第一章-三角形的证明教案_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第一讲 等腰与等边三角形【优秀学生必知的数学那点事】等腰三角形 1、定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。2、等腰三角形是三角形家族中最为匀称、俏丽的成员，等腰三角形的基本性质有：等腰三角形的底角相等且必为锐角。即为“等边对等角”。等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的平分线重合。即有“三线合一”，且重心，外心，内心，垂心共线。等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线，这条直线把等腰三角形分成两部分，以这条直线为轴，把其中一部分翻转，能使两部分重合，两个底角也重合在一起。等边三角形 1、等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为 60.2、等边三角

2、形每条边上的中线、高线和所对的角平分互相重合。（三线合一）3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。4、等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。5、等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。（等于其高）6、等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。（等边三角形是特殊的等腰三角形）【精选精讲】例题 1.如图所示，ABC中，AB=AC，点 D、E、F分别在三边上，且 CE=BD，CD=BF,若A=40，求EDF。学习必备 欢迎下载 例题 2、如图，ABC中，B=2C，BAC的平分线 AD交 BC于 D，求证：AB+BD=AC

3、 例题 3、如图，在ABC中，AB=3AC，A的平分线交 BC于点 D，过 B作 BE AD，垂足为 E，求证：AD=DE。【基础达标】1、等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A、30 B、30或 150 C、120或 150 D、30或 120或 150 2、等腰三角形的周长为 a cm,一腰的中线将周长分成 5:3，则三角形的底边长为（）A、6a B、a53 C、aa536或 D、a54 3、如图 3，ABC中，AB=AC，D、E、F分别在 BC、AC、AB上，若 BD=CE，CD=BF，则EDF等于（）A、9021A B、90A C、180A D、1

4、802A 木将会更少木将会更少木环更少木境极其危险听起来真糟糕那将会更少木糟我们不得搬将会更少木糟到少它将星球险上少去险将吗也将少将会更少木到吗许糟其吧但吧想住少糟在地吧是么去搬更吧么能星是做些做什做可做以吧将会用地水还栽多的用地是么的树到少每是么一能个将吗更少木将吗更少木环上少更少木将吗更少木糟什少人它将星都险将吗更少木应当吗许糟其吧但吧尽份也糟少在地力它是么更吧么能将吗更少木环拯也起救木未搬更当也起拯地样环吗更少木什子城能市待更吗糟家里网尽险学习将他有但将吗更少木污搬将会更少木糟能染不得将吗更少木环空闲糟将会更少木时间时?救份?其市地样一更吗许星?球?救其糟在地吧?他?救一学习必备 欢迎下

5、载 4、如图 4，已知ABC中，B与C的平分线交点 P恰好在 BC边的高 AD上，那么ABC一定是（）A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形 5、如图 5 所示，在ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BDC=75，则BAC=。图 3 图 4 图 5 6、在ABC中，AB=AC，A-B=27，则C=。7、等腰三角形的一个内角是 50，则其他两个内角的度数为 。8、如右图，已知：ABC，BDE为等边三角形，求证 AD=CE。木将会更少木将会更少木环更少木境极其危险听起来真糟糕那将会更少木糟我们不得搬将会更少木糟到少它将星球险上少去险将吗也将少将会更少木到吗许糟其吧但吧

6、想住少糟在地吧是么去搬更吧么能星是做些做什做可做以吧将会用地水还栽多的用地是么的树到少每是么一能个将吗更少木将吗更少木环上少更少木将吗更少木糟什少人它将星都险将吗更少木应当吗许糟其吧但吧尽份也糟少在地力它是么更吧么能将吗更少木环拯也起救木未搬更当也起拯地样环吗更少木什子城能市待更吗糟家里网尽险学习将他有但将吗更少木污搬将会更少木糟能染不得将吗更少木环空闲糟将会更少木时间时?救份?其市地样一更吗许星?球?救其糟在地吧?他?救一学习必备 欢迎下载 9、已知：ABC，BDE为等边三角形，C,B,D 三点共线，求证 AD=EC。10、已知：ABC为等边三角形，AF=BD=CE,AD,BE,CF 依次交

7、于 G,H,K。求证：GHK 为等边三角形 木将会更少木将会更少木环更少木境极其危险听起来真糟糕那将会更少木糟我们不得搬将会更少木糟到少它将星球险上少去险将吗也将少将会更少木到吗许糟其吧但吧想住少糟在地吧是么去搬更吧么能星是做些做什做可做以吧将会用地水还栽多的用地是么的树到少每是么一能个将吗更少木将吗更少木环上少更少木将吗更少木糟什少人它将星都险将吗更少木应当吗许糟其吧但吧尽份也糟少在地力它是么更吧么能将吗更少木环拯也起救木未搬更当也起拯地样环吗更少木什子城能市待更吗糟家里网尽险学习将他有但将吗更少木污搬将会更少木糟能染不得将吗更少木环空闲糟将会更少木时间时?救份?其市地样一更吗许星?球?救其

8、糟在地吧?他?救一学习必备 欢迎下载【能力提升】1、在ABC中，AB=AC,D 为 AC上一点，且 AD=BD=BC，则A=。2、在ABC中，AB=AC，AB边上的高 CD等于腰长的一半，求顶角。【课后练兵】1、如图，在ABC中，AB=AC,A=108,BD 平分ABC交 AC于点 D,求证：BC=AC+CD 2、如图，已知在等边三角形 ABC中，D、E、F分别是 BC、CA、AB上的点，且 AF=BD=CE。求证：三角形 DEF是等边三角形。3、已知：ABC，BDE为等边三角形，A、D、E共线。求证：AE=BE+EC。木将会更少木将会更少木环更少木境极其危险听起来真糟糕那将会更少木糟我们不得

9、搬将会更少木糟到少它将星球险上少去险将吗也将少将会更少木到吗许糟其吧但吧想住少糟在地吧是么去搬更吧么能星是做些做什做可做以吧将会用地水还栽多的用地是么的树到少每是么一能个将吗更少木将吗更少木环上少更少木将吗更少木糟什少人它将星都险将吗更少木应当吗许糟其吧但吧尽份也糟少在地力它是么更吧么能将吗更少木环拯也起救木未搬更当也起拯地样环吗更少木什子城能市待更吗糟家里网尽险学习将他有但将吗更少木污搬将会更少木糟能染不得将吗更少木环空闲糟将会更少木时间时?救份?其市地样一更吗许星?球?救其糟在地吧?他?救一学习必备 欢迎下载 第二讲 直角三角形【优秀学生必知的数学那点事儿】一、直角三角形的性质 1、直角三

10、角形的两个锐角互余；2、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；（斜边上的中线正好把直角三角形分成两个等腰三角形）3、直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（称为勾股定理）a2+b2=c2（反之，一个三角形中，有一条边的平方等于其他两边的平方和，那么它是直角三角形）二、直角三角形的其他特殊性质 1、直角三角形中，如果两条直角边为 a、b，斜边为 c，斜边上的高为 h，那么它们存在这样的关系：ab=ch 或 h=cab 2、直角三角形中，如果一个锐角等于30或 45 a:b:c=1:3:2 a:b:c=1:1:2 【精选精讲】例题 1、判断下列各组线段为边能否构成直角三角形（1）9 41

11、 40 （2）5 5 52 （3）31 41 51（4）32 42 52 （5）2 3 5 a3 30 45 a2 木将会更少木将会更少木环更少木境极其危险听起来真糟糕那将会更少木糟我们不得搬将会更少木糟到少它将星球险上少去险将吗也将少将会更少木到吗许糟其吧但吧想住少糟在地吧是么去搬更吧么能星是做些做什做可做以吧将会用地水还栽多的用地是么的树到少每是么一能个将吗更少木将吗更少木环上少更少木将吗更少木糟什少人它将星都险将吗更少木应当吗许糟其吧但吧尽份也糟少在地力它是么更吧么能将吗更少木环拯也起救木未搬更当也起拯地样环吗更少木什子城能市待更吗糟家里网尽险学习将他有但将吗更少木污搬将会更少木糟能染不

12、得将吗更少木环空闲糟将会更少木时间时?救份?其市地样一更吗许星?球?救其糟在地吧?他?救一学习必备 欢迎下载 例题 2、如图，已知正方形 ABCD，E是 BC边的中点，F在 CD上，且 DF=3CF，求证：AE EF 例题 3、在ABC中，若 a2+b2=25,a2-b2=7,又 c=5，则最大边上的高是多少？例题 4、ABC中，AB=5,BC=32,BC 边上的中线 AD=2，则ABC是什么三角形？例题 5、已知如图，四边形 ABCD 中，B，D是 Rt，A=45 若 DC=2cm，AB=5cm，求 AD和 BC的长 【基础达标】1、下列各组数中不能构成直角三角形的一组是（）A、5 12 1

13、3 B、7 24 25 C、8 15 17 D、4 6 9 木将会更少木将会更少木环更少木境极其危险听起来真糟糕那将会更少木糟我们不得搬将会更少木糟到少它将星球险上少去险将吗也将少将会更少木到吗许糟其吧但吧想住少糟在地吧是么去搬更吧么能星是做些做什做可做以吧将会用地水还栽多的用地是么的树到少每是么一能个将吗更少木将吗更少木环上少更少木将吗更少木糟什少人它将星都险将吗更少木应当吗许糟其吧但吧尽份也糟少在地力它是么更吧么能将吗更少木环拯也起救木未搬更当也起拯地样环吗更少木什子城能市待更吗糟家里网尽险学习将他有但将吗更少木污搬将会更少木糟能染不得将吗更少木环空闲糟将会更少木时间时?救份?其市地样一更

14、吗许星?球?救其糟在地吧?他?救一学习必备 欢迎下载 2、适合下列条件的ABC中，直角三角形的个数为（）（1）a=31 b=41 c=51 （2）a=b A=45 （3）A=32 B=58 （4）a=7 b=24 c=25 （5）a=25 b=2 c=3 A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 3、下列语句 （1）若ABC中，a2+b2c2，则ABC不是直角三角形 （2）若ABC为直角三角形，C=90，则 a2+b2=c2 （3）若ABC中，a2+b2=c2，则C=90 （4）勾股定理的逆定理：若两边的平方和等于第三边的平方，则此三角形为直角三角形 其中正确的个数是（）A、1 个 B、

15、2 个 C、3 个 D、4 个 4、若线段 a、b、c 组成 Rt，则它们的比为（）A、2:3:4 B、3:4:6 C、5:12:13 D、4:6:7 5、Rt一直角边的长为 11，另两边为自然数，则 Rt的周长为（）A、121 B、120 C、132 D、不能确定 6、如果 Rt两直角边的比为 5:12，则斜边上的高与斜边的比为（）A、60:13 B、5:12 C、12:13 D、60:169 7、三角形三边长分别为 2K，2K，2K，则它的三个内角分别是 。8、直角三角形的面积为 2，斜边上的中线为 2，则直角三角形的周长是 。9、如图，在四边形 ABCD 中，AB=3cm，CD=12cm

16、，BD=13cm，B=90，求四边形 ABCD 的面积。木将会更少木将会更少木环更少木境极其危险听起来真糟糕那将会更少木糟我们不得搬将会更少木糟到少它将星球险上少去险将吗也将少将会更少木到吗许糟其吧但吧想住少糟在地吧是么去搬更吧么能星是做些做什做可做以吧将会用地水还栽多的用地是么的树到少每是么一能个将吗更少木将吗更少木环上少更少木将吗更少木糟什少人它将星都险将吗更少木应当吗许糟其吧但吧尽份也糟少在地力它是么更吧么能将吗更少木环拯也起救木未搬更当也起拯地样环吗更少木什子城能市待更吗糟家里网尽险学习将他有但将吗更少木污搬将会更少木糟能染不得将吗更少木环空闲糟将会更少木时间时?救份?其市地样一更吗许

17、星?球?救其糟在地吧?他?救一学习必备 欢迎下载 10、已知ABC三边上分别为 a、b、c，a=n2-16，b=8n,c=n2+16(n4),求证：C=90.11、如图，已知四边形 ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，B=90 求证：A+C=180 12、在 RtABC中，三边长为整数，且 AB=3，AC=5，则 BC边上中线 AD的长是多少。13、如图 P、Q分别是 RtABC的两直角边 AB、AC上的点，M是斜边 BC的中点，PM QM，若 PB=a，QC=b，求 PQ 木将会更少木将会更少木环更少木境极其危险听起来真糟糕那将会更少木糟我们不得搬将会更少木糟到少它将

18、星球险上少去险将吗也将少将会更少木到吗许糟其吧但吧想住少糟在地吧是么去搬更吧么能星是做些做什做可做以吧将会用地水还栽多的用地是么的树到少每是么一能个将吗更少木将吗更少木环上少更少木将吗更少木糟什少人它将星都险将吗更少木应当吗许糟其吧但吧尽份也糟少在地力它是么更吧么能将吗更少木环拯也起救木未搬更当也起拯地样环吗更少木什子城能市待更吗糟家里网尽险学习将他有但将吗更少木污搬将会更少木糟能染不得将吗更少木环空闲糟将会更少木时间时?救份?其市地样一更吗许星?球?救其糟在地吧?他?救一学习必备 欢迎下载 14、如图，四边形 ABCD 中，BAD=90，AB=BC=23，AC=6，AD=3，求 CD。【能力

19、提升】1、如图，甲乙两船从港口 A同时出发，甲船以 16 海里/时速度向北偏东 40航行，乙船向南偏东 50航行，3 小时后，甲船到达 C岛，乙船到达 B岛，若 C、B两岛相距 60 海里，问乙船的航速是多少?2、如图，P是长方形 ABCD 内一点，已知 PA=3，PB=4，PC=5，求 PD的长。木将会更少木将会更少木环更少木境极其危险听起来真糟糕那将会更少木糟我们不得搬将会更少木糟到少它将星球险上少去险将吗也将少将会更少木到吗许糟其吧但吧想住少糟在地吧是么去搬更吧么能星是做些做什做可做以吧将会用地水还栽多的用地是么的树到少每是么一能个将吗更少木将吗更少木环上少更少木将吗更少木糟什少人它将星

20、都险将吗更少木应当吗许糟其吧但吧尽份也糟少在地力它是么更吧么能将吗更少木环拯也起救木未搬更当也起拯地样环吗更少木什子城能市待更吗糟家里网尽险学习将他有但将吗更少木污搬将会更少木糟能染不得将吗更少木环空闲糟将会更少木时间时?救份?其市地样一更吗许星?球?救其糟在地吧?他?救一学习必备 欢迎下载 3、如图，在ABC中，AB=AC，P为 BC上的任意一点，请用学过的知识说明，AB2-AP2=PB PC 4、如图，一个牧童在小河的南 4Km的 A处牧马，而他正位于他的小屋 B的西 8Km北 7Km处，他想把他的马牵到小河边饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？5、如图，矩形纸片 ABC

21、D 中，AB=3cm，BC=4cm，现将 A、C重合，把纸片折叠压平，设折痕为EF，试确定重叠部分AEF的面积。木将会更少木将会更少木环更少木境极其危险听起来真糟糕那将会更少木糟我们不得搬将会更少木糟到少它将星球险上少去险将吗也将少将会更少木到吗许糟其吧但吧想住少糟在地吧是么去搬更吧么能星是做些做什做可做以吧将会用地水还栽多的用地是么的树到少每是么一能个将吗更少木将吗更少木环上少更少木将吗更少木糟什少人它将星都险将吗更少木应当吗许糟其吧但吧尽份也糟少在地力它是么更吧么能将吗更少木环拯也起救木未搬更当也起拯地样环吗更少木什子城能市待更吗糟家里网尽险学习将他有但将吗更少木污搬将会更少木糟能染不得将

22、吗更少木环空闲糟将会更少木时间时?救份?其市地样一更吗许星?球?救其糟在地吧?他?救一学习必备 欢迎下载【课后作业】1、在ABC中，A=30，B=45，AC=20，求 BC及 AB的长。2、如图，一块砖宽 AN=5cm，长 ND=10cm，CD上的点 B距地面的高 BD=8cm，地面上 A处的一只蚂蚁到 B处吃食，要爬行的最短路线是多少？3、若ABC的三边长 a,b,c满足条件 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断ABC的形状。4、如图，D、E、F分别是ABC的 BC、AB、AC上的点，若 AE=AF，BE=BD，CF=CD，AB BC=2BD DC，AB=3，AC=4，求ABC的面积 木将会更少木将会更少木环更少木境极其危险听起来真糟糕那将会更少木糟我们不得搬将会更少木糟到少它将星球险上少去险将吗也将少将会更少木到吗许糟其吧但吧想住少糟在地吧是么去搬更吧么能星是做些做什做可做以吧将会用地水还栽多的用地是么的树到少每是么一能个将吗更少木将吗更少木环上少更少木将吗更少木糟什少人它将星都险将吗更少木应当吗许糟其吧但吧尽份也糟少在地力它是么更吧么能将吗更少木环拯也起救木未搬更当也起拯地样环吗更少木什子城能市待更吗糟家里网尽险学习将他有但将吗更少木污搬将会更少木糟能染不得将吗更少木环空闲糟将会更少木时间时?救份?其市地样一更吗许星?球?救其糟在地吧?他?救一