直线的参数方程及其应用(学案)_中学教育-高考.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 直线的参数方程及应用 目标点击：1掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；2熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；基础知识点击：1、直线参数方程的标准式(1)过点 P0(0 0,y x)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程是 s i nc o s00t y yt x x（t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P0的数量，P(y x,)为直线上任意一点.P0P=t P0P=t(2)若 P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为 t1、t2，则 P1P2=t2 t1 P1P2=t 2

2、t 1(3)若 P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为 t1、t2、t3 则 P1P2中点 P3的参数为 t322 1t t,P0P3=22 1t t(4)若 P0为 P1P2的中点，则 t1 t2 0，t1t20 时，点 P在点 P0的上方；当 t 0 时，点 P 与点 P0重合；当 t0 时，点 P在点 P0的下方；特别地，若直线 l 的倾斜角 0 时，直线 l 的参数方程为 00y yt x x x y0P0P(y x,)Q l x y0P(y x,)P0Q l l x yh 0P0P(y x,)精品资料 欢迎下载 当 t0 时，点 P 在点 P0的右侧；当 t 0 时，点 P

3、 与点 P0重合；当 t0 时，点 P 在点 P0的左侧；问题 2：直线 l 上的点与对应的 参数 t 是不是一 对应关系？我们把直线 l 看作是实数轴，以直线 l 向上的方向为正方向，以定点 P0 为原点，以原坐标系的单位长为单位长，这样参数 t 便和这条实数轴上的点 P 建立了 一一对应关系.问题 3：P1、P2为直线 l 上两点所对应的参数分别为 t1、t2，则 P1P2？，P1P2=？P1P2 P1P0 P0P2 t1 t2 t2 t1，P1P2=t2 t1 问题 4：若 P0为直线 l 上两点 P1、P2的中点，P1、P2所对应的 参数分别为 t1、t2，则 t1、t2之间有何关系？

4、根据直线 l 参数方程 t 的几何意义，P1P t1，P2P t2，P0为直线 l 上两点 P1、P2的中点，|P1P|P2P|P1P P2P，即 t1 t2,t1t20 一般地，若 P1、P2、P3是直线 l 上的点，所对应的参数分别为 t1、t2、t3，P3为 P1、P2的中点 则 t322 1t t（P1P3 P2P3,根据直线 l 参数方程 t 的几何意义，P1P3=t3 t1,P2P3=t3 t2,t3 t1=(t3 t2,)）基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化 例 1：化直线1l 的普通方程 1 3 y x 0 为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明 t的几何意义.解：令

5、 y=0,得 x 1，直线1l 过定点(1,0).k 31=33 设倾斜角为，tg=33,=65,cos=23,sin=21 1l 的参数方程为 t yt x21231（t 为参数）t 是直线1l 上定点 M0（1，0）到 t 对应的点 M(y x,)的有向线段 M M0的数量.由(2)21(1)231t yt x(1)、(2)两式平方相加,得2 2 2)1(t y x t 2 2)1(y x t是定点 M0（1，0）到 t 对应的点 M(y x,)的有向线段 M M0的长.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例 2：化直线2l 的参数方程 t 3 13yt x（

6、t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明 t的几何意义.解：原方程组变形为(2)t 3 1(1)3yt x(1)代入(2)消去参数 t，x y0P P0l x y0h P1 P0l P2 熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化利用直线的参数方程求线段的长求距离求轨迹与中点有关等问题基础知识点击直线参数方程的标准式过点倾斜角为的直线的参数方程是为参数的几何意义表示有向线段若是直线上两点所对 线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为参数一直线的参数方程问题直线由点和方向确定求经过点倾斜角为的直线的参数方程设点是直线上任意一点规定向上的方向为直线的正方向过点作轴的平行线过作轴的平行线两 义是

7、有向直线上从已知点的有向线段的数量且当时点在点的上方当时点与点重合当时点在点的下方特别地若直线的倾斜角时直线的参数方程为到点是所求的直线的参数方程精品资料欢迎下载当时点在点的右侧当时点与点重合当时点精品资料 欢迎下载 得)3(3 1 x y(点斜式)可见 k=3,tg=3,倾斜角=3 普通方程为 0 1 3 3 3 y x(1)、(2)两式平方相加,得2 2 24)1()3(t y x t=2)1()3(2 2 y x t是定点 M0（3，1）到 t 对应的点 M(y x,)的有向线段 M M0的长的一半.点拨：注意在例 1、例 2 中，参数 t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程 为

8、t yt x21231 即 65sin65cos 1t yt x是直线方程的标准形式，(-23)2+(21)2=1,t 的几何意义是有向线段 M M0 的数量.直线2l 的参数方程为 t 3 13yt x是非标准的形式，12(3)2=4 1，此时 t 的几何意义是有向线段 M M0的数量的一半.你会区分直线参数方程的标准形式？例 3：已知直线 l 过点 M0（1，3），倾斜角为3，判断方程 t yt x233211（t 为参数）和方程 t 3 31yt x（t为参数）是否为直线 l 的参数方程？如果是直线 l 的参数方程，指出方程中的参数 t 是否具有标准形式中参数 t 的几何意义.解：由于以

9、上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线 l 的的普通方程 0 3 3 3 y x，所以，以上两个方程都是直线 l 的参数方程，其中 t yt x233211 cos=21,sin=23，是标准形式，参数 t 是有向线段 M M0的数量.，而方程 t 3 31yt x是非标准形式，参数 t 不具有上述的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数 t 的几何意义解决有关问题.问题 5：直线的参数方程 t 3 31yt x能否化为标准形式？是可以的，只需作参数 t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)t 3 31yt x)3(1()3(13 3)3(1()3

10、(1112 22 22 22 2t yt x 令t=t2 2)3(1 得到直线 l参数方程的标准形式 t 233211yt x t的几何意义是有向线段 M M0的数量.2、直线非标准参数方程的标准化 一般地，对于倾斜角为、过点 M0(0 0,y x)直线 l 参数方程的一般式为，bt y yat x x00（t 为参数），斜率为abtg k 熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化利用直线的参数方程求线段的长求距离求轨迹与中点有关等问题基础知识点击直线参数方程的标准式过点倾斜角为的直线的参数方程是为参数的几何意义表示有向线段若是直线上两点所对 线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为参数

11、一直线的参数方程问题直线由点和方向确定求经过点倾斜角为的直线的参数方程设点是直线上任意一点规定向上的方向为直线的正方向过点作轴的平行线过作轴的平行线两 义是有向直线上从已知点的有向线段的数量且当时点在点的上方当时点与点重合当时点在点的下方特别地若直线的倾斜角时直线的参数方程为到点是所求的直线的参数方程精品资料欢迎下载当时点在点的右侧当时点与点重合当时点精品资料 欢迎下载(1)当 2 2b a 1 时，则 t 的几何意义是有向线段 M M0的数量.(2)当 2 2b a 1 时，则 t 不具有上述的几何意义.bt y yat x x00 可化为)()(2 22 202 22 20t b ab a

12、by yt b ab aax x 令t=t b a2 2 则可得到 标准式 tb aby ytb aax x2 202 20 t 的几何意义是有向线段 M M0的数量.例 4：写出经过点 M0（2，3），倾斜角为43的直线 l 的标准参数方程，并且 求出直线 l 上与点 M0相距为 2 的点的坐标.解：直线 l 的标准参数方程为 43sin 343cos 2t yt x 即 t yt x223222（t 为参数）（1）设直线 l 上与已知点 M0相距为 2 的点为 M 点，且 M 点对应的参数为 t,则|M0M|t|=2,t=2 将 t 的值代入(1)式 当 t=2 时，M 点在 M0点的上方

13、，其坐标为（2 2，3 2）；当 t=-2 时，M 点在 M0点的下方，其坐标为（2 2，3 2）.点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求 M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数 t 的几何意义求 M 点的坐标较 容易.例 5：直线 20 cos 420 sin 3t yt x（t 为参数）的倾斜角.解法 1：消参数 t,的34xy ctg20=tg110 解法 2：化为标准形式：110 sin)(4110 cos)(3t yt t x（t 为参数）此直线的倾斜角为 110 基础知识测试 1：1、求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l的标准参数方程.2、直线l

14、的方程：25 cos 225 sin 1t yt x（t 为参数），那么直线l的倾斜角()A 65 B 25 C 155 D 115 3、直线 t yt x521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是()A)2 和 arctg(2)B)21和 arctg(21)C)2 和 arctg2 D)21和 arctg21 4、已知直线 sincos00t y yt x x（t 为参数）上的点 A、B 所对应的参数分别为 t1,t2，点 P 分线段 BA所成的比为熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化利用直线的参数方程求线段的长求距离求轨迹与中点有关等问题基础知识点击直线参数方程的标准式过点倾斜角为的

15、直线的参数方程是为参数的几何意义表示有向线段若是直线上两点所对 线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为参数一直线的参数方程问题直线由点和方向确定求经过点倾斜角为的直线的参数方程设点是直线上任意一点规定向上的方向为直线的正方向过点作轴的平行线过作轴的平行线两 义是有向直线上从已知点的有向线段的数量且当时点在点的上方当时点与点重合当时点在点的下方特别地若直线的倾斜角时直线的参数方程为到点是所求的直线的参数方程精品资料欢迎下载当时点在点的右侧当时点与点重合当时点精品资料 欢迎下载（1），则 P 所对应的参数是.5、直线l的方程：bt y yat x x00（t 为参数）A、B 是直线l上的

16、两个点，分别对应参数值 t1、t2，那么|AB|等于()A t 1 t 2 B 2 2b a t 1 t 2 C 2 22 1b at t D t 1+t 2 6、已知直线l：t 3 51yt x(t 为参数)与直线 m：0 3 2 y x交于 P 点，求点 M(1,5)到点 P 的距离.二、直线参数方程的应用 例 6：已知直线 l 过点 P（2，0），斜率为34，直线 l 和抛物线 x y 22 相交于 A、B 两点，设线段 AB 的中点为 M,求：(1)P、M 两点间的距离|PM|；(2)M 点的坐标；(3)线段 AB的长|AB|解：(1)直线 l 过点 P（2，0），斜率为34,设直线的

17、倾斜角为，tg=34 cos=53,sin=54直线 l 的标准参数方程为 t yt x54532（t 为参数）*直线 l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 x y 22 中，整理得 8t2 15t 50 0=152+4 8 500,设这个二次方程的两个根为 t1、t2,由韦达定理得 t1 t2815,t1t2425，由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得|PM|22 1t t 1615 中点 M 所对应的参数为 t M=1615,将此值代入直线的标准参数方程*，M 点的坐标为 4316155416411615532yx 即 M（1641，43）(3)|AB|t 2

18、 t 1 222 1 14)(t t t t 7385 点拨：利用直线 l 的标准参数方程中参数 t 的几何意义，在解决诸如直线 l 上两点间的距离、直线 l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线 l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.例 7：已知直线 l经过点 P（1,3 3）,倾斜角为3，(1)求直线 l 与直线 l：3 2 x y 的交点 Q 与 P 点的距离|PQ|；(2)求直线 l 和圆2 2y x 16 的两个交点 A，B 与 P 点的距离之积.解：(1)直线 l经过点 P（1,3 3）,倾斜角为3,直线 l 的标准参数方 程为 3sin 3 33cos 1t yt

19、x，即 t yt x233 3211（t 为参数）代入直线 l：3 2 x y 得 0 3 2)233 3()211(t t 整理，解得 t=4+2 3 t=4+2 3 即为直线 l 与直线 l 的交点 Q 所对应的参数值，根据参数 t 的几 何意义可知：|t|=|PQ|,|PQ|=4+2 3.A B M P(2,0)x y 0 熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化利用直线的参数方程求线段的长求距离求轨迹与中点有关等问题基础知识点击直线参数方程的标准式过点倾斜角为的直线的参数方程是为参数的几何意义表示有向线段若是直线上两点所对 线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为参数一直线的参数

20、方程问题直线由点和方向确定求经过点倾斜角为的直线的参数方程设点是直线上任意一点规定向上的方向为直线的正方向过点作轴的平行线过作轴的平行线两 义是有向直线上从已知点的有向线段的数量且当时点在点的上方当时点与点重合当时点在点的下方特别地若直线的倾斜角时直线的参数方程为到点是所求的直线的参数方程精品资料欢迎下载当时点在点的右侧当时点与点重合当时点精品资料 欢迎下载(2)把直线 l 的标准参数方程为 t yt x233 3211（t 为参数）代入圆的方程 2 2y x 16，得 16)233 3()211(2 2 t t,整理得：t2 8t+12=0，=82-4 120,设此二次方程的两个根为 t1、

21、t2 则 t1t2=12 根据参数 t 的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆2 2y x 16 的两个交点 A,B 所对应的参数值，则|t1|=|PA|,|t2|=|PB|,所以|PA|PB|=|t1 t2|=12 点拨：利用直线标准参数方程中的参数 t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例 8：设抛物线过两点 A(1,6)和 B(1,2)，对称轴与 x 轴平行，开口向右，直线 y=2 x+7 被抛物线截得的线段长是 4 10，求抛物线方程.解：由题意，得抛物线的对称轴方程为 y=2.设抛物线顶

22、点坐标为（a，2）方程为(y 2)2=2P(x a)(P0)点 B(1,2)在抛物线上，(2 2)2=2P(1 a)a P=8 P 代入 得(y 2)2=2Px 2P+16 将直线方程 y=2 x+7 化为标准的参数方程 tg=2,为锐角，cos=51,sin=52 得 t yt x525511（t 为参数）直线与抛物线相交于 A，B,将代入并化简得：752 12542 tPt 0，由=355)6(42 P0,可设方程的两根为 t1、t2，又|AB|=t 2 t 1 222 1 14)(t t t t 4 10 4354 4)2 12(52 P=(4 10)2 化简，得(6 P)2=100 P

23、=16 或 P=-4(舍去)所求的抛物线方程为(y 2)2=32 x 48 点拨：(1)（对称性）由两点 A(1,6)和 B(1,2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含 P 一个未知量，由弦长 AB 的值求得 P）.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.例 9：已知椭圆 13 4)1(2 2 y x，AB 是通过左焦点 F1的弦，F2为右焦点，求|F2A|F2B|的最大值.解：由椭圆方程知 a 2，b=3,c=1,F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的 参数方程为sinc

24、ost yt x（t 为参数）代入椭圆方程整理得（3 sin2）t2 6 t cos 9=0，=36cos2 36（3 sin2）0 此方程的解为 t1、t2，分别为 A、B 两点 对应的参数，由韦达定理 t1 t2=2sin 3cos 6 t1 t2 2sin 39 根据参数 t 的几何意义，t1、t2 分别为过点 F1的直线和椭圆的两个交点 熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化利用直线的参数方程求线段的长求距离求轨迹与中点有关等问题基础知识点击直线参数方程的标准式过点倾斜角为的直线的参数方程是为参数的几何意义表示有向线段若是直线上两点所对 线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为

25、参数一直线的参数方程问题直线由点和方向确定求经过点倾斜角为的直线的参数方程设点是直线上任意一点规定向上的方向为直线的正方向过点作轴的平行线过作轴的平行线两 义是有向直线上从已知点的有向线段的数量且当时点在点的上方当时点与点重合当时点在点的下方特别地若直线的倾斜角时直线的参数方程为到点是所求的直线的参数方程精品资料欢迎下载当时点在点的右侧当时点与点重合当时点精品资料 欢迎下载 A,B 所对应的参数值，|F1A|t1|F1B|t2|AB|=t 2 t 1 222 1 14)(t t t t 2sin 312|F1A|F1B|t1|t2|=|t1t2|由椭圆的第一定义|F1A|F2A|2 a 4，|

26、F1B|+|F2B|=2 a 4|F2A|F2B|=(4-|F1A|)(4-|F1B|)=16-4|AB|+|F1A|F1B|=16-4 t 2 t 1+|t1t2|=16-4 2sin 312+2sin 39=16-2sin 339 当 sin2 1 时，|F2A|F2B|有最大值425 点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解 题，此题中两定点 F1(0,0),F2(2,0),显然 F1坐标简单，因此选择过 F1 的直线的参数方程，利用椭圆的定义将|F2A|F2B|转化为|F1A|F1B|.例 10：（黄冈习题册：P155,第 23 题）（2）除书中解法外，补充解

27、法二.解法二：设过点 P(a,0)的直线 l 的参数方程为 sincost yt a x(t 为参数),0(，且 2)(1)直线 l 与圆2 2y x 5 相交于 B,C 将直线 l 的方程(1)代入圆的方程 得 t2+2 a t cos+a2 5 0，=(2 a cos)2-4(a2 5)0.即 a2 sin2+50(2)tB tC=2 a cos tB tC=a2 5 直线 l 与抛物线 y2=x+7 相交于 A,D 将直线 l 的方程(1)代入抛物线的 方程得(sin2)t2 t cos a 7 0，=cos2-4(sin2)(-a 7)0 即 1+(4 a+27)sin2 0(3)tA

28、 tD=2sincos tB tC=2sin7 a 又|AB|=|CD|线段 AD与线段 BC的中点重合，即 tA tD=tB tC 2sincos=-2a cos 即-2 a=2sin1，),0(,且 2 0sin2 1 将 sin2 a 21 代入(2)、(3)a 必须满足 1 20227 20 10aaaa-10 a 21 点拨：此题利用直线参数方程形式比普通方程求 a 的范围运算量相对要 小，注意使用直线上两个点的中点的参数.方法总结：利用直线 l 的参数方程 sincos00t y yt x x（t 为参数），给研究直线与圆锥曲线 C：F(y x,)=0的位置关系提供了简便的方法.一

29、般地，把 l 的参数方程代入圆锥曲线 C：F(y x,)=0后，可得一个关于 t 的一元二次方程，)(t f=0,1、(1)当 0 时，熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化利用直线的参数方程求线段的长求距离求轨迹与中点有关等问题基础知识点击直线参数方程的标准式过点倾斜角为的直线的参数方程是为参数的几何意义表示有向线段若是直线上两点所对 线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为参数一直线的参数方程问题直线由点和方向确定求经过点倾斜角为的直线的参数方程设点是直线上任意一点规定向上的方向为直线的正方向过点作轴的平行线过作轴的平行线两 义是有向直线上从已知点的有向线段的数量且当时点在点的上方

30、当时点与点重合当时点在点的下方特别地若直线的倾斜角时直线的参数方程为到点是所求的直线的参数方程精品资料欢迎下载当时点在点的右侧当时点与点重合当时点精品资料 欢迎下载 l 与 C 相交有两个交点；2、当 0 时，方程)(t f=0 的两个根分别记为 t1、t2，把 t1、t2分别代入 l 的参数方程即可求的 l 与 C的两个交点 A 和 B 的坐标.3、定点 P0(0 0,y x)是弦 AB 中点 t1+t2=0 4、l 被 C 截得的弦 AB 的长|AB|t1 t2|；P0AP0B=t1t2；弦 AB 中点 M 点对应的参数为22 1t t；|P0M|=22 1t t 基础知识测试 2：7、直

31、线 t 21yt x(t 为参数)与椭圆8 22 2 y x交于 A、B 两点，则|AB|等于()A 22 B 33 4 C 2 D 36 8、直线 sincos00t y yt x x（t 为参数）与二次曲线 A、B 两点，则|AB|等于()A|t1+t2|B|t1|t2|C|t1 t2|D 22 1t t 9、直线 t21 1212yt x(t 为参数)与圆12 2 y x有两个交点 A、B，若 P 点的坐 标为(2,-1),则|PA|PB|=10、过点 P(6,27)的直线 t 272 6yt x(t 为参数)与抛物线 y2=2x相交于 A、B 两点，则点 P 到 A,B 距离之积为.参

32、数方程 1 答案 1、D 2、D 3、D 4、A 5、D 6、（1）actg yatg x（2）3251545154t yt x（3）sin 2cos 2yx或 sin 2cos 2yx 7、D 8、抛物线 x221（y-2）上包含 1 x 1 的一段弧 直线的参数方程答案 1、t yt x217236 2、D 3、C 4、11 2t t 5、B 6、43 7、B 8、C 9、4 10、45 熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化利用直线的参数方程求线段的长求距离求轨迹与中点有关等问题基础知识点击直线参数方程的标准式过点倾斜角为的直线的参数方程是为参数的几何意义表示有向线段若是直线上两点所对 线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为参数一直线的参数方程问题直线由点和方向确定求经过点倾斜角为的直线的参数方程设点是直线上任意一点规定向上的方向为直线的正方向过点作轴的平行线过作轴的平行线两 义是有向直线上从已知点的有向线段的数量且当时点在点的上方当时点与点重合当时点在点的下方特别地若直线的倾斜角时直线的参数方程为到点是所求的直线的参数方程精品资料欢迎下载当时点在点的右侧当时点与点重合当时点