立体几何知识点和例题(含有答案)_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载【考点梳理】一、考试内容 1.平面。平面的基本性质。平面图形直观图的画法。2.两条直线的位置关系。平行于同一条直线的两条直线互相平行。对应边分别平行的角。异面直线所成的角。两条异面直线互相垂直的概念。异面直线的公垂线及距离。3.直线和平面的位置关系。直线和平面平行的判定与性质。直线和平面垂直的判定与性质。点到平面的距离。斜线在平面上的射影。直线和平面所成的角。三垂线定理及其逆定理。4.两个平面的位置关系。平面平行的判定与性质。平行平面间的距离。二面角及其平面角。两个平面垂直的判定与性质。二、考试要求 1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别

2、是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。三、考点简析 1.空间元素的位置关系 2.平行、垂直位置关系的转化 学习必备 欢迎下载 3.空

3、间元素间的数量关系（1）角 相交直线所成的角；异面直线所成的角转化为相交直线所成的角；直线与平面所成的角斜线与斜线在平面内射影所成的角；二面角用二面角的平面角来度量。（2）距离 两点之间的距离连接两点的线段长；点线距离点到垂足的距离；点面距离点到垂足的距离；平行线间的距离平行线上一点到另一直线的距离；异面直线间的距离公垂线在两条异面直线间的线段长；线面距离平行线上一点到平面的距离；面面距离平面上一点到另一平面的距离；球面上两点距离球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。四、思想方法 1.用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。2.注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问

4、题平面化。3.注意下面的转化关系：4.在直接证明有困难时，可考虑间接证法，如同一法和反证法。5.求角与距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下：（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。（3）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的两条直线互相平行对应边分别平行的角异面直线所成的角两条异面直线互相垂直的概念异面直线的公垂线及距离直线和平面的位置关系直线和

5、平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质二考试要求掌握平面的基本性质空间两条直线直线与平面平面与平面的位置关系特别是平行和垂直关系以及它们所成的角与距离的概念对于异面直线的距离只要求会计算已给出公垂决有关问题对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆会用斜二测画法画水平放置的平面图形特别是正三角形正四边形正五边形正六边形的直观图能够画出空间两条直线两个平面直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图形想它学习必备 欢迎下载 一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角，构造一个含的三角形

6、，解三角形即可。方法二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角。（4）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。（5）求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：根据定义作二面角的平面角；垂面法作二面角的平面角；利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先作出棱后同上进行。间接法主要是投影法：即在一个

7、平面上的图形面积为 S，它在另一个平面上的投影面积为 S，这两个平面的夹角为，则 S=Scos。求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。如求二面角，只有根据推理过程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。【例题解析】例 1 如图 7-1，已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N 分别为 A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL 的中点。（1）求证：EFGF；（2）求证：MN平面 EFGH；（3）若 AB=2，求 MN 到平面 EF

8、GH 的距离。解 （1）如图 7-2，作 GQB1C1于 Q，连接 FQ，则 GQ平面 A1B1C1D1，且 Q 为 B1C1的中点。在正方形 A1B1C1D1中，由 E、F、Q 分别为 A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明 EFFQ，由三垂线定理得 EFGF。（2）连 DG 和 EG。N 为 CL 的中点，由正方形的对称性，N 也为 DG 的中点。在DEG 中，由三角形中位线性质得 MNEG，又 EG平面 EFGH，MN平面 EFGH，MN平面 EFGH。（3）图 7-3为图 7-2的顶视图。连 NH 和 NE。设 N 到平面 EFGH 的距离为 h，VENGH=VNHEG 一条直线的两

9、条直线互相平行对应边分别平行的角异面直线所成的角两条异面直线互相垂直的概念异面直线的公垂线及距离直线和平面的位置关系直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质二考试要求掌握平面的基本性质空间两条直线直线与平面平面与平面的位置关系特别是平行和垂直关系以及它们所成的角与距离的概念对于异面直线的距离只要求会计算已给出公垂决有关问题对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆会用斜二测画法画水平放置的平面图形特别是正三角形正四边形正五边形正六边形的直观图能够画出空间两条直线两个平面直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图形想它学习必

10、备 欢迎下载 31AA1SNHG=31hSHEG 21622=h21EHHG 又EH=222121=6,HG=2 21=h2162 h=63 例 2 如图 7-4，已知ABC 中，ACB=90，CDAB，且 AD=1，BD=2，ACD 绕 CD 旋转至 ACD，使点 A与点 B 之间的距离 AB=3。（1）求证：BA平面 ACD；（2）求二面角 ACDB 的大小；（3）求异面直线 AC 与 BD 所成的角的余弦值。解 （1）CDAB，CDAD，CDDB，CD平面 ABD，CDBA。又在ADB 中，AD=1，DB=2，AB=3，BAD=90，即 BAAD，BA平面 ACD。（2）CDDB，CDA

11、D，BDA是二面角 ACDB 的平面角。又 RtABD 中，AD=1，BD=2，ADB=60，一条直线的两条直线互相平行对应边分别平行的角异面直线所成的角两条异面直线互相垂直的概念异面直线的公垂线及距离直线和平面的位置关系直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质二考试要求掌握平面的基本性质空间两条直线直线与平面平面与平面的位置关系特别是平行和垂直关系以及它们所成的角与距离的概念对于异面直线的距离只要求会计算已给出公垂决有关问题对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆会用斜二测画法画水平放置的平面图形特别是正三角形正四边

12、形正五边形正六边形的直观图能够画出空间两条直线两个平面直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图形想它学习必备 欢迎下载 即 二面角 ACDB 为 60。（3）过 A作 AEBD，在平面 ABD 中作 DEAE 于 E，连 CE，则CAE 为 AC 与 BD 所成角。CD平面 ABD，DEAE，AECE。EAAB，ADB=60，DAE=60，又 AD=1，DEA=90，AE=21 又在 RtACB 中，AC=ABAD=3 AC=AC=3 RtCEA中，cosCAE=CAEA=321=63,即异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为63。例 3 已知三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PA=

13、3，AC=4，PB=PC=BC。（1）求三棱锥 PABC 的体积 V；（2）作出点 A 到平面 PBC 的垂线段 AE，并求 AE 的长；（3）求二面角 APCB 的大小。解 （1）PA平面 ABC，PB=PC，由射影定理得，AB=AC=4。PA平面 ABC，PAAC。在 RtPAC 中，可求出 PC=5。则 PB=BC=5。取 BC 中点 D，连 AD。在等腰ABC 中，求出底边上的高 AD=239。V=312152393=4395。（2）连 PD，则 PDBC，又 ADBC，BC平面 PAD。一条直线的两条直线互相平行对应边分别平行的角异面直线所成的角两条异面直线互相垂直的概念异面直线的公

14、垂线及距离直线和平面的位置关系直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质二考试要求掌握平面的基本性质空间两条直线直线与平面平面与平面的位置关系特别是平行和垂直关系以及它们所成的角与距离的概念对于异面直线的距离只要求会计算已给出公垂决有关问题对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆会用斜二测画法画水平放置的平面图形特别是正三角形正四边形正五边形正六边形的直观图能够画出空间两条直线两个平面直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图形想它学习必备 欢迎下载 又 BC平面 PBC，平面 PAD平面 PBC。作 AEPD 于 E，则

15、 AE平面 PBC，AE 为点 A 到平面 PBC 的垂线段。在 RtPAD 中，由 PAAD=AEPD，23522PDPAPD 得 3239=AE235，求出 AE=5133。（3）作 AFPC 于 F，连 EF，由三垂线定理逆定理，得 EFPC，AFE 为二面角 APCB 的平面角。在 RtPAC 中，由 PAAC=PCAF，即 34=5AF，求出 AF=512，sinAFE=AFAE=5133125=413，则AFE=arcsin413。例 4 如图 7-7，已知三棱柱 A1B1C1ABC 的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱 A1A 与 AB，AC 均成 45角，且 A1EB1B 于

16、E，A1FCC1于 F。（1）求证：平面 A1EF平面 B1BCC1；（2）求点 A 到平面 B1BCC1的距离；（3）当 AA1多长时，点 A1到平面 ABC 与平面 B1BCC1的距离相等？解 （1）已知 A1EB1B 于 E，A1FC1C 于 F，且B1BC1C，B1BA1F。又 A1EA1F=A1，B1B平面 A1EF。平面 A1EF平面 B1BCC1。（2）因为A1B1B=A1AB=A1AC=A1C1C=45，A1B1=A1C1，A1EB1=A1FC1=90，A1B1=2，RtA1B1ERtA1C1F，A1E=A1F=2，B1EC1F，EF=B1C1=2，A1E2+A1F2=EF2，

17、一条直线的两条直线互相平行对应边分别平行的角异面直线所成的角两条异面直线互相垂直的概念异面直线的公垂线及距离直线和平面的位置关系直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质二考试要求掌握平面的基本性质空间两条直线直线与平面平面与平面的位置关系特别是平行和垂直关系以及它们所成的角与距离的概念对于异面直线的距离只要求会计算已给出公垂决有关问题对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆会用斜二测画法画水平放置的平面图形特别是正三角形正四边形正五边形正六边形的直观图能够画出空间两条直线两个平面直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图

18、形想它学习必备 欢迎下载 A1EF 为等腰直角三角形，取 EF 的中点 N，连 A1N，则 A1NEF，A1N平面 B1BCC1，A1N 为点 A1到平面 B1BCC1的距离。又有 A1N=21EF=1，所以点 A1到平面 B1BCC1的距离为 1。（3）如图 7-8，设 BC、B1C1的中点分别为 D、D1，连 AD，DD1和 A1D1，则 NDD1。DD1BB1AA1，A，A1，D，D1四点共面，ADA1D1，A1ADD1为平行四边形。B1C1A1D1，A1N平面 BCC1B1，B1C1D1D，又 B1C1A1N，B1C1平面 ADD1A1，BC平面 ADD1A1，平面 A1ADD1平面

19、ABC。作 A1M平面 ABC 于 M，则点 M 在 AD 上。若 A1M=A1N，又A1AD=A1D1D，A1MA=A1ND1=90,则有 RtA1MARtA1ND1，于是 A1A=A1D1=3。即当 A1A=3时，点 A1到平面 ABC 和平面 B1BCC1的距离相等。例 5 如图 7-9，已知：PD平面 ABCD，ADDC，ADBC，PDDCBC=112。（1）求 PB 与平面 PDC 所成角的大小；（2）求二面角 DPBC 的正切值；（3）若 AD=21BC，求证平面 PAB平面 PBC。一条直线的两条直线互相平行对应边分别平行的角异面直线所成的角两条异面直线互相垂直的概念异面直线的公

20、垂线及距离直线和平面的位置关系直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质二考试要求掌握平面的基本性质空间两条直线直线与平面平面与平面的位置关系特别是平行和垂直关系以及它们所成的角与距离的概念对于异面直线的距离只要求会计算已给出公垂决有关问题对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆会用斜二测画法画水平放置的平面图形特别是正三角形正四边形正五边形正六边形的直观图能够画出空间两条直线两个平面直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图形想它学习必备 欢迎下载 解 （1）由 PD平面 ABCD，BC平面 ABCD，得 PDBC。由

21、ADDC，ADBC，得 BCDC。又 PDDC=D，则 BC平面 PDC。所以BPC 为直线 PB 与平面 PDC 所成的角。令 PD=1，则 DC=1，BC=2，可求出 PC=2。由 BC平面 PDC，PC平面 PDC，得 BCPC。在 RtPBC 中，由 PC=BC 得BPC=45，即直线 PB 与平面 PDC 所成的角为 45。（2）法一：如图 7-10，取 PC 中点 E，连 DE，则 DEPC。由 BC平面 PDC，BC平面 PBC，得平面 PDC平面 PBC。则 DE平面 PBC。作 EFPB 于 F，连 DF，由三垂线定理，得 DFPB。则DFE 为二面角 DPBC 的平面角。在

22、 RtPDC 中，求得 DE=22。在 RtPFE 中，求得 EF=21。在 RtDEF 中，tanDFE=EFDE=2。即二面角 DPBC 的正切值为2。一条直线的两条直线互相平行对应边分别平行的角异面直线所成的角两条异面直线互相垂直的概念异面直线的公垂线及距离直线和平面的位置关系直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质二考试要求掌握平面的基本性质空间两条直线直线与平面平面与平面的位置关系特别是平行和垂直关系以及它们所成的角与距离的概念对于异面直线的距离只要求会计算已给出公垂决有关问题对于异面直线上两点的距离公式不

23、要求记忆会用斜二测画法画水平放置的平面图形特别是正三角形正四边形正五边形正六边形的直观图能够画出空间两条直线两个平面直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图形想它学习必备 欢迎下载 法二：由 PD平面 ABCD，PD平面 PDB，得平面 PDB平面 ABCD。如图 7-11，作 CHBD 于 H，则 CH平面 PDB。作 HFPB 于 F，连 CF，由三垂线定理得 CFPB。则CFH 为二面角 DPBC 的平面角。在等腰 RtPBC 中，求出斜边上的中线 CF=1。在 RtDBC 中，求出 DB=21=3，可进一步求出斜边上的高 CH=32。在 RtFHC 中，求出 HF=31，tanHFC=

24、HFHC=2，即二面角 DPBC 的正切值是2。（3）如图 7-12，取 PB 中点 G，连 AG 和 EG。由三角形中位线定理得 GEBC，GE=21BC。由已知，ADBC，AD=21BC。AD=GE，ADGE。则四边形 AGED 为平行四边形，AGDE。一条直线的两条直线互相平行对应边分别平行的角异面直线所成的角两条异面直线互相垂直的概念异面直线的公垂线及距离直线和平面的位置关系直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质二考试要求掌握平面的基本性质空间两条直线直线与平面平面与平面的位置关系特别是平行和垂直关系以及它

25、们所成的角与距离的概念对于异面直线的距离只要求会计算已给出公垂决有关问题对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆会用斜二测画法画水平放置的平面图形特别是正三角形正四边形正五边形正六边形的直观图能够画出空间两条直线两个平面直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图形想它学习必备 欢迎下载 由（2）的解法（一），已证出 DE平面 PBC，AG平面 PBC。又 AG平面 PAB，平面 PAB平面 PBC。例 6 如图 7-13，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，PA=AD=a，M，N 分别是 AB，PC 的中点，（1）求平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的大小；（2）求证：MN平面

26、PCD；（3）当 AB 的长度变化时，求异面直线 PC 与 AD 所成角的可能范围。解 （1）PA平面 ABCD，CDAD，PDCD。故PDA 是平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角。在 RtPAD 中，PAAD，PA=AD，PDA=45。（2）如图 7-14，取 PD 中点 E，连结 AE，EN，又 M，N 分别是 AB，PC 的中点，EN21CD21AB AMNE 是平行四边形 MNAE。在等腰 RtPAD 中，AE 是斜边的中线。AEPD。又 CDAD，CDPD CD平面 PAD，CDAE，又 PDCD=D，AE平面 PCD。MN平面 PCD。（3）ADBC，所以PCB 为

27、异面直线 PC，AD 所成的角。由三垂线定理知 PBBC，设 AB=x(x0)。tanPCB=axa22=2)(1ax。又ax（0，），tanPCB（1，+）。一条直线的两条直线互相平行对应边分别平行的角异面直线所成的角两条异面直线互相垂直的概念异面直线的公垂线及距离直线和平面的位置关系直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质二考试要求掌握平面的基本性质空间两条直线直线与平面平面与平面的位置关系特别是平行和垂直关系以及它们所成的角与距离的概念对于异面直线的距离只要求会计算已给出公垂决有关问题对于异面直线上两点的距离公

28、式不要求记忆会用斜二测画法画水平放置的平面图形特别是正三角形正四边形正五边形正六边形的直观图能够画出空间两条直线两个平面直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图形想它学习必备 欢迎下载 又PCB 为锐角，PCB（4，2），即异面直线 PC，AD 所成的角的范围为（4，2）。例 7 如图 7-15，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，各棱长都等于 a,D、E 分别是 AC1、BB1的中点，（1）求证：DE 是异面直线 AC1与 BB1的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角 EAC1C 的大小；（3）求点 C1到平面 AEC 的距离。解 （1）过 D 在面 AC1内作 FGA1C1分别交 AA1、C

29、C1于 F、G，则面 EFG面 ABC面 A1B1C1，EFG 为正三角形，D 为 FG 的中点，EDFG。连 AE，EC1 D、E 分别为11BB、AC的中点，1ECAE 1ACDE。又面 EFGBB1，EDBB1，故 DE 为 AC1和 BB1的公垂线，计算得 DE=23a。（2）AC=CC1，D 为 AC1的中点，CDAC1，又由（1）可知，EDAC1，CDE 为二面角 EAC1C 的平面角，计算得CDE=90。或由（1）可得 DE平面 AC1，平面 AEC1平面 AC1，二面角 EAC1C 为 90。（3）用体积法得点 C1到平面 ACE 的距离为23a。例 8 如图 7-16，已知斜

30、三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都是 2，侧棱与底面成 60的角，且侧面ABB1A1底面 ABC，（1）求证：B1CC1A；（2）求二面角 C1ABC 的大小；（3）求三棱锥 B1ABC1的体积。一条直线的两条直线互相平行对应边分别平行的角异面直线所成的角两条异面直线互相垂直的概念异面直线的公垂线及距离直线和平面的位置关系直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质二考试要求掌握平面的基本性质空间两条直线直线与平面平面与平面的位置关系特别是平行和垂直关系以及它们所成的角与距离的概念对于异面直线的距离只要求会计算

31、已给出公垂决有关问题对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆会用斜二测画法画水平放置的平面图形特别是正三角形正四边形正五边形正六边形的直观图能够画出空间两条直线两个平面直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图形想它学习必备 欢迎下载 解 （1）作 B1DAB 于 D，侧面 ABB1A1底面 ABC，又 B1D面 ABB1A1，B1D底面 ABC。B1BA=60。故ABB1是正角形。D 是 AB 的中点。连 CD，又ABC 是正三角形，CDAB。又 CD 是 B1C 在平面 ABC 上的射影，B1CAB。又BB1C1C 是菱形，B1CBC1。又ABBC1=B，B1C面 ABC1。又AC1面 ABC

32、1，B1CC1A。（2）2ACC1A1是菱形，C1AA1C。又B1CA1C=C，且由（1）知CBAC11，C1A面 A1B1C。C1AA1B1。又 ABA1B1。C1AAB。连 DE，则 DEC1A，DEAB。又 CDAB，CDE 是二面角 C1ABC 的平面角。在CDB1中，CD=B1D=3，CDB1是直角，且 DE 平分CDB1，CDE=45。（3）由（1）已证 B1C面 ABC1，B1E 是三棱锥 B1ABC1的高，且 B1E=21CB=26，又DE=B1E=26，SABC1=21ABAC1=ABDE=226=6，V11ABCB 锥=31SABC1B1E=31626=1。例 9 如图 7

33、-17，已知 A1B1C1ABC 是正三棱柱，D 是 AC 的中点。（1）证明 AB1DBC1；（2）假设 AB1BC1，BC=2。求线段 AB1在侧面 B1BCC1上的射影长。一条直线的两条直线互相平行对应边分别平行的角异面直线所成的角两条异面直线互相垂直的概念异面直线的公垂线及距离直线和平面的位置关系直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质二考试要求掌握平面的基本性质空间两条直线直线与平面平面与平面的位置关系特别是平行和垂直关系以及它们所成的角与距离的概念对于异面直线的距离只要求会计算已给出公垂决有关问题对于异面

34、直线上两点的距离公式不要求记忆会用斜二测画法画水平放置的平面图形特别是正三角形正四边形正五边形正六边形的直观图能够画出空间两条直线两个平面直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图形想它学习必备 欢迎下载 解 （1）如图 7-18，A1B1C1ABC 是正三棱柱，四边形 B1BCC1是矩形。连结 B1C，交 BC1于 E，则 BE=EC。连结 DE。在AB1C 中，AD=DC，DEAB1，又 AB1平面 DBC1，DE平面 DBC1，AB1平面 DBC1。（2）作 AFBC，垂足为 F。因为面 ABC面 B1BCC1，AF平面 B1BCC1。连结 B1F，则 B1F 是 AB1在平面 B1BCC

35、1内的射影。BC1AB1，BC1B1F。四边形 B1BCC1是矩形，B1BF=BCC1=90，又FB1B=C1BC，B1BFBCC1，则BCBB1=1CCBF=BBBF1。又 F 为正三角形 ABC 的 BC 边中点，因而 B1B2=BFBC=1 2=2。于是B1F2=B1B2+BF2=3，B1F=3，即线段 AB1在平面 B1BCC1内的射影长为3。例 10 如图 7-19（a），已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，且C1CB=BCD=60。（1）证明：C1CBD；（2）假定 CD=2，C1C=23，记面 C1BD 为，面 CBD 为，求二面角BD的平面角的余

36、弦值；（3）当1CCCD的值为多少时，能使 A1C平面 C1BD？请给出证明。（2000 年全国高考题）。解 如图 7-19(b),(1)连结 A1C1、AC，设 AC 和 BD 交于 O，连 C1O。四边形 ABCD 是菱形，ACBD，BC=CD。又BCC1=DCC1，C1C=C1C，C1BCC1DC，C1B=C1D，DO=OB，C1OBD，又ACBD，ACC1O=O，BD平面 AC1，又 C1C平面 AC1，C1CBD。一条直线的两条直线互相平行对应边分别平行的角异面直线所成的角两条异面直线互相垂直的概念异面直线的公垂线及距离直线和平面的位置关系直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判

37、定与性质点到平面的距离斜线在平距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质二考试要求掌握平面的基本性质空间两条直线直线与平面平面与平面的位置关系特别是平行和垂直关系以及它们所成的角与距离的概念对于异面直线的距离只要求会计算已给出公垂决有关问题对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆会用斜二测画法画水平放置的平面图形特别是正三角形正四边形正五边形正六边形的直观图能够画出空间两条直线两个平面直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图形想它学习必备 欢迎下载（2）由（1）知 ACBD，C1OBD，C1OC 是二面角BD的平面角。在C1BC 中，BC=2，C1C=23，BCC1=60，C1B2=22+（2

38、3）2 2223cos60=413。OCB=30，OB=21BC=1，C1O2=C1B2-OB2=413-1=49，C1O=23，即 C1O=C1C。作 C1HOC，垂足为 H，则点 H 是 OC 的中点，且 OH=23，所以 cosC1OC=OCOH1=33。（3）当1CCCD=1 时，能使 A1C平面 C1BD。证明一：1CCCD=1，BC=CD=C1C，又BCD=C1CB=C1CD，由此可推得 BD=C1B=C1D。三棱锥CC1BD 是正三棱锥。设A1C 与C1O 相交于G。A1C1AC，且A1C1OC=21，C1GGO=21。又 C1O 是正三角形 C1BD 的 BD 边上的高和中线，

39、点 G 是正三角形 C1BD 的中心，CG平面 C1BD，即A1C平面 C1BD。证明二：由（1）知，BD平面 AC1，又 A1C平面 A1C1，BDA1C。当1CCCD=1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同 BDA1C 的证法可得 BC1A1C。又 BDBC1=B，A1C平面 C1BD。一条直线的两条直线互相平行对应边分别平行的角异面直线所成的角两条异面直线互相垂直的概念异面直线的公垂线及距离直线和平面的位置关系直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质二考试要求掌握平面的基本性质空间两条直线直线与平面平面与平面的位置关系特别是平行和垂直关系以及它们所成的角与距离的概念对于异面直线的距离只要求会计算已给出公垂决有关问题对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆会用斜二测画法画水平放置的平面图形特别是正三角形正四边形正五边形正六边形的直观图能够画出空间两条直线两个平面直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图形想它