由 Dirichlet判别

36、法知1cosdxxx收敛，另一方面 xx|cos|xx2cosxx22cos1 因121dxx发散，122cosdxxx收敛 从而非负函数的广义积分122cosdxxx发散 由比较判别法知1|cos|dxxx发散，所以1cosdxxx条件收敛 例 8 讨论广义积分1arctancosxdxxx的敛散性 解 由上一题知，广义积分1cosdxxx收敛,而 arctan x 在a,+)上单调有界，所以由 Abel 判别法知1arctancosxdxxx收敛.性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕分瑕积分的义积定瑕积分的敛散性的比较判别总结资料法瑕积分敛散性的柯西判别法无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕

37、积分与无穷积分之间的关系总结参考文献总结资料判断反常积分敛的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子以及绝对收敛和条件收敛的概念等让读者能够用反常积分的柯西收敛原理非负函数反常积分的比较判别法柯西判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷阿贝尔判别法判别法判别基本的定积分有两个明显的缺陷其一积分区间必须是有限区间其二若则使得对于任意的即有界是可积的必要条件这两个缺陷限制了定积分的应用因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形也就 -.-总结资料-另一方面,当),3x时,有|arctancos|xxx|cos|xx 前面已证1|cos|dxxx发散 由比较判别法知1

38、|arctancos|dxxxx发散,所以1arctancosdxxxx条件收敛.当然判断反常积分是否收敛的方法还有很多在此就不一一例举了.3 瑕积分与无穷积分的关系 设函数)(xf连续,b为瑕点.若 令xbt1,则 tbx1,dttdx21,abtax1，tbx 从而有 dtttbfdxxfabba2111)(这样瑕积分就化成了无穷积分；设0a,若令xt1,则 tx1,dttdx21,总结 本文根据对反常积分的定义及其性质的分析，总结了反常积分敛散性判别的多种方 法与技巧，并且辅以例题使其直观.经过本文的讨论，反常积分敛散性判别法主要有定 义，柯西收敛准则，绝对收敛判别，比较法则及其极限形式

39、，性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕分瑕积分的义积定瑕积分的敛散性的比较判别总结资料法瑕积分敛散性的柯西判别法无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕积分与无穷积分之间的关系总结参考文献总结资料判断反常积分敛的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子以及绝对收敛和条件收敛的概念等让读者能够用反常积分的柯西收敛原理非负函数反常积分的比较判别法柯西判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷阿贝尔判别法判别法判别基本的定积分有两个明显的缺陷其一积分区间必须是有限区间其二若则使得对于任意的即有界是可积的必要条件这两个缺陷限制了定积分的应用因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的

40、情形也就 -.-总结资料-狄利克雷判别法和阿贝尔 判别法.适当而准确的运用这些方法，我们可以方便快捷的判别一个具体的反常积分的 敛散性，更好的解决我们在反常积分的计算上的问题，帮助我们对微积分有一个更好的 认识.然而数学的世界是探索不尽的，反常积分的敛散性的判别方法与技巧也是丰富多 彩的，不止这几种，我们还应该加强学习，不断努力，继续深入的探究这些方法，融入 到美好的数学世界中去 参考文献；1 数学分析（华东师大编）第三版上册,2005,266-267.2 数学分析理论方法与技巧（华中科技版）,2008,28(9):143-144.3 边亚明【12】广义积分的一种敛散性的判断,2000,18(

41、3):95-96.4 何忆捷 高等数学研究,2005,18(3):95-96.5 立清科技大学学报（自然科学版）,2002,9(2):10-14.6 黄慧 辉 高等数学研究,2009,11(4):3-7.性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕分瑕积分的义积定瑕积分的敛散性的比较判别总结资料法瑕积分敛散性的柯西判别法无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法瑕积分与无穷积分之间的关系总结参考文献总结资料判断反常积分敛的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子以及绝对收敛和条件收敛的概念等让读者能够用反常积分的柯西收敛原理非负函数反常积分的比较判别法柯西判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷阿贝尔判别法判别法判别基本的定积分有两个明显的缺陷其一积分区间必须是有限区间其二若则使得对于任意的即有界是可积的必要条件这两个缺陷限制了定积分的应用因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形也就