直线与方程知识点及典型例题_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 精品知识点 第三章 直线与方程知识点及典型例题 1.直线的倾斜角 定义：x 轴 正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0 180 2.直线的斜率 定义：倾斜角不是 90 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k=tan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时,=0,k=tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时,=90,k 不存在.当 90,0 时，0 k；当 180,90 时，0 k；当 90 时，k不存在。例.如右

2、图，直线 l1的倾斜角=30，直线 l1 l2，求直线 l1和 l2的斜率.解：k1=tan30=33 l1 l2 k1k2=1 k2=3 例：直线0 5 3 y x的倾斜角是()A.120 B.150 C.60 D.30 过两点 P1(x1，y1)、P1(x1，y1)的直线的斜率公式：)(2 11 21 2 x xx xy yk 注意下面四点：(1)当2 1x x 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例.设直线 l1经过点 A(m

3、，1)、B(3，4)，直线 l2经过点 C(1，m)、D(1，m+1)，当(1)l1/l2(2)l1l1时分别求出 m 的值 三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。3.直线方程 点斜式：)(1 1x x k y y 直线斜率 k，且过点 1 1,y x 注意：当直线的斜率为 0 时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为 90 时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：y=kx+b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b x y o 1 2 l1 l2 学习必备 精品知识点 两点式

4、：1 12 1 2 1y y x xy y x x（1 2 1 2,x x y y）直线两点 P1(x1，y1)、P1(x1，y1)截矩式：1x ya b 其中直线l与 x 轴交于点(a，0)，与 y 轴交于点(0，b),即 l 与 x 轴、y 轴的 截距分别为 a、b。注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 两个截距都不为 0 或都为 0；但不可能一个为 0，另一个不为 0.其方程可设为：1x ya b 或 y=kx.一般式：Ax+By+C=0（A，B 不全为 0）注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。各式的适用范围(3)特殊式的方程如：平行

5、于 x 轴的直线：b y（b 为常数）；平行于 y 轴的直线：a x（a 为常数）；例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是12，经过点 A(8，2)；.(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴；.(3)在x轴和y轴上的截距分别是3,32；.(4)经过两点 P1(3，2)、P2(5，4)；.例 1：直线l的方程为 Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（）A C=0，B0 B C=0，B0，A0 C C=0，AB0 4.两直线平行与垂直 当1 1 1:b x k y l，2 2 2:b x k y l 时，2 1 2 1 2 1,/b b k k l

6、 l；12 1 2 1 k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。5.已知两条直线 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与 B1及 A2与 B2都不同时为零)若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组 0 C B A0 C B A2 2 21 1 1y xy x的一组解。若方程组无解2 1/l l；若方程组有无数解1l与2l重合 6.点的坐标与直线方程的关系 几何元素 代数表示 点 P 坐标 P(xo，yo)直线 l 方程 Ax+By+C=0 点 P(xo，yo)在直线 l 上 坐标),(0 0y x满足方程：Ax+By+C=0

7、点 P(xo，yo)是 l1、l2的交点 坐标(xo，yo)满足方程组 0 C B A0 C B A2 2 21 1 1y xy x 叫直线的倾斜角特别地当直线与轴平行或重合时我们规定它的倾斜角为度因此倾斜角的取值范围是直线的斜率定义倾斜角不是的直线它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率直线的斜率常用表示即斜率反映直线与轴的倾斜程度当直线 斜角是时不存在过两点的直线的斜率公式注意下面四点当时公式右边无意义直线的斜率不存在倾斜角为与的顺序无关以后求斜率可不过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到例设 线经过点当直线方程点斜式直线斜率且过点注意当直线的斜率为时

8、直线的方程是当直线的斜率为时直线的斜率不存在它的方程不能用点斜式表示但因上每一点的横坐标都等于所以它的方程是斜截式直线斜率为直线在轴上的截距为学学习必备 精品知识点 7.两条直线的位置关系的判定公式 A1B2A2B1 0 方程组有唯一解 两直线相交,0 C B C B0 B A B A1 2 2 11 2 2 1 或 A1C2A2C1 0 无解 两直线平行 0 C B C B0 B A B A1 2 2 11 2 2 1 或 A1C2A2C1=0 有无数个解 两直线重合 两条直线垂直的判定条件：当 A1、B1、A2、B2满足 时 l1 l2。答：A1A2+B1B2=0 经典例题；例 1.已知两

9、直线 l1：x+(1+m)y=2m 和 l2：2mx+4y+16=0，m 为何值时 l1与 l2相交平行 解：例 2.已知两直线 l1：(3a+2)x+(14a)y+8=0 和 l2：(5a2)x+(a+4)y7=0 垂直，求 a 值 解：例 3.求两条垂直直线 l1：2x+y+2=0 和 l2：mx+4y2=0 的交点坐标 解：例 4.已知直线 l 的方程为121 x y，(1)求过点（2，3）且垂直于 l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于 l 的直线方程。8.两点间距离公式：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|=21 221 2)()(y

10、y x x 9.点到直线距离公式：一点 P(xo，yo)到直线 l：Ax+By+C=0 的距离2 2o oB AC B Ad|y x|10.两平行直线距离公式 例：已知两条平行线直线 l1和 l2的一般式方程为 l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则 l1与 l2的距离为2 22 1B AC Cd 例 1：求平行线 l1：3x+4y 12=0 与 l2：ax+8y+11=0 之间的距离。例 2：已知平行线 l1：3x+2y 6=0 与 l2：6x+4y3=0，求与它们距离相等的平行线方程。12.中点坐标公式：已知两点 P1(x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点 M

11、 坐标为(22 1x x，22 1y y)叫直线的倾斜角特别地当直线与轴平行或重合时我们规定它的倾斜角为度因此倾斜角的取值范围是直线的斜率定义倾斜角不是的直线它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率直线的斜率常用表示即斜率反映直线与轴的倾斜程度当直线 斜角是时不存在过两点的直线的斜率公式注意下面四点当时公式右边无意义直线的斜率不存在倾斜角为与的顺序无关以后求斜率可不过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到例设 线经过点当直线方程点斜式直线斜率且过点注意当直线的斜率为时直线的方程是当直线的斜率为时直线的斜率不存在它的方程不能用点斜式表示但因上每一点的横坐标都等

12、于所以它的方程是斜截式直线斜率为直线在轴上的截距为学学习必备 精品知识点 例.已知点 A(7，4)、B(5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程。13.对称点与对称直线的求法 例 1：已知直线 l：2x 3y+1=0 和点 P(1，2).(1)分别求：点 P(1，2)关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称点 Q 坐标(2)分别求：直线 l：2x 3y+1=0 关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称的直线方程.(3)求直线 l 关于点 P(1，2)对称的直线方程。(4)求 P(1，2)关于直线 l 轴对称的直线方程。例 2：点 P(1，2)关于直线 l：x+y 2=

13、0 的对称点的坐标为。例 3：已知圆 C1：(x+1)2+(y 1)2=1 与圆 C2关于直线 x y 1=0 对称，则圆 C2的方程为：。A.(x+2)2+(y 2)2=1 B.(x 2)2+(y+2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x 2)2+(y 2)2=1 叫直线的倾斜角特别地当直线与轴平行或重合时我们规定它的倾斜角为度因此倾斜角的取值范围是直线的斜率定义倾斜角不是的直线它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率直线的斜率常用表示即斜率反映直线与轴的倾斜程度当直线 斜角是时不存在过两点的直线的斜率公式注意下面四点当时公式右边无意义直线的斜率不存在倾斜角为与的顺序无关以后求斜率可不过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到例设 线经过点当直线方程点斜式直线斜率且过点注意当直线的斜率为时直线的方程是当直线的斜率为时直线的斜率不存在它的方程不能用点斜式表示但因上每一点的横坐标都等于所以它的方程是斜截式直线斜率为直线在轴上的截距为学