MATLAB多元函数导数求极值或最优值_中学教育-高考.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 实验六 多元函数的极值【实验目的】1 多元函数偏导数的求法。2 多元函数自由极值的求法 3 多元函数条件极值的求法.4 学习掌握 MATLAB 软件有关的命令。【实验内容】求函数32824yxyxz的极值点和极值【实验准备】1计算多元函数的自由极值 对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:步骤 1.定义多元函数),(yxfz 步骤 2.求解正规方程0),(,0),(yxfyxfyx,得到驻点 步骤 3.对于每一个驻点),(00yx,求出二阶偏导数,22222yzCyxzBxzA 步骤 4.对于每一个驻点),(00yx,计算判别式2B

2、AC,如果02 BAC,则该驻点是极值点,当0A为极小值,0A为极大值;,如果02 BAC,判别法失效,需进一步判断;如果02 BAC,则该驻点不是极值点.2计算二元函数在区域 D 内的最大值和最小值 设函数),(yxfz 在有界区域D上连续，则),(yxf在D上必定有最大值和最小值。求),(yxf在D上的最大值和最小值的一般步骤为：步骤 1.计算),(yxf在D内所有驻点处的函数值；步骤 2.计算),(yxf在D的各个边界线上的最大值和最小值；步骤 3.将上述各函数值进行比较，最终确定出在D内的最大值和最小值。3函数求偏导数的 MATLAB命令 精品资料 欢迎下载 MATLAB 中主要用 d

3、iff 求函数的偏导数,用 jacobian 求 Jacobian 矩阵。diff(f,x,n)求函数 f 关于自变量 x 的 n 阶导数。jacobian(f,x)求向量函数 f 关于自变量 x(x 也为向量)的 jacobian 矩阵。可以用 help diff,help jacobian 查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习 1 求函数32824yxyxz的极值点和极值.首先用 diff 命令求 z 关于 x,y的偏导数 clear;syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;diff(z,x)diff(z,y)结果为 ans=4*x3-8*y ans=-8*x+4

4、*y 即.48,843yxyzyxxz再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve 命令，当方程组不存在符号解时，solve 将给出数值解。求解正规方程的MATLAB代码为：clear;x,y=solve(4*x3-8*y=0,-8*x+4*y=0,x,y)结果有三个驻点，分别是 P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：clear;syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;A=diff(z,x,2)B=diff(diff(z,x),y)C=diff(z,y,2)结果为 A=2*x2 B=-8 C=4 由判别法可知)2,4(P和

5、)2,4(Q都是函数的极小值点，而点 Q(0,0)不是极值点，实际上，)2,4(P和)2,4(Q是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。clear;x=-5:0.2:5;y=-5:0.2:5;X,Y=meshgrid(x,y);极值的求法学习掌握软件有关的命令实验内容求函数的极值点和极值实验准备计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题根据多元函数极值的必要和充分条件可分为以下几个步骤步骤定义多元函数步骤求解正规方程得到大值如果判别法失效需进一步判断如果则该驻点不是极值点计算二元函数在区域内的最大值和最小值设函数在有界区域上连续则在上必定有最大值和最小值求在上的

6、最大值和最小值的一般步骤为步骤计算在内所有驻点处的函数值步偏导数的命令精品资料欢迎下载中主要用求函数的偏导数用求矩阵求函数关于自变量的阶导数求向量函数关于自变量也为向量的矩阵可以用查阅有关这些命令的详细信息实验方法与步骤练习求函数的偏导数的极值点和极值首先用命精品资料 欢迎下载 Z=X.4-8*X.*Y+2*Y.2-3;mesh(X,Y,Z)xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z)结果如图6.1 图 6.1 函数曲面图 可在图 6.1 种不容易观测极值点与鞍点,这是因为 z 的取值范围为-500,100,是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测

7、极值.contour(X,Y,Z,600)xlabel(x),ylabel(y)结果如图6.2 图 6.2 等值线图 由图6.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点)2,4(P和)2,4(Q.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点)0,0(Q周围没有等高线环绕,不极值的求法学习掌握软件有关的命令实验内容求函数的极值点和极值实验准备计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题根据多元函数极值的必要和充分条件可分为以下几个步骤步骤定义多元函数步骤求解正规方程得到大值如果判别法失效

8、需进一步判断如果则该驻点不是极值点计算二元函数在区域内的最大值和最小值设函数在有界区域上连续则在上必定有最大值和最小值求在上的最大值和最小值的一般步骤为步骤计算在内所有驻点处的函数值步偏导数的命令精品资料欢迎下载中主要用求函数的偏导数用求矩阵求函数关于自变量的阶导数求向量函数关于自变量也为向量的矩阵可以用查阅有关这些命令的详细信息实验方法与步骤练习求函数的偏导数的极值点和极值首先用命精品资料 欢迎下载 是极值点,是鞍点.练习 求函数xyz 在条件1yx下的极值.构造 Lagrange 函数)1(),(yxxyyxL 求 Lagrange 函数的自由极值.先求L关于,yx的一阶偏导数 clear

9、;syms x y k l=x*y+k*(x+y-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,k)得,1,yxLxyLyxL再解正规方程 clear;syms x y k x,y,k=solve(y+k=0,x+k=0,x+y-1=0,x,y,k)得,21,21,21yx进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.练习 3 抛物面22yxz被平面1zyx截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.这个问题实际上就是求函数 222),(zyxzyxf 在条件22yxz及1zyx下的最大值和最小值问题.构造 Lagrange 函数)1()(),(22222zyxzyxzyx

10、zyxL 求 Lagrange 函数的自由极值.先求L关于,zyx的一阶偏导数 clear;syms x y z u v l=x2+y2+z2+u*(x2+y2-z)+v*(x+y+z-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,z)diff(l,u)diff(l,v)得 zzLyyyLxxxL2,22,22 极值的求法学习掌握软件有关的命令实验内容求函数的极值点和极值实验准备计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题根据多元函数极值的必要和充分条件可分为以下几个步骤步骤定义多元函数步骤求解正规方程得到大值如果判别法失效需进一步判断如果则该驻点不是极值点计算二元函数在区域内的

11、最大值和最小值设函数在有界区域上连续则在上必定有最大值和最小值求在上的最大值和最小值的一般步骤为步骤计算在内所有驻点处的函数值步偏导数的命令精品资料欢迎下载中主要用求函数的偏导数用求矩阵求函数关于自变量的阶导数求向量函数关于自变量也为向量的矩阵可以用查阅有关这些命令的详细信息实验方法与步骤练习求函数的偏导数的极值点和极值首先用命精品资料 欢迎下载 1,22zyxLzyxL 再解正规方程 clear;x,y,z,u,v=solve(2*x+2*x*u+v=0,2*y+2*y*u+v=0,2*z-u+v=0,x2+y2-z=0,x+y+z-1=0,x,y,z,u,v)得.32,231,33117,

12、3353zyx 上面就是 Lagrange 函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数f在有界闭集 1,:),(22zyxzyxzyx，上连续，从而存在最大值与最小值），故由 359.)32,231,231(f 求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为359，最短距离为359。练习 4 求函数72422yxyxz在上半圆0,1622yyx上的最大值和最小值。首先画出等高线进行观测，相应的 MATLAB 程序代码为：clear;x=-4:0.1:4;y=-4:0.1:4;X,Y=meshgrid(x,y);Z=X.2+Y.2-4*X-2*Y+7;c

13、ontour(X,Y,Z,100)xlabel(x),ylabel(y)结果如图 6.3 -4-2024-4-2024xy 图 6.3 等值线 极值的求法学习掌握软件有关的命令实验内容求函数的极值点和极值实验准备计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题根据多元函数极值的必要和充分条件可分为以下几个步骤步骤定义多元函数步骤求解正规方程得到大值如果判别法失效需进一步判断如果则该驻点不是极值点计算二元函数在区域内的最大值和最小值设函数在有界区域上连续则在上必定有最大值和最小值求在上的最大值和最小值的一般步骤为步骤计算在内所有驻点处的函数值步偏导数的命令精品资料欢迎下载中主要用求函数的偏导数用

14、求矩阵求函数关于自变量的阶导数求向量函数关于自变量也为向量的矩阵可以用查阅有关这些命令的详细信息实验方法与步骤练习求函数的偏导数的极值点和极值首先用命精品资料 欢迎下载 观测图 6.3 可看出，在区域D内部有唯一的驻点，大约位于)1,2(在该点处汉书趣的最小值。在圆弧与直线的交点处取得最大值，大约位于)2,4(。下面通过计算加以验证。求函数在区域D内的驻点，计算相应的函数值。求 z 关于 x,y 的偏导数 clear;syms x y;z=x2+y2-4*x-2*y+7;diff(z,x)diff(z,y)结果得,22,42yyzxxz解正规方程 clear;x,y=solve(2*x-4=0

15、,2*y-2=0,x,y)得驻点为(2,1),相应的函数值为2。求函数在直线边界44,0 xy上的最大值和最小值。将0y代入原函数，则二元函数变为一元函数.44,742xxxz 首先观测此函数图形，相应的 MATLAB 程序代码为：x=-4:0.01:4;y=x.2-4*x+7;plot(x,y);xlabel(x),ylabel(z)结果如图6.4所示-4-3-2-1012340510152025303540 xz 图 6.4 函数图 由图 6.4 可看出，当4x时函数取得最大值，2x时函数取得最小值。下面用计算验证。对函数求导 clear;syms x;z=x2-4*x+7;diff(z,

16、x)得42 xdxdz，可知驻点为2x，而边界点为4x，计算着三个点上的函数值可得当4x时函数取得最大值39，2x时函数取得最小值3。求函数在圆弧边界线上0,1622yyx的最大值和最小值。此边界线可用参数方程 ttytx0,sin4,cos4 极值的求法学习掌握软件有关的命令实验内容求函数的极值点和极值实验准备计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题根据多元函数极值的必要和充分条件可分为以下几个步骤步骤定义多元函数步骤求解正规方程得到大值如果判别法失效需进一步判断如果则该驻点不是极值点计算二元函数在区域内的最大值和最小值设函数在有界区域上连续则在上必定有最大值和最小值求在上的最大值和

17、最小值的一般步骤为步骤计算在内所有驻点处的函数值步偏导数的命令精品资料欢迎下载中主要用求函数的偏导数用求矩阵求函数关于自变量的阶导数求向量函数关于自变量也为向量的矩阵可以用查阅有关这些命令的详细信息实验方法与步骤练习求函数的偏导数的极值点和极值首先用命精品资料 欢迎下载 表示。则二元函数变为一元函数 23sin8cos16ttz 首先观测此函数图形，相应的 MATLAB 程序代码为：t=0:0.01*pi:pi;z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23;plot(t,z);xlabel(t),ylabel(z)结果如图6.5所示 00.511.522.533.5510152025303

18、540tz 图 6.5 函数图 由图 6.5 可看出，当5.0t时函数取得最小值，x时函数取得最大值。下面用计算验证。对函数求导 clear;syms t;z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23;diff(z,t)得ttdtdzcos8sin18,解正规方程 clear;t=solve(16*sin(t)-8*cos(t)=0,t)numeric(t)%求出t 的数值 得4636,021arctant，边界点为,0t，计算着三个点上的函数值可得当4636.0t时函数取得最小值0.5111，)0,4(,yxt时函数取得最小值39。综上所述，在点(2,1)处函数取得最小值2，在点(-4,

19、0)处函数取得最大值39。【练习与思考】1.求1444xyyxz的极值，并对图形进行观测。2.求函数 222,yxyxf在圆周122yx的最大值和最小值。3.在球面1222zyx求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。4.求函数zyxzyxf32),(在平面1zyx与柱面122yx的交线上的最大值。5.求函数22yxz在三条直线1,1,1yxyx所围区域上的最大值和最小值。极值的求法学习掌握软件有关的命令实验内容求函数的极值点和极值实验准备计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题根据多元函数极值的必要和充分条件可分为以下几个步骤步骤定义多元函数步骤求解正规方程得到大值如果判别法失效需进一步判断如果则该驻点不是极值点计算二元函数在区域内的最大值和最小值设函数在有界区域上连续则在上必定有最大值和最小值求在上的最大值和最小值的一般步骤为步骤计算在内所有驻点处的函数值步偏导数的命令精品资料欢迎下载中主要用求函数的偏导数用求矩阵求函数关于自变量的阶导数求向量函数关于自变量也为向量的矩阵可以用查阅有关这些命令的详细信息实验方法与步骤练习求函数的偏导数的极值点和极值首先用命