直角三角形知识点及复习_中学教育-中考.pdf

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1、 直角三角形知识点 一、直角三角形的性质 1、Rt的两个锐角互余（A+B=90）2、斜边上的中线等于斜边的一半（若 D 为斜边 AB 的中点，则 CD12AB）3、30角所对直角边等于斜边的一半（若 A 30，C=90，CB=12AB）4、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方（若 C=90，则 2 2 2a b c）二、直角三角形的判定 1、有两个锐角互余的是直角三角形。2、如果一个三角形中，一条边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角为 90 3、勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足 2 2 2a b c，则 C 90。用法：（1）选出最大边；（2）计算较小两边的平方和；（3）比较

2、最大边的平方与较小两边的平方和；（4）如果两者相等，则最大边所对的角为直角。三、常用几个结论：（1）（2）直角三角形斜边上的高两直角边乘积除以斜边。公式为cabhc（3）常见的勾股数：（3k，4k，5k）（5k，12k，13k）（7k，24k，25k）（8k，15k，17k）（9k，40k，41k）（4）在求曲面上的最短距离时，先把曲面展开成平面图形，画出起点到终点的线段，就是最短距离，一般需要用到勾股定理。（1）蚂蚁沿着圆柱表面爬行，最短距离 例 1 如图 1 有一个圆柱,它的高等于 12cm,底面周长为 10cm，在圆柱的下底面 A 点上有一只蚂蚁，他想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点

3、处的食物，需要爬行的最短路程是多少?分析：可以把圆柱的侧面展开，其展开图为矩形，如图 3 所示。连接 AC，则 AC即为小虫爬行的最短路线，可用勾股定理求得其长。300 x2x3x450 x2xx图 1 图 2 半周长 解：若沿着曲面走，则：AB=12 10=5，BC=12，所以 AC=2 25 12 13 若走折线 A=D=C，则 AC+DC=12+10 12+1013 最短路程为 13cm。一般情况：走曲面 2 21()l r h，走折线22 l r h，只需比较这两者的大小即可。变式 1 如图 2，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为 2，AB、CD 分别是两底面的直径。若一只小虫从 A 点

4、出发，一直沿侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是_。（结果保留根式）2 2 变式 2 如下图所示，圆柱形玻璃容器高 18cm，底面周长为 60cm，在外侧距下底 1cm的点 S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 1cm 的点 F 处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度。解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点 S，F 各自所在的母线为矩形的一组对边，上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边。该矩形上的线段 SF 即为所求的最短路线。过点 S 作点 F 所在母线的垂线，得到SEF Rt。)(34)1 1 18(302 2cm SF。（2）蚂蚁沿着长方

5、体表面爬行，最短距离 例 2 如图，长方体的长为 15,宽为 10,高为 20,，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点 A爬到点1C，需要爬行的最短距离是多少？角边等于斜边的一半若勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方若则二直角三角形的判定有两个锐角互余的是直角三角形如果一个三角形中一条边上的中线等于这条边的一半那么这条边所对的角为勾股定理的逆定理如果三角形三 对的角为直角三常用几个结论直角三角形斜边上的高两直角边乘积除以斜边公式为常见的勾股数在求曲面上的最短距离时先把曲面展开成平面图形画出起点到终点的线段就是最短距离一般需要用到勾股定理蚂蚁沿着圆柱表面爬行最 的食物需要爬行的最短路程是多少图半周

6、长图分析可以把圆柱的侧面展开其展开图为矩形如图所示连接则即为小虫爬行的最短路线可用勾股定理求得其长解若沿着曲面走则所以若走折线则最短路程为一般情况走曲面走折线只需比较 ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1abcP1P2P3 分析：假设长方体的长宽高为 a b c、，则可能有三条路径：2 21 1 1=AP C()l a b c，2 22 2 1=AP C()l a b c 2 23 3 1=AP C()l a c b 然后比较三者大小。变式 1：如图，长方体的长为 15,宽为 10,高为 20,点 B 到点 C 的距离是 5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬

7、行的最短距离是多少？（课本 P29,12）ABC 变式 2：一只蚂蚁欲爬一棵 3 米高的树，树的直径为 1 米，若蚂蚁绕着树爬了三圈到达树顶，（1）求蚂蚁爬行的最短距离。（2）若爬 n 圈到达树顶呢？解析因树为圆柱形，蚂蚁在树的表面上爬行，所以本题应该先分析蚂蚁的爬行路线，将圆柱形展开，所以蚂蚁的爬行路线如图二所示：A C D B 且 AC=CD=BD，从图角边等于斜边的一半若勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方若则二直角三角形的判定有两个锐角互余的是直角三角形如果一个三角形中一条边上的中线等于这条边的一半那么这条边所对的角为勾股定理的逆定理如果三角形三 对的角为直角三常用几个结论直角三角形

8、斜边上的高两直角边乘积除以斜边公式为常见的勾股数在求曲面上的最短距离时先把曲面展开成平面图形画出起点到终点的线段就是最短距离一般需要用到勾股定理蚂蚁沿着圆柱表面爬行最 的食物需要爬行的最短路程是多少图半周长图分析可以把圆柱的侧面展开其展开图为矩形如图所示连接则即为小虫爬行的最短路线可用勾股定理求得其长解若沿着曲面走则所以若走折线则最短路程为一般情况走曲面走折线只需比较 中可以知道，AM 为圆柱的底面圆的周长，CM 的长为 1，AC=，所以蚂蚁行走的最短距离为 3。或者用下图（n 圈类推），AB=2 2 2 2 2(3)3 3 1 AC BC ABC 变式 4：一个台阶如图，阶梯每一层高 20c

9、m，宽 40cm，长 50cm，一只蚂蚁从 A 点爬到 B点，最短的路程是多少？解答：按照直棱柱的表面展开图知识，最短距离为 cm AB 130 40 20 40 20 5022 但 在 我 们 作 业 中 却 出 现 了 5 40 50 20 20 40 40 502 2 AB（cm）1.勾股定理复习学习路线图 一、温故知新 勾股定理：勾股定理的逆定理：二、示例 类型一 已知两边求第三边 例 1在直角三角形中,若两边长分别为 1cm，2cm，则第三边长为 _ 类型二 构造 Rt，求线段的长 例 2如图，将一个边长分别为 4、8 的长方形纸片 ABCD 折叠，使 C 点与 A 点重合，求EB

10、的长 CPABCDEABCDEFBA 例 3 如图，P 为边长为 2 的正方形 ABCD对角线 AC上一动点，E 为 AD 边中点，求 EP+DP最小值。5040402020BAcbaC BA角边等于斜边的一半若勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方若则二直角三角形的判定有两个锐角互余的是直角三角形如果一个三角形中一条边上的中线等于这条边的一半那么这条边所对的角为勾股定理的逆定理如果三角形三 对的角为直角三常用几个结论直角三角形斜边上的高两直角边乘积除以斜边公式为常见的勾股数在求曲面上的最短距离时先把曲面展开成平面图形画出起点到终点的线段就是最短距离一般需要用到勾股定理蚂蚁沿着圆柱表面爬行最

11、的食物需要爬行的最短路程是多少图半周长图分析可以把圆柱的侧面展开其展开图为矩形如图所示连接则即为小虫爬行的最短路线可用勾股定理求得其长解若沿着曲面走则所以若走折线则最短路程为一般情况走曲面走折线只需比较 例 4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为 20dm、3dm、2dm，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是 _dm.类型三 判别一个三角形是否是直角三角形 例 5、如图，正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且 CE=14BC你能说明 AFE 是直角吗？FEDC BA

12、 类型四 实际运用 例 6、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭。近日，A 城气象局测得沙尘暴中心在 A 城的正西方向 240km 的 B 处，以每时 12km 的速度向北偏东 60度方向移动（如图），距沙尘暴中心 150km 的范围为受影响区域。A 城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？若 A 城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？东 西北A B 类型五、拼图 例 6、在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则1 2 3 4S S S S _ 练习：1

13、、已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长是 _ 2、如图 4 为某楼梯,测得楼梯的长为 5 米,高 3 米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?5 米 3 米 3、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为 2.5，高为 12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6，问吸管要做多长？ABl321S4 S3S2S1角边等于斜边的一半若勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方若则二直角三角形的判定有两个锐角互余的是直角三角形如果一个三角形中一条边上的中线等于这条边的一半那么这条边所对的角为勾股定理的逆定理如果三角形三 对的角为直角三常用几个结论直角三角形斜边上的高两直角边乘积除以

14、斜边公式为常见的勾股数在求曲面上的最短距离时先把曲面展开成平面图形画出起点到终点的线段就是最短距离一般需要用到勾股定理蚂蚁沿着圆柱表面爬行最 的食物需要爬行的最短路程是多少图半周长图分析可以把圆柱的侧面展开其展开图为矩形如图所示连接则即为小虫爬行的最短路线可用勾股定理求得其长解若沿着曲面走则所以若走折线则最短路程为一般情况走曲面走折线只需比较 ABCDEF 9米 12米4、如图一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到 B 点，则最少要爬行 cm 5、在直角 ABC 中，斜边长为 2，周长为 2+6，求 ABC 的面积 6、如图，一根旗杆在离地面 9 米处断裂

15、，旗杆顶部落立离旗杆底部 12 米处，旗杆折断之前有多高？7、在下图中，BC 长为 3 厘米，AB 长为 4 厘米，AF 为 12 厘米，求正方形 CDEF 的面积。8、一架云梯长 25 米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了 4 米吗？9、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多 1 米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部 5 米，你能帮它计算一下旗杆的高度 10、点 A 是一个为半径 300m 的圆形森林公园的中

16、心，在森林公园附近有 B、C 两个村庄，在 BC 两个村庄之间修一条长 1000m 的笔直公路将两村连通，经测量得 ABC=45，ACB=30，问次公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。ABC DCBA 11、如图，在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，其中，BC=6，AD 4，AB 5，求证：AB AC。角边等于斜边的一半若勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方若则二直角三角形的判定有两个锐角互余的是直角三角形如果一个三角形中一条边上的中线等于这条边的一半那么这条边所对的角为勾股定理的逆定理如果三角形三 对的角为直角三常用几个结论直角三角形斜边上的高两直角边乘积除以斜边公式为常

17、见的勾股数在求曲面上的最短距离时先把曲面展开成平面图形画出起点到终点的线段就是最短距离一般需要用到勾股定理蚂蚁沿着圆柱表面爬行最 的食物需要爬行的最短路程是多少图半周长图分析可以把圆柱的侧面展开其展开图为矩形如图所示连接则即为小虫爬行的最短路线可用勾股定理求得其长解若沿着曲面走则所以若走折线则最短路程为一般情况走曲面走折线只需比较 12、如图，分别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用1S、2S、3S 表示，则不难证明1 2 3S S S.(1)如图，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用1S、2S、3S 表示，那么1S、2S、3S 之间有什么关

18、系？(不必证明)(2)如图，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用1S、2S、3S 表示，请你确定1S、2S、3S 之间的关系并加以证明；(3)若分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用1S、2S、3S 表示，请你猜想1S、2S、3S 之间的关系?.用勾股定理解题应注意的几个问题 一、注意分清直角边和斜边 1、在 Rt ABC中，a=8，b=10，90 B，求第三边长 c 二、注意定理的应用条件 2、已知 ABC中，三边长 a、b、c 为整数，其中 a=3，b=4，求第三边 c 的长 三、注意定理和逆定理的区别（语言的叙述）3、判断下列三条线

19、断能否构成直角三角形：a=3、b=4、c=5 四、注意分类讨论 4、在 RtABC V中，已知两边长为 3、4，（1）求第三边的长（2）求斜边上的高。5、已知在 ABC 中，AB=4，AC=3，BC 边上的高等于 2.4，求 ABC 的周长 6、已知在 Rt ABC 中，两直角边的长为 20 和 15，90 BAC，CD 为 斜 边 上 的高，求 BD 的长 练习 1 1、在 ABC 中，B=90，a、b、c 分别是 A、B、C 的对边，若 a=3，b=4，求 c 的长 角边等于斜边的一半若勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方若则二直角三角形的判定有两个锐角互余的是直角三角形如果一个三角形中

20、一条边上的中线等于这条边的一半那么这条边所对的角为勾股定理的逆定理如果三角形三 对的角为直角三常用几个结论直角三角形斜边上的高两直角边乘积除以斜边公式为常见的勾股数在求曲面上的最短距离时先把曲面展开成平面图形画出起点到终点的线段就是最短距离一般需要用到勾股定理蚂蚁沿着圆柱表面爬行最 的食物需要爬行的最短路程是多少图半周长图分析可以把圆柱的侧面展开其展开图为矩形如图所示连接则即为小虫爬行的最短路线可用勾股定理求得其长解若沿着曲面走则所以若走折线则最短路程为一般情况走曲面走折线只需比较 2、在 ABC 中，AB=5，AC=10，BC 边上的高 AD=4，求 BC 的长 3、一个三角形的三边的长分别

21、是32a，52b，2 c 问这个三角形是直角三角形吗？4、已知 ABC 的三边的长分别是 BC=41，AC=40，AB=9 试说明 ABC 是直角三角形 小华是这样解的：因为 BC=41，AC=40，AB=9，所以2 2 2BC AC AB，所以 C=90，所以 ABC 是直角三角形 小华的解题是否有错误，如果有错，错误的原因是什么？5、下列长度的各组线段构成勾股数的是（）0.07,0.24,0.25 6,8,10 7,8,10 3 4 15 5，小丽选择了,.她的选择正确吗?为什么?角边等于斜边的一半若勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方若则二直角三角形的判定有两个锐角互余的是直角三角形如果一个三角形中一条边上的中线等于这条边的一半那么这条边所对的角为勾股定理的逆定理如果三角形三 对的角为直角三常用几个结论直角三角形斜边上的高两直角边乘积除以斜边公式为常见的勾股数在求曲面上的最短距离时先把曲面展开成平面图形画出起点到终点的线段就是最短距离一般需要用到勾股定理蚂蚁沿着圆柱表面爬行最 的食物需要爬行的最短路程是多少图半周长图分析可以把圆柱的侧面展开其展开图为矩形如图所示连接则即为小虫爬行的最短路线可用勾股定理求得其长解若沿着曲面走则所以若走折线则最短路程为一般情况走曲面走折线只需比较